5.Permutasi dan Kombinasi Prinsip Perkalian : Jika sebuah aktivitas bisa dibentuk dalam t langkah berurutan dan langkah 1 bisa dilakukan dalam n1 cara; langkah kedua bisa dilakukan dalam n2 cara;.; langkah t bisa dilakukan dalam nt cara, maka banyaknya aktivitas berbeda yang mungkin adalah n1.n2.nt. Contoh 5.1: Sebuah panitia yang terdiri dari enam orang terdiri dari Ali, Budi, Cokro, Dewi, Edi, dan Franky akan memilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara pemilihan ini bisa dilaksanakan? Pengurus bisa dilakukan dalam tiga langkah berurutan : pilihlah ketua, pilihlah sekretaris, dan pilihlah bendahara. Ketua bisa dipilih dalam 6 cara. Begitu, ketua telah dipilih, sekretaris bisa dipilih dalam 5 cara. Setelah pemilihan ketua dan sekretaris, bendahara bisa dipilih dalam empat cara. Oleh karena itu menurut prinsip perkalian, jumlah total dari kemungkinankemungkinan itu adalah 6.5.4 = 120 cara. Prinsip Penjumlahan : Andaikan bahwa X1, X2,., Xt merupakan sebuah himpunan-himpunan dan himpunan ke-i Xi mempunyai ni anggota. Jika {X1, X2,., Xt} merupakan sebuah famili saling lepas (yakni, jika i j, Xi Xj = Ø), maka banyaknya anggota yang mungkin bisa dipilih dari X1 atau X2 atau atau Xt adalah n1+n2+ +nt. Contoh 5.2: Mengacu pada Contoh 5.1. Ada berapa banyak cara pemilihan ini bisa dilaksanakan apabila Ali atau Budi harus menjadi ketua? Jika Ali sebagai ketua, maka sekretaris bisa dipilih dalam 5 cara. Setelah pemilihan ketua dan sekretaris, bendahara bisa dipilih dalam 4 cara. Oleh karena, apabila Ali sebagai ketua jumlah total dari kemungkinan untuk memilih pengurus yang lain adalah 1 http://www.mercubuana.ac.id
5.4 = 20 cara. Dengan cara yang sama, jika Budi sebagai ketua jumlah total dari kemungkinan untuk memilih pengurus yang lain adalah 5.4 = 20 cara Karena kedua kasus saling lepas, menurut prinsip penjumlahan, terdapat 20 + 20 = 40 cara pemilihan pengurus bisa dilaksanakan apabila Ali atau Budi harus menjadi ketua. 5.1 Permutasi Definisi 5.1 : Permutasi dari n unsur yang berbeda x1, x2,, xn adalah sebuah pengurutan dari n unsur x1, x2,, xn. Banyaknya permutasi dari n unsur, diberikan oleh teorema berikut. Teorema 5.1 : Terdapat n! permutasi dari n unsur. Contoh 5.3 : a. Hitunglah banyaknya permutasi dari tiga huruf A, B, dan C. b. Daftarlah permutasi dari tiga huruf A, B, dan C. a. Di sini n = 3, sehingga banyaknya permutasi dari tiga huruf A, B, dan C adalah 3! = 3.2.1 = 6 b. Permutasi dari tiga huruf A, B, dan C adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Kadang-kadang kita ingin menetapkan sebuah urutan dari r unsur yang dipilih dari n unsur tersedia. Pengurutan seperti ini disebut permutasi-r. 2 http://www.mercubuana.ac.id
Definisi 5.2 : Sebuah permutasi-r unsur (berbeda) x1, x2,, xn merupakan sebuah pengurutan dari subhimpunan r-unsur dari {x1, x2,, xn}. Banyaknya permutasi-r dari sebuah himpunan n unsur yang berbeda dinyatakan P(n,r). Banyaknya permutasi-r dari sebuah himpunan n unsur yang berbeda, diberikan oleh teorema berikut. Teorema 5.2 : Banyaknya permutasi-r dari sebuah himpunan dari objek-objek yang berbeda adalah P(n,r) = n(n-1)(n-2).(n-r+1), r n Contoh 5.4 : a. Hitunglah banyaknya permutasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C. b. Daftarlah permutasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C. a. Di sini n = 3 dan r = 2, sehingga banyaknya permutasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C adalah 3! = 3.2 = 6 b. Permutasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C adalah AB, AC, BC, BA, CA, CB Catatan : Banyaknya permutasi n benda yang berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!. Latihan Soal 5.1 Misalkan X = {a, b, c, d} a. Hitunglah banyaknya permutasi dari X b. Daftarlah permutasi dari X c. Hitunglah banyaknya permutasi-3 dari X 3 http://www.mercubuana.ac.id
d. Daftarlah permutasi-3 dari X 5.2 Dalam berapa banyak cara kita bisa memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dari sebuah kelompok yang terdiri dari 12 orang? 5.2 Kombinasi Selanjutnya kita beralih pada pemilihan objek-objek yang tidak mempedulikan urutan. Definisi 5.3 : Diberikan sebuah himpunan X = {x1, x2,, xn} yang mengandung n unsur ( berbeda). Sebuah kombinasi-r dari X adalah seleksi tak terurut dari r-unsur X. Banyaknya r-kombinasi dari sebuah himpunan dengan n unsur yang berbeda dinotasikan C(n,r) atau n r Banyaknya r-kombinasi dari sebuah himpunan dengan n unsur yang berbeda, diberikan oleh teorema berikut. Teorema 5.3 : Banyaknya kombinasi-r dari sebuah himpunan n objek yang berbeda adalah n! C(n, r), r n (n r)!r! Contoh 5.5 : a. Hitunglah banyaknya kombinasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C. b. Daftarlah kombinasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C. a. Di sini n = 3 dan r = 2, sehingga banyaknya kombinasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C adalah 3! C(3,2) 3 (3 2)!2! b. Kombinasi-2 dari tiga huruf A, B, dan C adalah 4 http://www.mercubuana.ac.id
AB, AC, BC Latihan Soal 5.3 5.4 Misalkan X = {a, b, c} a. Hitunglah banyaknya kombinasi-3 dari X b. Daftarlah kombinasi-3 dari X Pada sebuah klub yang terdiri dari 6 pria berbeda dan 7 wanita berbeda. Dalam berapa banyak cara kita bisa memilih sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang. Daftar Pustaka R. Johnsonbaugh, Matematika Diskrit Jilid 1, Prenhallindo, 1998. 5 http://www.mercubuana.ac.id