7. APLIKASI INTEGRAL

7. APLIKASI INTEGRAL

7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus D dihmpiri oleh jumlh lus persegi pnjng. Dengn mengmil limitn diperoleh: Lus D = A = f ( ) d INF8 Klkulus Dsr

Contoh : Hitung lus derh ng ditsi oleh kurv, sumu, dn =. Lus irisn A Lus derh A d 8 INF8 Klkulus Dsr

) Mislkn derh D (, ), g( ) h( ) h() Lus D =? D h()-g() Lngkh : g(). Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi h()-g() ls(ler) A ( h( ) g( )). Lus D dihmpiri oleh jumlh lus persegi pnjng. Dengn mengmil limitn diperoleh: Lus D = A = ( h ( ) g( )) d INF8 Klkulus Dsr 4

Contoh : Hitung lus derh ng ditsi oleh gris = +4 dn prol Titik potong ntr gris dn prol =+4 ( 4) ( ) - 4 6 ( )( ) = -, = Lus irisn A (( 4) ( )) INF8 Klkulus Dsr 5

Sehingg lus derh : A (( 4) ( )) d ( 6) d 6 5 6 Ctt : Jik irisn diut tegk lurus terhdp sumu mk tinggi irisn dlh kurv ng terletk diseelh ts dikurngi kurv ng erd diseelh wh. Jik ts ts dn wh irisn eruh untuk semrng irisn di D mk derh D hrus digi du tu leih INF8 Klkulus Dsr 6

Contoh : Hitung lus derh ng ditsi oleh sumu, Jw dn = - + Titik potong ( )( ) = -, = =-+ Jik diut irisn tegk, mk derh hrus digi menjdi du gin Lus irisn I A Lus irisn II A ( ) INF8 Klkulus Dsr 7

Lus derh I A d Lus derh II A d ( 4) ( ) Sehingg lus derh A A A 5 6 INF8 Klkulus Dsr 8

c). Mislkn derh D (, ) c d, g( ) h( ) d c g() D h()-g() h() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi h()-g() ls(ler) A ( h( ) g( )). Lus D dihmpiri oleh jumlh lus persegi pnjng. Dengn mengmil limitn diperoleh: Lus D = A = d c ( h ( ) g( )) d INF8 Klkulus Dsr 9

Contoh: Hitung lus derh ng ditsi oleh Jw : dn ( ) ( ) Titik potong ntr gris dn prol ( )( ) = - dn = Lus irisn - A (( ) ( )) INF8 Klkulus Dsr

INF8 Klkulus Dsr Sehingg lus derh : )) ( ) (( d L ) ( d. 9 Ctt : Jik irisn sejjr dengn sumu mk tinggi irisn dlh kurv ng terletk diseelh knn dikurngi kurv ng erd diseelh kiri. Jik ts knn dn kiri irisn eruh untuk semrng irisn di D mk derh D hrus digi du tu leih

7. Menghitung volume end putr 7.. Metod Ckrm D (, ), f ( ). Derh diputr terhdp sumu f() D Derh D? Volume end putr Bend putr INF8 Klkulus Dsr

Untuk menghitung volume end putr gunkn pendektn Iris, hmpiri, jumlhkn dn mil limitn. D f() Jik irisn erentuk persegi pnjng dengn tinggi f() dn ls diputr terhdp sumu kn diperoleh sutu ckrm lingkrn dengn tel dn jri-jri f(). sehingg V f ( ) f() V f ( ) d INF8 Klkulus Dsr

Contoh: Tentukn volume end putr ng terjdi jik derh D ng ditsi oleh, sumu, dn gris = diputr terhdp sumu Jik irisn diputr terhdp sumu kn diperoleh ckrm dengn jri-jri dn tel Sehingg V ( ) Volume end putr V 4 d 5 INF8 Klkulus Dsr 4 5 4 5

. Derh D (, ) c d, g( ) diputr terhdp sumu d c D =g() d c Derh D Bend putr? Volume end putr INF8 Klkulus Dsr 5

Untuk menghitung volume end putr gunkn pendektn Iris, hmpiri, jumlhkn dn mil limitn. d c D =g() Jik irisn erentuk persegi pnjng dengn tinggi g() dn ls diputr terhdp sumu kn diperoleh sutu ckrm lingkrn dengn tel dn Jri-jri g(). sehingg V g ( ) g() d V g ( ) d c INF8 Klkulus Dsr 6

Contoh : Tentukn volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh gris = 4, dn sumu diputr terhdp sumu 4 Jik irisn dengn tinggi dn tel diputr terhdp sumu kn diperoleh ckrm dengn jri-jri dn tel Sehingg V ( ) Volume end putr V 4 d 4 8 INF8 Klkulus Dsr 7

7.. Metod Cincin. Derh D diputr terhdp sumu (, ), g( ) h( ) h() D g() Derh D? Volume end putr Bend putr INF8 Klkulus Dsr 8

Untuk menghitung volume end putr gunkn pendektn Iris, hmpiri, jumlhkn dn mil limitn. D h() g() Jik irisn erentuk persegi pnjng dengn tinggi h()-g() dn ls diputr terhdp sumu kn diperoleh sutu cincin dengn tel dn jri jri lur h() dn jri-jri dlm g(). sehingg h() V ( h ( ) g ( )) g() V ( h ( ) g ( )) d INF8 Klkulus Dsr 9

Contoh: Tentukn volume end putr ng terjdi jik derh D ng ditsi oleh, sumu, dn gris = diputr terhdp gris =- Jik irisn diputr terhdp gris = Akn diperoleh sutu cincin dengn Jri-jri dlm dn jri-jri lur Sehingg D Volume end putr : V 4 =- V (( ) ) 4 ( ) 4 ( ) 5 6 86 d ( ) ( ) 5 INF8 Klkulus Dsr 5 5

7.. Metod Kulit Tung Dikethui D (, ), f ( ) Jik D diputr terhdp sumu diperoleh end putr f() D Derh D Volume end putr? Bend putr INF8 Klkulus Dsr

Untuk menghitung volume end putr gunkn pendektn Iris, hmpiri, jumlhkn dn mil limitn. D f() Jik irisn erentuk persegi pnjng dengn tinggi f() dn ls sert erjrk dri sumu diputr terhdp sumu kn diperoleh sutu kulit tung dengn tinggi f(), jri-jri, dn tel sehingg V f ( ) f() V f ( ) d INF8 Klkulus Dsr

Contoh: Tentukn volume end putr ng terjdi jik derh D ng ditsi oleh, sumu, dn gris = diputr terhdp sumu Jik irisn dengn tinggi,tel dn erjrk dri sumu diputr terhdp sumu kn diperoleh kulit tung dengn tinggi, tel dn jri jri D Sehingg V Volume end putr V 4 d 8 INF8 Klkulus Dsr

Cttn : -Metod ckrm/cincin Irisn diut tegk lurus terhdp sumu putr - Metod kulit tung Irisn diut sejjr dengn sumu putr Jik derh dn sumu putrn sm mk perhitungn dengn menggunkn metod ckrm/cincin dn metod kulit tung kn menghsilkn hsil ng sm Contoh Tentukn end putr ng terjdi jik derh D ng ditsi Oleh prol,gris =, dn sumu diputr terhdp. Gris = 4. Gris = INF8 Klkulus Dsr 4

. Sumu putr = 4 (i) Metod cincin (4 ) =4 Jik irisn diputr terhdp gris =4 kn diperoleh cincin dengn Jri-jri dlm = r d (4 ) 4 Jri-jri lur = 4 r l D Sehingg V ((4) (4 ) ) 4 (8 ) Volume end putr V 4 8 5 64 4 ( 8 ) d ( ) ( ) 5 INF8 Klkulus Dsr 5 5 5

(ii) Metod kulit tung 4 Volume end putr 4 D =4 Jik irisn diputr terhdp gris =4 kn diperoleh kulit tung dengn Jri-jri = r = Tinggi = h = Tel = Sehingg 4 V (4 )( ) INF8 Klkulus Dsr 6 (8 4 ) / 5/ 4 V (8 4 ) d (8 8 5 ) 4 5

. Sumu putr = (i) Metod cincin = Jik irisn diputr terhdp gris = diperoleh cincin dengn Jri-jri dlm = r d Jri-jri lur = r l D Sehingg V (( ) () ) (8 6 ) Volume end putr 4 V (8 6 ) d / 4 (8 4 8 ) 8 INF8 Klkulus Dsr 7

(ii) Metod kulit tung D Volume end putr - = Jik irisn diputr terhdp gris = diperoleh kulit tung dengn Tinggi = h = Jri-jri = r = Tel = Sehingg V INF8 Klkulus Dsr 8 - ( ) ( ) V ( ) d 4 ( ) (8 4) 8 4

7. Pnjng Kurv Persmn prmeter kurv diidng = f(t) = g(t), t () Titik A(f(),g()) diseut titik pngkl kurv dn titik B(f(),g()) diseut titik ujung dri kurv. Definisi : Sutu kurv dlm entuk prmeter seperti () diseut mulus jik (i) f ' dn g' kontinu pd [,] Kurv tidk eruh sekonong-konong (ii) f ' dn g' tidk secr ersmn nol pd (,) INF8 Klkulus Dsr 9

Misl dierikn kurv dlm entuk prmeter (), kn dihitung pnjng kurv Lngkh. Prtisi [,] menjdi n gin, dengn titik-titik pemgin t t t... o t n t t ti t i n Q o Q Q i Q i Q n Prtisi pd [,] Pritisi pd kurv INF8 Klkulus Dsr

. Hmpiri pnjng kurv pnjng usur Qi Qi s i s i w i Q i i pnjng tli usur Qi Qi w i Pnjng usur dihmpiri dengn pnjng tli usur s i w i Q i i ( i ) ( i ) [ f ( ti ) f ( ti )] [ g( ti ) g( ti )] Dengn menggunkn teorem nili rt-rt untuk turunn, terdpt tˆ, t ( t, t ) sehingg i i i i f ( ti ) f ( ti ) f '( ti ) t g t ) g( t ) g'(ˆ t ) t ( i i i INF8 Klkulus Dsr

t t dengn i i i sehingg t w i [ f '( ti) ti ] [ g'(ˆ ti) ti ] [ f '( t i )] [ g'(ˆ t )] i t i Pnjng kurv dihmpiri oleh jumlh pnjng tli usur L n i [ f '( t )] i [ g'(ˆ t )] i Dengn mengmil pnjng prtisi( P ) menuju nol diperoleh t i L [ f '( t)] [ g'( t)] dt INF8 Klkulus Dsr

Ctt: Jik persmn kurv =f(), L [ f '( t)] [ g'( t)] dt [ ] [ ] dt d dt d dt d ( ) dt ( d d ) dt d d d Jik persmn kurv =g(), c d L d [ f '( t)] [ g'( t)] c dt d d d [ ] [ ] dt dt c dt d c d ( ) dt d d dt d c d d d INF8 Klkulus Dsr

Contoh : Hitung pnjng kurv. t, t ; t 4 ' ( t) t, '( t) t Pnjng kurv 4 L (t ) (t) dt 4 9t 4t dt t ( 9t 4) dt 4 t 9t 4 dt 4 t(9t 4 4) / d(9t 4) 8t 4 / 4 8 ( 9t 4) 7 ( 7 4 4 8) (8 8) INF8 Klkulus Dsr 4

. / ntr =/ dn =7 Jw : L d d 7 / / d / 9d 7 / 7 / ( 9) d( 9 ) 9 / / 7 7 ( 9) 7 / 7 (5 8) INF8 Klkulus Dsr 5

Sol Ltihn A. Gmrkn dn hitung lus derh ng ditsi oleh. dn.,, dn 8. =, = 4, = - + 4. = sin, = cos, =, =. INF8 Klkulus Dsr 6

B. Hitung volume end putr ng terjdi jik derh ng di tsi oleh grfik fungsi-fungsi erikut diputr terhdp sumu.,, dn. 9 dn. dn 4 4. = sin, = cos, =, = /4 5. dn, di kudrn INF8 Klkulus Dsr 7

C. Derh D ditsi oleh kurv dn gris =. Hitung volume end putr, jik D diputr terhdp : () sumu (4) sumu () gris = - (5) gris = - () gris = 4 (6) gris = 4 D. Derh D ditsi oleh prol 4 dn gris + = 4. Hitung volume end putr, jik D diputr terhdp : () sumu () sumu () gris = 6 (4) gris = - INF8 Klkulus Dsr 8

INF8 Klkulus Dsr 9 E. Hitung pnjng kurv erikut, ) ( / 4, 4 ln / ), ln( 9 ), ( 4 ; /, t t t t t t 5; 4cos, 4sin... 4. 5. 6.