PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L = s s L = s 2 stun lus Selnjutny, perhtikn Gmr 2! S R l P p Q Gmr 2 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi pnjng PQRS yng pnjngny p dn ler l stun. Digonl QS memgi persegi pnjng PQRS menjdi du uh segitig siku-siku, yitu PQS dn QRS. Adpun lus segitig PQS sm dengn lus QRS. Lus PQS = lus QRS = 1 2 lus persegi pnjng PQS 1
Kren persegi pnjng PQRS erukurn pnjng p dn ler l, lus PQS = 1 p l tu 2 Lus segitig siku-siku = 1 ls tinggi 2 Lus persegi dn lus segitig siku-siku sngt ermnft dlm menemukn teorem Pythgors. 2. Menemukn teorem Pythgors Untuk menemukn teorem Pythgors lkukn kegitn erikut: Amil sepotong kerts erentuk persegi erukurn ( + )m, seperti tmpk pd Gmr 3 (i). Gmr 3 (i). Selnjutny, kn ditemukn huungn ntr esrny,, dn. Gmr 3 (i) menunjukn persegi ABD erukurn ( + ) m. Pd keempt sudutny utlh empt segitig siku-siku dengn pnjng sisi siku-sikuny m dn m. Dri Gmr 3 (i) tmpk hw lus persegi ABD sm dengn lus persegi (lus derh yng tidk dirsir) ditmh lus empt segitig siku-siku. lus derh yng dirsir = lus empt segitig siku-siku = 4 1 2 = 2 dn lus yng tidk dirsir = lus persegi PQRS = = 2 2
Mk lus persegi ABD = lus derh yng dirsir + lus yng tidk dirsir = 2 + 2 Llu utlh persegi EFGH erukurn ( + ) m. Pd du uh sudutny utlh empt uh segitig siku-siku sedemikin sehingg mementuk du persegi pnjng erukurn ( ) m, seperti tmpk pd Gmr 3 (ii). H N G E K L 2 Gmr 3 (ii) Dri Gmr 3 (ii) tmpk hw lus persegi EFGH sm dengn lus persegi (lus derh yng tidk dirsir) ditmh lus empt segitig siku-siku (lus derh yng dirsir). lus derh yng dirsir = lus empt segitig siku-siku = 4 1 2 = 2 Lus derh yng tidk dirsir = lus persegi KMGN + lus persegi OFML = ( ) + ( ) = 2 + 2 Mk lus persegi EFGH = lus derh yng dirsir + lus derh yng tidk dirsir = 2 + 2 + 2 O 2 F M 3
Dri Gmr 3 (i) dn 3 (ii) tmpk hw persegi ABD kongruen dengn persegi EFGH, sehingg ukurn persegi ABD = ukurn persegi EFGH. Sehingg diperoleh: lus persegi ABD = lus persegi EFGH 2 + 2 = 2 + 2 + 2 2 = 2 + 2 Kesimpuln di ts jik digmrkn kn tmpk seperti pd Gmr 3 (iii). 2 2 Gmr 3 (iii) Kesimpuln terseut selnjutny dikenl dengn teorem Pythgors. Teorem Pythgors terseut selnjutny dpt dirumuskn segi erikut. Untuk setip segitig siku-siku erlku kudrt pnjng sisi miring sm dengn jumlh kudrt pnjng sisi siku-sikuny. Jik AB dlh segitig siku-siku dengn pnjng sisi miring, sedngkn dn pnjng sisi siku-sikuny mk erlku 2 = 2 + 2. A Gmr 4 B 4
Pernytn di ts jik diuh ke entuk pengurngn menjdi: 2 = 2 2 tu 2 = 2 2 ontoh 1. Pd gmr di smping, AB siku-siku di titik A. Pnjng AB = 4 m dn A = 3 m. Hitunglh pnjng B! Jw : B 2 = AB2 + A2 = 42 + 32 = 16 + 9 B 2 = 25 B = 25 = 5 Jdi, pnjng B = 5 m. 3 A 4 B 5
15 m 2. Pd gmr di smping, Pnjng tngg 6,4 m dn jrk kki tngg ke pngkl pohon 3,2 m. Tentukn tinggi pohon terseut! Jw: Sisi-sisi yng pnjngny 6,4 m, 3,2 m, dn h m mementuk segitig siku-siku, dn h segi slh stu sisi siku-siku, mk erlku: h 2 = 6,4 2 3,2 2 = 40,96 10,24 = 30,72 h = 30,72 = 5,54256 = 5,54 (diultkn smpi 2 desiml) Jdi, tinggi pohon terseut dlh 5,54 m. 3. Pd lok ABD. EFGH erikut ini, pnjng AB = 8 m, B = 6 m, dn G = 15 m. Hitunglh pnjng A dn AG! Jw:. AB siku-siku di titik B, mk: A 2 = AB 2 + B 2 E A 2 = 8 2 + 6 2 A 2 = 64 + 36 A 2 = 100 A = 100 A = 10 A B A Jdi, pnjng A = 10 m. 6,4 m 3,2 m D 8 m B h H G F 6 m 6
. AG siku-siku di titik, mk: AG 2 = A 2 + G 2 AG 2 = 10 2 + 15 2 AG 2 = 100 + 225 AG 2 = 325 AG = 325 AG = 5 2 13 A AG = 5 13 (dlm entuk sederhn) G Jdi, pnjng AG = 5 13 m. 4. Seuh kpl erlyr ke rh rt sejuh 80 km, kemudin ke utr sejuh 60 km. Hitunglh jrk sekrng dri tempt semul! Jw: OU 2 = OB 2 + BU 2 OU 2 = 80 2 + 60 2 = 6.400 + 3.600 = 10.000 OU = 10.000 = 100 Jdi, jrk sekrng dri tempt semul dlh 100 km. B. Menentukn Jenis Segitig Berdsrkn Pnjng Sisi, dn Tripel Pythgors 1. Kelikn Teorem Pythgors Dri teorem Pythgors dpt diut pernytn yng merupkn kelikn dri teorem Pythgors. Teorem Pythgors menytkn: Dlm AB, jik A sikusiku, mk 2 = 2 + 2. Kelikn dri teorem Pythgors dlh: Dlm AB, jik 2 = 2 + 2, mk A siku-siku. Untuk selnjutny, selidiki keenrn dri pernytn kelikn teorem Pythgors perhtikn urin erikut. 7
Perhtikn Gmr 5 (i)! Apkh AB siku-siku? A Gmr 5 (i). B Mislkn AB dengn pnjng AB = m, B = m, dn A = m sehingg erlku 2 = 2 + 2. (i). Selnjutny perhtikn Gmr 5 (ii) R x P Gmr 5 (ii) Q Pd Gmr 5 (ii), PQR siku-siku di P dengn pnjng PQ = m, QR = x m, dn PR = m. Kren PQR siku-siku, mk erlku x 2 = 2 + 2. (ii). Berdsrkn persmn (i) dn (ii) diperoleh: 2 = 2 + 2 dn x 2 = 2 + 2, mk 2 = 2 + 2 = x 2 tu 2 = x 2, errti = x. Jdi, AB dn PQR memiliki sisi-sisi yng sm pnjng. Dengn demikin, AB sm dn sengun dengn PQR, sehingg esr AB = RPQ. Kren RPQ siku-siku, mk AB jug siku-siku. Hl ini menunjukn hw kelikn teorem Pythgors merupkn pernytn yng enr. 8
Dengn demikin dpt disimpulkn hl erikut ini. Dlm AB, pil dlh sisi dihdpn sudut A, dlh sisi di hdpn sudut B, dlh sisi di hdpn sudut, mk erlku kelikn teorem Pythgors, yitu: Jik 2 = 2 + 2, mk AB siku-siku di A. Jik 2 = 2 + 2, mk AB siku-siku di B. Jik 2 = 2 + 2, mk AB siku-siku di. 2. Menentukn jenis segitig Berdsrkn kelikn teorem Pythgors, jik ketig sisi sutu segitig dikethui pnjngny, mk dpt diperiks pkh segitig itu merupkn segitig siku-siku tu ukn. Selnjutny, dengn menggunkn prinsip kelikn teorem Pythgors, jug dpt menentukn pkh sutu segitig merupkn segitig lnip tu segitig tumpul. Perhtikn Gmr 6 (i) erikut! 1 1 A Gmr 6 (i) B Pd Gmr 6 (i), AB dlh segitig siku-siku dn AB merupkn segitig lnip. Dikethui hw A = A = = 1, AB =, pnjng B = B = 1 yitu < 1. Pd AB dn AB, dn sm tetpi sisi 1 pd AB, mengeil menjdi di AB mengkitkn A mengeil, sehingg segitig terseut merupkn segitig lnip. Sehingg jik 2 < 2 + 2, mk AB dlh segitig lnip. 9
Selnjutny perhtikn Gmr 6 (ii) 1 1 A B Gmr 6 (ii) Pd AB dlh segitig siku-siku dn AB merupkn segitig tumpul di A. Dikethui hw B = B = 1 yitu > 1, A = A = = 1, AB =. Pd AB dn AB, dn sm tetpi sisi 1 pd AB memesr menjdi di AB mengkitkn A memesr, sehingg segitig terseut merupkn segitig tumpul. Sehingg jik 2 > 2 + 2, mk AB dlh segitig tumpul di A. ontoh 1. Tujukkn hw segitig yng erukurn 4 m, 3 m, dn 5 m dlh segitig siku-siku! Jw: Mislkn sisi terpnjng dlh = 5, = 4, = 3 2 = 5 2 = 25 = 5 2 + 2 = 4 2 + 3 2 =4 = 16 + 9 = 25 Kren 2 = 2 + 2, mk segitig itu siku-siku. = 3 2. Pd DEF, FG DE, pnjng DG = 10 m, GE = 24 m, dn FG = 15 m.. Hitunglh pnjng DF dn EF 10
. Tentukn jenis DEF Jw:. DF 2 = DG 2 + FG 2 = 10 2 + 15 2 = 100 + 225 = 325 DF 2 = 325 EF 2 = FG 2 + GE 2 = 15 2 + 24 2 = 225 + 576 = 801 F 15 D 10 G 24 E EF 2 = 801. Pd DEF, sisi terpnjng dlh DE. DE 2 = (100 + 24) 2 = 1.156 DF 2 + EF 2 = ( 325) 2 + ( 801) 2 = 325 + 801 = 1.126 Kren DE 2 > DF 2 + EF 2, mk DEF dlh segitig tumpul di F. 3. Tign Pythgors (Tripel Pythgors) Ukurn sisi-sisi segitig siku-siku sering dinytkn dlm 3 ilngn sli. Tig ilngn seperti itu diseut Tign Pythgors (Tripel Pythgors). Tig ilngn,, diseut tripel Pythgors jik dn hny jik memenuhi 2 + 2 = 2, dengn merupkn ilngn teresr. ontohny (3, 4 dn 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), dn seginy. Beerp sift penting mengeni ilngn pd tripel Pythgors yitu: 1. Jik,, dlh tripel Pythgors, mk, dn dlh ilngn genp (ketig-tigny genp) tu 11
2. Du ngk gnjil dn stu ngk genp Tripel Pythgors tidk pernh terdiri dri ilngn yng ketigtigny gnjil tu du genp stu gnjil. Ini dikrenkn sift pd genp dn gnjil, yitu: 1. Kudrt dri ilngn gnjil dlh ilngn gnjil Kudrt dri ilngn gnjil rtiny perklin ntr (2k 1) (2k 1). Dimn hsilny dlh 4k 2 4k + 1. Hsil terkhir dpt ditulis segi 2(2k 2 2k) + 1. Mislny 2k 2 2k =, mk entuk 2 + 1 dlh rumus untuk ilngn gnjil. Sehingg kudrt dri ilngn gnjil dlh ilngn gnjil. 2. Kudrt dri ilngn genp dlh ilngn genp Kudrt dri ilngn genp rtiny perklin ntr (2k) (2k). Dimn hsilny dlh 4k 2. Hsil terkhir dpt ditulis segi 2(2k 2 ). Mislny 2k 2 =, mk entuk 2 dlh rumus untuk ilngn genp. Sehingg kudrt dri ilngn genp dlh ilngn genp 3. Jumlh dri du ilngn genp dlh ilngn genp Jumlh du ilngn genp rtiny penjumlhn dri (2k) + (2k), yng hsilny dlh 4k = 2(2k). Mislkn 2k = n, mk entuk terkhir dpt ditulis segi 2n, dimn ini merupkn rumus untuk ilngn genp. Jdi, dpt dimil kesimpuln hw jumlh du ilngn genp erppun kn menghsilkn ilngn genp. 4. Bilngn gnjil ditmh ilngn genp dlh ilngn gnjil Jumlh du ilngn dengn yng stu dlh ilngn gnjil dn yng stuny dlh ilngn genp rtiny penjumlhn dri (2k 1) + (2k) yng hsilny dlh 4k 1 = 2(2k) 1. Mislkn. 2k =, mk entuk terkhir dpt ditulis segi 2 1. dimn ini merupkn rumus untuk ilngn gnjil. Jdi, dpt dimil kesimpuln hw jumlh du ilngn dengn yng stu 12
dlh ilngn gnjil dn yng stuny dlh ilngn genp kn menghsilkn ilngn gnjil.. Perndingn Sisi-sisi pd Segitig Siku-siku dengn Sudut Khusus 1. Sudut 30 0 dn 60 0 Perhtikn Gmr 8 di wh ini! 0 30 30 0 60 0 A D B Gmr 8 Segitig AB di ts merupkn segitig sm sisi dengn pnjng sisi 2x m dn dengn AD = AB = AB = 60 o, kemudin utlh gris gi D yitu gris yng mellui titik ditrik gris tegk lurus 90 o dengn gris AB dn erpotongn di titik D. Gris D merupkn gris pemgi AB yng kongruen yitu AD dn BD. Selin itu, gris D jug merupkn gris pemgi sm esr, kitny AD = BD = 30 o dn gris AD sm dengn gris BD, sehingg gris AD sm dengn setengh gris AB, mk: AD = AB AD = 1 2 AB AD = 1 2 2x m AD = x m 13
Dengn menggunkn teorem Pythgors mk pnjng D: D 2 = B 2 BD 2 D = B 2 BD 2 D = (2x) 2 x 2 = 4x 2 x 2 = 3x 2 = x 3 Dengn demikin, diperoleh perndingn: BD D B = x x 3 2x dlm perndingn terseut terdpt vriel x yng sm, sehingg dpt disederhnkn menjdi: BD D B = 1 3 2 ontoh: 1. Perhtikn gmr di wh ini! AB siku-siku di A dengn pnjng B = 6m dn esr B = 30 o. Hitunglh:. Pnjng AB!. Pnjng A! Jw:. B : AB = 2 : 3 6 : AB = 2 : 3 6 3 = AB 2 (hsil kli suku tepi = hsil kli suku 6 3 = 2AB tengh) AB = 6 3 2 14
AB = 3 3 Jdi, pnjng AB = 3 3 m. A : B = 1 : 2 A : 6 = 1 : 2 A 2 = 6 1 (hsil kli suku tepi = hsil kli suku tengh) 2A = 6 A = 6 2 A = 3 Jdi, pnjng A = 3 m 2. Sudut 45 0 Perhtikn Gmr 9 di wh ini! Gmr 9 Segitig AB pd Gmr 9 dlh segitig siku-siku sm kki. Sudut B siku-siku dengn pjng AB = B = x m dn A = = 45 0. Dengn menggunkn teorem Pythgors diperoleh: A 2 = AB 2 + B 2 A = AB 2 + B 2 A = x 2 + x 2 = 2x 2 = x 2 15
Dengn demikin, diperoleh perndingn: AB : B : A = x : x : x 2 dlm perndingn terseut terdpt vriel x yng sm, sehingg dpt disederhnkn menjdi: ontoh: = 1 : 1 : 2 1. Dikethui AB siku-siku dengn pnjng AB = 4m dn esr B = 45 o. Hitungh pnjng B! Jw: B : AB = 2 1 B : 4 = 2 1 B = 4 2 Jdi pnjng B = 4 2 2. Dikethui PQR siku-siku dengn pnjng PR = 10 2m dn esr P = 45 o. Hitunglh pnjng QR! Jw: PR QR = 2 1 10 2 QR = 2 1 2QR = 10 2 (perklin silng) QR = 10 2 2 = 10 Jdi, pnjng QR = 10 m 16
D. Perndingn Trigonometri dri Sutu Sudut pd Segitig Siku-siku Perndingn trigonometri pd segitig siku-siku merupkn slh stu r dlm mendeskripsikn nili perndngn trigonometri. y proyektrum (r) proyeksi (x) Gmr 10 proyektor (y) x Dlm segitig siku-siku, jik r = sisi miring (hypotenuse), x = sisi ls (proyeksi), dn y = sisi tegk (proyektor) dn segi sudut yng dipit oleh sisi ls dn sisi miring (liht Gmr 10), mk definisi sinus (sin), osinus (os) dn tngent (tn) dlh: Sinus sudut = osinus sudut = Tngent sudut = pnjng sisi tegk pnjng sisi miring pnjng sisi ls pnjng sisi miring pnjng sisi tegk pnjng sisi ls Definisi di ts dpt ditulis dlm entuk fungsi segi erikut: sin = y r Keterngn: Proyeksi : sisi siku-siku smping sudut Proyektor : sisi siku-siku depn sudut Proyektrum : sisi miring os = x r tn = y x ontoh: Dikethui segitig AB siku-siku di B, AB = 3 dn B = 2. Tentuknlh pnjng A dn nili sin A, os A, tn! 17
Jw: Menghitung pnjng A dengn teorem Pythgors: A 2 = AB 2 + B 2 A 2 = 3 2 + 2 2 A = 9 + 4 A = 13 Nili sin A, os A, dn tn : sin A = B A = 2 13 = 2 13 13 os A = AB A = 3 13 = 3 13 13 tn = AB A = 3 2 13 (diklikn sekwnny yitu ) 13 13 (diklikn sekwnny yitu ) 13 18
DAFTAR PUSTAKA holik,sugiyono. 2005. Mtemtik 2A Edisi Kedu untuk SMP Kels VIII Semester 1. Jkrt: Erlngg Dewi, Tri. 2008. Mtemtik Konsep dn Apliksiny untuk Kels VIII SMP dn MTs 2. Jkrt: Deprtemen Pendidikn Nsionl. Rusginto. 2007. Trigonometri Memngun Kekutn Kontruksi Kognitif. Yogykr: V. Grfik Indh. 19