DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n

DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n Nama : Yogi Sindy Prakoso NRP : 106 100 015 Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Pembimbing : Drs. Suhud Wahyudi, M.Si Dra. Titik Mudiati, M.Si Abstrak Grah adalah himunan asangan (V,E) dimana V adalah himunan vertex dan E adalah himunan edge yaitu asangan vertex dari V. Jika G adalah grah terhubung, misalkan S V(G) dan titik v V(G), arak antara v dengan S adalah d(v,s) dengan d(v,s) = min{d(v,x) x S}. Misalkan k buah artisi dan untuk himunan terurut Π = {S 1, S, S k } dari vertex-vertex dalam grah terhubung G dan vertex v ada V(G), reresentasi dari v terhada Π adalah r(v Π) dengan r(v Π) = (d(v,s 1 ), d(v,s ), d(v,s k )). Jika k-vektor r(v Π), untuk setia vertex v ada V(G) berbeda, maka Π disebut himunan artisi embeda dari V(G). Himunan artisi embeda dengan kardinalitas minimum dari V(G) disebut dimensi artisi dari G dan dinotasikan dengan d(g). Pada Tugas Akhir ini ditentukan dimensi artisi ada grah hasil korona C m K n dengan m 3, n 1. Dari analisis yang dilakukan dieroleh hasil bahwa dimensi artisi C m K n, 3, untuk n = 1 d(c m K n ) =, untuk n > 1 dengan meruakan bilangan bulat ositi terkecil yang memenuhi Kata Kunci : himunan embeda, dimensi artisi, grah hasil korona. n. 1. PENDAHULUAN Grah meruakan salah satu bidang dalam matematika. Grah adalah sebuah diagram yang memuat titik-titik disebut vertex, dan garis yang menghubungkan vertex-vertex disebut edge, didefinisikan G(V,E), dimana V adalah kumulan dari vertex dan E adalah kumulan dari edge. Setia edge menghubungkan teat dua buah vertex, dan setia vertex daat memiliki banyak edge yang menghubungkan dengan vertex yang lainnya. Dari ermasalahan yang terdaat ada berbagai disilin ilmu daat diselesaikan dengan membuat model grah. Misalkan grah mereresentasikan bentuk molekul air yang terdiri dari atom oksigen dan hidrogen, rancangan ruangan suatu bangunan. Masalah dan solusi yang didaat dari contoh kasus tersebut meruakan teknik dari teori grah. Dimensi artisi meruakan salah satu teknik dari teori grah. Berikut diberikan gambaran mengenai dimensi artisi. Misalkan terdaat sebuah roinsi ada suatu negara dimana di dalamnya terdaat beberaa kota. Kemudian kota-kota tersebut dibagi menadi beberaa kelomok dengan ketentuan dalam sebuah kelomok tidak terdaat kota yang sama. Hitung arak minimum dari masing-masing kota terhada semua kelomok. Jika terdaat dua kota yang berarak sama, maka ubah kembali embagian kelomok tersebut samai didaatkan arak minimum tia kota berbeda. Banyaknya kelomok yang dibuat seminimal mungkin ini dinamakan dengan dimensi artisi. (Iqbal, 010) Seauh ini dimensi artisi ada grah hasil korona C m K n belum ditemukan, sehingga ada Tugas Akhir ini akan dibahas mengenai dimensi artisi ada grah hasil korona C m K n.. DASAR TEORI.1 Grah Grah tak berarah, selanutnya disebut sebagai grah G, didefinisikan sebagai asangan terurut G(V,E) dimana V adalah himunan hingga tidak kosong {v 1, v, v k } dan E adalah himunan bagian dari VxV dengan (u,v) E, mengakibatkan (v,u) E. Anggota dari V disebut vertex digambarkan sebagai lingkaran atau titik dan anggota dari E disebut edge digambarkan sebagai ruas garis yang menghubungkan dua buah vertex. Banyaknya vertex dari G dilambangkan dengan V = dan banyaknya edge dari G dilambangkan dengan E = q. Secara umum suatu grah G yang memunyai - vertex dan q-edge dituliskan dengan (,q)-grah G. (Harary, 1969) Suatu grah dikatakan terhubung ika daat dibuat lintasan yang menghubungkan setia dua buah vertex ada grah tersebut. Contoh dari grah terhubung dan grah tidak terhubung daat dilihat ada Gambar.1. 1

v 3 v 1 Gambar.1 : Grah Terhubung dan Grah Tidak Terhubung. Grah sederhana adalah grah yang tidak memuat loo dan sisi rangka (multile edge). Loo adalah sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri. Jika terdaat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi-sisi tersebut dinamakan sisi rangka (multile edge). Grah takberarah (undirected grah) adalah grah yang sisinya tidak memunyai orientasi arah, dan urutan asangan titik-titik yang dihubungkan oleh sisi tidak dierhatikan. (Harary, 1969). Eksentrisitas Jarak (distance) antara vertex u dan v ada grah G, dinotasikan dengan d(u,v) adalah anang lintasan terendek antara u dan v ada grah G. Jika tidak ada lintasan antara u dan v, maka d(u,v) =. (Harary, 1969) Gambar. : Grah dengan 7 vertex dan 7 edge. Contoh.1 : Pada Gambar. : d(v 1,v 3 ) =, d(v 1,v 5 ) =, d(v,v 4 ) =, d(v 3,v 4 ) =, d(v 3,v 5 ) = 1, d(v 1,v 4 ) = 1, d(v 3,v 7 ) =, d(v 5,v 6 ) =. v e 1 e e 3 v 4 e 4 e 5 e 6 v 5 v 1 e 7 v 6 v Eksentrisitas vertex v ada grah G, dinotasikan dengan ecc(v) adalah arak terauh (maksimal lintasan terendek) dari v ke setia vertex di G. ecc(v) = max{d(v,u) u V(G)} v 3 v 1 v e 1 e e 3 v 4 e 4 e 5 e 6 v 5 v 4 v 5 v 6 v 7 e 7 v 3 v 6 Contoh. : Pada Gambar. : ecc(v 1 ) = dengan vertex eksentrik v 3, ecc(v 1 ) = dengan vertex eksentrik v 5, ecc(v ) = dengan vertex eksentrik v 4, ecc(v 3 ) = dengan vertex eksentrik v 4. Diameter ada grah G, dinotasikan dengan diam(g) didefinisikan sebagai eksentrisitas maksimum dari G, atau arak maksimum antara dua vertex ada G. diam(g) = max x VG ecc x = max x,y VG d(x, y) Contoh.3 : Pada Gambar., diam(g) =. Radius ada grah G, dinotasikan dengan rad(g) didefinisikan sebagai eksentrisitas minimum dari G. rad(g) = min x VG ecc x Contoh.4 : Pada Gambar., rad(g) = 1..3 Jenis-Jenis Grah Berikut ini akan dielaskan beberaa enis dari grah khusus, didalamnya diberikan enelasan tentang engertian grah, disertai dengan contohcontohnya. 1. Grah Cycle Grah cycle adalah suatu walk tertutu yang mengandung setidaknya tiga buah vertex dan semua vertexnya berbeda, dimana suatu walk ada grah G(V,E) yang menghubungkan v 1 dengan v n adalah suatu barisan vertex dan edge dari G dengan bentuk sebagai berikut : {v 1, (v 1,v ), v, (v,v 3 ), v 3, v n-1, (v n-1,v n ), v n } Dan daat dituliskan sebagai {v 1, v, v n } atau v 1, v, v n. Suatu walk dikatakan tertutu ika v 1 = v n. Grah n-cycle adalah grah cycle dengan n buah edge, dinotasikan dengan C n. Berikut contoh grah cycle terlihat ada Gambar.3. C 3 Gambar.3 : Grah C 3 dan C 6. C 6. Grah Lengka Grah lengka adalah grah sederhana yang setia vertex-nya memunyai sisi ke semua vertex

lainnya. Grah lengka dengan n buah vertex dinotasikan dengan K n. Grah lengka memunyai umlah vertex dan edge masing-masing adalah V(K n ) n (n 1) = n dan K n =. Akibatnya, tia vertex di K n bertetangga dengan vertex lainnya di K n sehingga setia vertex di K n memiliki umlah tetangga yang sama d Kn (v) = (n-1)k n dan memiliki diameter D(K n ) = 1 atau disebut uga dengan unit distance. Berikut contoh grah lengka terlihat ada Gambar.4. (Iqbal, 010) dinotasikan dengan G H, meruakan grah dengan himunan vertex sebagai berikut (Harary, 1970) : V G H = V(G) V(H i ) iεv (G) Dan memunyai himunan edge sebagai berikut (Harary, 1970) : E G H = E G iεv G E H i V G dan u i εv H i } { i, u i : i Sebagai contoh, misalkan diberikan grah G dan H seerti Gambar.5. K 5 K 6 Gambar.4 : Grah K 5 dan K 6. G H.4 Dimensi Partisi Misalkan terdaat sebuah grah terhubung G dengan V(G) adalah himunan vertex-vertexnya, S V(G) dan titik v V(G), arak antara v dengan S yang dinotasikan d(v,s) didefinisikan sebagai berikut : d(v,s) = min{d(v,x) x S} Misalkan terdaat sebuah grah terhubung G dan k buah artisi dan untuk himunan terurut Π = {S 1, S, S k } dari vertex-vertex dalam grah terhubung G dan vertex v ada V(G), reresentasi dari v terhada Π adalah k-vektor. r(v Π) = (d(v,s 1 ), d(v,s ), d(v,s k )) Jika k-vektor r(v Π), untuk setia vertex v ada V(G) berbeda, maka Π disebut himunan artisi embeda dari V(G). Himunan artisi embeda dengan kardinalitas minimum disebut dimensi artisi dari G dinotasikan dengan d(g). (Syah, 008) Lemma.1 Jika d(u,w) = d(v,w), untuk semua w V(G)-{u,v} maka u dan v harus berada di kelas artisi yang berbeda. (Chartrand, 000) Proosisi.1 Misal G adalah grah terhubung orde n. Jadi, d(g) = ika dan hanya ika G = P n. (Syah, 008) Proosisi. Misal G adalah grah terhubung orde n. Jadi, d(g) = n ika dan hanya ika G = K n. (Syah, 008).5 Oerasi Korona Pada Grah ( ) Misalkan G dan H adalah dua buah grah. Hasil oerasi korona ada grah G terhada H G H Gambar.5 : Hasil oerasi korona ada grah..6 Grah Hasil Korona C m K n Grah ini meruakan grah hasil korona antara grah cycle (C m ) memunyai m-vertex yang dinotasikan dengan {x 1, x, x m } dan grah lengka K n memunyai n-vertex yang dinotasikan dengan {y i1, y i, y in }, i = 1,, m, dimana m,n adalah bilangan bulat ositif dan m 3, n 1. Grah hasil korona C m K n adalah G(V,E) dengan himunan vertex V(C m K n ) = {v 1, v, v m, v m+1 } dengan : v 1 = {y 11, y 1, y 1n }, v = {y 1, y, y n },... v m = {y m1, y m, y mn }, v m+1 = {x 1, x, x m }. sedangkan himunan edge : E(C m K n ) = {x 1 x, x x 3, x m-1 x m, x m x 1, x 1 y 11, x 1 y 1, x 1 y 1n, x m y m1, x m y mn } Jumlah vertex dan edge masing-masing adalah V(C m K n ) = m(n+1) dan E(C m K n ) = m (n +n+) Sebagai contoh untuk m = 6 dan n = 5 yang daat dilihat ada Gambar.6..7 Dimensi Partisi Pada Grah Hasil Korona C m K n 3

Dimensi Partisi ada Grah G hasil dari oerasi hasil korona (oerasi ) grah cycle (C m ) dan grah lengka (K n ), dimana m,n bilangan bulat ositif dan m 3, n 1, dinotasikan dengan G(C m K n ), dieroleh melalui kardinalitas minimum dari himunan artisi embeda dari grah G(C m K n ). y 1 y 13 y 14 y 15 dengan 1 i m maka S 1 = {x i x i V(C m ), 1 i m}. Bukti : Misalkan x i V(C m ), y i V(K n ) dengan 1 i m, 1 n karena arak antara x i dan y i sama dengan 1, sehingga reresentasi himunan artisi embeda berbeda, yaitu : r(x i Π) = (0,...) yang berada ada himunan artisi embeda S 1 dan r(y i Π) = (1,...) yang berada ada himunan artisi embeda {S, S 3, S }. y 64 y 63 y 6 y 55 y 54 y 53 y 65 y 61 y 51 y 5 x 6 x 5 y 45 y 11 x 1 x x 4 x 3 y 41 y 4 y y 3 y 1 y 4 y 5 y 3 y 31 y 33 y 35 y 34 4.1 Dimensi Partisi Grah Hasil Korona C m K n Dengan n = 1, m Secara Umum Secara umum grah hasil korona C m K n dengan n = 1, dinotasikan dengan C m K 1. Grah Hasil Korona C m K 1 adalah grah G(V,E) dengan V(C m K 1 ) = {v 1, v, v 3, v m, v m+1 } dimana v 1 = {y 11 }, v = {y 1 }, v 3 = {y 31 }, v m = {y m1 }, v m+1 = {x 1, x, x m }, sedangkan edge C m K 1 didefinisikan dengan E(C m K 1 ) = {x 1 x, x x 3, x m-1 x m, x m x 1, x i y i1, y i1 1 i 3}. Jumlah vertex dan edge masingmasing adalah V(C m K 1 ) = m dan E(C m K 1 ) = m. Dan daat digambarkan seerti ada Gambar 4.1. y 11 y 44 y 43 Gambar.6 : Grah hasil korona C 6 K 5. 3. METODOLOGI PENELITIAN Metodologi enelitian yang digunakan untuk menyelesaikan ermasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah : 1. Konstruksi. Analisis Permasalahan 3. Evaluasi 4. Penyimulan Hasil Penelitian 4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dielaskan mengenai analisis ermasalahan beserta embahasannya dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Dalam bab ini dibahas mengenai dimensi artisi dari grah hasil korona C m K n secara umum dengan m 3, n 1, dengan m,n bilangan bulat ositif. Untuk mendaatkan dimensi artisi tersebut maka dilakukan dengan menentukan kardinalitas minimum dari himunan artisi embeda. Untuk mendaatkan kardinalitas minimum dari himunan artisi embeda maka digunakan Lemma 4.1 berikut : Lemma 4.1 : Misalkan terdaat grah hasil korona C m K n dengan m 3, Π = {S 1, S, S } meruakan artisi embeda dari V(C m K n ), dan x i V(C m ) y m1 y 61... x m x 6 x 1 x 5 y 51 Gambar 4.1 : Grah hasil korona C m K n dengan n = 1, m secara umum. Untuk menentukan dimensi artisi dari grah hasil korona C m K 1, d(c m K 1 ) dibutuhkan Lemma 4. berikut : Lemma 4. : Untuk grah hasil korona C m K n dengan m 3, n = 1, m bilangan bulat ositif maka berlaku d(c m K 1 ) = 3. Bukti : Misalkan terdaat himunan artisi embeda dari V(C m K 1 ) Π = {S 1, S, S 3 }, menggunakan Lemma 4.1, dimana S 1 = {x 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6, y 11, y 1, y 31 }, S = {y 41, y 51, y (m-1) 1 }, S 3 = {y m1 }, maka dieroleh vektor koordinat titik-titik grah relatif terhada Π adalah sebagai berikut : x x 4 x 3 y 1 y 41 y 31 4

r(y 11 Π) = (0, 3), r(y 1 Π) = (0, 4), r(y (m-1) 1 Π) = (1, 0, 3), r(y m1 Π) = (1, 3, 0), r(x 1 Π) = (0, ), r(x Π) = (0, 3, 3), r(x m-1 Π) = (0, 1, ), r(x m Π) = (0,, 1), yang memberikan reresentasi yang berbeda, adi Π = {{x 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6, y 11, y 1, y 31 }, {y 41, y 51, y (m-1) 1}, {y m1 }} meruakan himunan artisi embeda C m K 1 dengan kardinalitas Π 3. Jadi, d(c m K 1 ) 3. Sedangkan, untuk menemukan batas bawahnya, maka akan dibuktikan bahwa ika kardinalitas Π = 3-1 =, yaitu Π = {S 1, S }, maka bukan himunan artisi embeda, karena menurut Proosisi.1 hanya ika grah P n sehingga Π = {S 1, S } bukan meruakan himunan artisi embeda. Jadi, 3 Π atau 3 d(c m K 1 ). Karena d(c m K 1 ) adalah 3 d(c m K 1 ) 3, maka d(c m K 1 ) = 3. Jadi, terbukti bahwa d(c m K 1 ) = 3. 4. Dimensi Partisi Grah Hasil Korona C m K n Dengan n =, m Secara Umum Secara umum grah Hasil Korona C m K n dengan n =, dinotasikan dengan C m K. Grah Hasil Korona C m K adalah grah G(V,E) dengan V(C m K ) = {v 1, v, v 3, v m, v m+1 } dimana v 1 = {y 11, y 1 }, v = {y 1, y }, v 3 = {y 31, y 3 }, v m = {y m1, y m }, v m+1 = {x 1, x, x m }, sedangkan edge C m K didefinisikan dengan E(C m K ) = {x 1 x, x x 3, x m- 1x m, x m x 1, x i y i, y i1 y i 1 i m, 1 }. Jumlah vertex dan edge masing-masing adalah V(C m K ) = 3m dan E(C m K ) = 4m. Dan daat digambarkan seerti ada Gambar 4.. y 11 y 1 y 1 y m y m1 y 6... y 61 x m x 6 y 5 x 1 x 5 y 51 x x 4 x 3 y 4 y y 41 y 31 y 3 Gambar 4. : Grah hasil korona C m K n dengan n =, m secara umum. Untuk menentukan dimensi artisi dari grah Hasil korona C m K, d(c m K ) dibutuhkan Lemma 4.3 berikut : Lemma 4.3 : Untuk grah hasil korona C m K n dengan m 3, n =, m bilangan bulat ositif maka berlaku d(c m K ) = dengan meruakan bilangan bulat ositi terkecil yang memenuhi m. Bukti : Misalkan himunan artisi embeda dari V(C m K ), Π = {S 1, S, S }, dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga x i S 1, Perhatikan ada setia edge x i dengan y i khususnya (-1) dimana = i. Dengan y (-1) buah vertex dimana = 1 meruakan anggota S 1, sedangkan y (-1) buah vertex lainnya dimana 1 adalah anggota (-1) artisi selain S 1. Lalu erhatikan y (-) buah vertex dimana = 1 adalah anggota S, sedangkan y (-) dimana 1 adalah anggota (-) artisi selain S 1 dan S. Langkah ini dilakukan terus samai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya belum tergabung dalam artisi manaun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganil adalah anggota S -1 dan vertex yang berlabel gena adalah anggota S. Maka dieroleh vektor koordinat titik-titik grah relatif terhada Π adalah sebagai berikut : r(y 11 Π) = (0, 1, 3, 3, 3), r(y 1 Π) = (1, 0, 3, 3, 3), r(y 1 Π) = (0, 3, 1, 3, 4), r(y Π) = (1, 3, 0, 3, 4), r(y m1 Π) = (1, 0, 1), r(y m Π) = (1, 1, 0), r(x 1 Π) = (0, 1,,...), r(x Π) = (0,, 1,...), r(x m Π) = (0, 1, 1). Sehingga, d(c m K ). Jika Π = {S 1, S, S -1 } maka asti ditemukan reresentasi koordinat vertex yang sama yaitu asti terdaat d(u,s ) = d(v,s ), 1-1. Maka sesuai dengan Lemma.1, u dan v harus berada ada artisi yang berbeda sehingga Π bukan meruakan himunan artisi embeda, maka d(c m K ). Terdaat (1 + + 3 +... + (-1)) buah asang vertex x i dengan y i atau 1 + + 3 +... + (-1) 5

( 1) ( 1)! Jadi, d(c m K ) =, dengan adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi. 4.3 Dimensi Partisi Grah Hasil Korona C m K n Dengan n = 3, m Secara Umum Secara umum grah Hasil Korona C m K n dengan n = 3, dinotasikan dengan C m K 3. Grah Hasil Korona C m K 3 adalah grah G(V,E) dengan V(C m K 3 ) = {v 1, v, v 3, v m, v m+1 } dimana v 1 = {y 11, y 1, y 13 }, v = {y 1, y, y 3 }, v 3 = {y 31, y 3, y 33 }, v m = {y m1, y m, y m3 }, v m+1 = {x 1, x, x m }, sedangkan edge C m K 3 didefinisikan dengan E(C m K 3 ) = {x 1 x, x x 3, x m-1 x m, x m x 1, x i y i, y i1 y i, y i1 y i3, y i y i3 1 i m, 1 3}. Jumlah vertex dan edge masing-masing adalah V(C m K 3 ) = 3m dan E(C m K 3 ) = 7m. Dan daat digambarkan seerti ada Gambar 4.3. y m3 y m y 63 y m1 y 6... y 61 x m x 6 y 1 y 13 y y 53 y 11 x 1 x 5 Gambar 4.3 : Grah hasil korona C m K n dengan n = 3, m secara umum. Untuk menentukan dimensi artisi dari grah Hasil korona C m K 3, d(c m K 3 ) dibutuhkan Lemma 4.4 berikut : Lemma 4.4 : Untuk grah hasil korona C m K n dengan m 3, n = 3, m bilangan bulat ositif maka berlaku d(c m K 3 ) = dengan meruakan x x 4 x 3 y 1 y 51 y 41 y 5 y 43 y 31 bilangan bulat ositi terkecil yang memenuhi m. y 3 y 4 y 3 y 33 3 6 Bukti : Misalkan himunan artisi embeda dari V(C m K 3 ), Π = {S 1, S, S }, dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga x i S 1, Perhatikan ada setia edge x i dengan y i 1 ( ) khususnya dimana = i. Dengan y 1 ( ) buah vertex dimana = 1 meruakan anggota S 1, sedangkan buah vertex lainnya dimana 1 y 1 ( ) adalah anggota (-1) artisi selain S 1. Lalu erhatikan y ( 3) buah vertex dimana = 1 adalah anggota S, sedangkan y ( 3) dimana 1 adalah anggota (- ) artisi selain S 1 dan S. Langkah ini dilakukan terus samai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya belum tergabung dalam artisi manaun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganil adalah anggota S -1 dan vertex yang berlabel gena adalah anggota S. Maka dieroleh vektor koordinat titik-titik grah relatif terhada Π adalah sebagai berikut : r(y 11 Π) = (0, 1, 1, 3, 3, 3), r(y 1 Π) = (1, 0, 1, 3, 3, 3), r(y 13 Π) = (1, 1, 0, 3, 3, 3), r(y 1 Π) = (0, 1, 3, 1, 3, 4), r(y Π) = (1, 0, 3, 1, 3, 4), r(y 3 Π) = (1, 1, 3, 0, 3, 4), r(y m1 Π) = (1, 0, 1, 1), r(y m Π) = (1, 1, 0, 1), r(y m3 Π) = (1, 1, 1, 0), r(x 1 Π) = (0, 1, 1,,...), r(x Π) = (0, 1,, 1,...), r(x m Π) = (0, 1, 1, 1). Sehingga, d(c m K 3 ) Jika Π = {S 1, S, S -1 } maka asti ditemukan reresentasi koordinat vertex yang sama yaitu asti terdaat d(u,s ) = d(v,s ), 1-1. Maka sesuai dengan Lemma.1, u dan v harus berada ada artisi yang berbeda sehingga Π bukan meruakan himunan artisi embeda, maka d(c m K 3 ). Terdaat (1 + 3 + 6 +... + 1 ( ) ) buah asang vertex x i dengan y i atau 1 + 3 + 6 +... + 1 ( ) 6 1 ( ) 3! 3 1 ( )

Jadi, d(c m K 3 ) =, dengan adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi 3. 4.4 Dimensi Partisi Grah Hasil Korona C m K n Dengan n Secara Umum, m Secara Umum Untuk memeroleh dimensi artisi dari grah hasil korona C m K n m secara umum, n secara umum dengan m 3, n 1, daat dilihat ada Teorema 4.1 berikut : Teorema 4.1 : Untuk grah hasil korona C m K n dengan m 3, n 1, m, n bilangan bulat ositif maka berlaku d(c m K n ) = 3, untuk n = 1, untuk n > 1 dengan meruakan bilangan bulat ositi terkecil yang memenuhi n. Bukti : d(c m K n ) = 3, untuk n = 1 : Untuk d(c m K n ) = 3, untuk n = 1 telah dibuktikan ada Lemma 4.. d(c m K n ) =, untuk n > 1 : Misalkan himunan artisi embeda dari V(C m K n ), dengan n 1, Π = {S 1, S, S }, dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga x i S 1, Perhatikan ada setia edge x i dengan y i 1 ( n+1) khususnya dimana = (n 1)! i. Dengan y 1 ( n +1) buah vertex (n 1)! dimana = 1 meruakan anggota S 1, sedangkan y 1 ( n +1) buah (n 1)! vertex lainnya dimana 1 adalah anggota (-1) artisi selain S 1. Lalu erhatikan y 3 4 ( n +) (n 1)! buah vertex dimana = 1 adalah anggota S, sedangkan y 3 4 ( n +) (n 1)! dimana 1 adalah anggota (-) artisi selain S 1 dan S. Langkah ini dilakukan terus samai bersisa 1 batang dimana kedua vertexnya belum tergabung dalam artisi manaun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganil adalah anggota S -1 dan vertex yang berlabel gena adalah anggota S. Maka dieroleh vektor koordinat titik-titik grah relatif terhada Π adalah sebagai berikut : r(y 11 Π) = (0, 1, 3, 3), r(y 1 Π) = (1, 0, 3, 3), r(y 1n Π) = (1, 1, 3, 3), r(y 1 Π) = (0, 3, 1, 3, 4), r(y Π) = (1, 3, 3, 4), r(y n Π) = (1, 1, 3, 0, 3, 4), r(y m1 Π) = (1, 0, 1,...), r(y m Π) = (1, 1, 0,...), r(y mn Π) = (1, 1, 0), r(x 1 Π) = (0, 1,,...), r(x Π) = (0,, 1,...), r(x m Π) = (0, 1, 1). Sehingga, d(c m K n ) Jika Π = {S 1, S, S -1 } maka asti ditemukan reresentasi koordinat vertex yang sama yaitu asti terdaat d(u,s ) = d(v,s ), 1-1, maka sesuai dengan Lemma.1, u dan v harus berada ada artisi yang berbeda sehingga Π bukan meruakan himunan artisi embeda, maka d(c m K n ). Terdaat (1 + n + n(n+1) +... + 1 ( n+1) n 1 n.1 dengan y i atau 1 + n + n(n+1) +... + 1 ( n+1) n n 1 n.1 1 ( n+1) n! ) buah asang vertex x i 1 ( n+1) n n 1 n.1 Jadi, d(c m K n ) =, dengan adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi n. 7

5. KESIMPULAN Sesuai dengan Teorema 4.1, daat disimulkan bahwa dimensi artisi ada grah hasil korona C m K n, dengan m 3, n 1, dieroleh : 3, untuk n = 1 d(c m K n ) =, untuk n > 1 dengan meruakan bilangan bulat ositi terkecil yang memenuhi n. 6. DAFTAR PUSTAKA Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P. 000. The Partition Dimension Of Grah. Aequationes Mathematicae, 45-54. Harary, F. 1969. Grah Teory. Wesley Publishing Comany, Inc. Harary, F., Frucht, R. 1970. On The Corona Of Two Grahs. Aequationes Mathematicae, 3-35. Iqbal, M. 010. Dimensi Partisi Pada Pengembangan Grah Kincir Dengan Pola K 1 +mk n. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITS. Syah, N. 008. Dimensi Partisi Graf Kias dan Graf Kincir. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITB. 8