BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kebutuhan akan kendaraan pribadi semakin hari semakin meningkat sejalan dengan bertambahnya penduduk. Selain sebagai sarana untuk memenuhi kebutuhan masing masing individu, kendaraan pribadi juga digunakan sebagai alat ukur derajat seseorang dalam kehidupan bermasyarakat. Sudah menjadi hal yang umum jika dalam satu rumah terdapat tiga atau lebih kendaraan pribadi. Hal ini didukung oleh produsen kendaraan pribadi yang tidak terlalu menyulitkan konsumen untuk mendapatkan produk mereka. Distributor kendaraan pribadi saling berlomba untuk meraih konsumen dengan cara memberikan berbagai penawaran menarik seperti adanya mobil murah atau pembelian kendaraan roda dua dengan cicilan dan tanpa mengharuskan down payment. Peningkatan jumlah kendaraan di masyarakat yang tidak diimbangi dengan fasilitas jalan yang memadai menyebabkan padatnya arus kendaraan di jalan raya. Akibatnya probabilitas terjadinya kecelakaan semakin besar. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk mengurangi akibat dari risiko kecelakaan adalah dengan mengambil jasa asuransi. Dalam asuransi kendaraan (motor atau mobil), premi dasar ditentukan berdasarkan besar, harga atau kapasitas dari kendaraan yang diasuransikan. Penentuan besar premi pada tahun berikutnya hanya dipengaruhi oleh banyaknya kecelakaan dalam satu tahun periode sebelumnya. Penentuan premi seperti ini disebut dengan sistem bonus-malus. Sistem ini pertama kali diperkenalkan di Eropa pada awal tahun 1960 dan dikembangkan oleh Bichsel dan Buhlman tahun 1964 dan Delaporte pada tahun 1965 (Lemaire, 1994). Sistem bonus-malus adalah sistem asuransi yang membagi kelas kelas premi. Premi yang dibayarkan dipengaruhi oleh jumlah klaim yang diajukan oleh pemegang polis di tahun sebelumnya. Dalam sistem bonus-malus jika pemegang polis melakukan klaim di tahun sebelumnya, maka akan dikenakan malus (penalti) yaitu peningkatan jumlah premi yang harus dibayar untuk tahun berikutnya. Sebaliknya jika pemegang polis di tahun sebelumnya tidak melakukan 1
2 klaim, maka akan diberikan bonus (diskon) yaitu pengurangan jumlah premi yang harus dibayar untuk tahun berikutnya (Kaas dkk, 2008). Salah satu distribusi yang sering digunakan untuk memodelkan klaim adalah distribusi Poisson. Namun pada prakteknya data klaim asuransi kendaraan sering terjadi overdispersi atau variansi sampel lebih besar dari rataan sampel. Ketika model Poisson diaplikasikan untuk data yang overdispersi maka akan memberikan hasil yang kurang tepat. Sebagai alternatif dalam mengatasi data yang mengalami overdispersi adalah dengan menggunakan distribusi mixed Poisson. Denuit (1997) telah menggunakan distribusi mixed Poisson untuk memodelkan berbagai klaim asuransi kendaraan bermotor. Wilmot (1987, 1989) menggunakan distribusi mixed Poisson dengan invers Gaussian sebagai alternatif dari distribusi binomial negatif untuk perhitungan frekuensi klaim, yang kemudian diteruskan oleh Trembley (1992), Walhin & Paris (1999) yang menggunakan distribusi mixed Poisson-invers Gaussian untuk premi pada sistem bonus malus. Satyahadewi (2010) menggunakan model regresi Poisson tergeneralisasi dalam penggolongan resiko jumlah klaim pada asuransi kendaraan di Malaysia. Distribusi mixed binomial negatif, seperti binomial negatif-invers Gaussian untuk perhitungan premi pada sistem bonus malus telah digunakan oleh Ojeda (2006) dan Gomez & Sarabia (2008). Overdispersi juga dapat diatasi dengan menggunakan model regresi binomial negatif I dan binomial negatif II yang telah dilakukan oleh Sari (2010). Pada tesis ini akan dibahas tentang aplikasi distribusi binomial negatifinvers Gaussian dan Poisson-invers Gaussian dalam penentuan premi pada sistem bonus malus. Pembahasan tesis ini meliputi: karakteristik dari distribusi binomial negatif-invers Gaussian dan Poisson-invers Gaussian, estimasi parameter distribusi binomial negatif-invers Gaussian dan Poisson-invers Gaussian menggunakan metode maksimum likelihood, yang kemudian akan digunakan untuk fitting distribusi untuk melihat kecocokan data dengan distribusi yang digunakan. Selanjutnya perhitungan premi dilakukan dengan metode Bayesian.
3 1.2 Rumusan Masalah Dari latar belakang tersebut berikut ini dapat dirumuskan beberapa permasalahan yang menjadi kajian dalam penelitian ini, yaitu: 1. Bagaimana cara mendapatkan estimasi parameter distribusi binomial negatif-invers Gaussian dan Poisson-invers Gaussian. 2. Bagaimana aplikasi distribusi binomial negatif-invers Gaussian dan Poisson-invers Gaussian dalam penentuan premi sistem bonus malus untuk jenis data jumlah klaim asuransi mobil. 3. Bagaimana model yang terbaik dalam penentuan premi sistem bonus malus untuk jenis data jumlah klain asuransi mobil. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penulisan tesis ini adalah untuk mendapatkan estimasi parameter dari distribusi binomial negatif-invers Gaussian dan Poison-invers Gaussian dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Setelah didapatkan nilai estimasi tersebut akan dilakukan uji kecocokan model. Kemudian mengaplikasikan kedua distribusi dalam penentuan premi pada sistem bonus malus dalam pengajuan klaim asuransi mobil. Selanjutnya dari tabel bonus malus yang terbentuk akan dibandingkan antara kedua distribusi tersebut mana yang akan memberikan hasil yang lebih baik. 1.4 Batasan Masalah Tesis ini hanya akan membahas tentang pembentukan premi tabel bonus malus klasik, yaitu pembentukan premi dengan hanya memperhatikan sejarah frekuensi klaim dari pemegang polis. 1.5 Tinjauan Pustaka Dalam penulisan tesis ini diperlukan beberapa buku dan artikel sebagai referensi. Dasar teori variabel random dan distribusi prior dan posterior diambil dari buku Walpole (2012). Pembahasan mengenai distribusi probabilitas diskrit
4 dan kontinu serta tentang distribusi probabilitas gabungan dua variabel random diacu dari buku Ross (2007). Pembahasan mengenai nilai harapan dan variansi diacu dari buku Dekking (2005). Konsep mengenai momen, estimasi parameter likelihood, dan distribusi mixture dijelaskan dibuku Klugman (2005). Pembahasan mengenai fungsi pembangkit dirujuk dari buku Walpole (2012) dan Klugman (2005). Penjelasan tentang distribusi binomial negatif diacu dari buku Kobayashi (2011), distribusi Poisson diacu dari buku Denuit (2007) dan Bain (1992), sedangkan untuk distribusi invers Gaussian diambil dari artikel Matsuda (2005). Konsep mengenai metode optimasi Newton Rapson dan overdispersi diacu dari buku Denuit (2007). Pembahasan mengenai uji chi-squared diambil dari artikel Romeu. Penjelasan tentang sistem bonus malus dijabarkan dari artikel Gomez (2006). 1.6 Sistematika Penulisan Sistematika yang digunakan dalam tesis ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang, perumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bagian ini berisi tentang teori teori yang akan digunakan dalam pembahasan, diantaranya teori dasar tentang peluang, distribusi Poisson, distribusi binomial negatif, distribusi invers Gaussian, estimasi parameter dengan metode maksimum likelihood, serta sistem bonus malus. BAB III MODEL DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF-INVERS GAUSSIAN DAN POISSON-INVERS GAUSSIAN Bagian ini membahas tentang pembahasan masalah dari topik yang diteliti yaitu model dan karakteristik distribusi binomial negatifinvers Gaussian dan Poisson-invers Gaussian. Selain itu akan
5 BAB IV BAB V dihitung MLE dari kedua model distribusi dan sistem bonus-malus kedua distribusi STUDI KASUS Bagian ini membahas tentang aplikasi kedua model dalam sebuah kasus yang nyata. KESIMPULAN DAN SARAN Bagian ini berisi tentang kesimpulan yang diperoleh berdasarkan pembahasan dan studi kasus yang dilakukan. Selain itu disampaikan pula saran saran yang muncul akibat dari kekurangan dan kendala yang ditemui selama proses pemecahan masalah.
6 1.7 Skema Penelitian Berikut adalah skema penelitian yang telah dilakukan sebelumnya: Gambar 1.1 Skema Penelitian Distribusi Binomial Negatif, Poisson, dan Invers Gaussian