PENENTUAN HARGA OPSI KEUANGAN DENGAN SIMULASI MONTE CARLO

PENENTUAN HARGA OPSI KEUANGAN DENGAN SIMULASI MONTE CARLO TUGAS AKHIR Diajukan sebagai salah satu syarat untuk mengikuti sidang Sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung Oleh : Kunarto NIM : 10103026 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008

PENENTUAN HARGA OPSI KEUANGAN DENGAN SIMULASI MONTE CARLO TUGAS AKHIR Diajukan sebagai salah satu syarat untuk mengikuti sidang Sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung Oleh : Kunarto NIM : 10103026 Bandung, 15 Februari 2008 Telah diperiksa dan disetujui oleh Pembimbing, Dr. Kuntjoro Adji Sidarto NIP : 130672114 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008

ABSTRACT Financial Option Valuation with Monte Carlo Simulation by: Kunarto NIM : 10103026 Option is a financial instrument that gives the owner rights to purchase or sell an asset with a defined time and price. Sometimes, option price can not define analiticaly or the analitic formula difficult to be derived, hence, numerical solution from option price is used. This Final Project will investigate valuation of standard European option, exotic (Asian and Barrier) option and American option using Monte Carlo method with variation redution procedure (antithetic variate and control variate) to increase its efficiency. The advantage of the Monte Carlo method is the ease of creating the simulation program while the disadvantage of the method is the speed of the simulation itself. Keywords : Financial Option, Brownian Motion, Monte Carlo Simulation, Variance Reduction Procedure. iii

ABSTRAK Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo Oleh: Kunarto NIM : 10103026 Opsi adalah suatu alat keuangan yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual suatu aset dengan harga tertentu dan pada waktu yang ditentukan. Penentuan harga opsi terkadang tidak dapat dilakukan secara analitik atau formula analitiknya sulit untuk dibuat sehingga membutuhkan metode estimasi. Pada Tugas Akhir ini akan membahas masalah penilaian harga opsi Eropa standar, exotic (Asian dan Barrier) dan Amerika menggunakan Metode Monte Carlo dengan prosedur reduksi variansi (antithetic variate dan control variate) untuk meningkatkan keefisienannya. Keuntungan dari Metode Monte Carlo ini adalah kemudahan dari membuat program simulasinya sedangkan kelemahannya adalah besarnya waktu yang diperlukan dalam menjalankan simulasi. Kata kunci : Opsi Keuangan, Gerak Brown, Simulasi Monte Carlo, Reduksi Variansi iv

PRAKATA Alhamdulillahirabbil alamin, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, karena hanya berkah dan hidayah-nya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik. Tugas Akhir ini disusun sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan studi Strata-1 (S-1) di Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa keberhasilan ini takkan bisa dicapai tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, melalui kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak, Ibu dan Kakakku, yang takkan pernah lelah untuk selalu mendukung dan menyertakan nama penulis dalam setiap doanya. 2. Bapak Dr. Kuntjoro Adji Sidarto, selaku dosen pembimbing, yang banyak memberi masukan dan arahan hingga selesainya Tugas Akhir ini. 3. Ibu Dr. Novriana Sumarti, dan Ibu Dr. Jalina Widjaja, sebagai dosen penguji pada Seminar Matematika 1 dan 2, yang telah memberikan saran dan kritik untuk kesempurnaan buku ini. 4. Ibu Dr. Hilda Assiyatun, sebagai dosen wali penulis, yang selalu memberi arahan dan peduli terhadap setiap masalah yang dihadapi penulis. 5. Bapak Prof. Dr. Edy Soewono, yang selalu mengingatkan penulis untuk segera menyelesaikan Tugas Akhir ini. 6. Seluruh dosen Matematika ITB, atas ilmu dan pengalaman yang telah diberikan. 7. Bu Diah dan staf Tata Usaha Matematika ITB lainnya, yang banyak membantu urusan administrasi penulis. 8. Kang Adam, atas pinjaman laptop guna kelancaran Seminar Matematika penulis.

9. Seluruh staf perpustakaan Program Studi Matematika ITB, atas keramahan dalam melayani proses peminjaman buku. 10. Teman-teman pejuang satu bimbingan. Yohanna, Riswan Harapan, dan Aditya Rachman. 11. Teman-teman Matematika angkatan 2003. 12. Teman-teman Himatika dan Matematika. 13. Teman-teman Keluarga Paduan Angklung. 14. Kawan-kawan Eks Kamadhatu Smunsa Pati. 15. Teman-teman satu kostan. 16. Pihak pihak lain yang tak sempat penulis sebutkan satu per satu, yang telah banyak membantu selama penulis menyelesaikan studi di Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Penulis juga menyadari bahwa buku ini sesungguhnya masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mohon maaf bila terdapat kekurangan dan kekeliruan di dalamnya. Mudah-mudahan buku ini bisa bermanfaat bagi rekanrekan civitas akademika dan masyarakat secara umum. Bandung, 13 Februari 2008 Penulis i

DAFTAR ISI Halaman ABSTRACT... iii ABSTRAK... iv PRAKATA... v DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR TABEL... x BAB I PENDAHULUAN 1.1 Umum... 1 1.2 Latar Belakang... 2 1.3 Tujuan... 2 1.4 Sistematika Pembahasan... 2 BAB II MATERI PENUNJANG 2.1 Keuangan... 4 2.1.1 Opsi... 4 2.1.2 Nilai suatu opsi keuangan... 5 2.1.3 Suku bunga... 7 2.2 Statistika... 8 2.2.1 Teorema Limit Pusat... 8 2.2.2 Proses Stokastik... 8 2.2.3 Gerak Brown... 9 2.2.4 Gerak Brown Geometrik... 9 2.3 Model Pergerakan Harga Saham... 10 i

BAB III SIMULASI MONTE CARLO 3.1 Simulasi.... 13 3.2 Metode Monte Carlo... 14 3.2.1 Opsi Eropa...... 18 3.2.2 Opsi Amerika..... 19 3.2.3 Opsi Exotic....... 24 3.3 Prosedur reduksi variansi... 28 BAB IV PEMANFAATAN SIMULASI MONTE CARLO PADA OPSI KEUANGAN 4.1 Program GUI Matlab Simulasi Monte Carlo... 31 4.2 Simulasi Harga Opsi Eropa dan Amerika...... 33 4.3 Metode Monte Carlo untuk Opsi Exotic... 41 4.4 Penggunaan Data Nyata pada Opsi... 47 BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan. 64 6.2 Saran..... 64 DAFTAR PUSTAKA... 65 LAMPIRAN Lampiran I : Hasil simulasi penentuan harga opsi... 66 Lampiran II : Program-program... 68 1. Program harga saham... 68 2. Program Asian Option... 69 3. Program Opsi Barrier... 70 4. Program Opsi Lookback... 71 5. Program Opsi Eropa... 71 6. Program Monte Carlo... 72 7. Program Opsi Amerika.... 73 8. Program GUI.... 74 Lampiran III : Data historis saham YHOO... 86 i

DAFTAR GAMBAR Gambar 4.1 GUI Matlab Penentuan Harga Opsi dengan Monte Carlo...31 Gambar 4.2 LSM tanpa Reduksi Variansi (N = 50)...33 Gambar 4.3 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate (N = 50)...34 Gambar 4.4 LSM dengan Reduksi Variansi control variate (N = 50)...34 Gambar 4.5 LSM tanpa Reduksi Variansi (N = 100)...35 Gambar 4.6 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate (N = 100)...35 Gambar 4.7 LSM dengan Reduksi Variansi control variate (N = 100)...36 Gambar 4.8 LSM tanpa Reduksi Variansi (N = 200)...36 Gambar 4.9 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate (N = 200)...37 Gambar 4.10 LSM dengan Reduksi Variansi control variate (N = 200)...37 Gambar 4.11 LSM tanpa Reduksi Variansi (N = 500)...38 Gambar 4.12 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate (N = 500)...38 Gambar 4.13 LSM dengan Reduksi Variansi control variate(n = 500)...39 Gambar 4.14 LSM tanpa Reduksi Variansi (N = 1000)...39 Gambar 4.15 LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate(n = 1000)...40 Gambar 4.16 LSM dengan Reduksi Variansi control variate(n = 1000)...40 Gambar 4.17 Asian Geometrik Average Strike Call Option...42 Gambar 4.18 Asian Geometrik Average Strike Put Option...43 Gambar 4.19 Asian Geometrik Average Value Call Option...44 Gambar 4.20 Asian Geometrik Average Value Put Option...44 Gambar 4.21 Down and Out Barrier Call Option...46 Gambar 4.22 Up and Out Barrier Put Option...47 Gambar 4.23 Website interest rate...48 Gambar 4.24 Harga opsi dengan jatuh tempo 21 September 2007...50 Gambar 4.25 Harga opsi dengan jatuh tempo 18 Januari 2008...52 Gambar 4.26 Harga opsi dengan jatuh tempo 18 April 2008...55 Gambar 4.27 Harga opsi dengan jatuh tempo 16 Januari 2009...58 Gambar 4.28 Harga opsi dengan jatuh tempo 15 Januari 2010...61 ix

DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Asian Geometrik Average Strike Call Option...42 Tabel 4.2 Asian Geometrik Average Strike Put Option...42 Tabel 4.3 Asian Geometrik Average Value Call Option...43 Tabel 4.4 Asian Geometrik Average Value Put Option...44 Tabel 4.5 Input Down and Out Barrier Call Option...45 Tabel 4.6 Down and Out Barrier Call Option...45 Tabel 4.7 Input Up and Out Barrier Put Option...46 Tabel 4.8 Up and Out Barrier Put Option...46 Tabel 4.9 MC pada opsi call dengan jatuh tempo 21 September 2007...51 Tabel 4.10 MC pada opsi put dengan jatuh tempo 21 September 2007...51 Tabel 4.11 MC pada opsi call dengan jatuh tempo 18 Januari 2008...53 Tabel 4.12 MC pada opsi put dengan jatuh tempo 18 Januari 2008...54 Tabel 4.13 MC pada opsi call dengan jatuh tempo 18 April 2008...56 Tabel 4.14 MC pada opsi put dengan jatuh tempo 18 April 2008...56 Tabel 4.15 MC pada opsi call dengan jatuh tempo 18 Januari 2009...59 Tabel 4.16 MC pada opsi put dengan jatuh tempo 18 Januari 2009...59 Tabel 4.17 MC pada opsi call dengan jatuh tempo 15 Januari 2010...62 Tabel 4.18 MC pada opsi put dengan jatuh tempo 15 Januari 2010...62 x