Soal Linear Programming By: Rita Wiryasaputra, ST., M. Cs.
Soal 1 Sebuah perusahaan mebel akan membuat meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan 5 m 2 kayu jati dan 2 m 2 kayu pinus, serta membutuhkan waktu pembuatan selama 4 jam. Untuk membuat sebuah kursi dibutuhkan 2 m 2 kayu jati, 3 m 2 kayu pinus, dan 2 jam kerja. Dari penjualan sebuah meja didapat keuntungan sebesar Rp. 12.000, sedangkan keuntungan untuk sebuah kursi adalah Rp.8.000. Perusahaan ingin membuat mebel sebanyakbanyaknya, tetapi terbatas dalam bahan baku dan tenaga kerja. Dalam seminggu, perusahaan hanya mampu mendapatkan 150 m 2 kayu jati, 100 m 2 kayu pinus, serta hanya memiliki 80 jam kerja. Permasalahan: berapa banyak meja dan kursi yang harus diproduksi sehingga perusahaan dapat memperoleh keuntungan sebanyak-banyaknya?
Model Matematis Tentukan variabel: X 1 = jumlah meja yang harus dibuat ; X 2 = jumlah kursi yang harus dibuat Tentukan Fungsi tujuan : Z max = 12000X 1 + 8000X 2 Tentukan Fungsi kendala / batasan: 1) 5X 1 + 2X 2 180 (kayu jati dalam m 2 ) 2) 2X 1 + 3X 2 100 (kayu pinus dalam m 2 ) 3) 4X 1 + 2X 2 80 (tenaga kerja dalam jam) 4) X i 0 (i=1,2..non negativity dan integers)
Soal 2 PT Iguana Tekstil memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal?
Model Matematis Tentukan variabel: X 1 =kain sutera ; X 2 =kain wol Tentukan Fungsi tujuan : Z max = 40X 1 + 30X 2 Tentukan Fungsi kendala / batasan: 1) 2X 1 + 3X 2 60 (benang sutera) 2) 2X 2 30 (benang wol) 3) 2X 1 + X 2 40 (tenaga kerja) 4) X i 0 (i=1,2..non negativity dan integers)
Soal 3 Tempat parkir seluas 600 m 2 hanya mampu menampung paling banyak 58 bus atau 58 mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat 6 m 2 dan bus 24 m 2. Biaya parkir tiap mobil Rp.2000 dan bus Rp.5000. Jika tempat parkir penuh, berapakah hasil dari biaya parkir maksimum?
Soal 4 Sebuah peternakan memproduksi susu dan keju. Order minimum dari supermarket harus dipenuhi. Dalam sehari, supermarket memesan 16 liter susu dan 24 kg keju. Peternakan tersebut memiliki dua peternakan dengan biaya produksi $6 untuk peternakan 1 dan $3 untuk peternakan 2. Peternakan 1 menghasilkan 2 liter susu dan 4 kg keju untuk setiap jamnya. Sedangkan peternakan 2 menghasilkan 4 liter susu dan 3 kg keju setiap jamnya. Berapa biaya produksi minimum agar order minimum dari supermarket dapat terpenuhi
Soal 5 Seorang ibu rumah tangga mempunyai 160 gr tepung beras dan 240 gr tepung terigu untuk membuat kue jenis A dan B. Setiap kue jenis A memerlukan 16 gr tepung beras dan 20 gr tepung terigu. Sedangkan setiap kue jenis B memerlukan 12 gr tepung beras dan 30 gr tepung terigu. Ibu tersebut hendak membuat lebih dari 2 loyang kue A dan sekurang-kurangnya 1 loyang kue B. Dalam berapa carakah dua jenis tepung itu dapat digunakan untuk membuat dua jenis kue
Soal 6: Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000/Kg dan pisang Rp. 6.000/Kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000 dan gerobak hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 Kg. Jika harga jual mangga 9200/Kg dan pisang Rp. 7000/Kg maka laba maksimum yang di peroleh adalah?
Soal 7: Sebuah developer memiliki tanah seluas 10.000 M 2 dan dari tanah tersebut akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 M 2 dan tipe B diperlukan 75 M 2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan penjualan rumah tipe A adalah 6 juta rupiah per unit, sedangkan keuntungan penjualan rumah tipe B adalah 4 juta rupiah per unit. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh developer dari penjualan rumah tersebut?
Soal 8 : Perusahaan mebel Aris memproduksi lemari jenis A,B dan C. Produk tersebut diproses dengan membutuhkan 3 jam tenaga kerja didepartemen pertukangan, 2 jam di departemen pengecatan dan 1 jam penyeselesaian. Setiap unit lemari B membutuhkan 4 jam tenaga di departemen pertukangan, 5 jam di departemen pengecatan, dan 2 jam penyelesaian. Setiap unit lemari C membutuhkan 3,5 jam tenaga kerja di departemen pertukangan 1 jam tenaga kerja di departemen pengecatan, 1 jam di departemen penyelesaian. Kapasitas yang tersedia pada departemen pertukangan, departemen pengecatan dan departemen penyelesaian adalah 400 jam, 360 jam, 250 jam masing-masing. Harga jual masing-masing produk adalah Rp. 10 ( Lemari A) Rp. 15 (lemari B) Rp. 12 (lemari C). Tentukan jumlah produksi lemari jenis A, B dan C agar keuntungan perusahaan maximal.
Soal 9 : Seorang pengusaha bahan kimia membuat 2 macam cairan pembunuh serangga, yaitu jenis superior (C 1 ) dan jenis standar (C 2 ). Kedua jenis cairan dibuat dari 2 macam bahan yang sama, yaitu A dan B dengan komposisi berbeda. Setiap liter cairan jenis superior dibuat dari campuran 1 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan setiap liter jenis standar dibuat dari campuran 2 unit bahan A dan 1 unit bahan B. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari pengusaha tersebut hanya dapat memperoleh 20 unit bahan A dan 20 unit bahan B. Untuk setiap liter cairan jenis superior yang dibuat, ia akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 30.000. Untuk setiap liter cairan jenis standar, ia memperoleh keuntungan sebesar Rp. 20.000. Berapa liter cairan masing-masing jenis harus dibuat oleh pengusaha setiap hari, agar keuntungan yang diperoleh maksimal?
Soal 10 : Perusahaan Maju mundur memproduksi 3 buah model lemari (A, B, dan C). Ketiga model membutuhkan jenis bahan baku dan tenaga kerja yang sama, tetapi dengan jumlah yang berbeda. Waktu pembuatan (jam kerja) dan harga pembelian bahan baku (ratusan ribu rupiah) tiap lemari. Waktu pembuatan untuk model lemari A, B, dan C berturut-turut adalah 7 jam, 180 menit dan 360 menit. Sedangakan harga bahan baku yang dihabiskan untuk pembuatan lemari model A, B, dan C masing-masing sebesar 4 (ratus ribu), 4 (ratus ribu) dan 5 (ratus ribu). Karena keterbatasan modal, biaya pembelian bhaan baku terbatas sebasar 200 (ratusan ribu) rupiah an waktu pembuatan juga terbatas selama 150 (jam kerja). Hasil penjualan setiap lemari model A, B, dan C memberikan keuntungan masing-masing sebesar 400 (ratusan ribu), 200 (ratusan ribu) dan 300 (ratusan ribu). Berapa jumlah lemari dari setiap model yang harus dibuat agar keuntungannya maksimum?
Soal 11 : Seorang petani akan menanam 2 jenis pohon, yaitu A dan B pada area seluas 4400 m 2. Sebuah pohon A membutuhkan lahan seluas 25 m 2, sedangkan pohon B membutuhkan lahan seluas 40 m 2. Kebutuhan air pohon A adalah 30 unit dan pohon B sebanyak 15 unit untuk tiap pohonnya. Air yang tersedia hanyalah 3300 unit. Perbandingan pohon B dan pohon A yang harus ditanam tidak boleh kurang dari 6/19 dan tidak boleh lebih dari 17/8. Keuntungan yang didapat dari sebuah pohon A diperkirakan 1,5 kali pohon B. Berapa jumlah pohon dari masing-masing jenis harus ditanam supaya keuntungannya maksimum?
Soal 12 : Seorang kontraktor merencanakan untuk membangun 3 tipe rumah (sederhana, menengah, dan mewah) yang biaya pembuatan per unitnya adalah 20, 50 dan 80 (juta rupiah). Dana yang tersedia adalah sebesar 4000 (juta rupiah). Menurut peraturan pemerintah, dari keseluruhan rumah yang dibangun minimal 50% diantaranya harus rumah sederhana dan paling banyak 20% diantaranya adalah rumah mewah. Keuntungan yang diperoleh dari penjualan sebuah rumah tipe sederhana, menengah, dan mewah masing-masing adalah sebesar 5, 15, dan 30 (juta rupiah). Berapa jumlah rumah tiap tipe yang harus dibangun (mengingat dana yang tersedia dan peraturan pemerintah) agar keuntungan yang didapatkan kontraktor tersebut maksimal?
Soal 13 : Perusahaan alat rumah tangga Kanzai ingin mengiklankan produknya di 3 media, yaitu TV (waktu siang dan malam hari), radio, dan koran. Tujuannya adalah untuk menjangkau sebanyak mungkin pelanggan potensial. Anggaran yang disediakan untuk seluruh iklan adalah 80 juta, dan maksimum 50 juta di antaranya untuk iklan di TV. Jumlah pelanggan wanita yang dijangkau paling sedikit 2 juta orang. Di samping itu, jumlah iklan di TV siang hari paling sedikit 3 kali tayang dan paling sedikit 2 kali tayang di waktu malam. Jumlah iklan di radio dan koran masingmasing harus antara 5-10 kali. Diketahui bahwa biaya iklan per tayang untuk media iklan TV pada siang hari adalah 4 (juta rupiah), media iklan TV pada malam hari adalah 7.5 (juta rupiah), media radio adalah 3 (juta rupiah), media iklan koran adalah 1.5 (juta rupiah). Jumlah pelanggan potensial yang dapat dijangkau untuk tiap tayangan pada media iklan TV pada siang hari adalah 400(ribu orang), media iklan TV pada malam hari adalah 900(ribu orang), media radio adalah 500(ribu orang), media iklan koran adalah 200(ribu orang). Jumlah pelanggan wanita yang dapat dijangkau untuk tiap tayangan pada media iklan TV pada siang hari adalah 300(ribu orang), media iklan TV pada malam hari adalah 400(ribu orang), media radio adalah 200(ribu orang), media iklan koran adalah 100(ribu orang) Tentukan cara pengaturan iklan yang paling optimal.
Latihan soal (lanjutan) 14. Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang diproses melalui dua bagian fungsi : perakitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan untuk menghasilakn 1 kursi diperlukan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000 berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasikan? 15. PT. Eb07 akan membuat kain sutra dan kain wol, yang terbuat dari benang sutra 3 Kg untuk pembuatan kain sutra dan benang sutra 4 Kg dan benang wol 1 Kg untuk pembuatan kain wol. Benang sutra kurang dari 120 Kg. Benang wol kurang dari 20 Kg dan masa kerja kurang dari 40 berapakah yang harus diproduksi PT. Eb07 untuk mendapatkan laba maksimual dengan (Z=30 x1 + 40 x2 ).
Latihan soal (lanjutan) 16. Pada sebuat toko, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp. 26.000. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp 21.000. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3 pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Bibah? 17. Dian dan Dina membuat kerajinan berupa tas anayaman dari rotan dan bambu. Satu tas anyaman rotan dapat Dian selesaikan dalam waktu 1 jam, sedangkan Dina dalam waktu 3 jam. Dian bekerja maksimal selama 10 jam/hari dan Dina bekerja maksimal selama 15 jam/hari. Apabila tas-tas tersebut dijual Rp. 50.000 untuk tas anyaman dari rotan dan Rp. 40.000 untuk tas anyaman dari bambu. Tentukan jumlah tas dan jenisnya sehingga didapat keuntungan maksimal? anggaplah bahwa semua tas yang dibuat dapat dijual.
Tentukan manakah dari model berikut yang dapat diselesaikan dengan program linier : Contoh A: Fungsi tujuan maksimumkan : f (X 1,X 2 )= 5X 1 + X 2 2 Kendala: 1) -X 1 + 4X 2 = 3 2) 3X 1 + 4X 2 = -5 3) X i 0 (i=1,2..non negativity dan integers) Contoh B: Fungsi tujuan minimumkan : f (X 1,X 2,X 3 )= 5X 1 +2X 2 -X 3 Kendala: 1) 2X 1-4 X 1 X 2 = 3 2) 5X 1 + 4X 2-2X 3 = 2 3) X i 0 (i=1,2,3 non negativity dan integers)
Tentukan manakah dari model berikut yang dapat diselesaikan dengan program linier : Contoh C: Fungsi tujuan minimumkan : f (X 1,X 2 )= X 1 - X 2 Kendala: 1) 4X 1 + X 2 = 2 2) 3X 1 - X 2 = 1 Contoh D: Fungsi tujuan maksimumkan : f (X 1,X 2,X 3 )= -X 1 +3X 2 Kendala: 1) X 1 + 2X 2 - X 3 1 2) 3X 1 + X 2 2 3) X i 0 (i=1,2,3 non negativity dan integers)