PEMODELAN NILAI OPSI TIPE EROPA EDY SUYONO

PEMODELAN NILAI OPSI TIPE EROPA EDY SUYONO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan ahwa tesis Pemodelan Nilai Opsi Tipe Eropa adalah karya saya dengan arahan dari komisi pemiming dan elum diajukan dalam entuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumer informasi yang erasal atau dikutip dari karya yang diteritkan maupun tidak diteritkan dari penulis lain telah diseutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di agian akhir tesis. Bogor, Juni 008 Edy Suyono

ABSTRACT EDY SUYONO. Modelling of European Options Price. Under direction of ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and EFFENDI SYAHRIL. Option is the right to sell or uy a specified quantity of some underlying asset y paying a specified exercise price, on or efore an expiration date. There are two asic types of options, calls and puts. A call option is the right to uy and a put option is the right to sell the underlying asset. There are two types of options according to its execution time, i.e. American and European options. American options can e exercised at any time the holder wishes until the expiration date, while European options can only e exercised on the expiration date. Modelling of option price usually is done analytically y determining solution of differential equation that is satisfied y the price of derivative asset, known as Black-Scholes equation. Because option price is a reflection of present value of expectation of difference etween the exercise price and the stock price at expiration date, so it is necessary to study the option price through the concept of present value, as an alternative way to model the option price. The result of this study shows that modelling of option price using differential equation method and present value approach give the same option price. Furthermore the results of ilustration give informations aout the relation of the option price with its parameters as follow: First, increase in the current stock price causes the call option price also to increase, while the put option price, on the contrary, will decrease. Second, increase in the exercise price causes the call option price to decrease, while the put option price will increase. Third, the longer the expiration time the call option price will e higher, while the put option price doesn t have the same tendency, ut it depends on other parameters. Fourth, increase in the interest rate causes the call option price to increase, while the put option price will decrease. Finally, increase in the volatility causes the price of oth call option and put option will increase. Keywords: option, option price, European options, Black-Scholes equation.

RINGKASAN EDY SUYONO. Pemodelan Nilai Opsi Tipe Eropa. Diiming oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan EFFENDI SYAHRIL. Opsi adalah suatu hak untuk menjual atau memeli suatu aset dengan harga tertentu, yang diseut harga eksekusi (exercise price atau strike price), pada atau seelum waktu tertentu yang ditentukan, yang dikatakan waktu jatuh tempo (expiration date). Jika ditinjau dari hak melakukan eksekusi, opsi dapat diagi menjadi dua jenis: opsi call memerikan hak untuk memeli, opsi put memerikan hak untuk menjual. Berdasarkan periode melakukan eksekusi, opsi diagi menjadi dua tipe: opsi Eropa memerikan hak kepada pemegang opsi untuk melakukan eksekusi pada akhir waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika eksekusi kapan saja seelum kedaluwarsa. Penelitian ini khusus memahas opsi Eropa. Secara rasional pemegang opsi call akan melakukan eksekusi jika harga aset yang mendasari di pasar leih tinggi dari harga eksekusi, sedangkan pemegang opsi put akan melakukan eksekusi jika harga aset yang mendasari di pasar leih rendah dari harga eksekusi. Hal ini dilakukan agar pemegang opsi memperoleh keuntungan (profit). Keputusan pemegang opsi untuk melakukan eksekusi terhadap opsi sangat tergantung oleh harga pasar suatu aset yang mendasari (underlying asset). Dalam hal ini kontrak opsi diseut aset turunan (derivative asset). Aset yang mendasari opsi pada penelitian ini adalah saham. Pemodelan nilai opsi, secara analitik iasanya dilakukan dengan menentukan solusi dari persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan, yang dikenal seagai persamaan Black-Scholes. Karena nilai opsi merupakan refleksi dari present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo, maka perlu dilakukan studi pemodelan nilai opsi melalui present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo, seagai cara alternatif dalam pemodelan nilai opsi. Untuk memeri gamaran secara matematis tentang penuruan nilai opsi serta kaitannya dengan harga saham pada saat tertentu, maka dalam penelitian ini akan dilakukan studi penurunan nilai opsi dengan dua pendekatan. Pertama, secara analitik menggunakan persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan. Pendekatan alternatif adalah menggunakan present value nilai harapan dari selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo. Pemodelan nilai opsi erdasarkan persamaan diferensial penentuan harga suatu aset turunan dilakukan dengan menentukan solusi persamaan diferensial penentuan harga suatu aset turunan. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial penentuan harga suatu aset turunan dilakukan dengan transformasi ke persamaan panas, kemudian ditentukan solusinya. Dengan memperhatikan syarat atas untuk opsi call dan opsi put, serta memperhatikan syarat eksekusi untuk opsi call dan opsi put, diperoleh nilai opsi call dan nilai opsi put pada saat t dengan harga saham S(t), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah t ctst, = StN n+ σ Tt Ke N( n) ( t) (, ()) = () ( σ ) ptst Ke Nn StN n T t

dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan St () ln r σ ( T t) K n = σ T t Sedangkan nilai opsi call pada saat t = 0 adalah ( 0, (0) ) = (0) ( + σ ) ( ) ( 0, (0)) = (0) rt σ c S S N z T Ke N z p S Ke N z S N z T dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan S (0) ln r σ T K z = σ T Pemodelan nilai opsi dengan pendekatan present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo, dilakukan dengan menyatakan nilai opsi f () t seagai r ( T t ) f ( t ) = e E ( f ( T )) Untuk opsi call nilai f ( T ) = ( S( T ) K ) +, sedangkan untuk opsi put nilai ( ) + f T = K S T. Sehingga diperoleh model nilai opsi call dan model nilai opsi put yang sama dengan model nilai opsi yang diperoleh dengan menggunakan persamaan diferensial penentuan harga suatu aset turunan. Berdasarkan hasil ilustrasi diperoleh informasi tentang pengaruh peruahan harga awal saham, harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku unga terhadap nilai opsi seagai erikut:. Semakin tinggi harga saham pada waktu kontrak opsi maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put akan semakin rendah.. Semakin tinggi harga eksekusi, maka nilai opsi call akan semakin rendah, sedangkan nilai opsi put akan semakin tinggi. 3. Semakin lama waktu jatuh tempo, maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put tidak memiliki kecenderungan tertentu yang sama, melainkan tergantung pada parameter lain. 4. Semakin tinggi suku unga, maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put akan semakin rendah. 5. Semakin tinggi nilai volatilitas, maka nilai opsi call dan opsi put akan semakin tinggi. Kata kunci: opsi, nilai opsi, opsi Eropa, present value, persamaan Black-Scholes.

Hak cipta milik IPB, tahun 008 Hak cipta dilindungi Undang-undang. Dilarang mengutip seagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyeut sumer. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.. Dilarang mengumumkan dan memperanyak seagian atau seluruh karya tulis dalam entuk apapun tanpa izin IPB.

PEMODELAN NILAI OPSI TIPE EROPA EDY SUYONO Tesis seagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008

Judul Tesis Nama NIM : Pemodelan Nilai Opsi Tipe Eropa : Edy Suyono : G5506009 Disetujui Komisi Pemiming Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Ketua Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS. Tanggal Ujian: 5 Juni 008 Tanggal Lulus:

PRAKATA Alhamdulillaahirail alamiin. Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan kuasa-nya sehingga karya ilmiah ini erhasil diselesaikan. Shalawat serta salam semoga dilimpahkan kepada rasullullah Muhammad SAW, yang menjadi suri tauladan agi umatnya dan senantiasa kita nantikan syafa atnya di dunia sampai akherat. Ucapan terima kasih atas pengoranan dan permohonan maaf atas kurangnya perhatian serta kasih sayang penulis sampaikan kepada istri tercinta Nurul Aini eserta kedua uah hati penulis Fawwaz Ijlal Muqsith (Osith) dan Shofi Fairuz Zahidah (Shofi). Selanjutnya ucapan terima kasih dengan iringan doa Jazakumullah Ahsanal Jaza penulis sampaikan kepada:. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc selaku pemiming yang dengan penuh kesaaran memerikan imingan dan motivasi kepada penulis.. Donny Citra Lesmana, M.Sc selaku penguji yang telah memerikan saran dan kritiknya. 3. Departemen Agama Repulik Indonesia, yang telah memerikan iaya kepada penulis selama menempuh pendidikan program magister di Institut Pertanian Bogor. 4. Teman-teman mahasiswa S- Matematika Terapan IPB angkatan 006. 5. Semua pihak yang telah memantu penulis, yang tidak isa penulis seutkan satu persatu. Akhirnya penulis menyadari ahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu sumangsih kritik dan saran demi kemajuan tulisan selanjutnya sangat penulis damakan. Semoga karya ilmiah ini ermanfaat. Bogor, Juni 008 Penulis, Edy Suyono

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Remang pada tanggal 7 Juli 970 seagai anak kedua dari pasangan Lasmin dan Satini. Pendidikan sarjana ditempuh di jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IKIP Semarang, lulus tahun 993. Kesempatan untuk melanjutkan ke program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 006. Beasiswa pendidikan pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Repulik Indonesia. Penulis ekerja seagai staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah Negeri Lasem Kaupaten Remang sejak tahun 995.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xi DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR LAMPIRAN... xiii I PENDAHULUAN.... Latar Belakang.... Tujuan Penelitian....3 Sistematika Penulisan... 3 II LANDASAN TEORI... 4. Proses Stokastik... 4. Proses Wiener (Gerak Brown) dan Gerak Brown Geometris... 7.3 Lemma Itoˆ... 8 III PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA SUATU ASET TURUNAN... 7 3. Harga Saham... 7 3. Harga Oligasi... 9 3.3 Nilai Aset Turunan... 0 3.4 Persamaan Diferensial untuk Penentuan Harga Suatu Aset Turunan 0 3.5 Present Value Nilai Harapan Selisih Harga Eksekusi dengan Harga Saham... 4 IV NILAI OPSI... 5 4. Model Nilai Opsi Berdasarkan Persamaan Diferensial untuk Penentuan Harga Suatu Aset Turunan... 5 4.. Opsi Call... 5 4.. Opsi Put... 8 4. Model Nilai Opsi Menggunakan Present Value Nilai Harapan Selisih Harga Eksekusi dengan Harga Saham pada Waktu Jatuh Tempo... 9 4.. Opsi Call... 9 4.. Opsi Put... 34 4.3 Ilustrasi Model Nilai Opsi... 37 V Kesimpulan... 47 DAFTAR PUSTAKA... 49 LAMPIRAN... 50

DAFTAR TABEL. Nilai opsi call dan opsi put dengan parameter T = 0,5, K = 7.900, Halaman t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,35... 39. Nilai opsi call dan opsi put dengan parameter T = 0,75, S = 90, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0, 5... 40 3. Nilai opsi call dan opsi put dengan parameter K = 4.500, K = 4.500, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3... 4 4. Nilai opsi call dan opsi put dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan σ = 0,3... 45 5. Nilai opsi call dan opsi put dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan r = 0,08... 46

DAFTAR GAMBAR. Huungan antara nilai opsi dengan harga saham, dengan parameter Halaman T = 0,5, K = 7.900, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,35... 39. Huungan antara nilai opsi dengan harga eksekusi, dengan parameter T = 0,75, S = 90, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0, 5... 40 3. Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter K = 4.500, K = 4.500, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3... 4 4. Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter K = 4.500, K = 5.000, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3... 4 5. Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter K = 4.500, K = 5.400, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3... 43 6. Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter K = 4.500, K = 4.000, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3... 43 7. Huungan antara nilai opsi dengan suku unga, dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan σ = 0,3... 45 8. Huungan antara nilai opsi dengan volatilitas, dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan r = 0,08... 46

DAFTAR LAMPIRAN 4 A. Bukti E W ( tn( k + ) ) W ( tnk) = 3( tn( k ) tnk) Halaman +... 50 B. Fungsi Pemangkit Momen dari X ()~ t N (0,) t... 5 n C. Bukti ( tn( k + ) tnk) maks( tn( k + ) tnk)( t t)... 53 k = 0 k D. Solusi Persamaan Panas... 54 E. Program Penentuan Nilai Opsi... 58

BAB PENDAHULUAN.. Latar Belakang Opsi menjadi suatu instrumen keuangan yang memegang peranan penting dalam suatu investasi. Seorang investor yang ingin melindungi investasinya dapat melakukan transaksi jual eli opsi, disamping jual eli saham. Opsi diartikan seagai suatu hak untuk menjual atau memeli suatu aset dengan harga tertentu, yang diseut harga eksekusi (exercise price atau strike price), pada atau seelum waktu tertentu yang ditentukan, yang dikatakan waktu jatuh tempo (expiration date). Jika ditinjau dari hak melakukan eksekusi, maka opsi dapat diagi menjadi dua jenis, yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call memerikan hak kepada pemegangnya untuk memeli suatu aset dengan harga tertentu, pada atau seelum waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memerikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan harga tertentu, pada atau seelum waktu jatuh tempo. Berdasarkan waktu pelaksanaan eksekusi, opsi diagi menjadi dua tipe, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa memerikan hak kepada pemegang opsi untuk melakukan eksekusi pada akhir waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika memerikan hak kepada pemegang opsi untuk melakukan eksekusi kapan saja pada waktu seelum kedaluwarsa (Figlewski et al.990). Penelitian ini khusus memahas opsi Eropa. Sehingga jika tidak ada penyeutan secara khusus untuk opsi Amerika, artinya opsi yang dimaksud adalah opsi Eropa. Secara rasional pemegang opsi call akan melakukan eksekusi jika harga aset yang mendasari di pasar leih tinggi dari harga eksekusi, sedangkan pemegang opsi put akan melakukan eksekusi jika harga aset yang mendasari di pasar leih rendah dari harga eksekusi. Hal ini dilakukan agar pemegang opsi memperoleh keuntungan (profit). Keputusan pemegang opsi untuk melakukan eksekusi terhadap opsi sangat tergantung pada harga pasar suatu aset yang mendasari (underlying asset). Dalam hal ini kontrak opsi diseut aset turunan (derivative asset). Aset yang mendasari opsi pada penelitian ini adalah saham. Nilai opsi adalah iaya yang dikeluarkan oleh investor untuk mendapatkan kontrak opsi, yang pemayarannya dilakukan pada saat kontrak diuat (Wilmott et al. 997). Oleh karena itu, pengetahuan tentang agaimana menentukan nilai

opsi yang akurat sangat diperlukan investor dalam memuat dan memutuskan strategi perdagangannya. Nilai opsi tergantung pada harga saham. Harga saham eruah seiring dengan peruahan waktu, sesuai dengan anyaknya permintaan dan penawaran yang tidak dapat ditentukan secara pasti. Sehingga peruahan harga saham dipengaruhi oleh peruahan waktu dan dipengaruhi pula oleh peuah-peuah pengganggu yang erupa peuah acak. Nilai opsi merupakan refleksi dari present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo. Pemodelan nilai opsi, secara analitik iasanya dilakukan dengan menentukan solusi dari persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan, seperti yang dilakukan oleh Black dan Scholes. Karena nilai opsi merupakan refleksi dari present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo, maka perlu dilakukan studi pemodelan nilai opsi melalui present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo, seagai cara alternatif dalam pemodelan nilai opsi. Untuk memeri gamaran secara matematis tentang penuruan nilai opsi serta kaitannya dengan harga saham pada saat tertentu, maka dalam penelitian ini akan dilakukan studi penurunan nilai opsi secara analitik menggunakan persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan, dan menggunakan pendekatan present value nilai harapan dari selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo... Tujuan Penelitian : Tujuan dari penelitian ini adalah :. Menentukan model nilai opsi dengan menggunakan persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan (persamaan diferensial Black- Scholes-Merton).. Menentukan model nilai opsi dengan menggunakan pendekatan present value nilai harapan dari selisih harga eksekusi opsi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo. 3. Menyajikan ilustrasi huungan nilai opsi call dan opsi put dengan peruahan parameter-parameternya.

3.3. Sistematika Penulisan Tulisan ini disusun dengan sistematika erikut. Ba adalah pendahuluan, yang menyajikan latar elakang permasalahan dan tujuan penelitian. Ba adalah landasan teori yang akan menjelaskan tentang proses stokastik, proses gerak Brown atau proses Wiener, dan lemma Itoˆ. Ba 3 akan memahas penurunan persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan, serta penentuan rumus ahwa nilai opsi merupakan present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada saat jatuh tempo. Selanjutnya pada a 4 akan diahas pemodelan nilai opsi erdasarkan persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan dan pemodelan nilai opsi menggunakan present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada saat jatuh tempo. Dalam a ini akan ditunjukkan juga ilustrasi perhitunganl nilai opsi yang akan memerikan eerapa contoh kasus kontrak opsi, yang selanjutnya diamati huungan nilai opsi dengan parameter-parameter yang menentukan nilai opsi. Pada a 5 akan dierikan kesimpulan yang diperoleh dalam penelitian ini.

BAB LANDASAN TEORI Pada a ini dierikan eerapa konsep tentang proses ptokastik, proses gerak Brown atau proses Wiener, dan lemma Itoˆ... Proses Stokastik Pemahasan tentang harga opsi tidak dapat dilepaskan dari pemahasan harga saham. Karena harga saham eruah seiring dengan peruahan waktu dan ersifat tidak pasti, maka peruahan saham merupakan suatu proses stokastik. Sehingga perlu dijelaskan tentang proses stokastik. Definisi (Percoaan Acak) Percoaan acak adalah suatu percoaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, dengan hasil yang tidak dapat diprediksi dengan tepat, tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasilnya (Hogg et al, 005). Definisi (Ruang Contoh) Ruang contoh (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percoaan acak, dinotasikan dengan Ω (Grimmett & Stirzaker 99). Definisi 3 (Peuah Acak) Misalnya Ω adalah ruang contoh dari percoaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω Ω ke satu dan hanya satu ilangan real X ω = x diseut peuah acak (Hogg et al, 005). Peuah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peuah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peuah acak memiliki fungsi distriusi (searan) kumulatif, yang iasa diseut dengan fungsi distriusi. Definisi 4 (Medan-σ ) Suatu himpunan diseut medan-σ dari ruang contoh Ω, jika anggota adalah himpunan agian dari Ω, yang memenuhi syarat erikut (Hogg et al, 005): ) φ. c ) Jika A maka A.

5 3) Jika arisan himpunan A, A,..., maka Definisi 5 (Peluang) Ai. i = Misalkan Ω adalah ruang contoh, dan adalah medan-σ dari Ω. P suatu fungsi ernilai real yang didefinisikan pada, diseut suatu peluang, dan P( A) dikatakan peluang dari A, jika memenuhi syarat erikut (Hogg et al, 005): ) P( A) 0, untuk semua A. ) P ( Ω ) =. 3) Jika arisan himpunan A, A,..., dan Am An = φ untuk semua m n, maka P An = P( An). n= n= Definisi 6 (Fungsi Distriusi Kumulatif) Misalkan X peuah acak. Fungsi distriusi kumulatif dari X didefinisikan oleh (Hogg et al, 005) Fx = P(, x] = PX ( x). Definisi 7 (Peuah Acak Kontinu) Suatu peuah acak X adalah peuah acak kontinu jika fungsi distriusi kumulatif dari X, yang dinotasikan et al, 005). F( x), adalah fungsi kontinu untuk semua x (Hogg Definisi 8 (Fungsi Distriusi dan Fungsi Kepekatan Peluang Peuah Acak Kontinu) Misalkan X peuah acak kontinu. Fungsi distriusi dari peuah acak X didefinisikan: x F x = f t dt f ( t ) diseut fungsi kepekatan peluang dari peuah acak X. Misalkan A = (, x ), maka fungsi distriusi dari peuah acak X dapat ditulis seagai (Ghahramani 000)

6 = ( ) = ( ) = =. F x P X A P X x f t dt f t dt Definisi 9 (Peuah Acak Saling Beas) Dua peuah acak X dan Y A x dikatakan saling eas jika untuk semarang himpunan A dan B, kejadian { X A} dan { Y B} saling eas, yaitu jika (, ) = ( ) ( ) P X A Y B P X A P Y B (Ghahramani 000). Definisi 0 (Proses Stokastik) Proses stokastik X ={ X ( t), t H} adalah suatu koleksi (himpunan) dari peuah acak (Ross 996). Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X(t) adalah suatu peuah acak. t sering diinterpretasikan seagai waktu (meskipun dalam eragai penerapannya t tidak selalu menyatakan waktu), dan X(t) diinterpretasikan seagai keadaan (state) dari proses pada waktu t. Definisi (Proses Stokastik Waktu Diskret dan Proses Stokastik Waktu Kontinu) Suatu proses stokastik X diseut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks H adalah himpunan tercacah (countale set), sedangkan X diseut proses stokastik dengan waktu kontinu jika H adalah kontinu (Ross 996). Beerapa contoh dari proses stokastik dalam masalah finansial adalah seagai erikut : - Banyak klaim yang diajukan pemegang polis pada waktu tertentu. - Tingkat suku unga deposito pada selang waktu tertentu. - Harga saham pada selang waktu tertentu. Dalam pemahasan selanjutnya diatasi t adalah waktu, sedangkan X(t) adalah peuah acak pada waktu t, dengan himpunan indeks H adalah kontinu, sehingga X diseut proses stokastik dengan waktu kontinu. Definisi (Inkremen Beas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X ( t), t H} diseut memiliki inkremen eas (independent increments) jika untuk semua t < t < t < < t, 0... n

7 peuah acak X ( t) X ( t0), X ( t) X ( t),..., X ( tn) X ( tn ) adalah saling eas (independent) (Ross 996). Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X diseut memiliki inkremen eas jika proses eruahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah eas. Definisi 3 (Inkremen Stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X ( t), t H} diseut memiliki inkremen stasioner (stationary increments) jika X ( t + s) X ( t) memiliki searan yang sama untuk semua nilai t (Ross 996). Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X diseut memiliki inkremen stasioner jika searan (distriusi) dari peruahan nilai antara semarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik terseut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik terseut... Proses Wiener (Gerak Brown) dan Gerak Brown Geometris Trend yang terjadi pada peruahan harga saham mementuk grafik eksponensial. Oleh karena itu dapat dikatakan ahwa peruahan harga saham akan mengikuti proses gerak Brown geometris (Baxter & Rennie 997). Karena itu pemahasan gerak rown geometris tidak dapat terlepas dari pemahasan gerak Brown. Definisi 4 (Nilai Harapan) Jika X adalah peuah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f ( x ), maka nilai harapan dari X adalah E X = xf x dx. Nilai harapan dari X juga diseut rataan (mean), yang dinotasikan dengan μ (Ghahramani 000). Definisi 5 (Varians) Jika X peuah acak kontinu dengan E ( X ) didefinisikan oleh (Ghahramani 000) = ( ) var X E X μ. = μ, maka varians dari X

8 Definisi 6 (Distriusi Normal) Suatu peuah acak X dikatakan mempunyai distriusi normal jika fungsi kepekatan peluangnya adalah x μ f ( x) = exp, untuk < x <. σ π σ Parameter sering ditulis X. μ dan σ masing-masing adalah rataan dan varians dari Hal ini X erdistriusi (, ) N μ σ. Jika X erdistriusi N (0,) maka dikatakan X peuah acak normal aku (Hogg et al, 005). Definisi 7 (Proses Gerak Brown) Proses stokastik { X ( t), t 0} diseut proses gerak Brown jika :. X (0) = 0. { X ( t), t 0} mempunyai inkremen eas stasioner (stationary independent increments) 3. Untuk setiap t > 0, X ( t) erdistriusi normal dengan rataan 0 dan varian σ t. Proses gerak Brown sering juga diseut proses Wiener, dan jika σ = diseut gerak Brown aku (Ross 996). Jika { X ( t), t 0} gerak Brown aku, maka X(t) erdistriusi normal dengan rataan 0 dan varian t. Sehingga fungsi kepekatan peluangnya adalah: x /t f ( x) = e. πt Definisi 8 (Gerak Brown Geometris) Jika { X ( t), t 0} adalah gerak Brown aku, maka proses stokastik { Z ( t), t 0} X ( t) yang didefinisikan Z () t = e diseut gerak Brown Geometris (Ross 996)..3. Lemma ˆ Ito Lemma Itoˆ pertama kali dimunculkan oleh Kiyoshi Itoˆ pada Nagoya Mathematics Journal pada tahun 95. Lema digunakan seagai seuah metode menganalisis masalah ekonomi dan keuangan melalui dasar-dasar proailitas (Malliaris & Brock 98). Kemudian Black dan Scholes (973) menggunakan lemma terseut untuk menyelesaikan masalah-masalah ekonomi ˆ Ito

9 dan keuangan. Selanjutnya Baxter (997), mengemangkan leih lanjut pada masalah keuangan. Hal ini dikarenakan pada masalah keuangan terdapat fungsi peuah acak yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus iasa. Untuk menyelesaikan fungsi terseut dilakukan melalui :. Formula ˆ Ito. Persamaan diferensial stokastik Keuntungan dari penggunaan lemma seperti yang disampaikan Malliaris adalah seagai erikut :. Penurunan persamaan diferensial stokastik dapat menggunakan aturanaturan pada kalkulus iasa.. Mempertahankan keeradaan proses gerak Brown. Artinya dengan menggunakan lemma ˆ Ito Itoˆ, diferensial dari proses stokastik yang ergantung pada proses gerak Brown akan menjadi fungsi yang memuat proses stokastik gerak Brown (Malliaris & Brock 98). Selanjutnya lemma Itoˆ dituliskan seagai erikut : Lemma ( Itoˆ ) Misalkan proses X(t) memenuhi persamaan diferensial stokastik dx() t = atdt () + tdw () () t dengan W(t) proses Wiener, dan fungsi, (.) f t X t adalah kontinu dan mempunyai turunan f t( t, X ( t)), f X ( t, X ( t)), f XX ( t, X ( t )) kontinu. Maka proses, f t X t juga memenuhi persamaan diferensial stokastik df (, t X ()) t = f t ( t, X () t ) + f XX ( t, X () t ) () t + f X ( t, X () t ) a() t dt + f t, X ( t) ( t) dw ( t). (.) X Formula diatas diseut formula Itoˆ (Gihman & Skorohod 97). Untuk memuktikan formula erikut : ˆ Ito Teorema (Pertidaksamaan Markov) terseut diutuhkan lemma dan teorema Misalkan X peuah acak tak negatif. Untuk semarang t > 0, E ( X ) P( X t) t (Ghahramani 000).

0 Bukti: Misalkan f x fungsi kepekatan peluang dari peuah acak X. A himpunan nilai yang mungkin dari X, dan B = { x A : x t}. Maka Jadi = =. E X xf x dx xf x dx t f x dx tp X t A B B E ( X ) P( X t). g t Teorema (Pertidaksamaan Cheyshev) Jika X suatu peuah acak dengan nilai harapan μ dan varians σ, maka untuk semarang t > 0 σ P( X μ t) t (Ghahramani 000). Bukti: Karena ( X μ) 0 (( μ ) ) maka dengan pertidaksamaan Markov diperoleh μ σ E X P X t = t t Pertidaksamaan Cheyshev dipenuhi karena X μ t setara dengan X μ t g Definisi 9 (Konvergen dalam Peluang) Misalkan X, X, X 3,... suatu ruang contoh Ω. X, jika untuk setiap ε > 0 ( n ) lim P X X > ε = 0 n (Ghahramani 000). Definisi 0 (Fungsi Pemangkit Momen) adalah arisan peuah acak yang didefinisikan pada X n diseut konvergen dalam peluang ke peuah acak Fungsi pemangkit momen (moment generating function) dari X didefinisikan seagai

X sx = M s E e untuk sx s asalkan nilai harapan E ( e ) ada (Hogg et al, 005). Teorema 3 (Momen ke-n) Misalkan X peuah acak dengan fungsi pemangkit momen M X ( s ). Maka momen ke-n dari peuah acak X adalah n ( n = ) (0), E X M X dimana Bukti: X ( M n ) ( s ) adalah turunan ke-n dari M ( s ) (Ghahramani 000). X sx = M s E e ' d M X s E e ds sx = d = ds = = sx = E ( Xe ) sx = M s E X e... " X sx e f ( x) dx d ( e sx f ( x )) dx ds sx xe f ( x ) dx sx = M s E X e (3) 3 X n = X = M s E X e M 0 E X. ( n) n sx ( n) X X g Lemma Misalkan t < t, dan W () t proses Wiener aku, t = t 0 < t <... < t = t, dan n n nn lim maks ( t t ) = 0, maka n k n( k + ) nk n W ( tn( k + ) ) W ( tnk) konvergen dalam k = 0 peluang ke t t (Gihman & Skorohod 97).

Bukti: Misalkan maka n θ = W ( t ) W ( t ) n n( k + ) nk k = 0 n E( θn) = E W ( tn( k + ) ) W ( tnk ) k = 0 n = E W ( tn( k + ) ) W ( tnk) k = 0 { var W ( tn ( k ) ) W ( t ) + nk ( E W ( tn ( k + ) ) W ( tnk ) ) } n n0 n n nn n( n) n = + k = 0 n = var W ( tn( k + ) ) W ( tnk) k = 0 = t t + t t +... + t t nn E( θ ) = t t. n = t t n 0 Dengan kata lain rataan jumlah selisih kuadrat dari suatu proses gerak Brown hanya ergantung parameter waktu awal dan waktu akhir saja. Selanjutnya dari keeasan peuah W ( tn( k + ) ) W ( tnk) diperoleh n W tn( k + ) W tnk k = 0 var( θn) = var. Padahal { } { } n( k + ) nk = n( k + ) nk n( k + ) nk var W ( t ) W ( t ) E W ( t ) W ( t ) E W ( t ) W ( t ) Sehingga n var( θ ) 3 ( t t ) n n( k + ) nk k = 0 E W ( t ) W ( tnk) = (lihat lampiran A) n( k + ) 3( tn( k + ) tnk). 3 maks ( t t )( t t ) 0 (lihat lampiran C) k n( k + ) nk Dari ketaksamaan Cheyshev diperoleh var( θn ) P[ θn E( θn) > ε]. ε Jadi θ n konvergen dalam peluang ke t t. g 4

3 Akiat Jika t < t, maka t W t dw t = [ W t ] [ W t ] t t t () () (.3) (Gihman & Skorohod 97). Bukti: Misalkan t = t < t < < t = t, n0 n... nn t t n lim nk n( k + ) n k = 0 n ( nk ) W t dw t = W t W t W t { W ( tnk ) W ( tn( k ) ) W ( t + nk ) } k 0 n { ( W tn ( k ) ) ( W ( tnk )) + W ( tn ( k + ) ) W ( tnk ) } = lim n = = lim n k = 0 n = [ W ( t) ] [ W ( t )] lim W ( tn( k ) ) W ( t ) + nk n k = 0 = [ W ( t) ] [ W ( t) ] ( t t). g Teorema 4 Misalkan X dan X peuah acak. maka dx () t = atdt () + () tdw() t dx () t = a() tdt+ () tdw() t dx ( () tx ()) t = X() tdx () t + X tdx() t + () t() tdt (.4) (Gihman & Skorohod 97). Bukti: Dari (.3) didapat t W t dw t = [ W t ] [ W t ] t t t () (). Dengan penerapan teorema dasar kalkulus pada ruas kanan diperoleh atau W () t dw () t = d [ W () t ] dt [ ] dw() t = W() tdw() t + dt. (.5)

4 Untuk t t dengan partisi lim maks ( t t ) = 0, maka n k t t t t Sehingga n( k + ) < t tn 0 tn... tnn t nk n W () t d() t = lim W ( t )[ t t ] n k = 0 n( k + ) n( k + ) nk n nk n ( k + ) nk n k = 0 tdw () t = lim t W ( t W ( t ). = < < < =, dan t t n W () t d() t + tdw () t = lim tn( k + ) W ( tn( k + ) ) tnkw ( tnk) n t k 0 t = Akiatnya = tw ( t ) tw ( t ). d( tw ()) t = W () t dt + tdw (). t (.6) Dengan asumsi ahwa fungsi-fungsi a () t = a, () t =, a () t = a, () t = adalah konstan, maka Sehingga X () t = at + W () t X () t = at + W () t d( X ( t) X ( t)) = d([ at + W ( t)][ a t + W ( t)]) = d( aat + atw ( t) + atw ( t) + [ W ( t)] ) = aa tdt + a tdw ( t) + aw ( t) dt + atdw ( t) + aw ( t) dt + W ( t) dw ( t) + dt = [ at + W ( t)][ adt + dw ( t)] + [ at + W ( t)][ adt + dw ( t)] + dt = X ( t) dx ( t) + X ( t) dx ( t) + dt. g Lemma 3 Untuk semua m m m m( m ) = + dw ( ( t)) mw ( ( t)) dw( t) ( W( t)) m dt (Gihman & Skorohod 97). Bukti: Untuk m = dapat dilihat pada (.5). Selanjutnya misalkan erlaku untuk m = k, maka untuk m = k +, dengan menggunakan Teorema 4 didapat

5 k + k k k d( W ( t)) = ( W ( t)) dw ( t) + W ( t) d( W ( t)) + k( W ( t)) dt k( k ) = + + k + kw ( ( t)) dt k k k ( W ( t)) dw ( t) W ( t)[ k( W ( t)) dw ( t) ( W ( t)) dt] k k( k + ) k = ( k + )( W ( t)) dw ( t) + ( W ( t)) dt. Sehingga menurut prinsip induksi matematika kesamaan erlaku untuk semua m. g Selanjutnya dengan mengamil seagai erikut: Akiat ( ) Jika f ( x ) kontinu dan memiliki turunan kedua, maka k + f W t = W t diperoleh akiat df ( W ( t )) = f '( W ( t )) dw ( t ) + f "( W ( t )) dt (.7) dengan f '( x ) turunan pertama terhadap x, dan f "( x ) turunan kedua terhadap x (Gihman & Skorohod 97). Lemma 4 Misalkan fungsi φ(, t x) didefinisikan untuk t [0, T ], x adalah (, ) fungsi kontinu dan terdiferensialkan terhadap t dan mempunyai turunan kedua yang kontinu terhadap x, maka dφ(, t W ()) t = [ φt(, t W ()) t + φww (, t W ())] t dt + φw (, t W ()) t dw () t (.8) Dengan φ ( t, x), φ ( t, x), φ ( t, x) masing-masing adalah turunan pertama t X XX terhadap t, turunan pertama terhadap x, dan turunan kedua terhadap x (Gihman & Skorohod 97). Bukti: Misalkan φ(, t x) = g() t ϕ( x), dengan gt () kontinu terdiferensialkan dan ϕ( x ) kontinu terdiferensialkan kedua. Dari (.6) dan (.7) diperoleh dφ(, t W ()) t = ϕ( W ()) t g '() t dt + g() t dϕ( W ()) t = [ ϕ( W( t)) g'( t) + gt ϕ"( W( t))] dt+ gt ϕ'( W( t)) dw( t) = [ φt( tw, ( t)) + φww ( tw, ( t))] dt+ φw ( tw, ( t)) dw( t). g

6 formula Berdasarkan teorema dan lemma di atas selanjutnya dapat diuktikan Itoˆ (.) seagai erikut: Misalkan φ (, tw()) t = f(, t X()) t (.9) dengan X ( t ) memenuhi persamaan (.), maka persamaan (.9) akan memenuhi φt(, t W ()) t = f t(, t X ()) t + a() t f X (, t X ()) t φw (, tw()) t = t () f X (, t X()) t φ ( t,( W ( t)) = ( t) f ( t, X ( t)). WW XX Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (.8) diperoleh df (, t X ()) t = f t ( t, X () t ) + a() t f X ( t, X () t ) + () t f XX ( t, X () t ) dt + tf X ( t, X( t) ) dw( t) = f t ( t, X ( t) ) + f XX ( t, X ( t) ) ( t) + f X ( t, X ( t) ) a( t) dt + f t, X ( t) ( t) dw ( t ). g X

BAB 3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA SUATU ASET TURUNAN Pemahasan harga opsi tidak dapat dilepaskan dari pemahasan tentang sekuritas lain yang erhuungan dengan haga opsi. Sehingga perlu diahas masalah sekuritas yang erhuungan dengan harga opsi. 3.. Harga Saham Saham merupakan suatu entuk aset finansial yang nilainya eruah-uah mengikuti harga pasar pada suatu saat sesuai dengan anyaknya penawaran dan permintaan pada saat terseut. Sehingga pada jangka waktu tertentu harga saham dapat mengalami kenaikan maupun penurunan atau ahkan dapat pula tidak mengalami peruahan harga. Jadi peruahan harga saham dipengaruhi oleh peruahan waktu dan dipengaruhi pula oleh peuah-peuah pengganggu yang erupa peuah acak dan mengikuti gerak Brown. Peruahan harga saham terseut dapat dimodelkan seagai erikut: ds () t = S ()( t μdt + σdw ()) t atau dapat ditulis dimana : ds () t = μs () t dt + σs () t dw () t (3.) S() t : harga saham μ : harapan tingkat pendapatan investor (expected return), yang σ dt nilainya tergantung pada resiko pendapatan dari saham : volatilitas dari harga saham : periode waktu dw () t : peuah acak dengan drift rate 0 dan variance rate, dimana W() tproses stokastik yang mengikuti gerak Brown (Hull 003). Dengan demikian, peruahan harga saham tidak secara langsung dipengaruhi oleh W(t), tetapi oleh dw(t). erikut: Selanjutnya dari (3.) dapat dicari harga saham S() t dengan cara seagai

8 Misalkan y(, t S) = ln S() t atau St () = e y ( t) y y y = 0, =, = t S S S S Menurut lemma ˆ Ito y y y y dy (, t S ) = + μs + σs dt σsdw () t + t S S S y y y dt ( μsdt σsdw ( t )) σ S dt = + + + t S S = ( μsdt + σsdw ( t )) σ S dt S S = μdt + σdw ( t ) σ dt = ( μ σ ) dt + σdw ( t ) atau dapat dinyatakan dy () t = ( μ σ ) dt + σdw (). t (3.) Persamaan diferensial (3.) mempunyai solusi t t y () t y (0) = μ σ ds + σdw s 0 0 y t y t W t = ( 0) + μ σ + σ dimana y (0) merupakan nilai awal dari y() t. Atau dapat dinyatakan S t = S μ σ t + σw t () (0)exp () dimana S (0) merupakan harga awal dari suatu saham. (3.3) Persamaan (3.3) menunjukkan ahwa harga saham mengikuti proses gerak Brown Geometris. Dengan mengingat sifat eksponensial, dapat disimpulkan ahwa harga saham tidak akan ernilai negatif, dan erdistriusi lognormal. Sehingga untuk T dan t = + μ σ + σ ln S( t) ln S(0) t W ( t) = + μ σ + σ ln ST ln S(0) T W( T) Selanjutnya diperoleh

9 atau = μ σ + σ ln ST ln St ( T t) ( W( T) W( t)) ST = μ σ + σ (3.4) St () ln ( T t) ( W ( T ) W ( t)). Dengan menggunakan prosedur risk-neutral valuation yang menggunakan asumsi ahwa expected return dari underlying asset sama dengan risk-free interest rate ( μ = r ), maka persamaan (3.4) menjadi dan ST = σ + σ t (3.5) St () ln ( r )( T t) ( W ( T ) W ) ST = St r σ T t + σ W T W t ()exp ( ()). (3.6) ST Selanjutnya diperoleh ekspektasi dan varians dari ln seagai erikut: St () ST ln ( ) St () = σ + σ t = r σ ( T t) E E r T t W T W S T var ln = var r σ ( T t) + σ ( W ( T ) W ( t) ) S t ( T t) (3.7) = (3.8) σ. 3.. Harga Oligasi Oligasi merupakan suatu aset tanpa resiko yang ersifat deterministik, dengan tingkat suku unga ernilai konstan. Sehingga peruahan harga oligasi dirumuskan seagai erikut: adalah Misalnya B () t adalah harga oligasi pada waktu t, maka peruahannya db () t = rb () t dt (3.9) dimana solusi dari persamaan diferensial terseut adalah B () t = B(0) e rt dengan r adalah tingkat suku unga konstan, dan B (0) harga awal dari oligasi.

0 3.3. Nilai Aset Turunan Aset finansial dari suatu perseroan merupakan aset dalam entuk saham atau oligasi. Sehingga nilai aset finansial dipengaruhi oleh saham ( St ()) dan oligasi ( Bt) (). Jika dimisalkan nilai aset finansial adalah f ( tst,, Bt ), maka dapat ditulis dimana f tst, (), Bt () = φ() tst () + ψ() tbt () (3.0) f ( tst,, Bt ) adalah nilai aset finansial φ () t adalah anyak unit saham ψ () t adalah anyak unit oligasi. Karena nilai aset finansial dipengaruhi oleh harga saham dan oligasi, maka f ( tst,, Bt ) merupakan nilai dari suatu aset turunan (derivative asset) pada waktu t. Dimana peruahan nilainya ergantung pada peruahan harga aset finansial lain, yaitu harga saham dan oligasi. Sehingga peruahan nilai aset finansial akan memenuhi df t, S (), t B () t = φ() t ds () t + ψ() t db () t (3.) Dengan mensustitusi (3.) dan (3.9) ke persamaan (3.) diperoleh [ ] df t, S (), t B () t = φ() t μs () t dt + σs () t dw () t + ψ() t rb () t dt = μφ( tst ) + ψ ( trbt ) dt+ σφ( tstdw ) ( t). (3.) Persamaan (3.) merupakan refleksi proses peruahan nilai aset turunan yang diseakan peruahan harga saham dan harga oligasi. 3.4. Persamaan Diferensial untuk Penentuan Harga Suatu Aset Turunan Untuk mendapatkan persamaan diferensial untuk penentuan harga aset turunan, dapat dilakukan dengan memisalkan f ( tst, ), t T merupakan harga aset turunan pada waktu t. Dari persamaan (3.) erlaku lemma diperoleh (, ) (, ) (, ) f tst f tst f tst df ( t, S ( t )) = + σ S ( t ) + μs ( t ) dt t S( t) S( t) f ( t, S( t) ) + σstdw ( t). St () Itoˆ, sehingga (3.3)

Padahal dari persamaan (3.) df t, S (), t B () t = μφ() t S () t + ψ () t rb () t dt + φ() t σs () t dw (). t (3.4) Dengan menyamakan persamaan (3.3) dan (3.4) dapat dipilih f φ() t = dan diperoleh ( tst, ) St () (, ) (, ) (, ) f t S t f t S t f t S t μφ ψ σ μ t S( t) S( t) () tst () + () trbt () = + S() t + St (). Selanjutya sustitusi persaman (3.5) ke persamaan (3.6) diperoleh ψ (, ) (, ) f tst f tst () t rb() t = + σ S (). t t S( t) Selanjutnya dengan memisalkan (, ) (,, ) (3.5) (3.6) (3.7) f tst = f tst Bt = f, dan sustitusi persamaan (3.5) ke persamaan (3.0) diperoleh f ψ () t B() t = f S() t. St () Dengan mensustitusi persamaan (3.8) ke persamaan (3.7) diperoleh (3.8) atau r f S t = + S t S() t t S() t f f f () σ () f f f () σ () rf rs t = + S t S() t t S() t f f f + σ S () t + rs() t rf = 0. (3.9) t S( t) S( t) Persamaan (3.9) merupakan Persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan, yang dikenal dengan Persamaan Diferensial Black- Scholes-Merton (BSM) (Stampfli & Goodman 00). Persamaan diferensial BSM mempunyai solusi yang erlaku untuk semua aset turunan, ergantung pada syarat atas yang digunakan oleh masing-masing jenis aset turunan (Hull 003). Selanjutnya untuk menyelesaikan persamaan diferensial (3.9) dilakukan dengan melakukan transformasi ke persamaan panas (Shiryaev 997).

Definisikan dan θ = θ = σ (, ts) ( T t) σ Z = Z (, t S) = ln S() t + ( r )( T t) (3.0) V V Z e f t S t rt ( t) = ( θ, ) = (, ). (3.) Sehingga diperoleh θ θ = σ, = 0 t S() t dan Z σ = r, t Z =. S() t S() t Dari persamaan (3.) diperoleh dan serta ( t) (, ) = f tst e V f t f S ( t) ( t) V = e rv + e t dv e rv dt V Z V θ e rv Z t θ t ( t) = + ( t) = + + ( t) σ V V = e rv r σ Z θ (3.) = e ( t) V S V Z V θ Z S θ S V S Z ( t) = e + = e ( t) (3.3)

3 f f S S S = ( t) V = e S S Z e V V S S Z Z S S V V S Z S Z S S ( t) = + e ( t) = + V Z V S Z Z S Z S S V V V V. S Z Z ( t) = + e ( t) = e S Z Z S S Z ( t) = e (3.4) Selanjutnya dengan mensustitusikan persamaan (3.), (3.3), dan (3.4) ke dalam persamaan (3.9) diperoleh σ V V V V e rv r e S Z θ S Z Z ( t) V + e rs rf = 0 S Z ( t) ( t) σ + σ rt ( t) V V V V V V e σ rv r + σ + σ σ + r rf Z Z θ Z Z Z = 0 rt ( t) V V e rv σ + σ rf θ Z = 0 e V V t rv σ + σ θ Z = rf rt ( t) rt ( t) V V rv e e + σ + σ rf. θ Z = (3.5) Dari persamaan (3.) diperoleh rv e ( t) = rf. Sehingga (3.5) memeri hasil rt ( t) V V e σ + σ = 0. θ Z

4 Dengan demikian V V σ + σ = 0 θ Z V V + = 0 θ Z V V = 0. θ Z Persamaan (3.6) merupakan persamaan panas untuk V ( θ, Z ). (3.6) Dari lampiran D diperoleh penyelesaian dari persamaan panas (3.6) yaitu ( y Z ) θ V ( θ, Z ) = e h( y) dy (3.7) πθ dimana h( y) = V (0, y) merupakan syarat atas persamaan. 3.5. Present Value Nilai Harapan Selisih Harga Eksekusi dengan Harga Saham Untuk menghitung present value nilai harapan selisih harga eksekusi (strike price) dengan harga saham dapat dilakukan dengan menghitung nilai aset turunan f () t. Selanjutnya jika tingkat suku unga aset tanpa resiko (oligasi) tidak ernilai nol ( r 0), maka menurut Baxter (Baxter & Rennie, 996) untuk menghitung nilai aset turunan f () t dilakukan dengan memperhitungkan proses diskonto terhadap harga oligasi. Sehingga diperoleh rt ( ) f () t = B () t E B ( T ) f ( T ) = rt e E e f T ( ) r ( T t ) = e E f T (3.8) Persamaan (3.8) menyatakan ahwa nilai aset turunan f () t, merupakan present value nilai harapan harga aset turunan pada saat yang akan datang, seut T ( T > t). Pada opsi, harga aset turunan pada waktu T, yaitu f ( T ) merupakan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada saat T. Dengan demikian harga opsi f () t, merupakan present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada saat jatuh tempo T.

BAB 4 NILAI OPSI 4.. Model Nilai Opsi Berdasarkan Persamaan Diferensial untuk Penentuan Harga Suatu Aset Turunan 4... Opsi Call Seagaimana dijelaskan pada BAB 3 ahwa persamaan diferensial untuk penentuan harga aset turunan mempunyai solusi yang erlaku untuk semua aset turunan, ergantung pada syarat atas yang digunakan oleh masing-masing jenis aset turunan. Untuk opsi call syarat atasnya menurut Shiryaev adalah y V (0, y ) = maks{ e K, 0} = maks{ S ( T ) K, 0} = ( ST K ) +, dengan K adalah harga eksekusi dan ST harga saham pada saat jatuh tempo (T). Untuk syarat atas V (0, y) = h( y), maka h( y) = ( S( T ) K ) +, dengan y = ln S( T ). Selanjutnya dari persamaan (3.) dan (3.7) diperoleh ( t) (, ) = f tst e V ( yz) rt ( t) θ f (, tst ()) = e e hydy πθ σ ln ST ln St + r ( T t) rt ( t) e ( S ( T ) K ) + = exp d ln S ( T ) πθ σ ( T t) σ ln ST ln St + r T t ( t) + = e ( S( T) K) exp πσ ( T t) σ T t dln S( T). Dengan memperhatikan ahwa eksekusi opsi call dilakukan apaila harga saham di pasar leih dari harga eksekusi, atau dengan kata lain eksekusi opsi call dilakukan apaila ST > K, dan tidak dieksekusi apaila ST K. Sehingga atas awah dari eksekusi opsi call adalah jika ST = K atau ln ST = ln K. Sedangkan atas atas harga saham untuk eksekusi opsi call tidak teratas atau ST, yang erakiat ln ST. Sehingga diperoleh

6 σ ln ST ln St r ( T t) ( t) + e f (, tst ()) = ( ST K) exp dln ST πσ ( T t) lnk σ T t (4.) Misalkan ln ln σ m = σ T t ST St r T t maka dengan sustitusi persamaan (3.7) dan (3.8) diperoleh (4.) dan σ σ T t ( ) ( ) E( m) = E ln S( T ) ln S( t) r T t ST = ln σ σ T t St () E r T t = σ σ T t = 0 σ ( ) r T t r T t ST σ ln r T t St () var( m ) = var σ T t = = T t = ST σ = var ln r T t σ ( T t) S( t) ST var ln σ ( T t) S( t) σ. σ ( T t) ( ) Melalui transformasi ln ST ke m, sehingga persamaan (4.) terintegralkannya terhadap m, maka atas awah integral menjadi

7 n = σ T t St () ln r σ ( T t) K =. σ T t Dari (4.) diperoleh ( ln K ln S( t) ) r σ ( T t) (4.3) = σ + σ ST St exp m T t r T t Sehingga persamaan (4.) dapat dinyatakan seagai ( t) mσ T t r σ ( T t) + m e f (, tst ()) = ( Ste () Ke ) dm π (4.4) ( t) mσ T t r σ ( T t) m rt ( t) + m e e = Ste dm Ke dm π π = π n n n Ste mσ T t σ ( T t) m ( t) e m dm Ke dm π ( t) ( mσ T t ) e m = St e dm K e dm π π n ( rt ( t) σ ) n n ( σ ) ( σ ) ( t) ( ( σ )) ( t) ( ) ( σ ) ( t) = St N m Tt Ke N m = St N Tt N n Tt Ke N N n = St N n+ Tt Ke N n = StN n+ Tt Ke N( n) (4.5) dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,). Dengan demikian nilai opsi call pada saat t dengan harga saham S(t), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah ( t) ( σ ) f tst, = StN n+ Tt Ke N( n) atau dinyatakan seagai ( t) ( σ ) c t, S( t) = S( t) N n + T t Ke N ( n) dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan n seperti pada persamaan (4.3). Sedangkan nilai opsi call pada saat t = 0, dengan harga saham awal S(0), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah ( σ ) rt f 0, S (0) = S (0) N z + T Ke N ( z ) n n n

8 atau dinyatakan seagai ( σ ) rt c 0, S (0) = S (0) N z + T Ke N ( z ) dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan S (0) ln r σ T K z =. (4.6) σ T 4... Opsi Put Untuk menentukan nilai opsi put erdasarkan persamaan diferensial untuk penentuan harga aset turunan dapat dilakukan dengan cara serupa dengan mencari nilai opsi call, dengan memperhatikan syarat atas dari opsi put yaitu y { } { } = = = V (0, y ) maks K e,0 maks K S ( T ),0 K S T +. Opsi put akan dieksekusi apaila harga saham di pasar kurang dari harga eksekusi (K). Atau dengan kata lain opsi put akan dieksekusi apaila ST < K, dan opsi tidak dieksekusi apaila ST K. Jadi atas atas dari eksekusi opsi adalah jika ST = Katau ln ST = ln K. Sedangkan atas awah harga saham untuk eksekusi opsi put adalah nol atau ST 0, yang erakiat ln ST. Sehingga (4.) menjadi σ ln ST ln St r ( T t) ( t) lnk + e f ( tst, ) = ( K ST )exp dln ST. πσ ( T t) σ T t Selanjutnya dengan sustitusi m pada (4.) dan n pada (4.3), diperoleh ( t) n e m f (, tst ()) = K St ()exp mσ T t r σ ( T t) e dm π + e = ( t) n π Ke m dm ( t) e + ( ) π n St exp mσ T t r σ T t m dm n n m Ke dm S ( t )exp m T t T t m dm ( t) e = σ σ ( ) π π

9 n n m ( mσ T t ) ( t) e = K e dm S( t) e dm π π n ( σ ) ( t) Ke N m S t N m T t = ( t) = Ke N n N ( σ ) ( σ ) ( σ ) St N n Tt N Tt ( t) = Ke N n S t N n T t (4.7) dimana N adalah fungsi distriusi Normal (0,) dan n seperti pada persamaan (4.3). Dengan demikian nilai opsi put pada saat t dengan harga saham S(t), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah (, ) rt t = σ f tst Ke N n StN n T t atau dinyatakan seagai (, ) rt t = σ p tst Ke N n StN n T t dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan n seperti pada persamaan (4.3). Sedangkan nilai opsi put pada saat t = 0, dengan harga saham awal S(0), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah ( 0, (0)) = (0) rt σ f S Ke N n S N n T atau dinyatakan seagai ( 0, (0)) = (0) rt σ p S Ke N z S N z T dimana N adalah fungsi distriusi Normal (0,) dan z seperti pada persamaan (4.6). n 4.. Model Nilai Opsi Menggunakan Present Value Nilai Harapan Selisih Harga Eksekusi dengan Harga Saham pada Waktu Jatuh Tempo 4... Opsi Call Nilai opsi f () t, merupakan present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo T, yang dirumuskan seagaimana persamaan (3.8). Dimana, untuk opsi call nilai ( ) f T = S T K +. Sehingga nilai opsinya diperoleh

30 ( ) f t e E S T K + () r T t =. Dengan sustitusi ST dari persamaan (3.6), maka diperoleh ( t) f (, tst ()) = e E St ()exp ( r σ )( T t) + σ( WT W()) t K ξ ( ) + ξ ( t) rt ( t) e E S t e e K = ( t) e E ae K = (4.8) dengan rt ( t) W ( T ) W ( t) a = S( t) e, = σ T t, dan ξ =. (4.9) T t Dimana ξ erdistriusi Normal dengan dan W T W t E( ξ ) = E T t = EW T W t T t = EW ( ( Tt) ) T t = 0 var ( ξ ) ( ) W T W t = var T t = var T t = var T t = ( T t) =. T t ( W ( T ) W ( t) ) ( W ( T t) ) Jika ϕ ( x ) adalah fungsi kepekatan peluang dari peuah acak ξ, maka + ξ x ( ) = ( ) ϕ E ae K ae K x dx + K ln + a x ae ϕ( x ) dx K ϕ ( x ) dx. (4.0) K K ln + ln + a a = +

3 Dari persamaan (4.0), seut ln x K a A ae x dx ϕ + =, dan ln. K a B K x ϕ + = dx Selanjutnya A dan B diselesaikan seagai erikut: ln ln ln ln ln x K a x x K a x x K a x x K a x K a A ae x dx a e e dx a e d a e d a e dx ϕ π π π π + + + + + + = = = = = x x misalkan x η =, maka d dx η =, dan atas awah integrasi menjadi ln ln ln. K K a a K a + + = = Sehingga diperoleh [ ] ln ln ln K a K a a A e d an K a N N a η η π η = = =

3 dan K = a N ln a a = an ln + K K ln + a B = K ϕ x dx = K N x K ln + a K = K N ( ) N ln + a K = K N ln + a a = KN ln. K Dari hasil A dan B maka persamaan (4.0) menjadi ξ + a a E ae K = an ln + KN ln K K Dengan sustitusi (4.) ke persamaan (4.8), diperoleh (4.) r T t a a f ( t, S ( t) ) = e an ln + KN ln K K Sustitusi a dan dari persamaan (4.9) ke persamaan (4.), diperoleh rt ( t) S() t e σ ( T t) ln + = K σ T t ( t) rt ( t) f t, S( t) e S( t) e N S t e T t ln K σ T t rt ( t) () σ ( t) Ke N.(4.)

33 = S( t) N Ke S() t ln + + σ K σ T t ( t) r T t S() t ln r σ K N σ T t dimana N adalah fungsi distriusi Normal (0,). Persamaan (4.3) dapat juga dinyatakan seagai ( T t) + (4.3) ( t) ( σ ) f tst, = StN n+ Tt Ke N( n) (4.4) dengan n seperti pada persamaan (4.3). Dengan demikian nilai opsi call pada saat t dengan harga saham S(t), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah ( t) ( σ ) f tst, = StN n+ Tt Ke N( n) atau dinyatakan seagai ( t) ( σ ) c t, S( t) = S( t) N n + T t Ke N ( n) (4.5) dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan n seperti pada persamaan (4.3), yaitu n = St () ln r σ K σ T t ( T t) Sedangkan nilai opsi call pada saat t = 0, dengan harga saham awal S(0), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah ( σ ) rt c 0, S (0) = S (0) N z + T Ke N ( z ) (4.6) dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan z seperti pada persamaan (4.6), yaitu S (0) ln r σ T K z = σ T

34 4... Opsi Put Untuk menentukan nilai opsi put menggunakan present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu jatuh tempo T, dapat dilakukan dengan cara serupa dengan mencari nilai opsi call, dengan memperhatikan nilai opsi yang dirumuskan seagaimana persamaan (3.8). Dimana, untuk opsi put nilai f ( T ) = ( K S( T )) +. Sehingga nilai opsinya diperoleh ( ) r ( T t ) f () t = e E K S T Dengan sustitusi ST + dari persamaan (3.6), maka diperoleh f ( t S t ) = e E K S t r σ T t + σ W T W t r( T t ), exp ( ) ξ ( ) + ξ r( T t ) r( T t ) e E K S t e e = r( T t ) e E K ae = (4.7) dengan rt ( t) W ( T ) W ( t) a = S( t) e, = σ T t, dan ξ =. (4.8) T t Dimana ξ erdistriusi Normal (0,). Jika ϕ ( x ) adalah fungsi kepekatan peluang dari peuah acak ξ, maka K ln + a + ξ x ( ) = ( ) ϕ E K ae K ae x dx Dari persamaan (4.9), seut K ln + a K K ln + ln + a a + x ϕ = K ϕ x dx ae x dx (4.9) x = ϕ dx, dan ϕ A K x K ln + a B = ae x dx Selanjutnya A dan B diselesaikan seagai erikut: +

35 dan K ln + a A = K ϕ x dx = K N x K ln + a K = K N ln + N a K = KN ln + a a = KN ln K ( ) K ln + a π π π x B = ae ϕ x dx = = = a a a K ln + a x x e K ln + a + e K ln + a e ( x x ) dx ( x ) dx misalkan η = x, maka dη = dx, dan atas atas integrasi menjadi dx K ln K + ln a + = a K = ln a Sehingga diperoleh

36 K ln a η a B = e dη π [ ( η) ] = an K ln a K = a N ln N a K = a N ln a a = an ln +. K ( ) Dari hasil A dan B maka persamaan (4.9) menjadi ξ + a a E K ae = KN ln an ln +. K K Dengan sustitusi (4.0) ke persamaan (4.7) diperoleh ( t) a a f ( tst, ) = e KN ln an ln +. K K Sustitusi a dan dari persamaan (4.8) ke persamaan (4.) diperoleh (, ) S () t e ln = K σ r ( T t ) f t S t Ke N r ( T t ) r ( T t ) e S t e N r ( T t ) = Ke N r ( T t ) T σ t S () t e ln K σ ( T t ) r ( T t ) S () t σ ln + r T t K σ T t T t S () t σ ln + r + ( T t ) K S ( t) N. σ T t σ + ( T t ) (4.0) (4.) (4.) Persamaan (4.) dapat dinyatakan seagai

37 ( t) (, ) ( σ ) f tst = Ke N n S t N n T t (4.3) dengan n seperti pada persamaan (4.3). Dengan demikian nilai opsi put pada saat t dengan harga saham S(t), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah (, ) rt t = σ f tst Ke N n StN n T t atau dinyatakan seagai (, ) rt t σ p tst = Ke N nstn n T t (4.4) dengan N adalah fungsi distriusi Normal (0,), dan n seperti pada persamaan (4.3). Sedangkan nilai opsi put pada saat t = 0, dengan harga saham awal S(0), waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi K adalah ( 0, (0)) (0) rt σ p S = Ke N z S N z T (4.5) dimana N adalah fungsi distriusi Normal (0,) dan z seperti pada persamaan (4.6). 4.3. Ilustrasi Model Nilai Opsi Ilustrasi model nilai opsi dilakukan dengan mengamil eerapa contoh kasus kontrak opsi. Selanjutnya diselesaikan dengan antuan Software MATLAB 6.5, untuk menentukan nilai opsi call dan opsi put. Dalam pemuatan program penentuan nilai opsi, diperlukan algoritma seagai erikut :. Input data erupa waktu jatuh tempo (T), harga eksekusi (K), suku unga (r), volatilitas ( σ ), waktu oservasi (t), dan harga saham pada waktu t (S).. Jika ( T t ) 0 Opsi kedaluwarsa (input diulang) 3. Jika ( T t) > 0 3.. Menentukan nilai n seperti pada persamaan (4.3). 3.. Menentukan nilai N yang merupakan nilai fungsi distriusi normal aku N ( n σ T t ) +. 3.3. Menentukan nilai N yang merupakan nilai fungsi distriusi normal aku N ( n).

38 3.4. Menentukan nilai N3 yang merupakan nilai fungsi distriusi normal aku N ( n σ T t ). 3.5. Menentukan nilai N4 yang merupakan nilai fungsi distriusi normal aku N ( n ). 3.6. Menentukan nilai opsi call dan opsi put, dengan menggunakan persamaan ( t) ( σ ) c = S() t N n + T t Ke N ( n) ( σ ) ( t) p = Ke N ( n) S ( t) N n T t Contoh perhitungan nilai opsi call dan opsi put Pada tanggal Peruari 007, dilakukan kontrak opsi terhadap saham, ketika harga saham Rp 8.000,00, dengan harga eksekusi Rp 7.900,00, tingkat suku unga seesar 8%, volatilitas 35%, dan waktu jatuh tempo pada tanggal Agustus 007. Akan ditentukan nilai opsi call dan nilai opsi put. Dengan menggunakan Software MATLAB 6.5, dan menjalankan program untuk menghitung nilai opsi call dan nilai opsi put dengan listing seperti pada lampiran E, serta memasukkan nilai-nilai parameter T, K, t, S, r, dan σ yang sesuai, maka diperoleh hasil seagai erikut: NILAI OPSI CALL DAN NILAI OPSI PUT Input : Out Put : Waktu jatuh tempo (T)=(tahun) 0.5 Nilai opsi call = 989.76 Harga eksekusi (K) = 7900 Nilai opsi put = 579.96 Waktu t tertentu (t) =(tahun) 0 Harga saham pada saat t (S) = 8000 Suku unga (r) = 0.08 Nilai volatilitas (σ ) = 0.35 Jadi diperoleh nilai opsi call seesar Rp 989,73 dan nilai opsi put seesar Rp 579,96. g Contoh kasus

39 Suatu kontrak opsi untuk enam ulan dilakukan ketika harga saham Rp 8.000,00, dengan harga eksekusi Rp 7.900,00, tingkat suku unga seesar 8%, dan volatilitas 5%. Untuk eerapa nilai S(0), diperoleh nilai opsi yang disajikan pada Tael. Tael Nilai opsi call dan opsi put dengan parameter T = 0,5, K = 7.900, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,35 S(0) 7.500 7.750 7.900 8.000 8.00 8.300 Call 698,80 837,9 97,5 989,73.053,83.87,53 Put 789,04 678,5 67,76 579,96 544,07 477,76 Dari ilustrasi terseut diperoleh huungan antara nilai opsi dengan harga saham, yang dapat digamarkan oleh grafik pada Gamar. Gamar Huungan antara nilai opsi dengan harga saham, dengan parameter T = 0,5, K = 7.900, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,35. Dari Gamar dapat dilihat ahwa semakin tinggi harga saham pada suatu waktu maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put akan semakin rendah. Sesuai dengan teori dari model nilai opsi call yang diperoleh pada pemahasan yaitu : ( σ ) rt c = S (0) N z + T Ke N ( z ) terlihat ahwa S (0) merupakan faktor dari suku yang dikurangi (suku yang ertanda positif) dan nilai fungsi distriusi normal selalu positif, sehingga semakin tinggi nilai S (0) maka semakin tinggi nilai suku yang dikurangi. Akiatnya opsi call semakin tinggi. Sedangkan model untuk opsi put yaitu : ( σ ) p = Ke N ( z ) S (0) N z T

40 Dari model nilai opsi put tampak ahwa S (0) merupakan faktor dari suku pengurang (suku yang ertanda negatif). Sehingga semakin esar nilai S (0), maka semakin esar nilai suku pengurangnya. Akiatnya nilai opsi put semakin rendah. Contoh kasus Suatu kontrak opsi untuk semilan ulan dilakukan ketika harga saham Rp 90,00, dengan harga eksekusi Rp 00,00, tingkat suku unga seesar 8%, dan volatilitas 5%. Untuk eerapa nilai K yang ereda diperoleh nilai opsi yang disajikan pada Tael. Tael Nilai opsi call dan opsi put dengan harga eksekusi, dengan parameter T = 0,75, S = 90, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0, 5 K 75 90 00 0 0 5 Call 3,06,04 7,5 3, 9,88 8,5 Put 5,87 0,97 5,50 0,88 7,06 30,4 Dari ilustrasi terseut diperoleh huungan antara nilai opsi dengan harga eksekusi, yang dapat digamarkan oleh grafik pada Gamar. Gamar Huungan antara nilai opsi dengan harga eksekusi, dengan parameter T = 0,75, S = 90, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0, 5. Dari Gamar dapat dilihat ahwa semakin tinggi harga eksekusi maka nilai opsi call akan semakin rendah, sedangkan nilai opsi put akan semakin tinggi. Sesuai dengan teori dari model nilai opsi call, terlihat ahwa K merupakan faktor dari suku yang ertanda negatif dan nilai fungsi distriusi normal selalu positif, sehingga semakin tinggi nilai K maka semakin tinggi nilai suku yang ertanda

4 negatif. Akiatnya opsi call semakin rendah. Sedangkan dari model nilai opsi put tampak ahwa K merupakan faktor dari suku yang ertanda positif. Sehingga semakin esar nilai K, maka semakin esar nilai suku yang ertanda positif. Akiatnya nilai opsi put semakin tinggi. Contoh kasus 3 Suatu kontrak opsi untuk satu tahun dilakukan ketika harga saham Rp 4.500,00, dengan harga eksekusi Rp 4.500,00, tingkat suku unga seesar 8%, volatilitas 30%. Untuk eerapa waktu jatuh tempo (T) yang ereda diperoleh nilai opsi yang disajikan pada Tael 3. Tael 3 Nilai opsi call dan opsi put dengan parameter K = 4.500, S = 4.500, t = 0, r = 0,08 dan σ = 0,3 T (th) / 3/ 6/ 8/ 9/ / Call 49,37 33,8 467,47 554,5 594,5 707,0 Put 89,77 4,8 9,0 30,43 33,45 36,03 Dari ilustrasi terseut diperoleh huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, yang dapat digamarkan oleh grafik pada Gamar 3. Gamar 3 Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter K = 4.500, S = 4.500, t = 0, r = 0,08 dan σ = 0,3. Dari Gamar 3, yang menunjukkan huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo pada kondisi nilai S = K, diperoleh informasi ahwa semakin lama waktu jatuh tempo maka nilai opsi call dan opsi put akan semakin tinggi. Contoh kasus 4

4 Suatu kontrak opsi dilakukan ketika harga saham Rp 4.500,00, dengan harga eksekusi Rp 5.000,00, tingkat suku unga seesar 8%, volatilitas 30%. Untuk eerapa waktu jatuh tempo, huungan nilai opsi dengan waktu jatuh tempo dapat digamarkan dengan grafik pada Gamar 4. G amar 4 Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter S = 4.500, K = 5.000, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3. Dari Gamar 4, yang menunjukkan huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo pada kondisi nilai S < K, diperoleh informasi ahwa semakin lama waktu jatuh tempo maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put terjadi penurunan sampai nilai T tertentu, kemudian meningkat. Contoh kasus 5 Suatu kontrak opsi dilakukan ketika harga saham Rp 4.500,00, dengan harga eksekusi Rp 5.400,00, tingkat suku unga seesar 8%, volatilitas 30%. Untuk eerapa waktu jatuh tempo, huungan nilai opsi dengan waktu jatuh tempo dapat digamarkan dengan grafik pada Gamar 5.

43 Gamar 5 Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter S = 4.500, K = 5.400, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3. Dari Gamar 5, yang menunjukkan huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo pada kondisi nilai S < K dengan selisih leih esar, diperoleh informasi ahwa semakin lama waktu jatuh tempo maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put akan semakin rendah. Hal ini diseakan semakin lama waktu jatuh tempo suatu opsi, mengakiatkan ketidakpastian harga saham sehingga dengan penetapan harga eksekusi yang terlalu tinggi, harga saham mungkin mengalami kenaikan selama umur opsi. Sehingga nilai opsi put menjadi turun untuk waktu jatuh tempo yang semakin lama. Contoh kasus 6 Suatu kontrak opsi dilakukan ketika harga saham Rp 4.500,00, dengan harga eksekusi Rp 4.000,00, tingkat suku unga seesar 8%, volatilitas 30%. Untuk eerapa waktu jatuh tempo, huungan nilai opsi dengan waktu jatuh tempo dapat digamarkan dengan grafik pada Gamar 6. Gamar 6 Huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo, dengan parameter S = 4.500, K = 4.000, t = 0, r = 0,08, dan σ = 0,3. Dari Gamar 6, yang menunjukkan huungan antara nilai opsi dengan waktu jatuh tempo pada kondisi nilai S > K, diperoleh informasi ahwa semakin lama waktu jatuh tempo maka nilai opsi call dan opsi put akan semakin tinggi. Dari Gamar 3, Gamar 4, Gamar 5, dan Gamar 6, diperoleh informasi ahwa semakin lama waktu jatuh tempo, nilai opsi aik call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put tidak memiliki kecenderungan tertentu yang sama, melainkan tergantung pada parameter lain.

44 Sesuai dengan teori dari model opsi call, ahwa penamahan nilai T akan menyeakan penurunan nilai yang merupakan faktor dari suku yang ertanda negatif. Namun peruahan nilai T juga menyeakan peruahan nilai fungsi distriusi normal dan N ( z ) e ( σ ) N z + T faktor dari suku yang ertanda positif faktor dari suku yang ertanda negatif. Karena ( σ ) ( N z + T N z ), sehingga peningkatan nilai T cenderung meningkatkan nilai suku yang ertanda positif. Akiatnya nilai opsi call cenderung meningkat, sedangkan untuk model opsi put penamahan nilai T akan menyeakan penurunan nilai yang merupakan faktor dari suku yang ertanda positif. Namun peruahan nilai T juga menyeakan peruahan nilai fungsi distriusi normal e ( σ ) N z T faktor dari suku yang ertanda negatif dan dari suku yang ertanda positif. Karena N ( z σ T ) N ( z ) N z faktor, maka peningkatan nilai T cenderung menurunkan nilai suku yang ertanda negatif. Sehingga aik suku yang ertanda positif maupum suku yang ertanda negatif mengalami penurunan. Dimana tingkat penurunan dari suku yang ertanda positif tergantung juga kepada esarnya nilai K, dan tingkat penurunan dari suku yang ertanda negatif tergantung juga kepada esarnya nilai S(0). Akiatnya huungan nilai opsi put dengan waktu jatuh tempo tidak memiliki kecenderungan tertentu yang sama, melainkan tergantung pada parameter lain. Contoh kasus 7 Suatu kontrak opsi untuk satu tahun dilakukan ketika harga saham Rp 5.000,00, dengan harga eksekusi Rp 5.000,00, dan volatilitas 30%. Untuk eerapa tingkat suku unga yang ereda diperoleh nilai opsi call dan opsi put yang disajikan pada Tael 4. Tael 4 Nilai opsi call dan opsi put dengan suku unga, dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan σ = 0,3 r 0.03 0.05 0.08 0. 0.3 0.5 Call 644,7 7,56 785,57 836,7 95,88 970,7 Put 56,34 467,7 40,5 360,89 306,36 73,68

45 Dari ilustrasi terseut diperoleh huungan antara nilai opsi dengan suku unga, yang dapat digamarkan oleh grafik pada Gamar 7. Gamar 7 Huungan antara nilai opsi dengan suku unga, dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan σ = 0,3. Dari Gamar 7 dapat dilihat ahwa semakin tinggi suku unga maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put akan semakin rendah. Sesuai dengan teori dari model nilai opsi call yang diperoleh pada pemahasan terlihat ahwa nilai r merupakan pangkat dari eksponen ertanda negatif. Akiatnya semakin tinggi nilai r, maka nilai semakin kecil. Sehingga nilai suku yang ertanda negatif semakin kecil, erakiat pada peningkatan nilai opsi call. Sedangkan model nilai opsi put tampak ahwa semakin kecil nilai, maka nilai suku yang ertanda positif semakin kecil. Akiatnya nilai opsi put semakin rendah. e e Contoh kasus 8 Suatu kontrak opsi untuk satu tahun dilakukan ketika harga saham Rp 5.000,00 dengan harga eksekusi Rp 5.000,00, dan tingkat suku unga 8%. Untuk eerapa nilai volatilitas yang ereda diperoleh nilai opsi call dan opsi put yang disajikan pada Tael 5. Tael 5 Nilai opsi call dan opsi put dengan suku unga, dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan r = 0,08 σ 0. 0.5 0.3 0.35 0.4 0.5 Call 605,9 694,6 785,57 877,9 969,3.53,9 Put 0,87 30,9 40,5 49,87 584,90 768,77

46 Dari ilustrasi terseut diperoleh huungan antara nilai opsi dengan volatilitas, yang dapat digamarkan oleh grafik pada Gamar 8. Gamar 8 Huungan antara nilai opsi dengan volatilitas, dengan parameter T =, S = 5.000, K = 5.000, t = 0, dan r = 0,08. Dari Gamar 8 dapat dilihat ahwa semakin tinggi nilai volatilitas maka nilai opsi call dan opsi put akan semakin tinggi. Sesuai dengan teori dari model nilai opsi call yang diperoleh pada pemahasan terlihat ahwa peningkatan nilai σ akan meningkatkan nilai dari fungsi distriusi normal yang merupakan faktor dari suku yang ertanda positif. Sehingga nilai opsi call semakin tinggi. Demikian juga untuk model nilai opsi put tampak ahwa semakin tinggi nilai σ akan menurunkan nilai dari fungsi distriusi normal yang merupakan faktor dari suku yang ertanda negatif. Sehingga nilai opsi put semakin tinggi.

BAB 5 KESIMPULAN Berdasarkan hasil pemahasan, dapat disimpulkan ahwa pemodelan nilai opsi dengan menggunakan persamaan diferensial penentuan harga suatu aset turunan dan menggunakan pendekatan present value nilai harapan dari selisih harga eksekusi dengan harga saham (underlying asset) pada waktu jatuh tempo diperoleh model nilai opsi yang sama, yaitu :. Nilai opsi call dengan harga awal saham S ( 0), waktu jatuh tempo T, harga eksekusi K, suku unga r, dan volatilitas σ adalah ( 0) ( σ ) c = S N z + T Ke N z dengan N adalah fungsi distriusi normal (0,), dan S (0) ln r σ T K z =. σ T Dengan kata lain, nilai opsi call adalah selisih antara perkalian harga awal saham dan suatu fungsi distriusi kumulatif normal aku pada titik z + σ T dengan perkalian harga eksekusi dan eksponensial negatif distriusi kumulatif normal aku pada titik z. rt dan fungsi. Nilai opsi put dengan harga awal saham S ( 0), waktu jatuh tempo T, harga eksekusi K, suku unga r, dan volatilitas σ adalah ( 0) ( σ ) p = Ke N z S N z T dengan N adalah fungsi distriusi normal (0,). Dengan kata lain, nilai opsi put adalah selisih antara perkalian harga eksekusi dan eksponensial negatif rt dan fungsi distriusi kumulatif normal aku pada titik dengan perkalian harga awal saham dan suatu fungsi distriusi kumulatif normal aku pada titik z σ T. Selanjutnya dari hasil simulasi diperoleh informasi tentang pengaruh peruahan harga awal saham, harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku unga terhadap nilai opsi seagai erikut:. Semakin tinggi harga saham pada waktu kontrak opsi maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put akan semakin rendah. z

48. Semakin tinggi harga eksekusi, maka nilai opsi call akan semakin rendah, sedangkan nilai opsi put akan semakin tinggi. 3. Semakin lama waktu jatuh tempo, maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put tidak memiliki kecenderungan tertentu yang sama, melainkan tergantung pada parameter lain. 4. Semakin tinggi suku unga, maka nilai opsi call akan semakin tinggi, sedangkan nilai opsi put akan semakin rendah. 5. Semakin tinggi nilai volatilitas, maka nilai opsi call dan opsi put akan semakin tinggi.

DAFTAR PUSTAKA Baxter M, Rennie A. 997. Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing. Camridge: Camridge Univercity Press. Black F, Scholes M. 973. The Pricing of Options and Corporate Liailities. Journal of Political Economy. 8: 637-654. Figlewski S, Skier WL, Surahmayam MG. 990. Financial Options: from Theory to Practice. New York: Solomon Brothers for The Study of Financial Institutions. Ghahramani S. 000. Fundamentals of Proaility. New Jersey: Prentice Hall. Gihman II, Skorohod AV. 97. Stochastic Differential Equations. New York: Springer-Verlag. Grimmett GR, Stirzaker DR. 99. Proaility and Random Process. Oxford: Clarendon Press. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 005. Introduction to Mathematical Statistics. New Jersey: Prentice Hall. Hull JC. 003. Options, Futures, and Other Derivatives. Canada: Pearson Education. Malliaris AG, Brock WA. 98. Stochastic Methods in Economics and Finance. Amsterdam: North-Holland Pulishing Company. Ross SM. 996. Stochastic Process. New York: John Wiley & Sons Inc. Shiryaev AN. 997. Essentials of Stochastic Finance: (Facts, Models, Theory). New York: Academic Press. Stampfli J, Goodman V. 00. The Mathematics of Finance: Modeling and Hedging. Pacific Grove: Brooks/Cole. Strauss WA. 99. Partial Differential Equations: An Introduction, New York: John Wiley & Sons Inc. Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 997. The Mathematics of Financial Derivatives (A Student Introduction), Camridge: Camridge Univercity Press.

LAMPIRAN

50 Lampiran A 4 Bukti E W ( tn( k + ) ) W ( tnk) = 3( tn( k + ) tnk) W () t proses wiener aku, maka W () t mempunyai inkremen stasioner. Sehingga ( ) ( 0, n( k + ) nk ) W ( tn ( k + ) ) W ( tnk ) = W tnk, tn ( k + ) ( ( n( k + ) nk) ) EW t t = 0 = W t t ( n( k + ) nk) = W t t var W t t = t t n( k + ) nk n( k + ) nk 4 ( n( k + ) ) nk = ( n( k + ) nk) E W t W t E W t t M M W t (4) = M ( s) W ( tn( k + ) t nk ) 4 s = 0 ( tn( k + ) tnk ) s ( s) = e ( n( k+ ) tnk ) (lihat Lampiran B) ( tn( k + ) tnk ) s d ( s) = e ( n( k+ ) tnk ) ds ( tn( k + ) tnk ) s = e t t s ' W t ( n( k + ) nk) ( tn( k + ) tnk ) s '' M ( s) e ( t ( ) t W t ) s t n( k+ ) t + nk = + n( k+ ) nk n k nk n( k + ) ( n( k + ) nk ) ( n( k + ) nk ) (3) 3 3 M ( s) = e ( t ( ) ) W t ( ( ) ) n( k ) t n k + tnk s + tn k + tnk se + nk ( tn( k + ) tnk ) s + t t se ( n( k + ) nk) t t t s t t s t t s ( tn( k + ) tnk ) s ( tn( k + ) tnk ) s 3 3 = e ( t n( k ) tnk) s 3( tn( k ) tnk) + + + se nk e

5 ( tn( k + ) tnk ) s ( tn( k + ) tnk) s (4) 4 3 4 M ( s) = e ( t ( ) ) 3 W t ( ( ) ) n( k ) t n k + tnk s + tn k + tnk s e + nk ( tn( k + ) tnk ) s ( tn( k+ ) tnk ) s 3 + 3 t t e + 3 t t s e (4) W t n( k + ) nk n( k + ) nk tn( k + ) tnk s tn( k + ) tnk s 4 4 3 ( t n( k + ) tnk ) s e + 6( tn ( k + ) tnk ) s e = ( n( k + ) nk ) + 3 t t e ( n( k + ) nk) (0) = 0 + 0 + 3 ( n( k ) nk) n( k + ) t + nk M t t t t s Jadi ( n( k + ) ) nk = 3( n( k + ) nk) 4 E W t W t t t

5 Lampiran B Fungsi Pemangkit Momen dari X ()~ t N (0,) t Misalkan Y peuah acak normal aku. Fungsi pemangkit momen dari Y adalah : M ( s) = E e Y sy y sy sy = e f ( y) dy = e e dy π sy y ( sy y ) = e dy e dy π = π s = e dy = e e π π s ( y s) ( y s) Misalkan u = y s, maka du = dy. Sehingga s u M Y ( s) = e e du π = e s dy Untuk X ()~ t N ( μ, σ ), fungsi pemangkit momen dari X () t ditentukan seagai erikut : ( X ( t) μ) Amil Y =, sehingga Y ~ N (0,) dan X () t = σy + μ. σ M ( s) = E e X ( t) ( sx ( t )) ( s( σy + μ) ) μs ( sσy ) = E e = e E e exp = exp μs + s σ μs μs = e MY σs = e s σ Jika X ()~ t N (0,) t, maka fungsi pemangkit momen dari X () t adalah M X ( t) ( s) = exp 0s + = exp ts ( ) s t

53 Lampiran C Bukti n ( t t ) maks( t t )( t t ) k = 0 n( k + ) nk n( k + ) nk k n k = 0 ( t t ) = t t t t + t t t t +... + t t t t n( k + ) nk n n0 n n0 n n n n nn n( n) nn n( n) k k ( n( k + ) nk)( n n0 ) ( n( k + ) nk)( n n)... k ( n( k + ) tnk )( tnn tn( n) ) ( n ( k + ) nk )( n n 0 n n n 3 n... nn n ( n ) ) maks t t t t + maks t t t t + + maks t = maks t t t t + t t + t t + + t t k k k ( n ( k + ) nk )( nn n 0) ( n( k + ) nk)( ) = maks t t t t = maks t t t t

54 Lampiran D SOLUSI PERSAMAAN PANAS Vt dengan Dierikan suatu persamaan panas = kv xx V (0, x) = h( x) (D.) (D.) Dalam menyelesaikan persamaan panas (D.) akan digunakan lima sifat dasar invariance dari persamaan panas, yaitu :. Bentuk V ( x y, t) dari semarang solusi V ( x, t) adalah suatu solusi untuk semarang y.. Setiap turunan ( V atau V atau V, ds) dari suatu solusi juga suatu x t xx solusi. 3. Suatu kominasi linier dari solusi (D.) juga merupakan solusi daari (D.). 4. Integral dari suatu solusi adalah solusi juga. Jadi jika S( x, t) adalah solusi dari (D.), maka S( x y, t) juga solusi dan U( x, t) = S( x y, t) g( y) dy, untuk semarang fungsi g( y) juga merupakan suatu solusi. 5. Jika V ( x, t) adalah suatu solusi dari (D.), maka fungsi dilatasi V ( ax, at) juga solusi, untuk a > 0. Untuk menyelesaikan persamaan panas (D.) dapat dilakukan langkah seagai erikut : Misalkan Q( x, t) adalah solusi khusus (particular solution) yang memenuhi syarat awal Q( x,0) =, untuk x > 0 Q( x,0) = 0, untuk x < 0 (D.3) x Dan misalkan Q( x, t) = g( p) dimana p = (D.4) 4kt dengan g adalah fungsi yang hanya satu variale. dg p x Qt = = g '( p) = pg '( p ) dp t t 4kt t

55 Q Q x xx dg p = = dp x 4kt dq x p = = dp x 4kt g '( p) g"( p) Qt kqxx = pg '( p) k g"( p) = 0 t 4k ( pg '( p) g "( p) ) = 0 t Sehingga diperoleh g"( p) + pg '( p) = 0 g"( p) = pg '( p) dg '( p) = pg '( p) dp dg '( p) =pdp g '( p) dg '( p) = g '( p) ln ( ') = g '( p) = Ae pdp g p p + c p Selanjutnya p Q( x, t) = g( p) = A e dp + B x 4kt p, untuk t > 0 0 Q( x, t) = A e dp + B Dengan menggunakan (D.3) 0 p jika x > 0 = Q( x,0) = A e dp + B π = A + B + 0 p jika x < 0 0 = Q( x,0) = A e dp + B π 0 = A + B (D.5) (D.6)

56 Dari (D.5) dan (D.6) diperoleh π A + B = π A + B = 0 + B = B = A = π Sehingga x 4kt p Q( x, t) = + e dp, untuk t > 0 (D.7) π Definisikan S 0 Q =, maka S juga solusi dari (D.) x Misalkan untuk semarang fungsi h, didefinisikan V (, t x) = S( x y,) t h( y) dy, untuk t > 0 (D.8) dimana V (, t x) merupakan sousi tunggal dari (D.), (D.). Akan diperiksa keenaran dari (D.) + Q V (, t x) = ( x y,) t h( y) dy x + Q = ( x y, t ) h ( y ) dy y + [ ] = Q( x y, t) h'( y) dy Q( x y, t) h( y) y y Dengan asumsi ahwa h( y ) mendekati nol untuk y esar dan syarat awal (D.3), maka + V (0, x) = Q( x y,0) h'( y) dy x [ ] y = x = h'( y) dy = h( y) = h( x) (D.9) y = Dari (D.7), dengan menggunakan teorema dasar kalkulus, maka diperoleh =+ = S Q = = x x 4kt e, untuk t > 0 4π kt

57 Jadi, dari (D.8) diperoleh + ( x y ) 4kt V (, t x) = e h( y) dy 4π kt = 4π kt + ( y x ) 4kt e h( y) dy dengan h( y) memenuhi (D.9) seagai syarat awal (Strauss 99).

58 Lampiran E Program Penentuan Nilai Opsi clear;clc disp(' NILAI OPSI CALL DAN NILAI OPSI PUT') disp(sprintf('\n ')) T=input('Waktu jatuh tempo(t) =(tahun) ');%(tahun) t=input('waktu t tertentu (0<=t<T) =(tahun) '); if (T-t)<=0; disp('opsi Kedaluwarsa, pilih nilai t : 0<=t<T'); disp('silahkan Ulangi Lagi!'); return else K=input('Harga eksekusi (K) = '); S=input('Harga saham pada saat t (S) = '); r=input('suku unga (r) = '); sigma=input('nilai volatilitas (sigma) = '); end n=(-log(s/k)-(r - 0.5*(sigma^))*(T-t))/(sigma*sqrt(T-t)); N=normcdf(-n+sigma*sqrt(T-t),0,); N=normcdf(-n,0,); N3=normcdf(n-sigma*sqrt(T-t),0,); N4=normcdf(n,0,); c=s*n-k*exp(-r*(t-t))*n; p=k*exp(-r*(t-t))*n4 - S*N3; fprintf('\nnilai opsi call = %5.3f\n',c); fprintf('\nnilai opsi put = %5.3f\n',p);