BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Peramalan Ramalan pada dasarnya merupakan perkiraan mengenai terjadinya suatu yang akan datang. Peramalan adalah proses untuk memperkirakan kebutuhan di masa datang meliputi kebutuhan dalam ukuran kuantitas, kualitas, waktu dan lokasi yang dibutuhkan dalam rangka memenuhi permintaan barang ataupun jasa. 2.2 Kegunaan Peramalan Data ramalan dipergunakan sebagai perkiraan, bukan merupakan suatu angka atau bilangan yang harus dipergunakan begitu saja. Penggunaannya masih memerlukan pertimbangan dari para pemakai. Hal ini disebabkan oleh karena hasil ramalan biasanya didasarkan atas dasar asumsi-asumsi, kalau keadaan tidak berubah seperti waktu sebelumnya.
2.3 Jenis Jenis Peramalan 2.3.1 Peramalan Kuantitatif Metode Kuantitatif adalah metode peramalan yang sangat mengandalkan pola data historis yang dimiliki. Metode kuantitatif ini dibagi menjadi dua yaitu : 1. Metode Deret Berkala (Time series) Metode Deret Berkala adalah peramalan di masa datang didasarkan pada nilai sebuah variabel masa lalu atau kesalahan yang dilakukan sebelumnya. Tujuannya yaitu meneliti pola data yang digunakan untuk meramalkan dan melakukan ekstrapolasi ke masa depan. Metode peramalan ini menggunakan time series sebagai dasar peramalan data aktual lalu yang akan diramalkan untuk mengetahui pola data yang diperlukan untuk menentukan metode peramalan yang sesuai. Metode-metode peramalan dengan menggunakan time series yaitu: a. Metode Smoothing : 1. Metode Data Lewat 2. Metode Rata-rata Kumulatif 3. Metode rata-rata bergerak (Moving Average) 4. Metode Eksponensial Smoothing b. Metode Box-Jenkins
c. Metode Perkiraan Trend dengan Regresi 2. Metode Kausal Model ini mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab-akibat dengan satu atau lebih variabel bebas. Metode peramalan dengan kuasalitas yaitu : a. Metode Regresi dan Korelasi Metode Regresi : untuk memutuskan harus ditetapkan sebagai variabel tidak bebas serta fungsional apa yang akan dipilih. Metode Korelasi : Suatu hubungan dapat dinyatakan dengan perhitungan korelasi antar 2 variabel b. Metode Ekonometrika Digunakan untuk menyatakan persamaan regresi sederhana, regresi berganda dan system persamaan regresi berganda. c. Metode Analisis Input-output 2.3.2. Peramalan Kualitatif (Teknologi) Metode ini dibagi menjadi dua, yaitu : 1. Metode Eksploratoris Metode ini dimulai dengan masa lalu dan masa kini sebagai titik awalnya dan bergerak kearah masa depan dengan melihat semua kemungkinan yang ada.
2. Metode Normatif Metode ini dimulai dengan menetapkan sasaran dan tujuan yang akan datang. kemudian bekerja mundur untuk melihat apakah hal ini dapat dicapai berdasarkan kendala, sumber daya, dan teknologi yang tersedia. 2.4. Jenis-jenis Pola Data Pola data itu dikelompokkan menjadi empat jenis yaitu : a. Pola data horizontal Bentuk pola data ini terjadi bila nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rataratanya. b. Pola data musiman Bentuk pola data ini terjadi bila datanya dipengaruhi oleh faktor musiman. c. Pola data siklis Bentuk pola data ini terjadi bila data ini dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi yang panjang seperti dihubungkan dengan siklis bisnis dan lain-lain. d. Pola trend Bentuk pola data ini terjadi apabila penurunan atau kenaikan data terjadi berkepanjangan.
2.5 Kestasioneran Data Deret berkala Dalam tahap identifikasi model ARIMA sementara, hal yang pertama yang harus dilihat apakah suatu deret berkala sudah stasioner baik dalam rataan maupun ragam. Hal ini dikarenakan bahwa syarat utama dalam pembuatan model ARIMA adalah deret berkala yang stasioner. 2.5.1 Pembedaan (Differencing) Untuk melihat apakah suatu deret berkala X 1, X 2,.., X n sudah stasioner,dapat dilihat plot niali deret waktu terhadap waktu t 1, t 2,., t n. Jika n sebuah nilai tersebut berfluktuasi sekitar ragam yang konstan dan niali tengah yang konstan, maka dapat dikatakan deret tersebut konstan. Data deret berkala yang tidak stasioner dalam nilai tengah dapat distasionerkan dengan perbedaan (difference) derajat d. Notasi yang bermanfaat adalah operator shift mundur (backward shift) B, yang penggunaannya adalah sebagai berikut : Misalkan ada suatu deret data X 1, X 2,,X t maka untuk memperkirakan X 1 dilakukan dengan mengurangi satu periode kebelakangnya dengan cara :
BX t = X t-1 Dengan kata lain, notasi B yang dipasang pada X t, mempunyai pengaruh menggeser data 1 periode kebelakang. Perbedaan pertama dapat dirumuskan X = X t-1 (2.1) Menggunakan operator shift mundur persamaan dapat menjadi X = X t BX t = (1-B) X t Sedang pembedaan kedua adalah X = X X 1 t-1 = (X t X t-1 ) (X t-1 X 1-2 ) = X t 2X t-1 + X 1-2 = (1 2B + B 2 ) X t = (1 B) 2 X t Secara umum perbedaan dirumuskan X t = (1 B) d X t (2.2)
2.6 Koefisien Autokorelasi Dalam analisis deret berkala, salah satu statistic kunci adalah koefisien autokorelasi, autokorelasi dapat diartikan sebagai korelasi linier deret berkala dengan deret berkala itu sendiri dengan selisih waktu (lag) 0, 1, 2 periode atau lebih. Koefisien autokorelasi deret X t yang stasioner untuk lag ke-k, dihitung dengan rumus sebagai berikut : r k = (2.3) Dengan : r k = Autokorelasi pada lag ke-k X t = Nilai pengamatan ke-t X t+k = Nilai pengamatan saat ke-t - k X = Rata-rata pengamatan
2.7 Koefisien Autokorelasi Parsial Koefisien autokorelasi parsial digunakan untuk model autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat hubungan antara X t dan X t+k apabila pengaruh dari selisih waktu 1,2,3, (k-1) dianggap terpisah. Salah satu tujuan dalam analisa deret berkala adalah untuk menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan. Autokorelasi parsial pada lag ke-k (Φ kk ) adalah sebagai koefisien autoregresif terakhir dari model AR (k), dan memenuhi persamaan berikut : P j = Φ k1 ρ j-1 + Φ k1 ρ j-2 + + Φ kk ρ j-k ; j = 1,2,,k (2.4) Pendugaan koefisien aotukorelasi parsial dapat dilakukan subsitusi r j untuk O j dan menyelesaikan persamaan diatas dengan metode rekursif. Simpangan baku dari penduga Φ kk adalah 1/ n, dimana n adalah jumlah pengamatan dikurangi lag (k). 2.8 Model Regresi Diri (AR) Proses regresi ini menyatakan ketergantungan nilat pengamatan X t terhadap X t-1, X t-2,, X t-p. Model regresi diri derajat p dilambangkan dengan AR (p) atau ARIMA (p,0,0). Model regresi diri adalah sebagai berikut :
X t = μ + Φ 1 X t-1 + Φ 2 X t-2 + + Φ p X t-p + e t (2.5) Dengan : X t = Pengamatan deret berkala ke-t μ = Nilai konstan Φ p = Parameter autoregresi ke-p, (p = 1,2,,n) X t-p = Variabel pertma pada periode ke-(t-p) ; (p = 1,2,,n) e t = Kesalahan pada saat t Untuk model AR (1) kondisi stasioner akan terpenuhi jika Φ 1 < 1. Sedangkan model AR (2) akan memenuhi syarat stasioner jika Φ 1 + Φ 2 < 2 Φ 2 - Φ 1 < 2 dan Φ 2 < 2. 2.9 Model Rataan Bergerak (MA) Proses rataan bergerak menyatakan ketergantungan nilai X t terhadap e t e t-1,., e t-r. Model rataan bergerak derajat q dilambangkan MA (q) atau ARIMA (0,0,q) dan ditulis sebagai berikut : X t = μ θ 1 e t-1 θ 2 e t-2 - - θ q e t-q + e t (2.6) Dengan :
X t = Pengamatan deret berkala μ = Nilai konstan θ q = Parameter moving average ke-q ; (q = 1,2,,n) e t-q = Variabel pertama pada saat t-q ; (q = 1,2,,n) e t = Kesalahan pada saat t 2.10 Model Campuran AR dan MA Dalam pembuatan model empiris dari deret berkala sering ditemukan bahwa model regresi diri (AR) dan rataan bergerak (MA). Model campuran regresi diri dan rataan bergerak derajat (p,q) dapat ditulis sebagai berikut : X t = μ + Φ 1 X t-1 + Φ 2 X t-2 + + Φ p X t-p θ 1 e t-1 θ 2 e t-1 - - θ q e t-p + e t (2.7) Atau ditulis Φ p (B) X t = μ + θ q (B) e t Dan disingkat ARMA (p,q) Model ARMA (p,q) dapat diperluas untuk deret berkala yang tidak stasioner. Dengan operator berbeda derajat d X t, model ARMA (p,q) menjadi Φ p(b) d X t = μ + θ q (B) e t Dan model ini disingkat ARIMA (p,d,q)
Untuk data yang dikumpulkan secara bulanan, pembedaan satu musim penuh (tahun) dapat dihitung X t X t-12 = (1 B 12 ) X t. Sehingga untuk model ARIMA (p,d,q) (P,D,Q) s dengan s adalah jumlah periode permusiman. 2.11 Model Fungsi Transfer Model fungsi transfer merupakan pengembangan dari model ARIMA satu peubah. Jika deret berkala Y t berhubungan dengan satu atau lebih deret berkala lain X t maka dapat dibuat suatu model berdassarkan informasi deret berkala X t, untuk menduga nilai Y t model yang dihasilkan disebut fungsi transfer. Dalam penelitian ini, pembuatan fungsi transfer hanya dibatasi untuk dua deret berkala yaitu Y t sebagai deret output dan X t sebagai deret output atau disebut fungsi transfer dwi peubah. Gambar 2.1 memperlihatkan secara ringkas unsur-unsur yang berkaitan dengan model fungsi transfer. Terdapat deret berkala output, disebut Y t, yang diperkiran akan dipengaruhi oleh deret berkala input X t, dan input-input lain yang disebut gangguan (noise) N t, seluruh system tersebut adalah dinamis. Dengan kata lain, deret input X t memberikan pengaruhnya terhadap fungsi transfer, mendistribusikan dampak X t melalui beberapa periode akan datang. Tujuan pemodelan fungsi transfer adalah untuk
menetapkan model sederhana, menghubungkan Y t dengan X t dan N t. Tujuan utama pemodelan ini adalah untuk menetapkan peranan indikator penentu (leading indicator) deret input dalam rangka menetapakan deret output. Deret Input Fungsi Transfer Deret Output (X t ) (Y t ) Seluruh Pengaruh lain (N t ) Gambar 2.1 Konsep Fungsi Transfer Fungsi transfer bivariat ditulis dalam bentuk Y t = v (B) X t + N t Dengan : Y t = Deret output X t = Deret input N t = Faktor yang mempengaruhi Y t (disebut gangguan) v(b) = (v 0 + v 1 B + v 2 B 2 + + v k B k ), dengan k adalah orde fungsi transfer dan B operator shift mundur
Deret input dan output perlu ditransformasikan untuk mengatasi ragam yang tidak stasioner, dibedakan untuk mengatasi nilai tengah yang tidak stsioner, serta dihilangkan unsur musimannya. Jadi pada persamaan (2.8) harus merupakan nilai yang telah ditransformasikan. Selanjutnya untuk penulisan persamaan digunakan huruf kecil. Secara lebih singkat, fungsi transfer ditulis sebgai berikut (2.9) Atau (2.10) Dengan : ω(b) = ω 0 ω 1 B ω 2 B 2 - - ωb s δ(b) = 1 δ 1 B δ 2 B 2 - - δ r B r θ(b) = 1 θ 1 B θ 2 B 2 - - θ q B q Φ(B) = 1 Φ 1 B Φ 2 B 2 - - Φ p B p y t = Nilai Y t yang telah ditransformasikan dan dibedakan x t = Nilai X t yang telah ditransformasikan dan dibedakan r,s,p,q dan b = Konstanta
Fungsi v (B) merupakan rasio dari fungsi ω (B) dan δ (B) dan akan mempunyai jumlah suku yang tak terhingga, sehingga akan terdapat bobot v yang tak terhingga jumlahnya. Dengan demikian persamaan (2.10) merupakan suatu gambaran yang lebih singkat. Dari persamaan (2.8) dapat dilihat bahwa sebagai faktor penentunya adalah konstanta (r,s,b) dan (p,q). Konstanta (r,s,b) menunjukkan parameter dari fungsi transfer yang menghubungkan Y t dan X t, sedangkan (p,q) merupakan parameter model gangguan. Subskrip (t-b) menunjukkan keterlambatan b periode sebelum x mempengaruhi y atau dapat dikatakan bahwa X t, pertama kali mempengaruhi Y t+b. Jika persamaan (2.10) telah didefenisikan pada seluruh parameter telah diduga, maka selanjutnya ditentukan model peramalannya. Persamaan (2.10) dikalikan dengan δ (B) dan ϕ (B), akan menjadi : δ(b) Φ(B) y t = Φ (B) ω(b)x t-b + δ(b) θ(b)a t (2.11) Sebagai contoh, untuk model yang sederhana (1,1,b) (1,1) adalah : (1 δ 1 B) (1 Φ 1B) y t = (1 Φ 1B) (ω 0 ω 1 B) x t-b + (1 δi 1 B) (1 θ 1 B) a 1
y t = (δ 1 + Φ 1)y t-1 (δ 1 Φ 1)y t-2 + ω 0 x t-b (ω 0 Φ 1 + ω 1 )x t-b-1 + (Φ 1 + ω 1 )x t-b-2 + a 1 (δ 1 + θ 1 )a t-1 + (δ 1 + θ 1 )a t-1 + (δ 1 θ 1 )a t-2 (2.12) Dengan mengetahui nilai parameter dan nilai y,x dan a dapat dihitung nilai y pada periode yang akan datang. 2.12 Tahapan Pembentukan Model Fungsi Transfer 2.12.1 Mempersiapkan Deret Input dan Output Tahap ini mengidentifikasi apakah data mentah (input dan output) sudah stasioner dalam rataan ataupun ragam. Jika belum stasioner perlu dilakukan pembedaan atau transformasi untuk menghilangkan ketidak stasioneran. Disamping itu deret input atau output perlu dihilangkan pengaruh musiman. Hal ini bukan merupakan syarat mutlak, akan tetapi akan mempengaruhi nilai-nilai (r,s,b) yang dihasilkan. 2.12.1.1 Pemutihan Deret Input (x t ) Tahap pemutihan deret input dimaksudkan untuk menghilangkan pola yang diketahui agar yang tersisa hanya merupakan white noise. Sebagai contoh, jika deret input dapat dimodelkan dengan ARIMA (p x,0, q x ) maka deret input dapat didefenisikan sebagai : Φ x (B)x t = θ x (B)α t (2.13)
Dengan θ x (B) adalah operator autoregresif, θ x (B) adalah operator rataan bergerak dan α t adalah kesalahan acak. Persamaan (2.13) dapat di ubah menjadi (2.14) 2.12.1.2 Pemutihan Deret Output (y t ) Fungsi transfer yang dimaksudkan diatas adalah memetakan x t ke dalam y t. Sehingga apabila diterapkan suatu transformasi pemutihan terhadap x t maka terhadap y t harus diterapkan transformasi yang sama agar dapat mempertahankan integritas hubungan fungsional. Deret y t yang diputihkan akan menjadi β t dengan persamaan berikut : (2.15) 2.12.1.3 Perhitungan Korelasi Silang dan Korelasi Diri Dalam pemodelan fungsi transfer, korelasi diri mempunyai peranan yang kedua setelah korelasi silang. Korelasi silang digunakan untuk mengetahui hubungan dua deret waktu x dan y (atau dalam bentuk deret waktu yang diputihkan α dan β) yang salah satu deret ditambahkan (lag) terhadap deret lainnya. Korelasi silang antara x dan y diduga dengan rumus
(2.16) Dengan : r sy (k) = Korelasi silang antara deret x dan y pada lag ke k C sy (k) = Covarian antara x dan y pada lag ke k S x = Standard deviasi deret x S y = Standard deviasi deret y k = 0,1,2,3,. Untuk menguji tingkat kepercayaan 95% dari nilai korelasi silang diatas. Barlett melakukan pendekatan perhitungan kesalahan baku dengan rumus SE(r xy (k)) = (n k ) ½ (2.17) Atau Dengan : n = Jumlah pengamatan k = Kelambatan (lag)
Uji Q Box Pierce Untuk perhitungan korelasi diri dapat dilihat dari persamaan (2.3) dan uji Box-Pierce Portmanteau untuk sekumpulan nilai r k = didasarkan ada nilai statistic Q yang menyebar mengikuti sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas (m-p-q) (2.18) Dengan : m = Lag maksimum n = N-d N = Jumlah pengamatan asli r k = Autokorelasi untuk lag ke-k P = Nilai dari parameter Autoregresif q = Nilai dari parameter Moving Average (MA) 2.12.1.4 Pendugaan Langsung Bobot Respons Impuls Dari persamaan (2.9) dengan mengasumsikan b = 0 maka model transfer dapat ditulis y t = v(b)x t + n t
Bila x t ditransformasikan dengan dan dimasukkan kepersamaan diatas secara keseluruhan maka akan diperoleh (2.19) Atau β t = v(b)α t + e t Dengan e t adalah deret gangguan ditransforma ikan dan diperkirakan tidak berkorelasi dengan α t. Jika kedua sisi persamaan (2.20) dikalikan α t-k dan diambil nilai ekspetasinya, maka diperoleh : E[α t-k B 1 ] = v 0 E[α t-k α t ] + v 1 E[α t-k α t-1 ] + + E[α t-k e t ] C αβ (k) = v k C αα(t-k) + 0 (2.21) Dengan menyusun kembali persamaan (2.21) maka dipeoleh : (2.22) 2.12.1.5 Penetapan Parameter (r,s,b) Parameter r menunjukkan derajat fungsi δ(b), s menunjukkan derajar fungsi ω(b), dan b menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip X t-b pada persamaan (2.10). Perhatikan persamaan (2.8),(2.9) dan penetapan
(2.23) Apabila pernyataan v(b), ω(b), δ(b) diperluas dan koefisien-koefisiennya dibandingkan maka didapatkan hubungan sebagai berikut : Vj = 0 j<b Vj = δ 1 v j-1 + + δ r v j-r + ω 0 j=b Vj = δ 1 v j-1 + + δ r v j-r ω j-b j=b + 1 b + s Vj = δ 1 v j-1 + + δ r v j-r j>b + s (2.24) Secara Intuitif, nilai b menyatakan bahwa y t tidak dipengaruhi oleh nilai x t sampai periode t+b atau y t = θ x t + θ x t-1 + θ x t-2 + + ω 0 x t-b s menyatakan untuk beberapa lama deret output deret (y) secara terus menerus dipengaruhi oleh nilai-nilai baru deret input (x) atau y dipengaruhi oleh (x t-b, x t-b-1,, x t- b-s) dan r menyatakan bahwa y t berkaitan dengan nilai-nilai sebelumnya sebagai berikut : y dipengaruhi oleh (y t-1, y t-2, y t-3,,y t-r ) Dalam menentukan parameter (r,s,b) dapat digunakan pedoman berikut : a. Sampai lag waktu ke b, korelasi silang tidak berbeda dari nol secara signifikan
b. Untuk s lag waktu selanjutnya, korelasi tidak akan memperlihatkan pola yang jelas c. Untuk r lag waktu selanjutnya, korelasi silang akan memperlihatkan suatu pola yang jelas 2.12.1.6 Penaksiran Awal Deret Gangguan (n t ) Perhitungan nilai taksiran awal deret gangguan n t menggunakan rumus berikut : n t = y t v 0 x t v 1 x t-1 v 2 x t-2 - - v g x t-g (2.25) dengan g didapat dari hasil lag pada korelasi silang 2.12.1.7 Penetapan (p n,q n ) untuk Model ARIMA (p n,q n ) dari Deret Gangguan (n t ) Tahap ini nilai-nilai n t dianalisis dengan cara ARIMA biasa untuk menentukan apakah terdapat model ARIMA (p n, 0, q n ). Untuk menentukan model ARIMA ini digunakan identifikasi fungsi autokorelsi dan korelasi parsial. Dengan cara ini fungsi Φ n (B)n t = θ nt (B)a t (2.26)
2.12.2 Penaksiran Parameter-Parameter Model 2.12.2.1 Pendugaan Awal Parameter Model Pada tahap ini ditentukan model fungsi transfer secara tentative untuk menaksir nilai awal parameter-parameter ω 0, ω 1, ω s, δ 1, δ 2,. δ r, Φ 1, Φ 2,. Φ pn, dan θ 1, θ 2,. θ qn. Untuk mendapatkan nilai parameter-parameter tersebut digunakan algoritma marquadt dengan iterasi. Misalkan untuk nilai (r,s,b) = (2,2,2) dan deret gangguan mempunyai model ARIMA (2,0,1) model tentative yang digunakan adalah (2.27) Dari model diatas tahap selanjutnya adalah menaksir nilai awal parameterparameter ω 0, ω 1, ω s, δ 1, δ 2, Φ 1 dan Φ 2 dengan memperlihatkan hubungan pada persamaan (2.24) dan persamaan Yule Walker 2.12.2.2 Penaksiran Akhir Parameter Model Dengan menggunakan algoritma merquadt pada setiap iterasi nilai parameterparameter selalu diperbarui dan dihitung dengan taksiran a t. Untuk memilih nilai parameter terbaik, dilihat jumlah kuadrat sisa (JKS) sampai mendekati niali minimum.
2.12.3 Pemerikasaan Diagnostik Model Pemeriksaan ini dilakukan dengan mempelajari nilai sisa akhir a t dengan deret input yang disesuaikan (α t ). Jika nilai sisa tidak mempunyai pola tertentu, maka model yang didapatkan sudah bersifat acak. Uji Box-Pierce untuk deret stasioner ARIMA (p,d,q), rumusnya : (2.28) Dengan : n = Jumlah pengamatan m = Lag terbesar yang diperhatikan r(k) = Autokorelasi pada lag ke-k df = Derajat bebas (m-p-q) sedangkan untuk nilai sisa α t perhitungannya menjadi dengan (r,s,b), p n dan q n merupakan parameter fungsi transfer.
2.12.4 Peramalan dengan Model Transfer Tujuan peramalan adalah untuk menduga nilai deret waktu masa yang akan datang dengan penyimpangan yang sekecil mungkin. Jika model yang ditetapkan menunjukkan residual yang acakan, maka model itu dapat digunakan untuk maksud peramalan. Model yang digunakan untuk contoh model (1,1,b) (1,1) adalah : y t = (δ 1 + Φ 1)y t-1 - (δ 1 Φ 1)y t-2