Bab 7. Minggu Formula Black Scholes untuk Opsi Call
ujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Menjelaskan valuasi opsi call tipe Eropa model Black Scholes Menurunkan formula harga opsi call BS dengan pendekatan distribusi Melakukan perhitungan harga opsi call tipe Eropa
Model Black-Scholes Model penentuan harga opsi yang populer dan banyak digunakan adalah model Black-Scholes Perhitungan harga opsi call (beli) model Black-Scholes untuk tipe Eropa dan Amerika sama Fungsi keuntungan opsi call adalah f maks( S,) Fungsi densitas dari S berdistribusi lognormal, yaitu ln S e gs ( ) S, S, S
Harga opsi merupakan harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo yang terdiskon oleh suku bunga bebas resiko r r C e E[ maks( S,)] BS Dimana S adalah harga saham pada waktu dan E menunjukkan nilai harapan Diasumsikan harga saham mengikuti proses random gerak brownian geometrik S S r W exp[(.5 ) ] Di mana W adalah proses brownian berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi erlihat bahwa S merupakan fungsi eksponen dari W, sehingga S berdistribusi lognormal
Diperoleh ln ln (.5 ) S S r W Merupakan fungsi linier W sehingga ln S berdistribusi normal. Rata-rata dan variansi ln S, yaitu: E S m S r (ln ) ln (.5 ) Var S (ln ) Deviasi standar S adalah σ. Dengan transformasi diperoleh ln S m Z N (;) Diperoleh hubungan ln S Z m atau S e Z m
Ekspektasi euntungan Opsi Ekspektasi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk integral E[max( S,)] ( S ) g( S ) ds S g( S ) ds g( S ) ds Dari nilai maks(s -,), yang dihitung integralnya adalah nilai S yang lebih besar dari. Sedangkan untuk nilai S yang lebih kecil dari, keuntungan opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol. Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II
Integral I Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard. Batas bawah S = menjadi ln m Dan dari hubungan ln S m Z ln S Z m S e S d( S ) dz Z m
Integralnya menjadi: ln S m S g S d S S e d S S ( ) ( ) ( ) = S ln m S ln m z m = e f ( z) dz z e S dz
Perhatikan e f ( z) e e = e = e ln S r = e e z m z m.5z.5 z z m.5 ( z ) m r = S e f ( z ).5 ( z )
Sehingga diperoleh z m S g( S ) d( S ) = e f ( z) dz ln m r = S e f ( z ) dz ln m
Misalkan z-σ = y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ Dengan menggunakan sifat sifat distribusi normal - N(-a) = N(a), integral sebelumnya menjadi S g( S ) d( S ) S e r f ( y) dy Integral di atas merupakan CDF normal standar, sehingga berlaku ln m ln m r S g( S ) d( S ) Se f ( y) dy
Sehingga diperoleh: ln ( ) ( )= Pr ln ln Pr r r m S g S d S S e y S r S e y
Selanjutnya: ln ln ( ) ( ) ln = ln = r r r S r S g S d S S e N S r S e N S r S e N = ( ) r S e N d
Ingat kembali ln S m Z ln S Z m S e S Untuk integral yang ke II Integral II d( S ) dz ln S m g S d S e d S S ( ) ( ) ( ) = ln m S = f ( z) dz ln m e z S Z m dz
Selanjutnya g( S ) ds f ( z) dz ln m ln m = f ( z) dz ln m = N S ln = N = N( d ) r
Formula Black-Scholes untuk Opsi Call Selanjutnya dengan memasukkan faktor diskonto selama waktu jatuh tempo tahun ke dalam formula harga opsi, diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai present value dari harapan keuntungan opsi call r C e E[ maks( S,)] BS r r = e Se N( d) N( d) = S N( d ) e N( d ) r d dengan S ln r d S ln r d
Contoh : Diketahui: Suatu opsi call Eropa dengan informasi di bawah ini S $.4; $8;.95.7; r.5 entukan harga opsi tersebut dengan formula Black-Scholes. Jawab: BS d d.4 8.7.95.734 ln.5 (.7).95.734.7.95.65 C N e N.5.95.4 (.734) 8 (.65) $.67
Contoh : Cevron Corporate (CVX, NYSE) Misalkan kita melakukan pembelian opsi CVX pada tangga 5 Desember dengan jatuh tempo 5 Maret 3, =,8556. Menggunakan suku bunga yang berlaku di US yaitu.5%, maka perhitungan harga opsi menggunakan formula Black-Scholes adalah: sigma d d N(d) N(d) C -BS C -Market 8,8538 3,835 3,75648,999937,99994 7,8563,4 85 3,6594,986553,99893,998589,8698 7, 9,339387,6646,9934,9889 7,88899 9,4 95,65738,573997,9588,9456 3,49 3,35 97,5,385,44,9758,8937,74437,5
emuan Empiris Harga opsi di pasar tidak berbeda jauh dibandingkan dengan Opsi BS (berlaku untuk opsi dengan harga kontrak yang dekat dengan S ) Untuk opsi dengan harga kontrak << S, harga opsi besar tapi cenderung lebih murah dibandingkan dengan perhitungan BS (untuk menarik minat pembeli)
erima asih hank You