BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pengoptimalan merupakan ilmu Matematika terapan dan bertujuan untuk mencapai suatu titik optimum. Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Pengoptimalan bertujuan untuk mengoptimalkan suatu hal yang memiliki kendala-kendala tertentu sesuai konteks masalah. Tujuan akhir dalam pengoptimalan ini disebut sebagai fungsi tujuan. Fungsi tujuan dapat bersifat minimasi atau maksimasi. Saat ini, dalam industri khususnya industri yang bergerak dalam bidang produksi yang berkaitan dengan taraf permintaan dan penawaran pastinya sudah memiliki suatu sistem pemasaran. Sistem pemasaran di sini merupakan fungsi tujuan dalam penjualan hasil produksi yang diharapkan dapat mencapai keuntungan maksimum. Sistem pemasaran bisa saja sudah mencapai keadaan yang optimal dan mungkin belum optimal. Perusahaan-perusahaan yang bergerak dalam bidang produksi tentunya tahu bagaimana sistem yang dibuat agar pemasaran hasil produksi dapat mencapai kondisi yang optimal atau mendapat keuntungan yang besar sekalipun ada beberapa kendala. Adanya suatu kendala tidak akan menjadi masalah besar jika dalam hal ini perusahaan tersebut tahu bagaimana membuat kondisi menjadi optimal. Dengan demikian perusahaan tersebut akan memiliki kondisi yang stabil bahkan mampu bersaing dengan perusahaan lainnya. Pabrik Roti WN merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang produksi di Indonesia. Bahan-bahan yang diproduksi yaitu dalam bentuk makanan jadi. Sebagai salah satu produsen makanan,pabrik Roti WN memiliki tingkat penjualan dan secara otomatis akan mencapai keuntungan yang maksimum pada titik optimum sesuai sistem yang sudah berlaku pada perusahaan tersebut. Dengan demikian metode dan fungsi tujuan dalam pengoptimalan mungkin sudah banyak di aplikasikan di Pabrik Roti WN. Namun metode dan fungsi tujuan dalam pengoptimalan bisa saja dibuat berbeda dari sebelumnya karena kemungkinan kendala yang berubah dalam setiap periode. Salah satunya yaitu dengan
menggunakan syarat Karush Kuhn-Tucker untuk mengoptimalkan penjualan. Metode Kuhn Tucker juga dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat. Metode Kuhn Tucker dapat berbentuk linier atau nonlinier. 1.2 Perumusan Masalah Masalah yang akan di bahas adalah bagaimana mengoptimalkan keuntungan agar bertambah berdasarkan taraf penawaran dan permintaan. 1.3 Batasan Masalah Agar dalam pelaksanaannya lebih mengarah pada maksud dan tujuan penelitian, maka ditentukan batasan masalah sebagai berikut: 1. Data yang diambil yaitu data jumlah penjualan dan harga penjualan setiap produk. 2. Data yang diambil berupa bahan baku, modal, ketersediaan waktu dan tenaga kerja. 3. Mesin yang dipakai dianggap normal. 1.4 Kajian Pustaka (Mulyono, 2007) memaparkan bahwa pengoptimalan dengan kendala persamaan dapat dilakukan dengan Lagrange Multiplier. Kuhn dan Tucker telah memperluas teori untuk menyelesaikan masalah program nonlinier umum baik dengan kendala persamaan maupun pertidaksamaan. Metode Kuhn Tucker memiliki beberapa syarat perlu. Syarat perlu Kuhn Tucker yang dimaksud, bertujuan untuk mengidentifikasi titik stasioner dari suatu masalah non linier dengan kendala pertidaksamaan. Dalam batas-batas tertentu syarat-syarat ini juga merupakan syarat cukup. Dan peranan syarat Kuhn Tucker di sini dapat diaplikasikan dalam menentukan suatu keadaan optimum sesuai kendala-kendala yang ada. Peranan Matematika dalam industri khususnya produksi sangat penting. Metode Matematika untuk pengembangan industri dapat meningkatkan efisiensi dan produktivitas, sehingga menjadikan industri lebih kompetitif. Metode Kuhn Tucker merupakan suatu syarat dalam pengoptimalan dan dapat dimodifikasi dari metode pengali lagrange untuk satu pembatasan ketidaksamaan, dan syarat-syarat Kuhn Tucker untuk pembahasan pertidaksamaan akan memberikan hasil pemecahan yang sama. Kebaikan dari syarat-syarat
Kuhn Tucker ialah bahwa mereka dapat digeneralisasikan (dibuat lebih umum) untuk lebih dari satu pembatasan pertidaksamaan (J.Supranto,2005). Menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) suatu fungsi matematika multivariabel dalam teori optimasi dengan domain atau kendala (constraints) berupa suatu persamaan adalah suatu masalah optimasi yang sering ditemukan dalam teori maksimum dan minimum yang terdapat dalam kalkulus. Adapun metode matematika untuk hal tersebut dapat digunakan metode pengali Lagrange. Sedangkan mementukan nilai optimum suatu fungsi matematika multivariabel dengan kendala berupa suatu pertidaksamaan adalah hal khusus yang perlu dipelajari lebih lanjut dalam teori optimasi, diantaranya Metode Faktor Pengali Kuhn Tucker. Metode Kuhn Tucker adalah suatu metode di dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan domain atau kendala berupa suatu pertidaksamaan. Prosedur menggunakan metode Kuhn Tucker untuk memecahkan suatu masalah optimasi dengan kendala berupa pertidaksamaan, secara esensial melibatkan langkah-langkah yang sama seperti halnya dalam menggunakan metode Lagrange untuk memecahkan masalah optimasi dengan kendala berupa persamaan (Asih & Widana,2012). (Gupta & Hira,2007) mengemukakan suatu rumusan untuk program nonlinier dengan lebih dari satu kendala ketidaksamaan menggunakan syarat Kuhn Tucker. Perhatikan masalah umum program non linier untuk jenis maksimasi. Maksimumkan Z= ; Persamaan kendala dapat ditulis dalam bentuk yang dapat lebih dimodifikasi menjadi kendala kesamaan dengan menambah slack variables. [ ] Kondisi yang diperlukan untuk memaksimalkan yaitu: [ ] (i)
[ ], (ii), (iii) Kondisi (ii) dan (iii) dapat diganti dengan set kondisi berikut, dengan melakukan analisis similar seperti yang dilakukan dalam kendala pertidaksamaan tunggal Dengan demikian, kondisi Kuhn Tucker dalam program nonlinier untuk masalah maksimasi dengan kendala, dapat diringkas menjadi: Sehingga dapat ditunjukkan bahwa kondisi Kuhn Tucker untuk masalah maksimasi adalah: Kondisi Kuhn Tucker juga merupakan syarat cukup untuk kondisi: - Untuk maksimasi, jika adalah konkaf dan semua adalah konveks di X - Untuk minimasi, jika adalah konveks dan semua adalah konkaf di X
Baik dalam masalah maksimasi dan minimasi, pengali Lagrange disesuaikan dengan kendala kesamaan dan harus dibatasi dalam tanda. Dalam masalah maksimasi semua kendala harus bertanda, sementara dalam kasus minimasi semua kendala harus bertanda. kondisi ini dapat diperoleh dengan melakukan transformasi yang diperlukan seperti yang dibahas dalam pemrograman linear (Ferreira,2010). Sementara, (Amalia,2009) memaparkan bahwa, Jika menghadapi masalah optimasi dalam bentuk: Maksimumkan/minimumkan : Z=f(X) dengan X={ (1) Dengan kendala : (X) dengan i=1,2,3,...,m (X) X 0 m n(jumlah kendala lebih kecil dari variabel) Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negatif seperti 0, 0,...,, sehingga himpunan kendalanya adalah m+n persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil daripada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang,,..., berturut-turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang demikian merubah tiap-tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack variabels) yang ditambahkan di sini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi lagrange: [ ] [ ] (2) Untuk persamaan: adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem (i=1, 2,..., m+n) (3) (j=1, 2,..., m+n) (4) (j=1, 2,..., m+n ) (5)
Persamaan-persamaan (3), (4), (5), di atas membentuk Persyaratan Kuhn-Tucker untuk maksimasi/minimasi program linier dan non linier. Syarat Kuhn-Tucker untuk persamaan: Minimumkan : Z=f(X) dengan X={ Dengan kendala : (X) (X) i=1,2,3,..., m dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut: i=1, 2,..., n (6) j=1, 2,..., m j=1, 2,..., m j=1, 2,..., m (7) Jika permasalahannya adalah memaksimumkan bukan meminimumkan, maka, jika kendalanya adalah, maka Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah 0, maka. Menurut (Luknanto dan Djoko,2000), penyelesaian optimasi secara analitis sudah jarang dipakai di lapangan yang sangat kompleks. Namun, metode Lagrange dan Kuhn Tucker dapat dipilih dalam teknik optimasi karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Dalam penggunaannya syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala dengan agar mempunyai minimun relatif pada titik adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai ( ) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol. (Hillier dan Lieberman, 2001) membuat suatu asumsi bahwa merupakan fungsi yang dapat diturunkan sehingga menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya jika terdapat sejumlah bilangan, sehingga semua syarat kondisi Kuhn Tucker berikut terpenuhi :
(i) pada untuk (ii) ( ) pada untuk (iii) untuk (iv) untuk (v) untuk (vi) untuk 1.4 Tujuan Penelitian Adapun tujuan penelitian ini adalah: 1. Memperoleh total biaya produksi secara menyeluruh. 2. Menentukan jumlah produksi yang optimal. 1.6 Kontribusi Penelitian Manfaat penelitian ini adalah: 1. Sebagai salah satu penerapan ilmu dan pengetahuan yang diperoleh selama masa perkuliahan ke dunia nyata. 2. Sebagai bahan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika terlebih bagi mahasiswa yang melakukan penelitian serupa. 3. Sebagai masukan kepada Pabrik Roti WN. 1.7 Metodologi Penelitian Penelitian ini merupakan studi kasus pada Pabrik Roti WN khusunya pada sistem produksi yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Studi Literatur dengan Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya yang berhubungan dengan Program Nonlinier dan pengoptimalan dengan metode Kuhn Tucker. 2. Menyaring pokok-pokok penting dan merangkum definisi-definisi mengenai Metode Kuhn Tucker dan membuat suatu ringkasan.
3. Pengumpulan data dari Pabrik Roti WN. 4. Mengolah data dari Pabrik Roti WN dengan metode Kuhn Tucker. 5. Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang telah diselesaikan. 6. Menyusun laporan penelitian berupa skripsi.