BAB VII KONDUKTOR DIELEKTRIK DAN KAPASITANSI 6.. Arus an Kerapatan Arus. Muatan listrik yang bergerak membentuk arus yang memiliki satuan ampere (A) an iefinisikan sebagai laju aliran muatan yang melalui titik acuan (menembus suatu biang acuan) sebesar satu coulomb per-etik. Arus iberi symbol/lambang I,maka Q I Ampere t Dalam pelajaran teori mean kita biasanya tertarik paa kejaian paa suatu titik aripaa alam aerah yang lebih luas, an kita akan menapatkan konsep kerapatan arus yang iukur alam ampere permeter persegi lebih berguna. Kerapatan arus merupakan besaran vektor an inyatakan alam notasi/symbol J. Pertambahan arus I yang melalui pertambahan luas S yang normal paa kerapatan arus ialah I J S atau I J. S n I J. s Amp. s Kerapatan arus apat ihubungkan engan kecepatan kerapatan muatan ruang paa suatu titik, misalnya suatu keunsuran Q = v.v= v.sl seperti yang terlihat paa gambar berikut ini;
Dari persamaan yang lalu an berasarkan gambar iatas, maka unsur arus I yang melintasi permukaan S an bergerak ke-arah sb.x apat kita jabarkan sebagai berikut Q x I v. s. v. s. v t t an untuk ini J. v v x J v. V x Amp m 6.. Kemalaran (Kontinuitas) Arus Sifat malar arus apat ijelaskan bahwa; muatan listrik tiak apat iciptakan atau imusnahkan, walaupun harus iing at bahwa sejumlah muatan positif an negatif yang besarnya sama apat tercipta secara serentak yang apat iperoleh engan cara pemisahan. Persamaan kemalaran/kontinuitas arus ari prinsip tersebut iatas apat kita lihat engan meninjau aerah yang ibatasi engan permukaan tertutup.
I S J. s Ampere Berasarkan teorema DIVERGENSI persamaan i atas apat memberikan J. s (. J) V an S sehingga Vol (. J) v t v J t v v m. t. 3 Laju perubahan/pertambahan muatan negatif alam permukaan tertutup inyatakan alam; -Q i /t, seang - v /t sebagai laju perubahan kerapatan muatan alam volume tersebut. 6.3. Konuktor Logam Para Fisikawan menggambarkan perilaku elektron yang berear mengelilingi inti atom positif engan energi total ari elektron tersebut terhaap tingkat acuan nol untuk elektron paa jarak yang tak terhingga ari inti tersebut. Dan apat kita maklumi bahwa energi total ialah jumlah energi kinetik an energi potensial, an oleh karenanya energi iperlukan untuk menarik sebuah electron ari inti atom atau ari garis earnya. 3
Energi Pita Konuksi kosong Pita Konuksi kosong ELAH ENERGI Pita Konuksi kosong ELAH ENERGI Pita Valensi terisi Penuh Pita Valensi Penuh Pita Valensi terisi Penuh KONDUKTOR ISOLATOR SEMI KONDUKTOR (a) (b) (c) Gambar Nampak ari Gambrar (a) bahwa struktur pita energi cukup kecil untuk melepaskan elektron valensi ari pita valensi kepita konuksi. Sebaliknya prilaku yang sangat berbea imiliki oleh bahan ielektrik yang mempunyai energi gap yang cukup lebar sehingga iperlukan energi yang cukup besar untuk melepaskan elektron valensi naik kepita konuksi. Gambar Mobilitas elektron inyatakan engan notasi e an perlu iketahui bahwa gerakan electron yang terpengaruh mean listrik E akan berlawanan arahnya engan arah mean an engan emikian arah I akan searah engan arah mean (lihat Gbr.) i atas. 4
J = - ve e A/m bila konuktivitas suatu bahan konuktor inyatakan alam notasi c maka kerapatan arus J = c E imana c = - vc e Mho/m. Resistansi kawat yang berpenampang s, panja ng L an konuktivitas bahan konuktor c aalah R = L/(s c ) Ohm. Data-ata konuktivitas bahan konuktor; tembaga => c = 5,8.0 7 Mho/m. Aluminium => c = 3,8.0 7 Mho/m, Perak => c = 6,7.0 7 Mho/m. Bea potensial antar ujung-ujung kawat V = EL = IR volt. ontoh Soal Kawat berpenampang lingkaran beriameter,6 mm, panjang, km ari bahan konuktor engan konuktivitas 5,8.0 7 Mho/m (tembaga). Kawat lainnya engan panjang an konuktivitas yang sama namun beriameter,0 mm. Jika potensial paa masingmasing ujungnya aalah V a = 80 Volt an V b = 79, Volt, hitunglah besar arus an kuat mean ialam kawat tersebut. Jawaban; Kawat =>iameter =,6 mm atau jejari r = 0,8 mm = 8.0-4 m konuktivitas cl = 5,8.0 7 Mho/m luas penampang S = r = 64.0-8 m panjang kawat L =, km = 00 m 5
Resistansi kawat R c L.S 00 R 0,9 7 8 Ohm 5,8.0.64.0 Va Vb 0,8 Arus yang mengalir I 0, 078 Amp. R 0,9 P = VI (Watt) Kerugian aya P Loss = I R = (0,078).0,9 = 6,60436 mwatt. Perlu iketahui bahwa aya ini akan menaikkan temperatur kawat. Kawat =>iameter =,0 mm atau jejari r =,0 mm =.0-3 m konuktivitas c = 5,8.0 7 Mho/m luas penampang S = r = 3,4x.0-6 m panjang kawat L =, km = 00 m Resistansi kawat R c L.S 00 R 6,586 7 6 Ohm 5,8.0.3,4.0 Va Vb 0,8 Arus yang mengalir I 0, Amp. R 6,586 Kerugian aya P Loss = I R=(0,).6,586 = 96,4566 mwatt. 6
6.4. Sifat Konuktor an Syaraf Batas Syarat batas yang imaksu isini aalah syarat static yaitu kita membiarkan waktunya beberapa saat atau beberapa mokro - etik untuk melihat apa yang terjai jika istribusi muatan tiba - tiba menjai tak seimbang ialam bahan konuktor tersebut. Hasil akhir yang kita apati aalah kerapatan muatan Gambar 3 alam konuktor menjai nol an hanya aa istribusi muatan paa permukaan konuktor saja (perhatikan Gbr.3 i atas). Kerapatan muatan permukaan s /m apat iperoleh ari pers. berikut D t = E t an s = o E n = D n /m Untuk meringkas prinsip yang ipakai paa konuktor alam teori mean statik apat kita nyatakan bahwa;. Intensitas mean listrik static alam konuktor ialah NOL. Intensitas mean listrik static paa permukaan konuktor mempunyai arah NORMAL paa permukaan. 3. Permukaan konuktor merupakan permukaan SEPONTENSIAL Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut ini, intensitasnya mean listrik listriknya memotong secara tegak lurus garis-garis 7
SEPOTENSIALNYA an selanjutnya masuk an keluar secara tegak-lurus (normal) paa permukaan konuktor bentuk kelereng tersebut. ontoh Soal Titik p(-,4,)terletak paa permukaan konuktor, imana isitu terapat mean E = 400a x 90a y + 30a z V/m. Anggaplah konuktor beraa alam ruang hampa an hitunglah; a) E n ititik p, b) E t, c) s an ) D Jawab. a) Mengacu paa syarat batas ari ke-tiga poin iatas, kita harus berkesimpulan bahwa komponen NORMAL intensitas mean ( E ) paa titik p aalah E 400 90 30 V/m =583,66663 V/m b) Juga berasarkan ketiga syarat iatas E t = 0 c) s = o E n = 8,854.0 -. 583,66663 /m =5,644.0-9 = 5,644 n/m ) D = o E = 8,854.0 - (400a x 90a y +30a z )/m = 3,546.0-9 a x +,5676.0-9 a y +,7447.0-9 a z /m = 3,546 a x +,5676 a y +,7447 a z n/m D n = 3,546,5676,7447.0-9 = 5,64.0-9 /m n Jawaban terakhir ini sesuai yang iberikan oleh persamaan s = o E n = D n /m jai sesuai engan jawaban c). iatas. D n = 5,64.0-9 /m = 5,64 n/m 8
KONDUKTOR DIELEKTRIK DAN KAPASITANSI (lanjutan) 6.5. Sifat Bahan Dielektrik Walaupun sering kita menyebut-nyebut isolator an bahan ilektrik, namun kita belum mempunyai hubungan kuantitatif yang menyatakan sifat bahan tersebut. Salah sifat asar yang perlu kita ketahui aalah bahwa semua bahan ielektrik, paat, cairan ataupun alam bentuk gas memiliki kesanggupan untuk menyimpan ENERGI listrik. Disamping itu perlu juga iketahui bahwa struktur behan ielektrik secara molecular apat ilihat paa sifat DWIKUTUB. Beberapa jenis molekul yang isebut MOLEKUL BERKUTUB (molekul polar) mempunyai pergeseran yang permanen antara pusat muatan positif engan pusat muatan negatif an tiap pasangan muatan ini memiliki sifat sebagai wikutub. Kerapatan fluks mean listrik alam bahan ielektrik berbea engan kerapatan fluks alam ruang hampa/bebas atau bahan lain, hal ini itunjukkan engan aanya polarisasi P i alam bahan ielektrik. D = o E + P /m imana P = e o E /m imana e sebagai suseptibilitas elektrik ari bahan tersebut Kerapatan fluks mean listrik apat irumuskan kembali 9
D = o E + D = o E = ( r ) o E imana r = e + r sebagai permivitas relatif behan ielektrik. D = r o E = E = E /m an = r o F/m sebagai permivitas bahan ielektrik. ontoh soal. Hitunglah pengutuban (polarisasi P ) alam suatu bahan ielektrik imana iketahui; a) kerapatan fluksnya,5 /m an E = 5 kv/m b) D =,8 /m an e =,7 c) mempunyai jumlah molekul (n) = 0 0 molekul/m 3 yang masing masing mempunyai momen wikutub p =,5.0-0 -m ) E = 50 kv/m an r = 4,4 Jawab. a) ari pers. D = o E + P /m iperoleh P = D - o E P =,5.0-6 8,854.0 -.5.0 3 =,367 /m b) E = D =>E = D/ = D/( o + o e ) =,8.0-6 /(8,854.0 - +,7.8,854.0 - ) an P = o e E =,7.,8.0-6 /(+,7) =,7.8,854.0 - ) n c) Rumus P = lim p = n.p = 0 0.,5.0-6 =,5 /m v0 il ).P = o e E = o ( r )E = 8,854.0 -.(4,4-).50.0 3 = 505,8 /m 0
6.6. Syarat Batas Dielektrik Bagaimana kita memecahakan persoalan jika terapat ua jenis bahan ielektrik atau ielektrik engan konuktor berbatasan. Pemecahan biang batas seperti apa yang ikemukakan iatas apat kita lihat paa contoh syarat batas konuktor, misalnya permukaan konuktor merupakan permuka an sepontensial, kerapatan fluks mean listrik normal paa permukaan konuktor. Marilah kita tinjau ahulu biang perbatasan antara ua bahan ielektrik yang berbea, perhatikan gbr. berikut ini. Gambar Pertama tama kita perhatikan komponen tangensial mean E engan persamaan E.L 0 mengelilingi lintasan tertutup kecil paa gambar. iatas bagian kiri an kita apatkan bahwa; E tan w E tan w = 0 an menghasilkan E tan = E tan
Jika intensitas mean listrik tangensial aalah konstan melalui biang batasnya, maka kerapatan fluks mean listrik tangensialnya aalah tiak konstan karena E tan D D tan tan Etan atau D D tan tan Syarat batas untuk komponen normalnya apat iperoleh engan menerapkan hukum GAUSS paa kotak bagian kanan gambar iatas. Dn s Dn s Q, s engan emikian D n D n, m Apakah kerapatan muatan iatas ini merupakan kerapatan muatan terikat yang selalu aa paa biang batasnya?, jelas tiak untuk bahan ielektrik sempurna an mungkin aa kerapatan muatan untuk bahan ielektrik merugi. Dan untuk itu kita apat mengatakan bahwa D n = D n untuk bahan ieal an ari persamaan yang selalu E n = E n.perhatikan gambar berikut
D N D D T A N D D N D T A N Gambar D n = D cos = D cos = D n D D tan tan D sin r atau D sin r tan tan r r besar suut iperoleh ari = atau (E t /E n ) an = atau (E t /E n ) ontoh soal IX-. Daerah (Z<0) berisi bahan ielektrik engan tetapan r =,5 seang aerah (Z<0) berisi bahan engan r = 4,0. iketahui E = -30a x +50a y +70a z. Hitunglah; a).e n, b).e t, c).e t, ).E an e). an f).d n, g).d, h). P 3
Jawab. Dari reaksi soal apat isimpulkan bahwa biang batas antara keua bahan tersebut aalah z = 0 an engan emikian apat itetapakan bahwa mean tangensilnya => E t =-30a x +50a y sehingga mean normalnya E n = 70a Z Jai sebagai jawaban ; a).e n = 70a z V/m b).e t = -30a x + 50a y V/m Sesuai rumus yang ikemukakan terahulu bahwa paa bi. baas E t = E t c).e t = -30a x + 50a y V/m Untuk menapatkan E harus iapatkan ahulu E n karena E = E t +E n. yaitu E n = ( r/ r ). E n = (,5/4,0).70a z = 43,75a z V/m engan emikian ).E = -30a x + 50a y + 43,75a z V/m Besar suut atang an suut ifiasi apat kita peroleh ari jawaban yang iatas, yaitu = atau (E t /E n ) = atau ( 30 50 /70) e). = atau (0,83) = 39,794 o an = atau ( 30 50 / 43,75) = atau (,3378) = 53,9 o D = D t + D n = E = r o E = 4,0.8,854.0 - (-30a x + 50a y + 43,75a z ) f).d n =,5495.0-9 a z /m =,5495 a z n/m 4
g).d = (-,065a x +,7708a y +,5495a z ).0-9 /m = -,065a x +,7708a y +,5495a z n/m h).p = D - o E = ( r -) o E = (4,0-).8,854.0 - (30a X +50a y + 43,75a z ) = (-0,79686a x +,38a y +,6a z ).0-9 /m = -0, 79686a x +,38a y +,6a z n/m Bahan () Z E n D n E D D t E t Biang Batas D t E t D E E n D n Gambar 3 6.7 Kapasitansi Dua biang konuktor yang itempatkan berekatan alam bahan ielektrik 5
Gambar 4 Yang serbasama (perhatikan gambar IX-4 iatas ini ). Konuktor M berisi muatan positif (Q + ) an M berisi muatan negatif (Q - ) imana keua konuktor ini V o an ari sini kita apat menefinisikan kapasitansi ari suatu kapasitor (symbol kapasitansi => ). Q ( Fara ) V Volt v 0 c Energi yang apat tersimpan alam suatu kapasitor apat inyatakan sbb; Q V0 QV0 J (J = Joule) W E ontoh soal 3 a).dua biang konuktor itempat sejajar seperti gambar berikut ini biang konuktor luas A Bahan iel. Jika jarak anatara keua biang konuktor ini inyatakan sebagai, maka kapasitansinya 6
r os F Umpama r =,5 an tetapan o = 8,854.0 -, S = 0,5 m an = 0, mm, maka,5.8,854.0 0,.0 3.0,5 F 9 7,6568.0 F 7, 6568nF an untuk V o = 00 Volt, maka Q= V o =,76568 u b).kapasitansi kawat sejajar, kawat berjari jari a, jarak antar sumbu keua kawat, panjang kawat L an itempatkan alam bahan ielektrik ol r In( ) a F Misalkan r =,5, L =, km, a = mm an = 30 c. saluran ipasang paa V o = 00 Volt, Hitunglah Q an rapat muatan paa kawat ( L ) Jawab..,5.8,854.0 0,30 In( ) 0,00.00 F = 4,98857.0-9 F = 4,98857 nf atau =, 49048 pf/meter Q = V o =,498857 u an L =,4905 n/meter. 7
c).kapasitansi saluran coaxial => r ol In( b ) a F Kawat luar jejari b => misalkan b = 0,8 cm Kawat alam jejari a => a = mm an r..,5.8,854.0 60, In( ) 943 0.008 0,00 pf m Muatan kawat alam an luar (sama besar) Q = V o oulomb Bila V o = 00 Volt, maka L = 6,0943 n/ meter. Energi yang apat tersimpan alam kapasitor W E = V o (60,943.0 ).00 300, 975nJoule Kuat mean i-alam saluran coaxial E = L /() V/m Lakukan sepanjang -L/ ke L/ maka potensial i P aalah P l 4 o ln( x x L x ln x L x L / l L ) L / 4 o Mean listrik i P E P P x P a X L 4 [ x ( L / ) o a ] Z L x 8
6.8 APAITANE Kapasitansi merupakam sifat penyimpanan energi elektrostatik ari objek konuktor yang ibatasi (isekelilingnya) bahkan ielektrik sebesar - o r. Konuktor yang satu bermuatan Q an yang lain Q an akibat konisi tersebut timbul suatu tegangan sebesar V, maka harga kapasitansi aalah : Q V Harga kapasitansi sangat tergantung paa imensi serta bentuk konuktor & tahan ielektrik sekelilingnya. Proseur perhitungan kapasitansi yaitu engan mengetahui muatan Q an _ Q i masing masing konuktor sehingga apat i hitung kuat mean listrik yang terjai (engan hukum Gauss) an kemuian iapat bea potensialnya yaitu 9
V El c Example Hitung kapasitansi ari bola konsentris engan jari jari a & b an antara keua konuktor tersebut i isi bahan ielektrik engan permivitas Solution Misal i bola alam terapat muatan Q an bola luar sebesar Q Q +Q a b Dengan menggunakan hukum Gauss iapat Sehingga E. s = total charge enclose s = Q Q r E 4 o a r 0
Bea potensial i keua konuktor aalah V a E. l l = r a r b Nilai negatif serta batas integrasi ari b ke a yang berarti muatan Q positif harus bekerja Untuk bergerak ari b ke a. V a Q b a 4r r. r. a r = Q 4 a b Haraga kapasitansi kapasitor bola aalah Q V 4 a b Example Plat pararel kapasitor seperti gambar ibawah Hitung harga kapasitansi an nyatakan bahwa kapasitor tersebut terhubung seri satu terhaap yang lain
Solution Misal kerapatan muatan permukaan plat bawah = s c/m an plat atas - s c/m gunakan hukum Gauss maka iapat, mean listrik Z s a E an Z s a E Kerapatan Flux listrik iua elektrik aalah D = E = s an D = E = s (kontinyu) D yang tegak lurus (normal) terhaap plat konuktor yang sama engan kerapatan muatan permukaan s, Maka.. l E l E V s s s o Bila luas plat = A maka muatan total Q = s A an kapasitansi A A V Q Untuk kapasitor an yang seri Maka V V V
3 Q Q Q iasumsikan sama (terhitung seri0, total kapasitansi = Q/V, aalah Q V. A A A A A Example 4.8 Dua siliner konuktor engan raius a an c an iel ektrik an, antara elektrik = b. Hitunglah kapasitansi persatuan panjang V + A A + V + V
Solution Perhitungan seperti yang lalu yaitu menggunakan hukum Gauss Kerapatan muatan ipusat konuktor s, engan hukum Gauss maka 0 z0 E. s 0 z0 s s Karena bentuk siliner, maka arah mean listrik secara raial 0 z0 E. a p. za 0 z0 s s az Dimana E Ea sa a Maka E sa a 4
Bea potensial ikeua konuktor aalah V b a b c E. l E. l Integrasi untuk jarak l engan arah raikal l = a, Maka V sa In b a sa c In b Muatan per unit panjang paa konuktor alam e = a s, imana s aalah muatan persamaan muatan maka kapasitansi per unit panjang a s V b In a c In b b In c c In b Terlihat serperti kapasitor siliner yang terhubung seri. Example 4.9 Hitung kapasitansi per unit panjang ari konuktor transmisi engan raius a an jumlah 5
a x P Solution Assumsi konuktor engan kerapatan + l an konuktor sebesar - l. engan hukum gauss iapat mean listrik imana. s l c s E. l 0 l z0 E. a. za E l l l Mean listrik ititik P, imana jarak ari konuktor engan arah kekonuktor 6
E l a Mean listrik i titik sama ari konuktor aalah (harga negatif) E l ( a ( ) ) Mean listrik total sepanjang garis anatara konuktor an aalah E l l ( a ) Bea potensial aalah V a a E. l l sepanjang (berarah) ap Maka V a l l a a ( p ) a Jarak titik P ari konuktor = iganti engan variabel jarak ari konuktor, maka besar potensial l a a V In In a a l a In a 7
Kapasitansi per unit panjang aalah l V a In a bila >>a, maka harga kapasitansi menjai In a 6.8 ELETROSTATI ENERGY DENSITY Menghitung kerapatan energi elektrostatik apat ilakukan engan penjumlahan total semua energi yang igunakan masing masing muatan Q, Q... Q n alam suatu mean listrik yang inyatakan ari nilai potensial i titik tersebut. W Q 8
9
30