Diktt Kulih TK Mtemtik BAB PENDAHULUAN. Sistem Bilngn Rel Terdpt eerp sistem ilngn itu: ilngn sli, ilngn ult, ilngn rsionl, ilngn irrsionl, dn ilngn rel. Msing-msing ilngn itu segi erikut. ) Bilngn sli merupkn sistem ilngn pling sederhn, itu,,, 4,, 6, ) Bilngn ult melitkn negtif ilngn sli dn nol, itu, 4,,,,,,,, 4, ) Bilngn rsionl melitkn hsil gi du ilngn ult, seperti,,,,, dn 7 Pemgin dengn nol, misln 6 tu 4, tidk termsuk ilngn rsionl kren tidk memiliki mkn ppun. Oleh kren itu, pemgin dengn nol hrus dihindri. 4) Bilngn irrsionl menckup kr dri sutu ilngn ng tidk dpt dintkn segi hsil gi du ilngn ult, seperti,,, 7,, ) Bilngn rel menckup semu jenis ilngn ng d. Jik A mentkn ilngn sli ult positif), B ilngn ult, Q ilngn rsionl, dn R ilngn rel, mk A B Q R Lmng dic himpunn gin dri. Perntn A B errti setip unsur A jug merupkn unsur B. Bilngn rel memenuhi opersi penjumlhn dn perklin. Pd opersi penjumlhn dn perklin ilngn rel erlku sift-sift erikut. Misln, dn ilngn rel mk erlku: ) Hukum-hukum komuttif: + = + dn =. ) Hukum-hukum sositif: + + z) = + ) + z dn z) = )z ) Hukum distriutif: + z) = + z Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik 4) Unsur-unsur identits. Ad du ilngn ered dn ng memenuhi + = dn = untuk setip ilngn rel. ) Invers kelikn). Setip ilngn memiliki kelikn penjumlhn,, ng memenuhi + ) =. Selin itu, setip ilngn, keculi, memiliki kelikn perklin, -, ng memenuhi - =. Pengurngn dn pemgin didefinisikn segi ) dn dengn srt. Pemgin dengn tidk didefinisikn. Bilngn rel ukn nol diedkn menjdi ilngn rel positif dn ilngn negtif. Kentn ini memungkinkn kit untuk memperkenlkn entuk huungn leih kecil dri tu kurng dri <) dn leih esr dri tu leih dri >). Huungn ini msing-msing didefinisikn segi erikut. i) < jik dn hn jik negtif; ii) > jik dn hn jik positif. Segi ilustrsi: < kren = dn dlh ilngn negtif. Kemudin > kren = dn dlh ilngn positif. Selnjutn, huungn kurng dri tu sm dengn ) dn leih dri tu sm dengn ) didefinisikn segi erikut. i) ii) jik dn hn jik negtif tu nol; jik dn hn jik positif tu nol. Ungkpn ng mengndung >, <,, dn diseut pertidksmn. Pertidksmn ng melitkn > dn < diseut pertidksmn murni, sedngkn ng melitkn dn diseut pertidksmn tidk murni. Dri definisi di ts, > mentkn hw merupkn ilngn positif dn, selikn, < mentkn hw merupkn ilngn negtif. Pd gris ilngn rel Gmr.), ilngn-ilngn positif erd di seelh knn titik dn ilngn-ilngn negtif erd di seelh kiri titik. Titik diseut titik sl. Semkin Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik ke knn, ilngnn semkin esr. Selikn, semkin ke kiri ilngnn semkin kecil. Gmr. Gris ilngn rel. Sift-sift pertidksmn segi erikut. ) Trikotomi: Jik dn dlh ilngn, slh stu dri erikut ini kn dipenuhi: < tu = tu >. ) Trnsitif : Jik < dn < z mk < z. ) Penjumlhn: < + z < + z 4) Perklin: Jik z >, < z < z. Selikn, jik z <, < z > z. SOAL-SOAL LATIHAN. Tunjukkn thpn penelesin solsol erikut hingg ditemukn jwnn.. 9 ) + 7. 4 [ 7 ) + 74 )]. 6 4 7 4. 8). Sederhnkn ljr erikut. 6. ) + ) 7. + 6) 9.. t 4t t p p 4 p p Ntkn pkh ungkpn erikut enr tu slh. Berikn lsnn.. 7. 7. 7 4. 6. 7 9 44 8. 6 Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik. Pertidksmn.. Selng Sutu ilngn ng erd di ntr dn, kni < dn <, dpt dituliskn dlm pertidksmn ersmung segi erikut: < <. Himpunn semu ilngn ng memenuhi pertidksmn ersmung ini diseut selng tu intervl. Secr umum selng diedkn menjdi selng teruk, selng tertutup, dn kominsi kedun. Ungkpn mentkn selng teruk ng terdiri dri semu ilngn rel ntr dn, tidk termsuk titik ujung dn dn lmngkn oleh, ). Sementr itu, ungkpn mentkn selng tertutup ng terdiri dri semu ilngn rel ntr dn, termsuk dn itu sendiri dn dilmngkn oleh [, ]. Tel. mengindiksikn ergi kemungkinn selng erikut lmngn. Tel. Lmng himpunn penelesin, selng, dn gmrn. Lmng Himpunn Lmng Selng Gmr { : }, ) { : } [, ] { : } [, ) { : }, ] { : }, ] { : }, ) { : } [, ) { : }, ) R, ).. Memechkn Pertidksmn Memechkn pertidksmn errti mencri himpunn semu ilngn rel ng memut pertidksmn terseut menjdi enr. Bered dengn persmn, ng penelesinn terdiri dri stu tu sejumlh ilngn terts, himpunn penelesin Aip Sripudin Pendhulun - 4
Diktt Kulih TK Mtemtik pertidksmn isn semu ilngn rel dlm selng tertentu tu gungn eerp selng. Metode ng dpt dilkukn untuk memechkn pertidksmn tnp menguh himpunn penelesinn erdsrkn pd kentn erikut: ) Setip rus dpt ditmhkn ilngn ng sm. ) Setip rus dpt dilklikn dengn ilngn positif ng sm. ) Setip rus dpt diklikn dengn ilngn negtif, tetpi rh tnd pertidksmn hrus dilik. CONTOH Cri himpunn penelesin dri 6 4 dn gmrkn himpunn penelesinn pd gris ilngn rel. Penelesin 6 4 4 + setelh kedu rus ditmh 6) setelh kedu rus ditmh 4) setelh kedu rus diklikn, tnd pertidksmn dilik). Jdi, himpunn penelesinn s.: :, CONTOH Cri himpunn penelesin dri + 6 4. Penelesin 6 + 6 4 setelh setip rus ditmh 6) 6 setelh setip rus diklikn ½ ) Jdi, himpunn penelesinn segi erikut: [ 6, ) : 6 7 6 4 Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik CONTOH Cri himpunn penelesin 8. Penelesin 8 8 setelh ditmh 8) + ) 4) setelh difktorkn) Amil dulu + ) 4) = sehingg diperoleh = dn = 4. Titik = dn = 4 diseut titik pemish selng split point). Titik ini memgi gris ilngn rel menjdi tig selng itu, ),, 4), dn 4, ), seperti diperlihtkn pd gmr. Pd msing-msing selng ini, + ) 4) terdiri dri stu tnd, is sellu positif tu sellu negtif. Untuk mendptkn tnd pd setip selng, gunkn ng erd dlm selng terseut. Perhtikn tel erikut. Selng Titik Uji ) Nili dri + ) 4) Tnd, ) 7 +, 4) 8 4, ) 7 + Dri tel di ts jels hw himpunn penelesin dri + ) 4), 4). dlh selng titik pemish selng titik pemish selng + + 4 CONTOH 4 Cri himpunn penelesin dri 8. Penelesin Contoh ini mirip dengn Contoh tetpi tnd pertidksmnn dilik menjdi leih esr dri ). Mengcu pd penelesin Contoh, himpunn penelesin 8 dlh gungn dri selng, ) dn 4, ) dn ditulis, ) 4, ). Tnd dic: gungn. Aip Sripudin Pendhulun - 6
Diktt Kulih TK Mtemtik CONTOH Cri himpunn penelesin dri Penelesin Titik pemish selng untuk ksus ini dlh = dn = liht gmr). Perhtikn hw = hrus dikeculikn kren kn menghsilkn pemgin dengn nol. Sementr itu, = termsuk penelesin. Dengn demikin, selngn dlh, ),, ], dn [, ). Dengn memsukkn pd setip selng, msingmsing 4,, dn, diperoleh hw tnd )/ + ) positif tu nol pd selng, ) dn [, ), dn negtif pd selng, ]. Jdi, himpunn penelesinn dlh, ) [, ).. titik pemish selng titik pemish selng + + 4 CONTOH 6 Cri himpunn penelesin dri Penelesin Dlm menelesikn pertidksmn di ts kit tidk oleh menglikn kedu rus dengn peneut se tidk dikethui pkh positif tu negtif. Selin itu, menglikn kedu rus dengn peneut menekn srt peneut tidk oleh sm dengn nol menjdi tidk terliht. Penelesin ng tept segi erikut. Aip Sripudin Pendhulun - 7
Diktt Kulih TK Mtemtik ) Kren pemilngn, kni ), sellu positif, pertidksmn di ts kn dipenuhi jik peneutn positif, kni >. Jdi, himpunn penelesinn dlh, ). SOAL-SOAL LATIHAN. Tunjukkn lmng selng erikut pd gris ilngn rel.. [, ]., ]., 4] 4., ). [, ) Tentukn semu nili ng memenuhi pertidksmn erikut. Ntkn dlm notsi selng dn grfik. 6. 6 4 7. 4 8. 4 9... ) ) ). 6. 4 8 4. 7 dn. 7 tu. Nili Mutlk dn Bentuk Akr.. Nili Mutlk Nili mutlk dri ilngn rel, dilmngkn oleh, didefinisikn segi = jik = jik Definisi di ts mentkn hw sellu ernili tknegtif. Segi contoh, 4 = 4, =, =, dn =. Aip Sripudin Pendhulun - 8
Diktt Kulih TK Mtemtik Nili mutlk dpt diphmi segi seuh jrk tk errh. dlh jrk ntr dn titik sl titik nol). Dengn pemhmn ng sm, dlh jrk ntr dn titik. Adpun sift-sift nili mutlk segi erikut. ) = ) + + ) 4) + Memechkn Pertidksmn ng Melitkn Nili Mutlk Pertidksmn ng melitkn nili mutlk memenuhi perntn erikut. dn CONTOH 7 Cri himpunn penelesin dri. Penelesin 8 setelh kedu rus ditmh ) Jdi himpunn penelesinn dlh 8. CONTOH 8 Cri himpunn penelesin dri 7. Penelesin 7 7 tu 7 6 tu 8 tu 4 Jdi, himpunn penelesinn dlh, ] [4, ). CONTOH 9 Cri himpunn penelesin dri. Penelesin Aip Sripudin Pendhulun - 9
Diktt Kulih TK Mtemtik Memechkn pertidksmn ng mengndung nili mutlk seperti ini dilkukn memuk tnd mutlk sesui dengn definisin. Ingt hw = untuk dn = untuk <. o Untuk mk = sehingg pertidksmn di ts menjdi. Selnjutn diperoleh Titik pemish selngn dlh = dn =. Akn tetpi, = hrus dikeculikn dri himpunn penelesin kren peneut tidk oleh nol. Hsil uji selng liht gmr) diperoleh himpunn penelesinn dlh, ]. titik pemish selng + 4 Akn tetpi, ingt hw kit sedng ekerj untuk penelesinn dlh, ), ) =, ). tu, ) mk himpunn o Untuk < mk = sehingg persmn di ts menjdi. Selnjutn diperoleh Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik Titik pemish selngn dlh = dn = /. Akn tetpi, = hrus dikeculikn dri himpunn penelesin kren peneut tidk oleh nol. Hsil uji selng liht gmr) diperoleh himpunn penelesinn dlh, /]. titik pemish selng + / / Akn tetpi, ingt hw kit sedng ekerj untuk < tu, ) mk himpunn penelesinn dlh, /), ) = { } tu tidk d. Jdi, himpunn penelesin dri dlh, )... Akr dri Kudrt Setip ilngn positif memiliki du kr kudrt. Segi contoh, du kr kudrt dri 6 dlh 4 dn 4 dn kdng-kdng dintkn segi 4. Untuk, diseut kr kudrt tknegtif dri. Jdi, 4 = dn =. Penulisn 9 = dlh tidk enr kren 9 errti kr kudrt tknegtif dri 9, kni. Bilngn memiliki du kr kudrt, ng ditulis, tetpi mentkn ilngn rel positif. Secr umum, entuk kr kudrt definisikn segi erikut:. Ingt kemli hw penelesin persmn kudrt + + c = dierikn oleh rumus c segi erikut. 4c. Bilngn D = 4c diseut diskriminn dri persmn kudrt. Persmn ini memiliki du penelesin rel jik D penelesin rel imjiner) jik D., stu penelesin rel jik D =, dn tk d Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik CONTOH Cri himpunn penelesin dri. Penelesin Du penelesin dri = itu ) ) ) 4) ) dn ) ) 4) ). ) Titik pemish selng dn memgi tig selng itu, ], [, ], dn [, ). Amil,, dn 4 mk diperoleh simpuln hw himpunn penelesin dri dlh [, ]... Kudrt Nili Mutlk Kudrt dri nili mutlk memenuhi Pengudrtn kedu rus pd pertidksmn dpt menekn pertidksmn itu menjdi slh. Segi contoh, > kn tetpi ) < ). Di lin pihk, < dn <. Dengn demikin, pengudrtn kedu rus pd pertidksmn kn tetp enr jik ilngn pd kedu rus itu tknegtif. Berdsrkn kentn ini, perntn erikut dlh enr, kni. CONTOH Cri himpunn penelesin dri. Penelesin Pemechn pertidksmn di ts dpt dilkukn dengn mengudrtkn kedu rusn segi erikut. 4 6 9) Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik 4 4 6 7) ) Titik pemish selngn dlh = 7/ dn =. Uji selngn segi erikut. titik pemish selng + + 7/ 4 6 Jdi, himpunn penelesin dri dlh, 7/), ). SOAL-SOAL LATIHAN. Tentukn himpunn penelesin dri pertidksmn erikut.... 4 4.. ) 6. 7. 8. 9. 4. 4.4 Jrk Antr Du Titik dn Persmn Lingkrn.4. Jrk Antr Du Titik Tinju tig uh titik A, ), B, ), dn C, ) seperti diperlihtkn pd Gmr.. Gris huung ketig titik mementuk segitig siku-siku dengn siku-siku di C. Jrk AB dpt ditentukn menggunkn dlil Phtgors segi erikut. d AB ) ) Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik B, ) d Gmr. Menentukn jrk ntr du titik. CONTOH Tentukn jrk ntr ) A, ) dn B 4, ); ) C, ) dn D,4 ). Penelesin A, ) C, ) ) d AB ) ) 4 ) )) 6) 8 ) d CD ) ) ) 4 ) ) ) 79.4. Persmn Lingkrn Lingkrn dlh himpunn titik ng erjrk sm ke titik cun tetp. Titik cun tetp ini diseut pust lingkrn. Sekrng tinju seuh lingkrn erjri-jri r dn erpust di P,) seperti diperlihtkn pd Gmr.. Jrk titik, ) pd lingkrn ke pust lingkrn dlh r ) ) Dengn mengudrtkn kedu rus dn menguh susunn persmn di ts diperoleh Aip Sripudin Pendhulun - 4
Diktt Kulih TK Mtemtik ) ) r Persmn di ts diseut persmn lingkrn ku erjri-jri r dengn pust di, )., ) r P, ) Gmr. Lingkrn erpust di, ) dn erjri-jri r. Jik persmn lingkrn ku kit urikn, diperoleh ) ) r r ) ) r ) Mislkn A =, B =, dn C = + r mk persmn di ts dpt ditulis A B C Persmn ini diseut persmn lingkrn umum. Pust lingkrn pd persmn di ts dlh P, ) dengn dn jri-jrin dlh A dn B r C. CONTOH Tentukn persmn lingkrn erjri-jri dn erpust di, ). Penelesin Aip Sripudin Pendhulun -
Diktt Kulih TK Mtemtik Dikethui r =, =, dn = mk ) ) r ) )) ) ) CONTOH 4 Tentukn pust dn jri-jri lingkrn ng dintkn oleh persmn 6 6. Penelesin Bndingkn 6 6 dengn A B C mk diperoleh A =, B = 6, dn C = 6. Selnjutn diperoleh A B 6 r C ) 6 Jdi, pust lingkrn terseut dlh, ) dengn jri-jri stun. SOAL-SOAL LATIHAN.4 Gmrkn titik-titik erikut dn tentukn jrkn.. A, ) dn B, ). C, ) dn D, 4). E, ) dn F4, ) Tentukn persmn lingkrn ng pust dn jri-jrin erturut-turut segi erikut. 4., ) dn., ) dn Tentukn pust dn jri-jri lingkrn ng memenuhi persmn erikut. 6. ) 6 7. 6 8. 4 4 6 6 Tentukn jrk ntrpust du lingkrn erikut. 9. ) 9 dn 4). dn Aip Sripudin Pendhulun - 6
Diktt Kulih TK Mtemtik. Gris Lurus.. Kemiringn Gris tu Grdien Tinju seuh gris g seperti diperlihtkn pd Gmr.. Misln titik A, ) dn B, ) erd pd gris terseut. Grdien gris g didefinisikn segi erikut. m Persmn di ts tidk erlku untuk = gris vertikl). Gris vertikl tidk memiliki grdien. C, ) A B Gmr. Grdien gris tkvertikl... Gris-gris Sejjr dn Tegk lurus Tinju du gris sejjr g dn gris h seperti pd Gmr.6). Dri gmr terseut jels hw gris g dn gris h memiliki grdien sm. Dengn demikin, du uh gris diktkn sejjr jik kedun memiliki grdien ng sm, kni m m g h g h ) ) Gmr.6 ) Du gris sejjr dn ) du gris sling tegk lurus. Aip Sripudin Pendhulun - 7
Diktt Kulih TK Mtemtik Pd Gmr.6), gris g dn gris h sling tegk lurus jik memenuhi srt m. m Dengn kt lin, du uh gris diktkn sling tegk lurus jik dn hn jik perklin kedu grdienn sm dengn negtif stu... Persmn Gris Lurus Tinju kemli Gmr.. Jik C, ) dlh serng titik pd gris ng mellui AB, grdien gris terseut jug dpt dintkn oleh m. Dri persmn di ts diperoleh m ) tu m ) Persmn ini merupkn persmn gris ng mellui titik, ) dengn grdien m dn diseut entuk kemiringn titik dri persmn seuh gris. Jik gris dengn grdien m ng memotong sumu- di titik, c), persmn grisn menjdi m c Persmn terkhir ini diseut entuk kemiringn perpotongn dri seuh gris. Persmn gris secr umum dpt dintkn oleh A B C A dn B tk nol ersmn. Persmn ini diseut persmn liner umum. Aip Sripudin Pendhulun - 8
Diktt Kulih TK Mtemtik Persmn Gris Vertikl dn Horisontl Gris vertikl mellui titik, ) memiliki persmn = kren setip koordint- pd gris memiliki nili. Serup dengn itu, gris lurus ng mellui, ) memiliki persmn =. = = Gmr.7 Gris = dn = CONTOH Tentukn grdien gris ng mellui,) dn 4,). Penelesin m 4 ) 4 6 CONTOH 4 6 persmn gris tdi. Penelesin ) Crilh persmn gris ng mellui, 4) ng sejjr dengn gris. ) Tentukn pul persmn gris ng mellui,) ng tegk lurus Gris 6 ditulis menjdi 6. Dri sini jels hw grdien grisn m. ) Kren sejjr, grdien gris ng mellui, 4) dlh persmn grisn m m sehingg m ) ) 4 Aip Sripudin Pendhulun - 9
Diktt Kulih TK Mtemtik Jdi, persmn gris mellui, 4) ng sejjr gris 6 dlh ). Kren tegk lurus, gris ng mellui, ) memiliki grdien m m / sehingg persmn grisn m ) )) Jdi, persmn gris mellui, ) ng tegk lurus gris 6 dlh SOAL-SOAL LATIHAN. Tentukn grdien gris ng mellui titik-titik erikut.., ) dn 4, )., ) dn, ) Tentukn persmn gris dengn kondisi erikut. Ntkn dlm entuk A B C.. Grdien mellui, 4) 4. Grdien mellui, ). Mellui, ) dn, 4) 6. Mellui, ) dn, ) Tentukn persmn gris ng mellui, ) dn 7. sejjr gris 8. sejjr gris 9. tegk lurus. tegk lurus 6 Aip Sripudin Pendhulun -