KULIH PERTEMUN 1 Teori dasar dalam analisa struktur mengenai hukum Hooke, teorema etti, dan hukum timbal balik Maxwel. Lembar Informasi 1. Kompetensi : Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-1 ini diharapkan mahasiswa Memahami teori dasar dalam analisa struktur mengenai hukum Hooke, teorema etti, dan hukum timbal balik Maxwel. Materi elajar Hukum Hooke. Salah satu prinsip dasar dari analisa struktur adalah hukum Hooke yang menyatakan bahwa pada suatu struktur : hubungan tegangan (stress) dan regangan (strain) adalah proporsional atau hubungan beban (load) dan deformasi (deformations) adalah proporsional. Struktur yang mengikuti hukum Hooke dikatakan elastis linier dimana hubungan F dan y berupa garis lurus. Lihat Gambar 1.1-a., sedangkan struktur yang tidak mengikuti hukum Hooke dikatakan Elastis non linier, lihat Gambar 1.1-b. F F F F F F F1 F1 y1 y y y1 y y (a) Gambar 1.1 (b) dari gambar 1.1-a, F = K y, dimana F= beban, K = konstanta proporsional dan y = defleksi. untuk F = (F 1 +F ) y = y 1 + y dari gambar 1.1-b, F = K y n n Dimana : F 1 = K y 1 n F = K y n F = K y Dalam hal ini, y n (y n 1 + y n ) 1
Hukum etti. Jika suatu struktur elastis linier diberikan dua sistim beban terpisah P 1, P, P, P n, (gambar 1.-a) dan F 1, F, F,. F n, (gambar 1.-b) dimana gaya-gaya P menghasilkan deformasi y 1, y, y y n dibawah kedudukan gaya-gaya F dan gayagaya F menghasilkan deformasi x 1, x, x,. x n, dibawah kedudukan gaya-gaya dari P, P1 P P Pn y1 y y yn Gambar 1.-a F1 F F Fn x1 x x xn Gambar 1.-b Maka : P 1 x 1 + P x +. P n x n = F 1 y 1 + F y +.. F n y n tau : jika pada struktur elastis linier bekerja sistem gaya, maka usaha yang dilakukan oleh sistem gaya 1 terhadap lendutan yang diakibatkan oleh sistem gaya pada titik titik kerja gaya sistem 1 sama dengan usaha yang dilakukan oleh sistem gaya terhadap lendutan yang disebabkan oleh sistem gaya 1 pada titik-titik kerja gaya sistem Hukum Timbal alik Maxwel (Reciprocal theorem) Jika pada struktur linier elastis bekerja gaya F1, F pada titik 1 dan, maka usaha yang dilakukan oleh gaya F1 terhadap lendutan pada titik 1 yang diakibatkan oleh F sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya F terhadap lendutan pada titik yang diakibatkan oleh F1. F1 d 1 1 d 1 1 F d 1 d F1. d 1 = F. d 1 Jika F1 = F = 1, maka d 1 = d 1
( hukum timbal balik Maxwell : menyatakan, pada struktur elastis linier maka deformasi pada titik 1 akibat gaya 1 unit pada titik sama dengan deformasi pada titik akibat gaya 1 unit pada titik 1. ) Demikian juga bila gaya satu unit tersebut dalam bentuk momen satu satuan.
KULIH PERTEMUN Teori dasar dalam analisa struktur mengenai enersi regangan, prinsip virtual work, teori momen area dan prinsip Conjugate beam. Lembar Informasi 1. Kompetensi Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke- ini diharapkan mahasiswa memahami teori dasar dalam analisa struktur mengenai enersi regangan, prinsip virtual work, teori Castigliano, teori momen area dan prinsip Conjugate beam. Materi elajar ENERSI REGNGN Suatu struktur akan berdeformasi akibat pengaruh beban luarnya sehingga menghasilkan tegangan dan regangan (internal). Usaha akibat beban yang bekerja tersebut pada struktur akan tersimpan didalam struktur sebagai suatu enersi yang disebut enersi regangan. 1. Enersi regangan akibat gaya aksial (Normal Force) P L dl linier P O Δ Enersi regangan sepanjang dl yang menghasilkan perubahan dδ : du 1 1 Pdl Pd P n, E dimana = luas penampang batang, E = modulus elastis maka total sepanjang L, enersi regangan : L P dl U n, dimana P,, dan E. adalah konstan maka : E 0 P L U n E 4
. Enersi regangan akibat gaya Lentur dθ M M Rotasi relatif dθ dari kedua ujung elemen yang berhubungan dengan M : Mdl d, I = momen inertia M dl dum 1 M d M dl M L sepanjang L : Um L 0 dl, I. Enersi regangan akibat gaya Geser d dy dl V dy dy f V Regangan geser d s, dimana : G = modulus rigidity dl G G Sepanjang kedalaman maka enersi regangan : V dl dus 1 V dy G L V dl V L sepanjang L, maka : Us G G 0 4. Enersi regangan akibat gaya Torsi Dengan cara yang sama untuk batang yang bulat akibat beban torsi, maka enersi L T dl T L regangan : U t, 0 GJ GJ dimana : T = gaya torsi dan J = momen inersia polar penampang 5
PRINSIP VIRTUL WORK Prinsip virtual work atau kerja virtuil pada dasarnya menerapkan beban satu satuan pada titik yang ditinjau untuk melihat pengaruh lendutan pada titik tersebut. S s C 1 sat S dl s dl Suatu benda elastis dibebani P1, P, M1 akan dicari peralihan horizontal di titik C (misalkan arah ke kanan). Tinjau suatu elemen panjang dl, dimana luas penampang, S = gaya yang bekerja pada elemen tersebut, maka perpanjangan pada elemen, Di titik C diberi beban virtuil 1 satuan beban horizontal arahnya sama dengan arah peralihan yang dimisalkan. Pada elemen tesebut bekerja gaya sebesar s. Jika beban aktual P1, P, M1 disuperposisikan dengan beban virtual 1 satuan di titik h S dl C maka berlaku : 1. d c { s.( )}, dimana = jumlah total dari seluruh n E n elemen. Untuk mengetahui besaran putaran sudut pada suatu titik maka pada titik tersebut diberi momen virtuil 1 satuan beban searah putaran sudutnya, pada elemen tersebut S dl akan bekerja jaya sebesar s, maka berlaku : 1. { s.( )} n E plikasi prinsip virtual work pada balok. l S dl E Load x Mx C x V=1 m x E, I, L a) E, I, L b) Pada gambar a) balok diberi sistim beban terpusat dan merata, untuk menghitung defleksi vertical di titik C maka diperlukan balok yang sama dengan beban luar yang dihilangkan dan diberi beban 1 satuan arah vertical pada titik C, sedangkan untuk menghitung rotasi / putaran sudut di titik C maka beban virtual yang dipasang di titik C adalah beban momen 1 satuan. dapun keterangan rumus yang dipakai : 6
M x = momen lentur pada setiap titik x akibat beban actual M x = momen lentur pada titik x akibat beban virtual yang dipasang. I x = momen inertia penampang dari balok di x d x = panjang elemen kecil dari balok di x E = modulus elastis Rotasi dθ, sepanjang dx, akibat momen actual M x : M xdx d x Persamaan usaha internal dan eksternal dari sistim virtual, dapat ditetapkan : v c L 1. d m ( d ) 1. L v x d c mx ( ) x x M dx TEORI MOMEN RE Teori momen area pertama : Perubahan sudut antara titik dan pada struktur melendut, atau kemiringan sudut pada titik terhadap kemiringan sudut pada titik. Didapat dengan menjumlahkan luas diagram M/ dibawah kedua titik tersebut. 7
Persamaan dasar : d M dx Putaran sudut pada balok yang melentur : Teori momen area kedua : Lendutan pada titik dari Struktur yang melendut dengan berpatokan pada garis tangent terhadap titik dari struktur didapat dengan menjumlahkan statis momen dari luas diagram M/ di bawah kedua titik tersebut. M dx M Persamaan dasar x dx Lendutan pada balok yang melentur M Xdx 8
KULIH PERTEMUN Defleksi elastis rangka batang dengan metode unit load. Lembar Informasi 1. Kompetensi Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke- ini diharapkan mahasiswa dapat menghitung defleksi pada rangka batang dengan metode unit load. Materi elajar DEFLEKSI ELSTIS PD RNGK TNG (STTIS TERTENTU) Defleksi pada rangka batang atau peralihan titik kumpul pada rangka batang dapat vertical dan horizontal, (pada vertikal biasanya disebut lendutan/penurunan). Untuk menghitung lendutan pada rangka batang dapat digunakan metoda : Unit Load Method, ngle Weights, Joint-displacment, Williot-Mohr (Graphical). dapun perbedaan fungsi pemakaian metode tersebut : 1. Unit Load Method Metode ini menggunakan beban 1 satuan yang akan menghasilkan satu komponen lendutan/ peralihan titik kumpul baik pada arah vertikal atau arah horizontal saja.. ngle Weights Metode yang memanfaatkan perubahan sudut yang dijadikan sebagai beban berdasarkan Conjugate beam, sehingga di dapat lendutan vertikal pada seluruh titik kumpul pada batang atas (upper chord) atau batang bawah (lower chord) dalam satu operasi perhitungan.. Joint-Displacement Peralihan titik kumpul arah Horizontal maupun Vertikal pada seluruh titik kumpul dapat dihasilkan dalam waktu yang sama (bersamaan). 4. Williot-Mohr (Graphical) Perhitungan secara grafis untuk peralihan titik kumpul baik arah Horizontal maupun Vertikal pada waktu yang sama (bersamaan). Dalam modul ini hanya dibahas dua metode yaitu Unit Load dan ngle Weights 1. UNIT LOD MENTHOD Metode ini hanya dapat menghitung satu komponen peralihan titik kumpul saja untuk satu kali perhitungan. (misal: vertikal atau horizontal) u ( l) i i 9
Dimana: δ = Peralihan vertikal atau horizontal titik kumpul. u i = Gaya batang akibat beban 1 satuan yang dipasang pada titik kumpul yang akan dicari peralihannya (arah beban sama dengan arah peralihan yang diminta) Δl = Perpanjangan atau perpendekan batang akibat beban yang diketahui. S. L l,. E Dimana: S = Gaya batang akibat beban yang bekerja. L = Panjang atang = Luas Penampang atang E = Modulus Elastisitas atang Tahapan: 1. Menghitung gaya batang (S) akibat beban luar. Menghitung Δl tiap batang. Letakan P = 1 sat dititik kumpul yang akan dicari peralihannya dengan arah gaya yang sesuai dengan harapan atau peralihan yang dicari (vertikal/horizontal). 4. Menghitung gaya batang U akibat beban 1 satuan tersebut. 5. Hitung δ berdasarkan rumus ui ( l) i 110 6. Contoh: Perhitungan defleksi pada titik kumpul 1 t t t t 1 t C D E F G 4 5 1 11 1 1 14 15 16 17 6 m 10 K 9 J 8 H 7 m m m m Diketahui semua batang : = 6,16 cm, E =,1.10 6 Kg/cm Hitung peralihan titik kumpul a) K V (arah vertikal) 10
b) D H (arah horizontal) Solusi: 1. Hitung gaya-gaya batang akibat beban luar (lihat tabel), misal: S 1 = - 4,5 ton S s/d S 7 ditabel. 4,5ton m. Δl pada batang 1 Δl 1 = = 6 6,16cm,1.10 kg/ cm 4500kg 00cm 0,0696cm (perpendekan) 6 6,16cm,1.10 kg/ cm. Pasang beban 1 satuan di titik K arah vertikal (bawah) dan di D arah horizontal (kiri) 4. Hitung gaya batang akibat 1 satuan di titik sehingga didapat Ui untuk δ di Kv, juga untuk di titik D hingga didapat Ui Untuk δ di D H. 5. Menghitung δ (lihat tabel). 6. Hasil dari Tabel, di dapat: δ di Kv = 0,4040 cm (arah ke bawah, sesuai pemisalan), δ di D H = 0,19 cm (arah kanan, kebalikan dari pemisalan). TEL PERLIHN TITIK KUMPUL No atang Panjang L (cm) Gaya btg S (ton) Δl (cm) () U untuk Kv (4) U untuk Dh (5) Kv (cm) ()*(4) Dh ()*(5) 1 00-4,5-0,0696-0,75-0,5 0,05 0,0174 00 -,5-0,0541-0,75-0,5 0,0406 0,015 00 -,5-0,0541-0,75 0,75 0,0406-0,0406 4 00 -,5-0,0541-0,5 0,5 0,015-0,015 5 00 -,5-0,0541-0,5 0,5 0,015-0,015 6 00-4,5-0,0696-0,5 0,5 0,0174-0,0174 7 00 0 0,0000 0 0 0,0000 0,0000 8 00 5,1 0,0788 0,5-0,5 0,094-0,094 9 00 5,1 0,0788 0,5-0,5 0,094-0,094 10 00 0 0,0000 0-1 0,0000 0,0000 11 8 4,95 0,108 1,06 0,5 0,1148 0,079 1 00 - -0,009 0 0 0,0000 0,0000 1 8 -, -0,0481 0,5-0.5-0,0168 0,0168 14 00 0 0,0000 0 0 0,0000 0,0000 15 8 -, -0,0481-0,5 0,5 0,0168-0,0168 16 00 - -0,009 0 0 0,0000 0,0000 17 8 4.95 0,108 0,5-0,5 0,079-0,079 TOTL 0,409 cm -0,10 cm Nilainya RH 0,409 cm Kebawah 0,10 cm Kekanan 11
. Lembar Latihan LENDUTN (UNIT LOD METHOD) Hitung Lendutan di arah Vertikal dan Horizontal pada titik C dari struktur berikut : Dimana : semua batang dengan = 5 cm dan E =.10 6 kg/cm = 00.10 9 Pa N/m b 5 kn m 1 c m 5 a 4m 4 150 KN 4m d Yang harus di hitung : - Gaya batang akibat beban luar - Gaya batang akibat beban 1 satuan di titik C dengan arah horizontal untuk lendutan ke arah horizontal dan 1 satuan beban di titik C arah vertikal untuk lendutan arah vertikal. 1
m m Solusi : Hitung Gaya batang akibat beban luar (hasil lihat tabel) S. L Hitung Δ l tiap batang, Δ l = (hasil lihat tabel) E. Gaya batang akibat beban 1 satuan di C arah vertikal (hasil lihat tabel) Hb b 5 kn 1 c 1 Satuan 5 1 Satuan Ha a 4 d 4m 4m 150 KN Tabel Gaya batang akibat beban luar dan akibat beban 1 satuan di C arah Y atang 1 4 5 S (KN) Gaya atang ktual 7.50-6.50-50 00-187.5 Δl (mm) 0.45-0.65 -.5. - 1.875 U Gaya atang Virtual 0.5-0.8 0 0 0.8 Σ nilai Ui Δl 0.50 0.508 0 0-1.565-0.8167 0.8167 mm (arah ke atas) Dengan cara sama untuk lendutan pada titik C arah Horizontal, maka : Tabel gaya batang akibat beban luar dan akibat beban 1 satuan di C arah horizontal. atang S Δl U Ui Δl 1 4 5 7.50-6.50-50 00-187.5 0.45-0.65 -.5. - 1.875-0.8 0.6 0 0 0.6 Σ nilai - 0.1688-0.906 0 0-1.1719-1.71 mm 1.71 mm (arah ke kiri) 1
14
KULIH PERTEMUN 4 Defleksi elastis rangka batang dengan metode angle weights. Lembar Informasi 1. Kompetensi Mahasiswa dapat menghitung defleksi pada rangka batang dengan metode angle weights. Materi elajar NGLE WGHTS ( Untuk Penurunan Rangka atang, Statis Tertentu) Rumus yang dipakai (sebagai patokan pada Δ C) catatan: penurunan rumus lihat hal 55-57 Chu Kia Wang Perubahan sudut : C b a c Δ = (ε ε ) Cotg C + (ε ε C ) Cotg Δ = (ε ε C ) Cotg + (ε ε ) Cotg C Δ C = (ε C ε ) Cotg + (ε C ε ) Cotg Dimana, ε = regangan panjang batang a = Tahapan perhitungan dalam menghitung lendutan rangka batang sebagai berikut : 1. Menghitung gaya-gaya batang S, akibat beban luar (ton) S. L. Menghitung perpanjangan batang Δ l = (cm), akibat beban luar E.. Menghitung regangan l l a a l (dibuat dalam satuan 10-4 ) l 4. Menghitung perubahan sudut pada titik kumpul yang akan dicari lendutannya (vertikal) 5. Menghitung lendutan pada titik kumpul berdasarkan conjugate beam method (harga perubahan sudut dijadikan beban luarnya). 15
m Contoh: 1 t t t t 1 t C D E F G 4 5 1 11 1 1 14 15 16 17 6 10 K 9 J 8 H 7 m m m m Diketahui : seluruh batang luas penampang = = 6,16 cm, E =,1.10 6 kg/cm Hitung peralihan vertikal di titik J, K, H. Solusi: 1). Gaya batang S akibat beban luar. No S (ton) No S (ton) No S (ton) 1 4.5 6-4.5 1 -.5 7 0 1 -.1 -.5 8 5 14 0 4 -.5 9 5 15 -.1 5 -.5 10 0 16-11 4.95 17 4.95 ). Pertambahan panjang batang Δ l = S. L E. No L (cm) Δl (cm) No L (cm) Δl (cm) 1 00-0.0696 11 8 0.108 00-0.0541 1 00-0.009 00-0.0541 1 8-0.0481 4 00-0.0541 14 00 0 5 00-0.0541 15 8-0.0481 6 00-0.0696 16 00-0.009 7 00 0 17 8 0.108 8 00 0.0788 9 00 0.0788 10 00 0 16
l ). Regangan l No ε No ε 1 11.89.10-4 0.0696 4 00.48.10 -. 705.10-4 1-1.545.10-4 -. 705.10-4 1-1.701.10-4 4 -. 705.10-4 14 0 5 -. 705.10-4 15-1.701.10-4 6 -.48.10-4 16-1.545.10-4 7 0 17.89.10-4 8.94.10-4 9.94.10-4 10 0 4. Perubahan sudut pada titik kumpul Titik K segitiga CK Δ K 1 = (ε 1 ε 10 ) Cotg + (ε 1 ε 11 ) Cotg C = (-.48-0) (0) + (-.48.89) (1) = -7.09 segitiga DKC Δ K = (ε ε 11 ) Cotg C + (ε ε 1 ) Cotg D = (-.705-.89) (1) + (-.705 (-1.545)) (0) = -6 segitiga DKE Δ K = (ε ε 1 ) Cotg D + (ε ε 1 ) Cotg E = (-.705+1.545) (0) + (-.705 + 1.701) (1) = -1.004 segitiga EKJ Δ K 4 = (ε 14 ε 1 ) Cotg E + (ε 14 ε 9 ) Cotg J = (0+1.701) (1) + (0.94) (0) = 1.701 Jadi ΔK = ΔK 1 + Δ K + Δ K + Δ K 4 = -1.146 x 10-4 Titik J segitiga KJE Δ J I = (-1.701-.94) (1) + (1.701-0) (1) = -7.4 segitiga HJE Δ J = (-1.701-0) (1) + (1.701-.94) (1) = -7.4 Jadi Δ J = -7.4 7.4 = -14.684.10-4 Titik H segitiga EHJ Δ H I = (0+1.701) (1) + (0.94) (0) = 1.701 segitiga FHE Δ H = (-.705-1.545) (0) + (-.705 +1.701) (1) = -1.004 segitiga FHG Δ H = (-.705+.89) (1) + (-.705 + 1.545) (0) = -6.594 17
segitiga GH Δ H 4 = (-.48-0) (0) + (-.48.89) (1) = -7.09 Jadi ΔH = -1.146.10-4 5. Conjugate truss Lendutan di titik K, J, H di hitung berdasarkan Conjugate eam method dimana perubahan sudut ditiap titik yang ditinjau menjadi beban pada balok yang merupakan lower chord dari rangka batang. K =-1.146 x 10-4 J H K J H 7 R m m m m untuk perhitungan Lendutannya dapat dihitung dari momen di titik yang dicari lendutannya akibat beban conjugate. Σ M = 0 R.8 - (1.146.10-4 ) (6) (14.684.10-4 ) (4) - (1.146.10-4 ) () = 0 Maka : R = 0.488.10-4 Momen di dititik K. lendutan vertikal di K = ΔKv = Ra x 00 cm = 0.488.10-4. 00 cm = 0.4098 cm M J lendutan vertikal di J = ΔJv = Ra x jarak ΔK x jarak = 0.488.10-4 (400) - 1.146.10-4 (00) = 0.5566 cm M H lendutan vertikal di H = ΔHv = 0.488.10-4 (600) - 1.146.10-4 (400) = 0.4098 cm Sehingga hasil lendutan elastis batang dapat dilihat pada gambar di bawah ini : 18
m m m m K J H K J H 7 Gambar lendutan 0.4098 cm 0.5666 cm 0.4098 cm 19
. Lembar Latihan Hitung lendutan vertikal di titik L 1, L, L, L 4, L 5 pada struktur rangka berikut : Dimana : batang diagonal luas penampang = 00 cm, batang tegak luas penampang = 10 cm, batang horisontal luas penampang = 150 cm, E =.1 x 10 6 kg/cm t 6 t t U1 U U U4 U5 4 m L 1 L L L 4 L 5 6 @ m 0
. Lembar Informasi KULIH PERTEMUN 5 Defleksi elastis pada balok dengan metode Integrasi 1. Kompetensi Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-5 ini diharapkan mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dan portal dengan metode Integrasi. Materi elajar METODE INTEGRSI Untuk putaran sudut (Sudut kemiringan) M M Persamaan dasar : d dx, diintegralkan dx C Untuk lendutan struktur : dy = θ dx, diintegralkan y dx C 4 Secara Umum a) Sistim beban b) Persamaan garis beban c) d) e) f) 1
Hubungan antara momen positif dan kelengkungan (curvature) positif Pada gambar a) menunjukan balok yang diberi sembarang beban, b) beban yang memiliki persamaan garis beban, c) menetukan gaya geser dari persamaan garis dv beban p; V pdx C1, d) menentukan momen dari persamaan gaya geser dx dm V; M vdx C, e) menentukan putaran sudut dari persamaan momen dx d M M ; C, f) menentukan lendutan/defleksi dari persamaan putaran dx dy sudut ; y dx C 4 dx Penerapan pada alok. Contoh 1. Struktur dibawah ini menerima beban merata segitiga dengan q max = k/ft, Tentukan persamaan kemiringan sudut batang (θ) dan persamaan lendutan (y). K/ft P a constan b 10 x R ay R by Solusi : Reaksi : R ay = 10 k dan R by = 5 k Persamaan beban : p = 0.x - Persamaan geser: V Pdx C1 ( 0.x ) dx C1 = 0.15 x x + C 1 pada x = 0 V = C 1 ; 10 = C 1, Jadi C 1 = 10
V = 0.15 x x + 10, contoh jika x = 5, V = 0.15 5.(5 )+ 10 =... Persamaan momen : M Vdx C ( 0.15x x 10) dx C M = 0.05 x 1.5 x + 10 x + C,pada x = 0 M = C ; nilai momen di titik = 0 karena perletakan sendi tidak menahan momen = C, Jadi C = 0 M = 0.05 x 1.5 x + 10 x, jika x=5, maka M = 0.05. 5 1.5. 5 + 10. 5 = 18.75k.ft Kemiringan sudut : M 1 1 dx C Mdx C (0.05x 1.5x 10x) dx C 1 4 (0.015x 0.5x 5x ) C Lendutan atang: 1 4 y dx C 4 0.015x 0.5x 5x C dx C4 1 5 4 y (0.005x 0.15x 1.667x ) Cx C4 Kondisi batas: y (x = 0) nilainya 0 (nol) C 4 = 0 y (x = 10) nilainya 0 (nol) maka persamaan : 1 5 4 0 (0.005(10) 0.15(10) 1.667(10) ) C.(10) C4 maka nilai Hasil akhir untuk kemiringan sdt dan lendutan sebagai berikut : C 66.7 1 4 (0.015x 0.5x 5x 66.7) y 1 5 4 (0.005x 0.15x 1.667x 66.7x) Contoh. Tentukan kemiringan sudut dan lendutan untuk balok dibawah ini, dengan batang yang prismatis dan = konstan
0 kn C x 10 m 5 m M = -15x 150kN M = 0x-450 Solusi : Untuk struktur tersebut dimulai dengan menggambarkan bidang momennya, dan dicari persamaan garis dari momen tersebut. Daerah : x= 0 s/d x=10 M I 1 7.5x dx C ( 15x) dx C = C y dx C.5x 7.5x ( C 4 C) C x C Daerah C : M I 1 I dx C (0x 450) dx C 15x 450x I C I 15x 450x I dx C4 ( C ) dx C 5x 5x I I C C4 4 I y 4 4 Untuk menentukan C, C 4, C, C 4 harus dilihat kondisi batas dan kondisi kesinambungannya, pada tumpuan sendi tidak ada lendutan : Daerah Y (x = 0), Maka C 4 = 0.5(10) 50 y ( x 10) C(10) C4 0, Maka C 5(10) 5(10) ' Daerah C y ( x 10) C(10) C4 0 4
Maka 10 C + C 4 = (-5000 + 500)/ = 17500...*) θ (X = 0) (Pada ) = θ (X = 10) (Pada C) Kondisi keseimbangan 7.5x 15x 450x ' C C 1 ( 7.5(10) 500 000 C 1 50) (15(10) I *) 10 C I + C I 17500 4 = 500 C I 450(10)) C ' I 17500 5000 7500 C4 5
Maka hasilnya : Daerah θ = 1 ( 7.5x 50) 1 Y = (.5x 50x) 1 Daerah C θ = (15x 450x 500) 1 Y = (5x 5x 500x 7500) 6
. Lembar Latihan Hitung slope dan deflection di titik C dari struktur dibawah ini : Q= 40 kn/m konstan C 10 m 4 m 7
. Lembar Informasi KULIH PERTEMUN 6 Defleksi elastis pada balok dengan metode momen area 1. Kompetensi Mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dengan metode momen area. Materi elajar erdasarkan teori momen area I (pertama) : M Persamaan dasar : d dx Putaran sudut pada balok yang melentur : erdasarkan teori momen area II (kedua) : M Persamaan dasar d x dx Lendutan pada balok yang melentur M xdx M dx Untuk memudahkan dalam perhitungan dapat digunakan perjanjian tanda : 8
Gambar a) diatas menunjukan pembebanan dan displacement yang positif Gambar b) Kontribusi displacement dari beban masing-masing. Contoh 1 : Tentukan displacement vertikal dan kemiringan sudut di titik dari struktur kantilever dibawah ini. P L Diagram M/ + P L / / L a) 0 a = 0 0 = 0 b b) Tahap pertama kita harus dapat menggambarkan bidang momen akibat beban luar, dalam hal ini gambarkan dalam bidang M/ (gambar a), kemudian gambarkan struktur terdefleksinya (gambar b), semua displacement dari gambar adalah positif. Catatan: kemiringan sudut di titik pasti nol (jepit) Menurut Teori Momen rea ke 1 M dx 1 Pl Pl ( ) l 9
Pl Pl 0 (θ = θ ditambah luas diagram momen antara dan ) Struktur melendut lihat gambar b. Menurut Teori Momen rea ke 1 Pl Pl l l Pl (arah ke bawah) ( = lendutan di dari tangent di ) 0
0 Contoh. Struktur cantilever ini dibebani beban merata w, tentukan putaran sudut dan lendutan di titik. W L W L / Diagram M/ Luas 0 = 0 a 0 b 1 wl 1 0.L wl (searah putaran jam) 6 wl 6 1 wl 6 / L 4 wl 8 4 1 wl. 8 4 (arah ke bawah) 1
Contoh. Struktur dibawah ini dibebani beban P, tentukan putaran sudut dan lendutan di titik C. L/ P C Konstan L P/ P/ /*L/ L/ PL/4 Diagram M/ C 0 0 Slope dan defleksi C C ( θ = θ C ditambah luas diagram M dari titik ke C) 1 PL L PL θ 0.. 4 16 PL (Searah jarum jam) 16 PL (Kebalikan arah jarum jam) 16 Lendutan elastis C PL L * / * 16 PL 48 1 PL C (kebawah) 48
Contoh 4 : alok diatas dua tumpuan dengan beban merata w sepanjang bentang, Hitung putaran sudut di titik,, dan di titik, W Konstan WL/ 5/16 L 5/8 L L WL /8 WL/ C Diagram M/ 0 0 Lendutan Elastis C C θ = θ C + luas M/ antara dan C θ = wl 0 8 L wl 4 θ wl 4 (searah jarum jam) θ wl (kebalikan arah jarum jam) 4 Δ C = defleksi dari tangent di C Δ C = wl 4 4 5wL 84 5L 5wL 16 84 (arah bawah) 4
. Lembar Latihan Hitung slope di titik dan D, serta deflection di titik dan C dari struktur dibawah ini : Dimana : I = 00 x 10 6 mm 4 = 00. 10 cm 4, E = 70 GPa. =70.000 MPa. kn/m 10 kn konstan C D 5 m.5 m.5 m 4
KULIH PERTEMUN 7 Defleksi elastis pada balok dengan metode conjugate beam. Lembar Informasi 1. Kompetensi Mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dengan metode conjugate beam. Materi elajar METODE CONJUGTE EM Prinsip dasar: - idang momen (M/) dibuat sebagai beban pada Conjugate beam. - Hasil gaya geser dan momen pada conjugate beam merupakan nilai slope (kemiringgan sudut) dan deflection (defleksi) pada balok sebenarnya. Tahapan: 1. Hitung dan gambarkan bidang momen akibat beban luar pada balok sebenarnya (real beam).. Hasil bidang momen (M/) di jadikan beban pada balok conjugate (imajinary beam), dimana perletakan aktual dirubah menjadi perletakan pada balok imajinari sesuai ketentuan dibawah ini : Ketentuan conjugate beam (boundary condition) REL EM CONJUGTE EM JEPIT ES SENDI SENDI ROL ROL ES JEPIT. - Menghitung gaya geser (shear) pada balok conjugate yang merupakan nilai slope pada balok sebenarnya. - Menghitung momen (moment) pada balok conjugate yang merupakan nilai deflection pada balok sebenarnya. 5
Contoh 1 : Hitung slope dan deflection pada ujung bebas c dari struktur dibawah ini, dan gambar diagram gaya geser dan diagram momen conjugate beam Dimana : E = 00 GPa, I = 1000.10-6 m 4, = 00.000 kn.m 75 KN/m a Konstan m m c - 150 idang momen akibat beban luar - 600 Tahap pertama kita buat diagram bidang momen akibat beban luar pada real beam kemudian diagram momen tersebut dibuat sebagai beban M/ pada conjugate beam. Maka : hasil momen pada balok conjugate yang didapat merupakan Δ dari real beam, serta hasil shear yang didapat pada balok conjugate merupakan nilai θ dari real beam alok konjugate dan pembebanannya adalah : Perubahan perletakan pada balok konjugate : alok Sebenarnya Conjugate eam Jepit ebas ebas Jepit 6
nalisis pada balok konjugate : 150 1 450 1 150 Σ P y = 0 : V C 0 V C = 15 KN. m C (pada balok sebenarnya) 150 1 450 1 150 Σ M C = 0 : M C.5 4 1.5 0 M C = 45 KN. m C (pada balok sebenarnya) Diagram gaya geser pada Conjugate eam (= θ untuk balok real) dan diagram momen untuk Conjugate eam (Δ untuk real beam) 15 Maksimum Slope di C θ C = 0. 0061 radian 00.000 445 Maksimum lendutan Δ Δ C = 0.01m = -.1 mm 00.000 (tanda negatif menunjukan lendutan kebawah) 7
Contoh : Perhatikan stuktur dibawah ini, hitung slope θ C dan deflection Δ C. ksi = kip/in idang momen Conjugate eam dan Pembebanan Perubahan perletakan pada balok konjugate : Real beam conjugate beam Hinge(=Sendi) Sendi Rol Rol Jepit ebas 8
Maka : 1 100 1 400 M b 0 106.67 01. Rd 0 0 777.8 Rd ft - k ( Tanda negatif berarti R d ke bawah) Perhitungan lendutan Tinjauan bagian CD Catatan : 1 ft = 0.5 cm = 1 in 1 ft = 144 in 1 ft = 178 in 1 400 777.8 Σ P y = 0 : V C 0 0 V C = 1. ft 1. 144 k C 0. 005867rad 6 010 1 400 777.8 Σ M C = 0 : M C 0 6.67 0 0 8876 8876178 M C = ft k C 1. 66 in = -0.65 cm 6 010 9
. Lembar Latihan Hitung slope dan deflection di titik dan titik dari struktur di bawah ini, dimana I = 000 in 4 dan E = 10 x 10 ksi. 15 k 6 1 40
KULIH PERTEMUN 8 Evaluasi tengah semester ( UTS) SOL UTS. WKTU : 100 MENIT Soal No. 1 : Hitung lendutan vertikal di D dai struktur dibawah ini, dimana semua batang = 0 cm dan E = x 10 6 kg/cm, dengan metode Unit Load. m 1 C m 5 6 400 kg 4 7 D m m 00 kg Soal No. : Hitung slope dan deflectionl di C dari struktur dibawah ini, dengan metode Conjugate eam 400 kn Hinge C D m.5 m.5 m 41