USULAN METODA IDENTIFIKASI GRAF POHON PADA GRAF DENGAN BUSUR TAK BERARAH TAK BERBOBOT

USULAN METODA IDENTIFIKASI GRAF POHON PADA GRAF DENGAN BUSUR TAK BERARAH TAK BERBOBOT Hitapriya Suprayitno 1, Indrasurya B. Mochtar 2, Achmad Wicaksono 3 1,2 Jurusan Teknik Sipil. Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS). Surabaya. e-mail : suprayitno_hita@yahoo.com 3 Jurusan Teknik Sipil. Universitas Brawijaya. Malang. ABSTRAK Konektivitas Minimal hanya bisa terjadi pada graf pohon. Menyatakan keberadaan Konektivitas Minimum hanya berdasar jumlah busur merupakan sebuah kesalahan. Referensi Teori Graf yang berhasil dikumpulkan tidak mengandung uraian mengenai metoda untuk mengidentifikasi graf pohon. Oleh karena itu menyusun suatu metoda identifikasi graf pohon menjadi sangat penting. Tulisan ini menyajikan hasil penelitian penulis untuk menyusun sebuah metoda untuk mengidentifikasi keberadaan graf pohon. Sebuah Metoda Identifikasi Graf Pohon telah berhasil disusun. Algoritma metoda identifikasi melibatkan serangkaian operasi himpunan terhadap sekumpulan himpunan titik terhubung. Pada algoritma ini dikenal adanya Himpunan Titik Terhubung (HTT) dan Himpunan Titik Terhubung Langsung (HTTL). Pembuktian keberadaan Graf Pohon mengandung dua syarat utama : keberadaan suatu HTT yang mengandung seluruh titik dan jumlah busur sebesar Kmin. Kata kunci : konektivitas minimal, teori graf, pohon, metoda identifikasi graf pohon. PENDAHULUAN Suatu upaya awal untuk menyusun Ukuran Kualitas Konektivitas Jaringan Transportasi berbasis Teori Graf telah berhasil disusun di Amerika Serikat didalam kalangan Ilmu Geografi. Percobaan ini telah menghasilkan beberapa Ukuran Kualitas Konektivitas Jaringan berikut ini : Konektivitas Minimal, Konektivitas Maksimal, Indeks Gama serta Tipe Jaringan (Taffee, Gauthier & Kelly 1996). Sebuah percobaan pemakaian konsep ini untuk kasus jaringan jalan sudah pernah dilakukan. Hasil percobaan menunjukkan bahwa Konektivitas Minimum hanya bisa terjadi bila Jaringan yang dimaksud berbentuk pohon. Menyatakan keberadaan Konektivitas Minimal hanya berdasar jumlah busur merupakan sebuah kesalahan (Sup rayitno 2008). Dengan demikian, kemampuan untuk mengidentifikasi keberadaan graf pohon merupakan suatu hal penting. Beberapa referensi mengenai Teori Graf sudah berhasil dikumpulkan. Referensireferensi tersebut mengandung pembahasan mengenai definisi suatu pohon dalam Graf, akan tetapi tidak mengandung pembahasan mengenai metoda untuk mengidentifikasi keberadaan suatu Graf Pohon (Bondy & Murty 1982; Chevalier & Hirsch 1980; Dimyati & Dimyati 1994; Goujet & Nicolas - 1988). Mengidentifikasi keberadaan graf pohon bisa dengan mudah dilakukan secara visual bagi kasus graf berukuran kecil. Akan tetapi cara visual ini akan sangat sulit dilakukan bila graf berukuran besar. Selain itu, dalam rangka persiapan penyusunan program komputer bagi analisa jaringan diperlukan algoritma matematis untuk mengidentifikasi keberadaan graf pohon tersebut.

Oleh karena itu perlu disusun suatu Usulan Metoda Identifikasi Graf Pohon didalam suatu Graf. Tulisan ini membahas upaya penulis untuk menyusun Usulan Metoda Identifikasi Graf Pohon pada suatu Graf dengan Busur Tak Berarah Tak Berbobot. Catatan : Pada tulisan ini digunakan istilah graf dan jaringan. Istilah graf digunakan untuk menyebutkan sebuah jaringan didalam konteks Teori Graf, sedangkan istilahnya satunya digunakan untuk menyebutkan jaringan secara umum yang bukan berada dalam konteks Teori Graf. TINJAUAN PUSTAKA Teori Graf Teori Graf adalah terjemahan dalam Bahasa Indonesia oleh penulis dari istilah Graph Theory dalam Bahasa Inggris atau Theori de Gaphe dalam Bahasa Perancis. Teori Graf adalah salah satu Cabang Ilmu Matematika yang membahas segala sesuatu tentang Graf (Bondy & Murty 1982; Chevalier & Hirsch 1980; Dimyati & Dimyati 1994; Goujet & Nicolas - 1988). Graf dalam Teori Graf didefinisikan sebagai sebuah kumpulan titik (vertex) dan busur (edge). Setiap busur berujung pada dua buah titik. Akan tetapi, tidak setiap titik harus terhubung oleh busur dengan titik yang lain. Pada Teori Graf posisi relatif antar titik dan antar busur tidak penting atau dengan kata lain tidak diperhitungkan. Dengan demikian sebuah Graf bisa direpresentasikan secara grafis dalam beberapa bentuk visual grafis yang berbeda (Bondy & Murty 1982; Chevalier & Hirsch 1980; Goujet & Nicolas - 1988). Secara umum Graf bisa direpresentasikan dalam bentuk Formulasi Matematis sebagai berikut. Sebuah Graf G adalah sebuah triple berurutan {V(G), E(G), G} yang mengandung satu himpunan titik terisi V(G), satu himpunan busur E(G) dan sejumlah fungsi kejadian (incidence function) G yang merepresentasikan dua titik ujung sebuah busur. Bila e adalah sebuah busur yang menghubungkan titik u dengan titik v, maka G(e) = uv (Bondy & Murty 1982). Suatu Graf bisa direpresentasikan melalui 4 bentuk representasi utama : secara matematis, secara grafis, dengan menggunakan Matrik Busur Titik (Incidence Matrix) atau dengan menggunakan Matrik Hubungan (Adjacency Matrix) (Bondy & Murty 1982). Suatu graf bisa mengandung lintasan (path). Lintasan adalah suatu rangkaian busur yang menghubungkan suatu titik dengan titik yang lain secara berurutan tanpa percabangan. Dalam suatu lintasan minimum terkandung 2 buah busur. Suatu graf bisa mengandung hubungan siklus (cycle). Siklus adalah suatu hubungan yang bertitik awal dan titik akhir pada titik yang sama. Hubungan siklus bisa terjadi dalam bentuk busur tunggal atau suatu lintasan (Bondy & Murty 1982). Didalam Teori Graf dikenal adanya konsep pohon (tree). Sebuah pohon adalah sebuah graf nonsiklik yang saling berhubungan. Graf non-siklik adalah sebuah graf yang tidak mengandung siklus. Dalam hal ini dikenal adanya dua macam pohon : pohon graf dan graf pohon. Pohon Graf adalah suatu bentuk pohon tertentu yang terdapat dalam suatu Graf, sedangkan Graf Pohon adalah sebuah graf yang berbentuk pohon. Terkait dengan hal ini terdapat dua buah Teorema penting. Kedua teorema tersebut disampaikan sebagai berikut (Bondy & Murty 1982). Teorema 1. Pada sebuah pohon, setiap dua titik dihubungkan oleh sebuah lintasan unik. B-2-2

Teorema 2. Bila G berupa sebuah Graf Pohon, maka = 1. Konsep Konektivitas Taaffe pada Jaringan Planar Didunia Ilmu Geografi di Amerika Serika Serikat telah dikembangkan Konsep Konektivitas Jaringan Transportasi barbasis Teori Graf. Konsep tersebut, pada tulisan ini, disebut sebagai Konsep Konektivitas Taaffee. Didalam Konsep ini dikenal adanya dua pengertian konektivitas : Konektivitas Minimal dan Konektivitas Maksimal, masing-masing untuk kasus Jaringan Planar dan kasus Jaringan Non Planar. Rumus Konektivitas Taaffe untuk Kasus Jaringan Planar disampaikan sebagai berikut (Taaffe, Gauthier & O Kelly 1996). emin = (V 1) emax = 3 (V - 2) dimana : emin : nilai konektivitas minimal emaks : nilai konektivitas maksimal V : jumlah titik Teori Himpunan Teori Himpunan adalah cabang Ilmu Matematika yang membahas tentang berbagai hal mengenai Himpunan. Himpunan adalah suatu obyek berbentuk kelompok yang berisikan anggota kelompok. Terkait jumlah anggota, dikenal adanya 2 macam himpunan : himpunan berisi dan himpunan kosong. Pada teori ini dikenal, antara laian, adanya 4 macam operator matematis himpunan sebagai berikut (Bumulo & Mursinto - 2005). U : penggabungan himpunan : perpotongan himpunan ( : himpunan subset ) : himpunan induk Penelitian Terdahulu Penelitian awal penyusunan Metoda Penilaian Jaringan dengan menggunakan Konsep Konektivitas Graf Taaffe telah dilakukan. Penelitian ini menghasilkan dua macam Nilai Indeks Kualitas Jaringan, yang keduanya diperlukan untuk menilai Kualitas Jaringan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa Teori Graf dan Konsep Konektivitas Taaffe mengandung kelemahan, keduanya tidak bisa merepresentasikan karakteristik jaringan secara baik. Salah satu komponen kesimpulan penting lainnya adalah pengertian bahwa : keberadaan Konektivitas Minimal tidak bisa dinyatakan hanya berdasarkan Nilai Jumlah Busur sama dengan Nilai emin (Suprayitno 2008). KONEKTIVITAS MINIMAL DAN GRAF POHON Hubungan antara Nilai Konektivitas Minimal dengan Graf Pohon Graf Pohon adalah suatu graf yang berbentuk pohon. Perlu diperhatikan dalam kasus ini bahwa Nilai emin tidak selalu berhubungan langsung dengan keberadaan suatu pohon. Graf pohon belum tentu bisa terbentuk walaupun Nilai emin sudah terjadi. Kebenaran pernyataan ini bisa digambarkan melalui Gambar 1. Pada gambar tersebut terdapat 3 buah Graf dengan jumlah titik dan dengan jumlah busur yang seragam. Jumlah titik adalah 5 sedangkan jumlah busur adalah 4 sebesar nilai emin. Walaupun B-2-3

semua Graf memiliki jumlah busur yang seragam, graf pohon hanya terjadi pada graf A. Kedua Graf sisanya, graf B dan graf C, tidak berbentuk sebagai pohon. Fenomena Konektivitas minimal hanya terjadi pada graf A saja. Gambar 1. Graf dengan Nilai e min dan Pohon Mengidentifikasi Keberadaan Graf Pohon itu Perlu Melihat penjelasan diatas bisa dikatakan bahwa : mengidentifikasi keberadaan suatu Konektivitas Minimal harus melibatkan pengidentifikasian Keberadaan Graf Pohon. METODA IDENTIFIKASI GRAF POHON Metoda Identifikasi Graf Pohon Persyaratan Umum Keberadaan Graf Pohon Dari seluruh uraian diatas bisa disimpulkan disini bahwa keberadaan Graf Pohon mengandung 2 syarat dan hanya 2 syarat berikut ini : Jumlah Busur Graf adalah sebesar Nilai emin Setiap titik terhubung satu dengan yang lain tanpa terputus. Metoda Identifikasi Syarat Pertama Identifikasi pemenuhan syarat pertama bisa dilakukan dengan sangat mudah. Nilai emin dengan mudah bisa dihitung dengan menggunakan rumus emin untuk kemudian diperbandingkan dengan nilai Jumlah Busur Graf. Metoda Identifikasi Syarat Kedua Pembuktian syarat kedua agak lebih susah dilakukan. Metoda yang diusulkan berupa pengidentifikasian keberadaan Himpunan Titik Terhubung Total (HTTT). Himpunan ini berisikan seluruh titik yang terhubung secara langsung atau tidak langsung kepada satu titik acuan. HTTT disusun melalui serangkaian operasi penggabungan Himpunan Titik Terhubung Langsung (HTTL). Metoda perhitungan untuk mengidentifikasi pencapaian kondisi diatas, membutuhkan 4 macam himpunan berikut ini : A B C HTT : Himpunan Titik Terhubung : suatu himpunan titik yang terhubung satu dengan yang lain, baik secara langsung maupun secara tidak langsung. HTTL : Himpunan Titik Terhubung Langsung : suatu HTT yang seluruh anggotanya masing-masing saling terhubung secara langsung terhadap titik acuan oleh satu buah busur saja. B-2-4

HTTT : Himpunan Titik Terhubung Total : suatu HTT yang beranggotakan seluruh titik didalam graf. HPHT : Himpunan Perpotongan Himpunan Titik : suatu himpunan hasil dari perpotongan dua buah HTT/HTTL. Penggabungan Himpunan hanya bisa dilakukan bila kedua himpunan penyusun saling berpotongan satu dengan yang lain. Bila perpotongan kedua himpunan penyusun berupa sebuah himpunan kososng (HPHT = 0) maka kedua himpunan tidak mempunyai titik hubung. Bila titik hubung tidak ada maka penggabungan kedua himpunan tidak akan bisa membentuk suatu lintasan menerus. Algoritma diatas bisa direpresentasikan dalam bentuk Diagram Alir seperti yang tertera dalam Gambar 2 sebagai berikut. mulai susun HTTL HTTL HTTL susun HTT HTT tidak HTT tidak HPHT = 0 HTT => X ya ok HTT total HTT => ok ya selesai Gambar 2. Diagram Alir Algoritma Percobaan Pemakaian Metoda Identifikasi Pohon Agar teruji dengan baik, percobaan pemakaian Metoda Identifikasi dilakukan terhadap 2 buah Graf yang keduanya mempunyai jumlah busur sebesar nilai Kmin tetapi berbeda dalam bentuk koneksi busur. Kasus Percobaan Kedua kasus percobaan akan disampaikan dalam bentuk grafis dan dalam bentuk Matrik Ajsensi. Secara grafis, kedua Graf Kasus Percobaan disampaikan pada Gambar 3 dan Gambar 4 sebagai berikut. B-2-5

1 3 6 2 4 7 5 Gambar 3. Kasus Percobaan Graf 1 1 3 6 2 4 7 5 Gambar 4. Kasus Percobaan Graf 2 Representasi kedua Graf Kasus Percobaan dalam bentuk Matrik Hubungan disampaikan dalam Tabel 1 dan Tabel 2 sebagai berikut. Tabel 1. Matrik Hubungan - Graf 1 1 2 3 4 5 6 7 Juml 1-1 - 1 - - - 2 2 1 - - - - - - 1 3 - - - 1 - - - 1 4 1-1 - 1 1 1 5 5 - - - 1 - - - 1 6 - - - 1 - - - 1 7 - - - 1 - - - 1 Juml 2 1 1 5 1 1 1 12 B-2-6

Penyelesaian Masalah Tabel 2. Matrik Hubungan - Graf 2 1 2 3 4 5 6 7 Juml 1-1 - 1 - - - 2 2 1 - - 1 - - - 2 3 - - - 1 - - - 1 4 1 1 1-1 - - 4 5 - - - 1 - - - 1 6 - - - - - - 1 1 7 - - - - - 1-1 Juml 2 2 1 4 1 1 1 12 Sesuai dengan algoritma yang sudah dibangun didepan, penyelesaian masalah akan terdiri dari dua bagian utama : langkah penyusunan HTTL dan langkah penyusunan HTT Total melalui serangkaian Operasi Himpunan. Pemecahan masalah akan disampaikan dalam dua bentuk. Perhitungan Kasus-1 akan disampaikan secara apa adanya, sedangkan perhitungan Kasus-2 disampaikan dalam bentuk Tabel. Uraian Penyelesaian Masalah kedua kasus tersebut dituliskan dibawah ini. Kasus 1 Kedua bagian utama Algoritma Perhitungan Identifikasi Keterhubungan Titik : Penyusunan HTTL setiap titik dan Penyusunan HTT-Total disampaikan sebagai berikut. Penyusunan HTTL dalam Bentuk Matrik Penyusunan HTTL untuk setiap Titik dilakukan langsung pada Matrik Hubungan. Tabel perhitungan disampaikan pada Tabel 3 sebagai berikut. Tabel 3. Matrik Identifikasi Keanggotaan HTTL per Titik - Graf 1 1 2 3 4 5 6 7 Juml HTTL 1-1 - 1 - - - 2 (1,2,4) 2 1 - - - - - - 1 (2,1) 3 - - - 1 - - - 1 (3,4) 4 1-1 - 1 1 1 5 (4,1,3,5,6,7) 5 - - - 1 - - - 1 (5,4) 6 - - - 1 - - - 1 (6,4) 7 - - - 1 - - - 1 (7,4) Juml 2 1 1 5 1 1 1 12 Penyusunan HTT-Total dengan melakukan Operasi Himpunan Penyusunan HTT Total melalui serangkaian Operasi Himpunan sesuai dngan Algoritma yang sudah disusun didepan disampaiakan sebagai berikut. Titik acuan awal bagi penyusunan himpunan ini adalah Titik 1. Perhitunagn dilakukan secara berurut sesuai dengan nomer Titik. o HTT1,2 = HTTL1 U HTTL2 Cek perpotongan himpunan pembentuk HPHT1,2 = HTTL1 HTTL2 = (1,2,4) (2,1) = (2) ok B-2-7

o o Hitung himpunan gabungan HTT1,2 = HTTL1 U HTTL2 = (1,2,4) U (2,1) = (1,2,4) teruskan HTT1,2,3 = HTT1,2 U HTTL3 Cek perpotongan himpunan pembentuk HPHT1,2,3 = HTT1,2 HTTL3 = (1,2,4) (3,4) = (4) ok Hitung himpunan gabungan HTT1,2,3 = HTT1,2 U HTTL3 = (1,2,4) U (3,4) = (1,2,3,4) teruskan HTT1,2,3,4 = HTT1,2,3 U HTTL4 Cek perpotongan himpunan pembentuk HPHT1,2,3,4= HTT1,2,3 HTTL4 = (1,2,3,4) (4,1,3,5,6,7) = (1,3,4) ok Hitung himpunan gabungan HTT1,2,3,4 = HTT1,2,3 U HTTL4 = (1,2,3,4) U (4,1,3,5,6,7) = (1,2,3,4,5,6,7) berhenti, HTT = HTTT Perhitungan bisa dihentikan pada langkah ini karena HTT-Total sudah bisa terbentuk pada akhir langkah ini. Kasus 1 merupakan sebuah Graf Pohon karena kedua syarat terpenuhi : Jumlah busur = emin Seluruh titik terhubung secara menerus Kasus 2 Kedua bagian utama Algoritma Perhitungan Identifikasi Keterhubungan Titik : Penyusunan HTTL setiap titik dan Penyusunan HTT-Total disampaikan sebagai berikut. Penyusunan HTTL dalam Bentuk Matrik Penyusunan HTTL untuk setiap Titik dilakukan langsung pada Matrik Hubungan. Tabel perhitungan disampaikan pada Tabel 4 sebagai berikut. Tabel 4. Matrik HTTL Graf 2 1 2 3 4 5 6 7 Juml HTTL 1-1 - 1 - - - 2 (1,2,4) 2 1 - - 1 - - - 2 (2,1,4) 3 - - - 1 - - - 1 (3,4) 4 1 1 1-1 - - 4 (4,1,2,3,5) 5 - - - 1 - - - 1 (5,4) 6 - - - - - - 1 1 (6,7) 7 - - - - - 1-1 (7,6) Juml 2 2 1 4 1 1 1 12 B-2-8

Penyusunan HTT-Total dengan melakukan Operasi Himpunan Perhitungan penyusunan HTT-Total melalui Operasi Himpunan dilakukan dengan menggunakan tabel. Tabel perhitungan disampaikan melalui Tabel 5 berikut ini. No Hterbentuk Tabel 5. Tabel Perhitungan HTT-Total Kasus 2 Operasi Hpembentuk Hasil H1 H2 Perhitungan 1 HTT1,2 data HTTL1 HTTL2 HPHT (1,2,4) ok (1,2,4) (2,1,4) HTT (1,2,4) teruskan 2 HTT1,2,3 data HTT1,2 HTTL3 HPHT (4) ok (1,2,4) (3,4) HTT (1,2,3,4) teruskan 3 HTT1,2,3,4 data HTT1,2,3 HTTL4 HPHT (1,2,3,4) ok (1,2,3,4) (4,1,2,3,5) HTT (1,2,3,4,5) teruskan 4 HTT1,2,3,4,5 data HTT1,2,3,4 HTTL5 HPHT (4,5) ok (1,2,3,4,5) (5,4) HTT (1,2,3,4,5) teruskan 5 HTT1,2,3,4,5,6 data HTT1,2,3,4,5 HTTL6 Catatan HPHT (-) X (1,2,3,4,5) (6,7) HTT (-) berhenti Perhitungan dihentikan pada iterasi ke 5. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa Titik 1 sampai dengan Titik 5 terhubung secara menerus. Sedangkan Titik 6 dan Titik 7 merupakan bagian dari himpunan busur yang lain. Dengan demikian tidak seluruh titik terhubung secara menerus. Fakta diatas menunjukkan bahwa Kasus 2 bukan merupakan sebuah Graf Pohon karena persyaratan seluruh titik terhubung secara menerus tidak tercapai, walaupun persyaratan jumlah busur terpenuhi. Evaluasi Metoda Identifikasi Graf Pohon Metoda Identifikasi Graf Pohon yang sudah berhasil dibangun bisa dinilai cukup baik, karena : sudah bisa dipakai untuk memastikan keberadaan suatu Graf Pohon bersifat cukup sederhana untuk digunakan mengandung 2 syarat keberadaan Graf Pohon o jumlah busur = emin o seluruh titik terhubung secara menerus KESIMPULAN Penelitian kecil yang merupakan bagian dari rangkaian penelitian mengenai Kualitas Jaringan Transportasi menghasilkan beberapa pokok kesimpulan sebagai berikut : Metoda identifikasi yang diharapkan sudah berhasil dibangun. Metoda yang dihasilkan bisa dipakai untuk memastikan keberadaan suatu graf pohon. Metoda yang dihasilkan cukup sederhana. Mengandung 2 syarat keberadaa pohon : B-2-9

o jumlah busur = emin o seluruh titik terhubung secara menerus Algoritma perhitungan menggunakan operasi himpunan. Operasi himpunan melibatkan : himpunan titik terubung (HTT), himpunan titik terhubung langsung (HTTL), himpunan titik terhubung total (HTTT) serta himpunan perpotongan himpunan titik (HPHT). Untuk memudahkan penyebutan, metoda identifikasi ini diberi nama sebagai : Metoda Identifikasi Graf Pohon berbasis Operasi Himpunan. Penelitian ini masih bisa dikembangkan antara lain untuk membahas masalah terkait ketiadaan graf pohon, konektivitas minimal, penyederhanaan metoda, pendekatan sistemik terhadap aspek konektivitas. DAFTAR PUSTAKA Bondy, J.A. & Murty, U.S.R. (1982). Graph Theory with Applications. Fifth Printing. North-Holland. New York. Bumulo, Hussain & Mursinto, Djoko (2005). Matematika untuk Ekonomi dan Aplikasinya. Edisi ke 7. Bayumedia. Malang. Chevalier, A. & Hirsch, G. (1980). Méthodes Quantitative pour le Management : Finance, Marketing, Production. Entreprise Moderne d Édition. Paris. Dimyati, T.T. & Dimyati A. (1994). Operation Research Model-Model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru Algesindo, Bandung. Goujet, C. & Nicolas, C. (1986). Mathématiques Apliquées Probabilités, Initiation à la Recherche Operationnelle. Troisième Édition. Masson. Paris. Suprayitno, Hitapriya (2008). Penggunaan Konsep Konekti vitas Teori Graf sebagai Pijakan bagi Upaya Penyusunan Metoda Penilaian Kualitas Jaringan Jalan Primer. Seminar Nasional Teknologi Infrastruktur Perkotaan, Surabaya, 12 Juli 2008. Program Diploma Teknik Sipil, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS). Surabaya. Taaffe, E.J., Gauthier, H.L. & O Kelly, M.E. (1996). Geography of Transportation. Second Edition. Prentice Hall. New Jersey. B-2-10