Percobaan Satu Faktor: Rancangan Bujur Sangkar Latin (Latin Square Design) Arum H. Primandari, M.Sc.
Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL) Pada kondisi-kondisi tertentu, keheterogenan unit percobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengan satu sisi keragaman unit-unit percobaan. Salah satu yang mampu mengendalikan keragaman lebih dari satu adalah RBSL. RAKL hanya mengendalikan keragaman dari satu arah, sementara RBSL mengendalikan keragaman dari dua arah (baris dan kolom)
Kelebihan dan Kekurangan Kelebihan: mampu mengendalikan komponen keragaman unit unit percobaan dari dua arah (arah baris dan arah kolom). Kekurangan: persyaratan RSBL sering dianggap kekurangan, yaitu bahwa jumlah ulangan harus sama dengan jumlah perlakuan. Untuk jumlah perlakuan yang lebih kecil dari 4 akan mengakibatkan jumlah db galat percobaan menjadi sangat kecil dengan konsekuensi bahwa galat percobaan akan menjadi besar. Akibat dari dua kekurangan sebelumnya, RBSL hanya digunakan untuk percobaan yang menggunakan 4 8 perlakuan.
Syarat RBSL Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom Pengacakan, setiap perlakuan harus muncul sekali di setiap baris dan sekali di setiap kolom
Pengacakan dan Denah Rancangan Kasus: suatu penelitian melibatkan 4 perlakuan (A, B, C, D) dimana penempatan perlakuan diacak berdasar posisi baris dan kolom. Oleh karena Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom, maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16. Penempatan perlakuan harus memperhatikan aturan: setiap perlakuan hanya muncul sekali pada arah baris dan sekali pada arah kolom.
Cara pengacakannya yaitu: 1. Tempatkan perlakuan pada arah diagonal secara acak. 1 A C D B B A C D 3 D B A C 4 C D B A 1 3 4
. Acaklah penempatan baris 3 D B A C B A C D 4 C D B A 1 A C D B 1 3 4 3. Acaklah penempatan kolom 3 B C D A A D B C 4 D A C B 1 C B A D 4 1 3 Bagan percobaan akhir
Tabulasi Data
Model Linier Model linier untuk RBSL: dimana: Yijk i j k ijk i, j,k 1,,...,r Y ijk : nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i dan kolom ke-j μ: rataan umum α i : pengaruh baris ke-i β j : pengaruh kolom ke-j τ k : pengaruh perlakuan ke-k ij iid N 0, ε ijk : pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-k pada baris ke-i dan kolom ke-j
Asumsi Asumsi untuk model tetap t r t iiid 0, 0, 0 dan N 0, i j k ijk i1 j1 i1 Asumsi untuk model acak iid iid iid iiid N 0,, N 0,, N 0, dan N 0, i j k ijk
Hipotesis Model Tetap Hipotesis pengaruh perlakuan H :... 0 0 1 r H : 0,(k 1,,...,r) 1 k Hipotesis pengaruh baris H :... 0 0 1 r H : 0,(i 1,,...,r) 1 i Hipotesis pengaruh kolom H :... 0 0 1 r H : 0,(j 1,,...,r) 1 j Perlakuan tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati
Hipotesis Model Acak Hipotesis pengaruh perlakuan H : 0 0 H 1 : 0 Hipotesis pengaruh baris H : 0 0 H 1 : 0 Hipotesis pengaruh kolom H : 0 0 H 1 : 0
Perhitungan FK Y r r r r JKT Y FK JKB JKK JKP i1 j1 k1 Y r i i1 r r j1 r k1 Y j r Y k r ijk FK FK FK JKG JKT JKB JKK JKP
Tabel Analisis Variansi SV db JK KT F-hitung Perlakuan r 1 JKP KTP KTP/KTG Baris r 1 JKB KTB KTB/KTG Kolom r 1 JKK KTK KTK/KTG Galat (r 1)(r ) JKG KTG Total r 1 JKT Uji Hipotesis, maka kriteria keputusan : H 0 ditolak jika: Fhitung F,r 1,(r 1)(r )
Efisiensi Relatif (ER) dari RBSL Tingkat efisiensi RBSL terhadap RAK: ER b db 3db 1 db 1 db 3 ˆ ˆ b b dimana db l: derajat bebas galat dari RBSL, db b: derajat bebas galat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK: ˆ KTG l ˆ b r 1 KTK r 1 r 1 r KTG r r 1 Misal ER = 5 berarti agar sensifitas RAK sama dengan RBSL maka ulangan dalam RAK sebanyak 5 kali dari banyak kolom yang digunakan RBSL
Efisiensi RBSL terhadap RAK Efisiensi RBSL terhadap RAK terdapat ukuran: 1. Memperlakukan baris sebagai kelompok Dugaan KTG (RAK): fcktk ft fe KTG KTG(RAK) f f f dengan: c t e KTK dan KTG adalah kuadrat tengah kolom dan kuadrat tengah galat dari RBSL; f c, f t, f e berturut-turut adalah derajat bebas untuk kolom, perlakuan, dan galat dari RBSL.
. Memperlakukan kolom sebagai kelompok Dugaan KTG (RAK) adalah: r t e KTG(RAK) dengan: f KTB f f KTG f f f r t e KTB dan KTG adalah kuadrat tengah baris dan kuadrat tengah galat dari RBSL; f r, f t, f e berturut-turut adalah derajat bebas untuk baris, perlakuan, dan galat dari RBSL.
dengan demikian, ER(RBSL terhadap RAK) dihitung berdasarkan formula: ER(RBSL terhadap RAK) dengan: 1 f 1 f 3 KTG(RAK) f 1 f 3 KTG(RBSL) 1 f 1 dalah db galat untuk RBSL dan f adalah db galat untuk RAK.
Data Hilang dalam RBSL Pendugaan data hilang: Y dengan: r 1r r B K P G r: banyaknya perlakuan. B: total nilai pengamatan dari baris yang mengandung data hilang. K: total nilai pengamatan dari kolom yang mengandung data hilang. P: total nilai pengamatan dari perlakuan yang mengandung data hilang. G: total seluruh pengamatan
Jumlah kuadrat perlakuan melalui analisis ragam akan berbias ke atas dengan besar bias: Bias r 1r GB K r 1 P
Latihan
Pengulangan dari RBSL Salah satu kelemahan RBL berukuran kecil adalah bahwa rancangan itu hanya memiliki derajat bebas yang kecil, konsekuensinya tingkat ketelitian akan rendah. Misalkan: untuk RBSL 3 3 hanya memiliki db: (3-1)(3-)= Oleh karena itu, apabila kita menggunakan RBSL dalam ukuran kecil, sering dipertimbangkan untuk mengulang RBSL tersebut sehingga diperoleh db galat yang besar.
Contoh: Kita melakukan percobaan pemberian makanan jenis A, B, dan C pada sapi. Dalam percobaan, kita menggunakan RBSL ukuran 3 3, dengan menyiapkan 3 ekor sapi untuk dicobakan secara bergantian selama 3 periode waktu. Misalkan denah percobaannya adalah: Periode 1 A B C B C A 3 C A B 1 3 Sapi Untuk meningkatkan db galat, maka kita mengulang percobaan dengan RBL 3 3 itu sebanyak n kali, katakanlah sebanyak 3 atau 4 kali.
Periode Sapi 1 3 1 A B C B C A 3 C A B RBSL ukuran 3 3 4 B C A 5 A B C 6 C A B RBSL ukuran 3 3 7 C A B 8 A B C 9 B C A RBSL ukuran 3 3 10 A B C 11 B C A 1 C A B RBSL ukuran 3 3
Derajat bebas dari 4 buah RBSL 3 3: SV Baris/ Periode dalam RBSL (Ulangan) db nr 1 = (4)(3) 1 = 11 Kolom (sapi) r 1 = 3 1 = Perlakuan (makanan) r 1 = 3 1 = Galat (r 1)(nr ) = ()(10) = 0 Total nr 1 = 35
FK Y nr r r r r JKT Y FK i1 j1 k1 l1 ijkl Perhitungan r 1 JK(RBSL) JK(ulangan) Yl FK r JKB(RBSL) JKK JKP r j1 r k1 Y j nr Y nr k r r r il i1 l1 r r l1 FK FK Y 1 JKG JKT JK(RBSL) JKB(RBSL) JKK JKP l 1 Y l
Tabel Anava SV db JK KT F Baris/ Periode nr 1 JK(RBSL) + JKB(RBSL) KTB Kolom r 1 JKK KTK Perlakuan r 1 JKP KTP KTP/KTG Galat (r 1)(nr ) JKG KTG Total nr 1 JKT
Rancangan Beralih (Cross-Over Design)
Cross-Over Design Digunakan dalam percobaan yang menggunakan rotasi dengan panjang periode tetap (panjang periode ditentukan oleh peneliti). Pengaruh bawaan dari perlakuan terdahulu akan mempengaruhi pengukuran dari pengaruh perlakuan sekarang. Pengaruh bawaan dapat diatasi melalui pemilihan rancangan percobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periode istirahat di antara periode-periode perlakuan. Periode istirahat merupakan suatu periode waktu tanpa pengamatan pada perlakuan sekarang atau suatu periode tanpa perlakuan. Pada dasarnya rancangan beralih merupakan kombinasi antara RBSL dan RAK
Contoh: Misalkan kita memiliki perlakuan: A: pemberian makanan tambahan B: tanpa pemberian makanan tambahan Perlakuan A dan B akan dicobakan pada 8 ekor sapi. Setiap ekor sapi akan menerima perlakuan A dan B dalam periode 1 dan. Perlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasan separuh sapi mendapat perlakuan A dan separuhnya lagi mendapat perlakuan B dalam periode 1. Selanjutnya, sapi-sapi yang mendapat perlakuan A pada periode 1 akan beralih mendapat perlakuan B pada periode, vise-versa.
Denah Percobaan Sapi atau Ulangan Baris 1 3 4 5 6 7 8 Periode 1 B A B A A B B A Periode A B A B B A A B Jika percobaan yang sama dilakukan dengan menggunakan RBSL, maka kita perlu menggunakan RBSL ukuran diulang sebanyak 4 kali. Sapi atau Ulangan 1 3 4 5 6 7 8 1 B A B A A B B A A B A B B A A B RBSL 1 RBSL RBSL 3 RBSL 4
Perhitungan FK Y bk b JKT Y FK JKB JKK JKP k i1 j1 Y b i i1 b k j1 r k1 Y j k Y k r ij FK FK FK JKG JKT JKB JKK JKP dengan: b: banyak baris k: banyak kolom
Tabel Anava SV db JK KT F Baris/ Periode b 1 JKB KTB Kolom k 1 JKK KTK Perlakuan t 1 JKP KTP KTP/KTG Galat * JKG KTG Total bk 1 JKT * db galat: db total db baris db kolom db perlakuan
Referensi Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. Montgomery, Douglas C., 001, Design and Analysis of Experiments 5 th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.