PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah

PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah Investasi adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa datang. Istilah investasi bisa berkaitan dengan berbagai macam aktivitas. Menginvestasikan sejumlah dana pada aset riil, misalnya emas, tanah, mesin, atau bangunan, maupun menginvestasikan sejumlah dana pada aset keuangan (finansial), misalnya deposito, saham, atau obligasi, merupakan aktivitas investasi yang umumnya dilakukan (Tandelilin, 2001). Paton dalam Soepardi (2009) mendefinisikan aset sebagai kekayaan baik dalam bentuk fisik atau bentuk lainnya yang memiliki nilai bagi suatu entitas bisnis. Sedangkan aset finansial adalah klaim berbentuk surat berharga atas sejumlah aset-aset pihak penerbit surat berharga tersebut (Tandelilin,2001). Salah satu jenis aset finansial yang bisa dipilih investor dalam berinvestasi di pasar modal adalah saham. Pasar modal adalah pertemuan antara pihak yang memiliki kelebihan dana dengan pihak yang membutuhkan dana dengan cara memperjualbelikan sekuritas. Sekuritas adalah salah satu bentuk investasi berupa sertifikat fisik (warkat) atau elektronik yang bisa diperjualbelikan untuk mendapatkan keuntungan. Oleh karena itu saham merupakan salah satu contoh aset yang berupa sekuritas. Sedangkan investor adalah pihak-pihak yang melakukan kegiatan investasi. Investor pada umumnya digolongkan menjadi dua, yakni investor individual dan investor institusional. Investor individual terdiri dari individu-individu yang melakukan investasi, sedangkan investor institusional biasanya terdiri dari perusahaan-perusahaan. Salah satu investor institusional adalah perusahaan investasi (Tandelilin, 2001). Investor di pasar modal dalam melakukan investasi saham pada umumnya bertujuan untuk mendapatkan keuntungan berupa capital gain maupun dividen. Capital gain adalah pendapatan yang diperoleh karena harga jual saham lebih 1

2 tinggi daripada harga belinya. Sedangkan dividen adalah pendapatan yang diperoleh setiap periode selama saham masih dimiliki investor. Investor seharusnya melakukan analisis terlebih dahulu dalam membuat keputusan investasi yakni menentukan saham mana yang tepat untuk diinvestasikan. Investor juga dituntut memiliki sifat kritis dalam melihat pergerakan harga saham di pasar. Salah satu teknik analisis yang dapat digunakan investor dalam pengambilan keputusan investasi saham adalah analisis teknikal. Para analis teknikal percaya bahwa pola-pola pergerakan harga saham di masa datang dapat diketahui berdasarkan pada observasi pergerakan harga saham di masa lalu. Disamping itu investor yang menggunakan analisis teknikal ini mendasarkan diri pada data pasar di masa lalu, seperti data harga saham atau volume perdagangan saham sebagai dasar untuk mengestimasi harga saham di masa mendatang. Dengan kata lain informasi harga saham di masa lalu sudah bisa dipakai untuk mengestimasi harga saham di masa datang (Tandelilin,2001). Teknik analisis yang lain yang dapat digunakan investor sebagai dasar untuk menilai saham adalah analisis fundamental atau pendekatan nilai sekarang, yakni teknik menilai saham yang dilakukan dengan menghitung seluruh aliran kas yang akan diterima pemegang saham di masa datang yang didiskon dengan tingkat bunga diskonto (Tandelilin, 2001). Sejalan dengan analisis fundamental ini Harjito dan Martono (2011) menyatakan bahwa nilai saham dapat dilakukan dengan menghitung nilai sekarang dari aliran kas dividen yang diharapkan. Hal ini berarti bahwa dividen saham dapat diharapkan sebagai dasar untuk menentukan nilai saham. Berdasarkan uraian di atas, investor bisa memanfaatkan informasi mengenai besarnya pembayaran dividen untuk memprediksi harga saham dan untuk mengestimasi hasil dividen yang diharapkan dalam berinvestasi atas saham. Kholisoh dan Agung (2007) mengemukakan bahwa ada berbagai informasi yang dapat dijadikan dasar dalam analisis investasi di pasar modal. Salah satu informasi yang direspon pasar adalah pengumuman (informasi) pembayaran dividen. Dalam menerima informasi pembayaran dividen umumnya terjadi perbedaan reaksi investor terhadap informasi tersebut. Hal ini disebabkan oleh pergerakan pasar (kondisi pasar modal) dan volatilitas pasar (kondisi ketidakpastian pasar), serta

3 kondisi pasar yang terjadi pada saat informasi diterima bertentangan dengan isi informasi. Sebenarnya peranan informasi di dalam pemodelan finansial telah lama diapresiasi. Hal ini ditunjukkan dengan adanya banyak penelitian yang membahas pemodelan aset yang mendasarkan pada informasi, diantaranya penelitian oleh Back (1992), Back dan Baruch (2004), Calamia (1999), Cetin et al. (2004), Duffie dan Lando (2001), Giesecke (2001), Giesecke dan Goldberg (2004), Jarrow dan Protter (2004), Brody et al. (2005), Yu dan Rutkowski (2005), Macrina (2006), dan Caliskan (2007). Disertasi ini membahas penelitian dari Brody et al (2005) dan Macrina (2006) yang mengembangkan model harga aset berdasarkan informasi parsial tentang aliran kas dividen mendatang. Selanjutnya model harga aset berdasarkan informasi yang dikembangkan oleh Brody, Hughston, dan Macrina tersebut disebut pendekatan BHM atau model BHM (Yu dan Rutkowski, 2005). Model BHM menekankan pada pemodelan harga aset dan pemodelan arus informasi di dalam pasar finansial. Dalam model BHM, harga sebuah aset didefinisikan sebagai harapan dari aliran kas yang didiskon dalam ukuran resiko netral bersyarat pada informasi yang tersedia oleh filtrasi pasar. Model BHM dalam hal ini didefinisikan sesuai konsep ekonomi tentang konsep penilaian surat berharga yang menyatakan bahwa nilai surat berharga tersebut menunjukkan discounted expected cash flow dari aset yang ada. Nilai aliran kas yang didiskontokan (discounted cash flow) ini merupakan penilaian yang terbaik, sebab discounted cash flow (DCF) tersebut mengukur informasi lengkap mengenai aliran kas yang disyaratkan aset yang ada (Harjito dan Martono, 2011). Pertama kali yang diangkat dalam model BHM adalah kasus dari sebuah distribusi yang terjadi pada waktu mendatang dan mengasumsikan bahwa partisipan pasar hanya memiliki informasi parsial tentang aliran kas dividen mendatang, serta ketersediaan informasi tentang aliran kas dividen mendatang diasumsikan diisi oleh jumlahan dua bagian yakni informasi sebenarnya tentang aliran kas dividen mendatang dan informasi noise. Informasi tentang aliran kas dividen mendatang berkembang seiring dengan berjalannya waktu, sedangkan informasi noise dimodelkan dengan jembatan Brown (Brownian bridge) standar. Informasi noise ini independen

4 dengan informasi sebenarnya tentang aliran kas dividen mendatang. Model BHM mengasumsikan bahwa filtrasi informasi dihasilkan oleh proses informasi pasar. Sedangkan aliran kas dividen mendatang hanya diketahui pada waktu yang ditentukan, tetapi tidak diketahui pada waktu sebelum waktu yang ditentukan tersebut. Sedangkan proses jembatan Brown tidak disesuaikan dengan informasi pasar dan tidak dapat diakses secara langsung pada partisipan pasar. Dalam model BHM pengenalan jembatan Brown memodelkan kenyataan persepsi pasar, dan kemudian proses jembatan Brown adalah Gaussian. Awalnya, semua informasi yang tersedia digunakan untuk menentukan distribusi probabilitas apriori untuk nilai dividen mendatang. Hal ini diasumsikan sebagai sebuah kondisi awal, dan untuk struktur dividen dengan densitas probabilitas apriori tertentu, model BHM menghasilkan sebuah penyajian bentuk tertutup (a closed form expression) untuk harga dari sebuah aset sederhana. Sebuah penyajian bentuk tertutup untuk model BHM adalah merupakan salah satu penyelesaian bentuk tertutup untuk model BHM yang mana merupakan penyajian matematika yang dapat dievaluasi dengan sejumlah berhingga operasi standar. Penyajian bentuk tertutup bisa merupakan konstan, variabel, operasi-operasi yakni penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan fungsi-fungsi, misalnya akar, eksponen, logaritma, fungsi trigonometri, dan fungsi invers hiperbolik tetapi biasanya bukan limit (Weisstein, 2013). Penemuan matematika saat ini semakin lama semakin melibatkan komputasi, penghargaan pada perolehan sebuah penyajian bentuk tertutup menjadi tinggi. Hal ini berarti penemuan sebuah penyajian bentuk tertutup idealnya menjadi di posisi atas dan efisiensi komputasi akan berperan menjadi sebuah kebaikan kedua (Borwein dan Crandall, 2010). Disamping itu penyajian rumus yang merupakan penyajian bentuk tertutup tidak mengandalkan perhitungan komputasi iteratif yang cukup memakan waktu dan memori komputer (Abdurakhman, 2007). Model BHM adalah sebuah model yang secara eksplisit tidak merupakan penyajian bentuk tertutup. Akan tetapi model BHM dengan informasi aliran kas dividen untuk densitas probabilitas apriorinya berdistribusi Eksponensial dan Gamma secara eksplisit merupakan penyajian bentuk tertutup

5 (Macrina, 2006). Brody, Hughston, dan Macrina belum menyajikan semua densitas probabilitas apriori yang merupakan penyajian bentuk tertutup untuk model BHM. Disertasi ini membahas densitas probabilitas apriori lain yang merupakan penyajian bentuk tertutup untuk model BHM. Berdasarkan pada situasi distribusi Gamma yang sama dengan situasi untuk distribusi Weibull (Bain dan Engelhardt, 1992), maka dapat ditemukan densitas probabilitas apriori berdistribusi Rayleigh merupakan penyajian bentuk tertutup untuk model BHM (Mutijah et al, 2012). Distribusi Rayleigh merupakan distribusi khusus dari distribusi Weibull. Pembahasan model BHM kemudian dikembangkan ke dalam penyelidikan untuk menemukan kembali model harga aset gerak Brown (Brownian motion) geometrik Black Scholes standar dengan sebuah pemilihan dari struktur dividen dan faktor pasar. Hal tersebut masuk akal, bahwa beberapa kerangka kerja pemodelan harga aset dengan suatu klaim, secara umum dapat merupakan model harga aset Black Scholes sebagai sebuah kasus khusus. Model BHM selanjutnya dikembangkan ke model harga aset Black Scholes dengan sebuah seting yakni sebuah aset untuk sementara tidak membayar dividen dan pada waktu yang ditentukan dijual dengan nilai tertentu. Model yang dibangun dari seting demikian itu selanjutnya disebut model Black Scholes dari perspektif berdasarkan informasi (Macrina, 2006), dan dalam disertasi ini disebut dengan model BS-BHM. Oleh karena fungsi densitas probabilitas apriorinya merupakan distribusi normal standar, maka untuk kepentingan penurunan model BS-BHM diperlukan penerapan integral Gaussian. Integral Gaussian atau integral probabilitas adalah integral dari fungsi Gaussian atau integral dari distribusi normal (Johnson, 2013) dan (Iwasawa, 2009). Integral Gaussian adalah merupakan integral tak tentu (improper integral) dari fungsi Gaussian, akan tetapi integral Gaussian adalah sangat penting dalam teori dan praktek (Iwasawa, 2009). Penyelidikan terhadap langkah-langkah penerapan integral Gaussian dalam menghasilkan model BS-BHM menemukan kesalahan dalam menerapkannya, sehingga diperoleh model yang berbeda dengan model BS-BHM. Model yang diperoleh tersebut selanjutnya disebut model BS-BHM-Updated (Mutijah et al, 2012).

6 Model BHM dan model BS-BHM-Updated merupakan model harga aset pendekatan berdasarkan informasi dengan dasar aset adalah saham. Salah satu produk turunan dari aset saham adalah opsi. Oleh karena opsi merupakan aset turunan saham, maka opsi memiliki sifat yang berbeda dengan saham. Investor pemegang opsi tidak mendapatkan dividen atau tidak memiliki hak seperti halnya pemegang saham, resiko menginvestasikan modal dalam bentuk saham juga lebih besar dibandingkan menginvestasikan dalam bentuk opsi. Pilihan alternatif investasi pada opsi akan memberikan banyak keuntungan bagi para investor yakni memungkinkan untuk memperoleh laba tanpa batas tetapi kerugian maksimal yang harus ditanggung investor hanya sebesar premi opsi. Agar investor dapat berminat membeli opsi maka harga yang ditawarkan di pasar haruslah masuk akal. Untuk mengurangi resiko dari pembelian opsi hendaknya investor juga memiliki pengetahuan tentang teori penentuan harga opsi yang menawarkan harga yang masuk akal. Salah satu model harga opsi yang dapat dijadikan pegangan investor dalam perdagangan opsi adalah model yang sudah sangat terkenal dan praktis yaitu model Black Scholes (Abdurakhman, 2007). Opsi Eropa adalah opsi yang dapat dilaksanakan hanya pada tanggal jatuh tempo saja. Hal ini membuat peneliti-peneliti mengkonsentrasikan untuk menemukan harga dari sebuah opsi di masa mendatang dan sensitifitasnya melalui simbol-simbol greek (Rajanikanth dan Reddy, 2015). Seiring dengan perkembangannya beberapa penelitian telah mengembangkan model harga opsi Eropa yang formula harganya menghasilkan pendekatan ke model opsi Eropa tipe Black Scholes dan sifat baik yang melekat pada model Black Scholes. Penelitian-penelitian yang telah dilakukan tersebut diantaranya, Sepp (2003), Lioui (2004), Brody et al (2005), Macrina (2006), Magdziarz (2009), Modisett dan Powell (2012), dan Khan et al.(2013). Dalam penelitian Macrina (2006) belum membahas tentang penentuan harga opsi di bawah model BS-BHM. Disertasi ini membahas penelitian yang sejenis yakni menentukan harga opsi Eropa di bawah model BS-BHM-Updated dan beberapa sifatnya, diantaranya persaman put-call, greek, dan harga opsi beli Eropa pada kondisi khusus yaitu kondisi volatilitas ekstrim.

7 Volatilitas dari return aset adalah menjadi kepentingan krusial dalam pembahasan harga aset (Fradkin, 2008). Volatilitas adalah suatu ukuran ketidakpastian pada waktu mendatang (Liu dan Chen, 2008). Volatilitas juga diartikan sebagai suatu ukuran yang secara langsung terkait dengan berapa banyak pasar mengharapkan aset dasar bergerak (Downey, 2011). Pembahasan tentang volatilitas telah menjadi sebuah area yang signifikan dalam matematika finansial dikarenakan volatilitas dapat digunakan untuk mengetahui dinamika harga aset ketika volatilitas adalah merupakan salah satu variabel kunci dalam sebuah persamaan diferensial stokastik yang mengatur harga sebuah aset, hanya variabel volatilitas dalam persamaan harga opsi Black Scholes yang tidak dapat diobservasi sehingga untuk memodelkan volatilitas dalam harga opsi adalah krusial, dan volatilitas merupakan faktor krusial dalam suatu area penelitian yang luas (Mitra, 2009). Volatilitas dapat diukur secara empirik dengan dua metode yakni dengan menggunakan volatilitas historis dan implied volatility. Volatilitas historis dihitung dari data harga saham empirik, sedangkan implied volatility dihitung dari harga opsi empirik (Mitra, 2009) dan (Higham, 2004). Dua ukuran volatilitas tersebut yang secara umum banyak digunakan (Downey, 2011). Akan tetapi di dalam praktek, pedagang-pedagang opsi biasanya bekerja dengan implied volatility. Implied volatility digunakan untuk memonitor opini pasar tentang volatilitas dari sebuah saham tertentu. Pedagang opsi sering mengutip implied volatility opsi daripada dari harga opsinya. Implied volatility dari opsi-opsi yang diperdagangkan secara aktif sering digunakan oleh pedagang opsi untuk mengestimasi implied volatility dari opsi-opsi yang lain (Hull, 2012). Model BS-BHM-Updated merupakan model Black Scholes dari perspektif berdasarkan informasi yang juga memiliki parameter yang tidak dapat diobservasi secara langsung yakni volatilitas dan tingkat kemunculan informasi. Berdasarkan hal tersebut, disertasi ini menyajikan penentuan implied volatility dan perhitungan numerik harga opsi beli Eropa di bawah model BS-BHM-Updated menggunakan implied volatility (Mutijah et al, 2015). Sifat umum yang baik dari model harga opsi Black Scholes adalah jika terjadi parameter volatilitas memiliki nilai-nilai ekstrim yakni volatilitas sangat

8 besar dan volatilitas mendekati nol (Hull, 2012) dan (Higham, 2012). Jika terjadi kejadian yang demikian, maka harga opsi beli Eropa dapat diturunkan dari model harga opsi beli Eropa Black Scholes. Berdasarkan hal tersebut maka disertasi ini juga membahas harga opsi beli Eropa di bawah model BS-BHM-Updated pada kejadian volatilitas ekstrim (Mutijah et al, 2015). 2. Perumusan Masalah Latar belakang masalah di atas mengantarkan beberapa permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini yang dapat dinyatakan dengan pertanyaan terbuka, yakni : 1. Bagaimana penyajian bentuk tertutup untuk model BHM dengan densitas probabilitas apriori berdistribusi Rayleigh? 2. Bagaimana menentukan model BS-BHM-Updated dengan menerapkan integral Gaussian? 3. Bagaimana menentukan model harga opsi Eropa di bawah model BS-BHM- Updated dan beberapa sifat baiknya? 4. Bagaimana menentukan harga opsi beli Eropa menggunakan implied volatility dan harga opsi beli Eropa di bawah model BS-BHM-Updated pada kejadian volatilitas ekstrim? 3. Batasan Masalah Ruang lingkup pembahasan penelitian ini dibatasi sebagai berikut : 1. Model harga aset bisa merupakan model harga aset waktu diskrit dan waktu kontinu. Penelitian ini hanya membahas model harga aset waktu kontinu yaitu model yang pada intinya memandang perubahan pergerakan harga saham dari waktu ke waktu mengikuti distribusi kontinu. 2. Jenis opsi dalam bidang keuangan terdiri dari opsi Eropa, opsi Amerika, dan opsi Asia yang memiliki karakter masing-masing. Dalam penelitian ini hanya membahas opsi Eropa.

9 3. Perhitungan numerik harga opsi menggunakan implied volatility pada studi kasus dikerjakan hanya untuk opsi beli saja. Pembatasan masalah ini atas dasar untuk harga opsi jual dapat ditentukan melalui persamaan put-call. 4. Sifat greek dan harga opsi pada kejadian volatilitas ekstrim juga hanya dikerjakan untuk opsi beli saja. Pembatasan masalah ini atas dasar bahwa cara menentukan sifat tersebut untuk opsi jual sama dengan opsi beli, hanya berbeda pada fungsinya. 4. Maksud dan Tujuan Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dirumuskan dalam pertanyaan terbuka pada sub bagian perumusan masalah, maka secara khusus penelitian ini bertujuan untuk : 1. Menentukan penyajian bentuk tertutup untuk model BHM dengan densitas probabilitas apriori berdistribusi Rayleigh. 2. Menentukan model BS-BHM-Updated dengan menerapkan integral Gaussian. 3. Menentukan model harga opsi Eropa dan beberapa sifatnya di bawah model BS-BHM-Updated. 4. Menentukan harga opsi beli Eropa menggunakan implied volatility dan harga opsi beli Eropa di bawah model BS-BHM-Updated pada kejadian volatilitas ekstrim. 5. Tinjauan Pustaka Informasi parsial tentang suatu aset kadang-kadang dijumpai oleh investor dalam sebuah pasar finansial. Informasi parsial suatu aset yang beredar di dalam pasar finansial umumnya terdiri dari informasi sebenarnya tentang aset dan informasi noise. Selanjutnya informasi parsial ini telah banyak digunakan sebagai dasar untuk mengembangkan pemodelan harga aset dalam dunia matematika finansial. Beberapa penelitian tentang pemodelan harga aset yang mendasarkan pada informasi parsial telah dilakukan sebelumnya, diantaranya penelitian oleh Calamia (1999) mengembangkan pemodelan mikro struktur pasar. Dalam model ini beberapa komponen random walk sering diasumsikan untuk merefleksikan

10 struktur informasi pasar, sementara harga yang diobservasi berbeda dari nilai intrinsiknya karena ada suatu noise yang masuk dalam proses pengaturan harga dalam pasar. Duffie dan Lando (2001) membangun model term structure dari penyebaran kredit pada obligasi pemerintah yang mana investor sulit untuk mengobservasi aset perusahaan secara langsung karena adanya informasi noise dari laporan keuangan. Cetin et al (2004) memodelkan resiko kredit berdasarkan informasi parsial. Penelitian ini mengembangkan model reduced form oleh konstruksi pasar yang mana pasar melihat himpunan informasi manajer ditambah informasi noise, dengan informasi manajernya direduksi. Brody et al (2005) memodelkan harga aset untuk aset tunggal yakni aset didefinikan sebagai harapan aliran kas mendatang yang didiskon dari aset dasar obligasi dengan syarat filtrasi informasi pasar. Filtrasi informasi pasar diisi oleh informasi parsial yang merupakan jumlahan dari informasi sebenarnya tentang pembayaran awal (principal payment) dari obligasi ditambah noise yang merupakan proses jembatan Brown. Dalam penelitian ini suku bunganya diasumsikan deterministik. Masih dalam tahun yang sama Yu dan Rutkowski (2005) mengembangkan penelitian dari Brody et al (2005) yakni dengan mengasumsikan suku bunga adalah stokastik. Brody et al (2005) dan Macrina (2006) memodelkan harga aset untuk aset tunggal yakni aset didefinisikan sebagai harapan aliran kas mendatang yang didiskon dari aset dasar saham dengan syarat filtrasi informasi pasar. Filtrasi informasi pasar diisi oleh jumlahan informasi sebenarnya tentang pembayaran dividen mendatang ditambah informasi noise yang merupakan proses jembatan Brown. Model selanjutnya disebut model BHM. Penelitian dilanjutkan oleh Macrina (2006) yang mengembangkan model harga aset untuk beberapa aset dasar saham dan beberapa faktor pasar yang dapat mempengaruhi harga aset dasar. Macrina (2006) juga mengusahakan untuk menemukan kembali model harga asetnya ke dalam tipe model Black Scholes (1973) dengan suatu kondisi khusus. Caliskan (2007) dalam penelitiannya mengusahakan membuktikan yang belum ada dalam Brody et al (2005) dan Yu dan Rutkowski (2005). Model BHM yang dikembangkan oleh Brody, Hughston, dan Macrina pada tahun 2005-2006 adalah sebuah model pendekatan berdasarkan informasi

11 dari sebuah aset yang membayar dividen tunggal pada waktu jatuh tempo dengan distribusi umum untuk pembayaran dividen. Penyajian model BHM tersebut adalah tidak merupakan bentuk tertutup, akan tetapi dengan struktur pembayaran dividen berdistribusi Eksponensial dan Gamma (distribusi apriori) menghasilkan penyajian yang merupakan bentuk tertutup. Peneliti melihat ada kemungkinan distribusi apriori yang lain bisa menghasilkan penyajian bentuk tertutup untuk model BHM. Masih dalam periode yang sama tahun 2005-2006 Brody, Hughston, dan Macrina mengembangkan penelitiannya untuk menemukan kembali model aset Black Scholes dari model BHM dengan sebuah kondisi khusus. Model selanjutnya disebut model Black Scholes dari perspektif berdasarkan informasi atau disebut model BS-BHM. Untuk menemukan hasil akhir model BS-BHM diperlukan penerapan integral Gaussian. Peneliti mengusahakan menyelidiki kembali penerapan integral Gaussian untuk menemukan model BS-BHM. Penyelidikan kembali terhadap penerapan integral Gaussian ditemukan terdapat kesalahan dalam menerapkan integral Gaussian yakni pada langkah menguraikan bentuk kuadrat sempurna. Model yang dihasilkan kemudian disebut model BS-BHM-Updated. Penelitian yang membahas tentang penentuan harga opsi mulai mendapat banyak perhatian di kalangan para peneliti sejak ditemukan model harga opsi Black Scholes (1973), yang mana kepada kedua penemunya tersebut kemudian diberi hadiah Nobel pada tahun 1979. Model opsi Black Scholes diturunkan di bawah model aset lognormal, selanjutnya dengan menggunakan persamaan diferensial parsial Black Scholes diperoleh model opsi beli (call option) Eropa Black Scholes. Model opsi Black Scholes ini sangat praktis karena parameterparameter yang digunakan mudah dicari dari data harga saham. Oleh karena kepraktisannya maka beberapa penelitian telah berusaha mengembangkan suatu model untuk menghasilkan pendekatan ke rumus opsi Black Scholes. Sepp (2003) mengaplikasikan transformasi Fourier untuk pemecahan masalah harga opsi Eropa di bawah dinamika harga aset jump difusi Affine menggunakan dua metode penyelesaian. Pertama, menggunakan formula karakteristik, dan kedua

12 menggunakan formula Black Scholes. Hasil penelitiannya menunjukkan bahwa metode formula Black Scholes menghasilkan nilai opsi yang sangat lebih cepat daripada metode karakteristik. Lioui (2004) berusaha menghargai opsi Eropa dengan kerangka kerja adalah model Black Scholes yang diperluas (Black Scholes extended). Penelitiannya menghasilkan formula eksplisit harga beli dan jual serta parameter greek. Akan tetapi beberapa sifat yang baik dalam model Black Scholes tidak dipenuhi dalam model ini. Brody et al. (2005) membangun model opsi Eropa di bawah model BHM dengan dasar aset obligasi. Penelitiannya menghasilkan pendekatan formula opsi ke tipe Black Scholes. Macrina (2006) juga mengembangkan model opsi Eropa di bawah model BHM dengan dasar aset adalah saham. Penelitiannya juga menghasilkan pendekatan opsi ke tipe opsi Black Scholes. Magdziarz (2009) mengembangkan model generalisasi dari model Black Scholes yang menangkap karakteristik subdiffusive dari pasar finansial. Model selanjutnya disebut model Black Scholes yang terkait dengan subdiffusive (the corresponding subdiffusive Black Scholes formula). Model tersebut untuk harga opsi Eropa fair dan menunjukkan bagaimana harga tersebut dapat dievaluasi dengan metode Monte Carlo. Modisett dan Powell (2012) mengembangkan model harga opsi Black Scholes dimodifikasi untuk memiliki sebuah parameter drift baru disamping parameter volatilitas. Parameter drift baru tersebut diperlakukan sebagai parameter tidak langsung (the implied drift parameter) sebagaimana parameter volatilitas. Model selanjutnya disebut the extended Black Scholes (EBS). Penggunaan data historis, the implied drift parameter cocok untuk model EBS daripada model BS. Khan et al (2013) berusaha memodifikasi formula harga opsi Black Scholes dengan menambahkan variabel baru pada asumsi dasar yang diberikan yang berhubungan dengan suku bunga bebas resiko dan juga menunjukkan proses perhitungan dari suku bunga bebas resiko baru pada basis dari variabel yang dimodifikasi. Penelitiannya juga mengidentifikasi berbagai situasi dalam tes empirik dari formula Black Scholes yang dimodifikasi dan formula Black Scholes original. Model BS-BHM-Updated adalah model harga aset lognormal yang diturunkan dari model BHM dengan suatu kondisi khusus. Penelitian untuk

13 penentuan harga opsi di bawah model ini sangat memungkinkan untuk menghasilkan pendekatan ke rumus opsi tipe Black Scholes. Disamping itu juga sifat baik yang dimiliki model opsi Black Scholes sangat memungkinkan dipenuhi juga di bawah model opsi BS-BHM-Updated. 6. Metodologi Penelitian Penelitian tentang model harga aset berdasarkan informasi ini dilakukan dengan mengkaji pustaka yang membahas permasalahan terkait. Kemudian dilakukan penelitian lebih lanjut dan fokus pada penyelidikan untuk memperoleh permasalahan terbuka yang dapat dikerjakan pada model harga aset pendekatan berdasarkan informasi oleh Brody, Hughston, dan Macrina (model BHM). Penelitian dilanjutkan pada penyelidikan penerapan integral Gaussian pada model Black Scholes dari perspektif berdasarkan informasi oleh Brody, Hughston, dan Macrina (pendekatan BHM atau model BS-BHM) yang kemudian menghasilkan model BS-BHM-Updated. Selanjutnya penelitian difokuskan pada beberapa hal yang terkait dengan model BS-BHM-Updated. Akhir penelitian dilakukan untuk mengerjakan penentuan formula harga opsi Eropa di bawah model BS-BHM-Updated dan beberapa sifat baik dari formula harga opsi Eropa di bawah model BS-BHM-Updated. 7. Sistematika Penulisan Sistematika dalam penulisan penelitian ini terorganisasi dalam 6 (enam) bab sebagai berikut : BAB I. PENDAHULUAN, memuat sub bab latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II. LANDASAN TEORI, pada bab ini disajikan teori-teori yang mendasari penelitian, meliputi teori dalam bidang finansial, matematika, dan statistika. Beberapa teori yang disajikan tersebut terorganisasi dalam subbab investasi dan penilaian saham, dividen, opsi, penyajian bentuk tertutup dan integral Gaussian, aljabar-σ, filtrasi, variabel random, dan proses stokastik, distribusi normal,

14 lognormal, dan Weibull, metode estimasi momen, distribusi prior dan posterior pada formula Bayes, gerak Brown, filtrasi dalam gerak Brown, dan jembatan Brown sebagai proses Gaussian, ukuran probabilitas resiko netral dan martingale, model harga aset, persamaan put-call, dan metode Newton Raphson. BAB III. DISTRIBUSI PRIOR RAYLEIGH DAN MODEL BS-BHM- UPDATED, bagian ini disusun dalam dua subbab. Subbab pertama membahas penentuan bentuk tertutup dengan distribusi prior Rayleigh untuk model BHM. Subbab kedua membahas beberapa topik yakni menentukan mean dan variansi dari model BS-BHM-Updated, estimasi parameter volatilitas historis di bawah model BS-BHM-Updated dan di bawah model BS-BHM menggunakan metode momen. BAB IV. PENENTUAN HARGA OPSI EROPA DI BAWAH MODEL BS-BHM-UPDATED. Dalam bagian ini membahas penentuan rumus harga opsi beli dan opsi jual Eropa, menunjukkan relasi persamaan put-call, menentukan greek dari harga opsi beli Eropa di bawah model BS-BHM-Updated yang meliputi Delta, Gamma, Rho, Theta, Vega, dan Alpha, estimasi parameter implied volatility pada harga opsi beli Eropa di bawah model BS-BHM-Updated menggunakan metode Newton Raphson, dan menentukan harga opsi beli Eropa pada kejadian volatilitas ekstrim. BAB V. STUDI KASUS. Dalam bagian ini membahas penentuan hasil estimasi parameter pada model BS-BHM-Updated dan model BS-BHM, perhitungan harga opsi beli Eropa di bawah model Black Scholes, BS-BHM, dan BS-BHM-Updated menggunakan volatilitas historis, perhitungan harga opsi beli Eropa di bawah model BS-BHM-Updated menggunakan implied volatility, dan membandingkan kinerja volatilitas historis dengan implied volatility secara numerik. Data menggunakan data harga saham Microsoft (MSFT). BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN. Memaparkan simpulan hasil penelitian dan saran serta masukan yang memperbaiki penelitian ini.