APLIKASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI ASIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE CONTROL VARIATE PADA KOMODITAS PERTANIAN DYAH PRITA ANGGRAINI

Transkripsi

1 APLIKASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI ASIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE CONTROL VARIATE PADA KOMODITAS PERTANIAN DYAH PRITA ANGGRAINI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2017

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Aplikasi Simulasi Monte Carlo untuk Menentukan Nilai Opsi Asia dengan Menggunakan Metode Control Variate pada Komoditas Pertanian adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2017 Dyah Prita Anggraini NIM G

4 RINGKASAN DYAH PRITA ANGGRAINI. Aplikasi Simulasi Monte Carlo untuk Menentukan Nilai Opsi Asia dengan Menggunakan Metode Control Variate pada Komoditas Pertanian. Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan BERLIAN SETIAWATY. Petani merupakan profesi yang sangat penting sebagai penyedia utama komoditas pertanian. Namun, dalam menjalankan peran ini, muncul permasalahan yang dapat mengancam kesejahteraan petani. Salah satu pemicunya adalah kenaikan atau penurunan harga jual komoditas di pasar secara tidak pasti. Ketika harga jual komoditas mengalami penurunan, petani akan mengalami risiko kerugian dikarenakan tidak mendapatkan untung atau bahkan kehilangan modal. Untuk mengatasi masalah ini, pemerintah sebagai mitra petani harus membuat strategi untuk meminimalisir risiko yang dihadapi petani. Dalam bidang keuangan, terdapat instrumen yang dapat digunakan untuk melindungi nilai aset terhadap risiko fluktuasi harga di pasar. Instrumen ini dinamakan opsi. Opsi merupakan suatu kontrak yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli atau menjual aset pada harga harga strike) dan waktu yang telah ditentukan periode opsi). Terdapat dua jenis opsi berdasarkan hak yang dimiliki yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call memberikan hak untuk membeli aset, sedangkan opsi put memberikan hak untuk menjual aset. Jika harga aset di pasar lebih tinggi daripada harga strike, pemegang opsi call akan lebih untung membeli aset dengan menggunakan opsi, sehingga pemegang opsi dapat melaksanakan haknya eksekusi). Jika harga aset di pasar lebih rendah daripada harga strike, pemegang opsi call akan lebih untung membeli aset di pasar, maka berhak untuk tidak eksekusi opsi dan kemudian membeli aset di pasar. Bagi pemegang opsi put berlaku sebaliknya. Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi terbagi menjadi dua yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa dapat dieksekusi hanya pada akhir periode opsi, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi kapanpun selama periode opsi. Opsi eksotik adalah salah satu opsi yang muncul karena banyaknya permintaan dari pengguna opsi yang tidak dapat dipenuhi di bursa. Salah satu opsi eksotik adalah opsi Asia. Opsi Asia merupakan opsi yang harganya bergantung pada rataan harga aset selama periode waktu opsi. Rataan harga tersebut dihitung dari harga aset pada satu lintasan, sehingga opsi Asia dinamakan opsi yang pathdependent. Kelebihan opsi Asia adalah dapat meminimalisir manipulasi harga aset menjelang akhir periode opsi. Salah satu hal yang cukup penting dalam perdagangan opsi adalah penentuan harganya. Harga opsi dapat dihitung menggunakan model penentuan harga opsi dengan risiko netral dengan menghitung nilai sekarang dari nilai harapan payoff keuntungan yang diperoleh ketika eksekusi opsi) opsi dengan asumsi tingkat bunga bebas risiko. Misalkan suatu opsi memiliki payoff sebesar maka nilai harapan dari payoff tersebut adalah [ ] Harga opsi adalah [ ] dengan tingkat bunga bebas risiko dan lama periode opsi. Dengan karakteristik harga opsi Asia yang bergantung pada rataan dari harga aset, maka dalam menentukan harganya perlu ditentukan sebaran rataan dari

5 harga aset. Terdapat dua jenis rataan yang dapat digunakan yaitu rataan aritmetik dan rataan geometrik. Jika harga aset diasumsikan mengikuti proses gerak Brown geometrik, maka sebaran rataan aritmetik dari harga aset tidak dapat ditentukan. Hal ini menyebabkan harga opsi Asia tidak dapat ditentukan secara analitik. Dalam menentukan harga opsi yang tidak dapat ditentukan secara analitik, perlu dilakukan penaksiran nilai dengan menggunakan simulasi numerik yang salah satunya adalah metode Monte Carlo. Metode Monte Carlo untuk menentukan harga opsi adalah dengan menyimulasikan sampel payoff opsi dan menentukan rataannya. Kelebihan dari metode Monte Carlo adalah hasil taksirannya konvergen ke solusi analitik dengan semakin banyaknya simulasi yang dilakukan. Selain memiliki kelebihan, metode Monte Carlo juga memiliki kekurangan, yakni tingkat kekonvergenannya yang rendah sebesar ) dengan n adalah banyaknya simulasi yang dilakukan. Hal ini menyebabkan metode Monte Carlo menjadi kurang efisien dalam memperoleh solusi yang akurat. Oleh karena itu diperlukan metode untuk meningkatkan efisiensinya dengan cara mereduksi varian. Salah satu metode reduksi varian adalah metode control variate. Metode control variate adalah suatu teknik untuk mengurangi nilai error dari suatu variabel yang tidak diketahui dengan memanfaatkan informasi error dari variabel yang diketahui. Misalkan akan ditaksir harga opsi [ ] yang tidak dapat ditentukan secara analitik, dengan adalah sampel payoff opsi Asia yang diperoleh dari simulasi Monte Carlo. Kemudian ditentukan control variate dari misalkan opsi Eropa yang nilai payoff-nya yang memiliki korelasi dengan dan memiliki nilai harapan [ ] Estimator control variate untuk adalah: [ ] ) dengan adalah faktor pereduksi varian. Dalam penelitian ini dilakukan penentuan harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik menggunakan 3 simulasi. Simulasi tanpa control variate yaitu simulasi Monte Carlo Biasa MCB), sedangkan simulasi dengan control variate yaitu simulasi Monte Carlo dengan control variate opsi Eropa MCE), dan simulasi Monte Carlo dengan control variate opsi Asia dengan rataan geometrik MCG). Aset yang dipilih adalah komoditas pertanian jagung pipilan. Hasil numerik menunjukkan bahwa simulasi dengan menggunakan control variate yaitu MCE dan MCG menghasilkan nilai error yang lebih rendah dibandingkan dengan simulasi tanpa control variate yaitu MCB. Dengan error yang lebih rendah, maka solusi yang diperoleh lebih cepat mendekati solusi analitiknya. Hal ini berarti bahwa metode control variate dapat meningkatkan efisiensi metode Monte Carlo dalam memperoleh solusi yang akurat. Simulasi numerik menunjukkan perubahan harga opsi terhadap perubahan nilai parameter. Dengan semakin tingginya harga strike semakin tinggi pula harga opsi put Asia. Semakin lama periode opsi mengakibatkan harga opsi put Asia semakin rendah. Semakin banyaknya simulasi maka harga opsi put Asia konvergen ke solusi analitiknya. Kata kunci: control variate, gerak Brown geometrik, metode Monte Carlo, opsi Asia, rataan aritmetik

6 SUMMARY DYAH PRITA ANGGRAINI. Application of Monte Carlo Simulation to Valuing Asian Option Using Control Variate Method on Agriculture Commodity. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and BERLIAN SETIAWATY. Farmer is one of the most important profession as the main provider of agriculture commodities. However, in running his/her role, many problems appear that can threath farmer s prosperous. One of the triggers is an increasing or decreasing selling price of agriculture commodity in the market in uncertainty way. When the selling price of agriculture commodity is decreasing, farmer will face the risk of loss because of his/her unability to gain any profit or even losing their capital. To overcome the problem, the government as a farmer s partner has to take a strategy in decreasing the risk. In finance, there is an instrument that can be used to hedge the value of the asset against the risk of price fluctuation in the market. This instrument is called option. Option is a contract that gives the holder of the option the right to buy or to sell an asset in a certain price strike price) and at a certain time time period of the option). There are two types of option according to the right, they are call option and put option. Call option gives the right to buy an asset, while put option gives the right to sell an asset. If the asset price in the market higher than the strike price, the holder of call option will gain profit by buying an asset from the option writer, then the holder can execute his/her right. If the asset price in the market is lower than the strike price, the holder of call option will gain profit by buying an asset in the market, so they able not to execute the option and then buy an asset in the market. In the other hand for the holder of put option. According to the time of execution, there are two types of option, those are European option and American option. European option can be exercised only at the last period of option, while American option can be executed at any time up to the last period of option. Exotic option is one type of option that appear because a lot of demand from the user of the option which uncovered in exchange trade. One of this type is Asian option. Asian option is an option which price depends on the average of asset price for a time period of option. The average price is calculated from the asset prices in one path, and called path dependent option. The advantage of this option can decrease manipulation of the asset price near the last period of option. One important thing in option trade is determine the price. The price of option can be valued by risk neutral valuation with calculated the present value of the expected payoff the profit that obtained by the holder when he/she executes the option) using risk free interest rate asumption. Assumed an option has payoff the expected payoff of the option is [ ] the option price expressed by [ ] where is risk free intereset rate and is time periode of option. Because the characteristic of the Asian option price depends on the average of the asset price, so in the determining the option price, the distribution of the asset price must be known. There are two types of average that can be used, arithmatic and geometric average. If the asset price follows geometric Brownian

7 motion process, the distribution of the arithmatic average price can not be determined. Therefore, Asian option price cannot be valued analitically. In valuing option price which can not be determined analitically, it is required to estimate the value by numerical simulation using Monte Carlo method. Monte Carlo method for valuing option price is simulating payoff sample and calculating average of the sample. The advantage of Monte Carlo method is that the estimate result converges to the analitic solution as the number of simulations increases. Beside of its advantage, Monte Carlo method has a drawback which it has low rate of convergence in order ) where is the number of simulation. Therefore, Monte Carlo method become less efficient in obtaining an accurate solution. Hence, a method is required to improve its efficiency by reducing variance. One of the variance reduction method is control variate method. Control variate method is a technic to reduce error in estimate of unknown variable by exploiting information about the error in estimates of known variable. Suppose we want to estimate the price of option [ ] which can not be determined analitically, where is payoff sample of Asian option which obtained by Monte Carlo simulation. Then determine the control variate of suppose it is European option whose payoff which has correlation with and has expected value [ ] Control variate estimator for is [ ] ) where is variance reduction factor. In this research, we valuing the price of Asian put option with arithmatic average using 3 simulations. Simulation without control variate that is standar Monte Carlo simulation MCB), while the simulation using control variate are Monte Carlo simulation using European option as control variate MCE), and Monte Carlo simulation using Asian option with geometric average as control variate MCG). For the underlying asset, we use agriculture commodity that is corn. Numerical result shows that simulation using control variate that are MCE and MCG produce a lower error value than the simulation without control variate, that is MCB. By obtaining a lower error value, the solution of the simulation using control variate approach analitic solution faster than the solution of the simulation without control variate. This means that the control variate method improves the eficiency of Monte Carlo method in getting an accurate solution. Numerical simulation shows the change of option price respect to parameter. As the strike price increases, so does the price of Asian put option. Whereas as the periode of time increases, the price of Asian put option become decreases. As the number of simulation increases, the price of Asian put option converges to the analitic solution. Keywords: arithmatic average, Asian option, control variate, geometric Brownian motion, Monte Carlo method

8 Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2017 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

9 APLIKASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI ASIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE CONTROL VARIATE PADA KOMODITAS PERTANIAN DYAH PRITA ANGGRAINI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2017

10 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar H Nugrahani, MS

11 Judul Tesis : Aplikasi Sirnulasi Monte Carlo untuk Menentukan Nilai opsi Asia dengan Menggunakan Metode c o ntror t'ariate pada Komoditas Nama NIM Pertanian : Dyah Prita Anggraini : G Disetujui oleh Komisi Berlian Setiawat),^ MS Anggota Diketahui oleh Ketua Program Studi Maternatika Terapan Dr Jaharuddin, MS Tanggal Ujian: fi Jawan2}fi ranggal Lulus: 0 g FtB 2017

12 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Aplikasi Simulasi Monte Carlo untuk Menentukan Nilai Opsi Asia dengan Menggunakan Metode Control Variate pada Komoditas Pertanian ini berhasil diselesaikan. Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Dalam proses penulisan tesis ini, penulis menyadari bahwa telah memperoleh dukungan dan bantuan dari banyak pihak. Mulai dari material, moral, spiritual, dan juga psikologis. Untuk itu, melalui kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih dan rasa hormat yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibu Juliati Prihatini dan Bapak Widji Bambang Pinandojo Alm) selaku orang tua penulis. 2. Bapak Dr Donny C Lesmana, MFinMath selaku Ketua Komisi Pembimbing. 3. Ibu Dr Berlian Setiawaty, MS selaku Anggota Komisi Pembimbing. 4. Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku Penguji Luar Komisi. 5. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku moderator sidang akhir. 6. Seluruh dosen dan staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika. 7. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dukungan dan do a untuk keberhasilan penulis. 8. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika, khususnya teman-teman Angkatan Tahun 2014 Program Studi S2 Matematika Terapan. Semoga segala bimbingan, bantuan dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah SWT. Demikian prakata ini penulis sampaikan, semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca. Bogor, Februari 2017 Dyah Prita Anggraini

13 Judul Tesis : Aplikasi Sirnulasi Monte Carlo untuk Menentukan Nilai opsi Asia dengan Menggunakan Metode c o ntror t'ariate pada Komoditas Nama NIM Pertanian : Dyah Prita Anggraini : G Disetujui oleh Komisi Berlian Setiawat),^ MS Anggota Diketahui oleh Ketua Program Studi Maternatika Terapan Dr Jaharuddin, MS Tanggal Ujian: fi Jawan2}fi ranggal Lulus: 0 g FtB 2017

14 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN 1 PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 3 Manfaat Penelitian 3 2 TINJAUAN PUSTAKA 3 Opsi 3 Pendekatan Penentuan Harga Opsi 5 Penentuan Harga Opsi dengan Risiko Netral 5 Proses Stokastik Harga Aset 6 Proses Harga Aset 8 Volatilitas dari Data Historis 10 Harga Opsi Eropa 11 3 MODEL HARGA OPSI ASIA 12 Opsi Asia 12 Model Harga Opsi Asia dengan Rataan Aritmetik 13 Harga Opsi Asia dengan Rataan Geometrik 14 4 METODE MONTE CARLO 15 5 METODE CONTROL VARIATE 17 6 METODE MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA DENGAN CONTROL VARIATE DAN TANPA CONTROL VARIATE 19 Model Harga Opsi Asia dengan Metode Monte Carlo tanpa Control Variate 19 Model Harga Opsi Asia dengan Metode Monte Carlo dan Control Variate 20 7 APLIKASI NUMERIK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA PADA KOMODITAS PERTANIAN 24 Data Harga Komoditas 24 Pengujian Kenormalan Data 24 Penentuan Volatilitas 25 Simulasi Numerik 25 8 SIMPULAN DAN SARAN 36 Simpulan 36 Saran 37 DAFTAR PUSTAKA 37 xi xi xi

15 LAMPIRAN 39 RIWAYAT HIDUP 68 DAFTAR TABEL 1 Hasil simulasi Monte Carlo Biasa MCB) 27 2 Hasil simulasi Monte Carlo Eropa MCE) 29 3 Hasil simulasi Monte Carlo Geometrik MCG) 31 4 Keuntungan petani dengan opsi dan tanpa opsi 35 DAFTAR GAMBAR 1 Grafik perubahan harga opsi put Asia terhadap harga strike 32 2 Grafik perubahan harga opsi put Asia terhadap lama periode opsi T 33 3 Grafik perubahan harga opsi put Asia terhadap banyak simulasi n 34 DAFTAR LAMPIRAN 1 Harga jagung pipilan bulanan tahun Pembuktian solusi analitik opsi Eropa 41 3 Penentuan sebaran logaritma rataan geometrik dari harga aset 49 4 Pembuktian solusi analitik opsi Asia dengan rataan geometrik 53 5 Prosedur uji normal Kolmogorov-Smirnov satu sampel 63 6 Listing program 65

16 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Petani merupakan penyedia utama komoditas pertanian dalam memenuhi kebutuhan pangan, pakan dan kebutuhan lainnya di suatu wilayah dan negara. Peran yang penting ini tidak lantas memberikan jaminan kesejahteraan terutama bagi para petani kecil. Banyak permasalahan yang mendasari kurang meningkatnya kesejahteraan dalam menjalankan profesi ini. Salah satu pemicu utama yang cukup membuat gelisah para petani adalah mengenai harga jual dari komoditas yang diproduksi. Bayang-bayang harga akan turun drastis dari harga yang diharapkan dapat menutupi biaya produksi selalu hadir dalam benak para petani. Harga komoditas mengalami penurunan disebabkan oleh berbagai faktor, di antaranya produksi yang berlimpah, banyaknya komoditas impor yang masuk, dan lain sebagainya. Hal ini menyebabkan ketidakpastian pergerakan harga yang terjadi di pasar. Ketidakpastian harga jual komoditas di pasar menimbulkan risiko kerugian bagi para petani. Apalagi jika harga turun drastis terus menerus, maka dikhawatirkan petani akan berhenti memproduksi komoditas yang juga akan berdampak buruk terhadap kesejahteraan mereka. Untuk mengatasi hal ini, pemerintah perlu melakukan suatu strategi sehingga dapat melindungi petani dalam menghadapi ancaman risiko kerugian. Dalam bidang keuangan, salah satu alat yang dapat meminimalisir risiko terjadinya fluktuasi harga dalam transaksi jual beli suatu aset adalah opsi. Opsi adalah suatu produk derivatif yang salah satu fungsinya melindungi tingkat keuntungan return) yang diperoleh dari aset yang dimiliki. Opsi merupakan suatu kontrak perjanjian yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli atau menjual aset dengan harga dan waktu yang telah ditentukan. Seorang pemegang opsi akan menjalankan haknya eksekusi) dengan membeli atau menjual aset pada harga yang ditentukan pada kontrak harga strike) jika lebih menguntungkan dibandingkan membeli atau menjualnya di pasar. Namun, jika dipandang tidak menguntungkan, maka pemegang opsi berhak untuk tidak mengeksekusi opsi dan kemudian membeli atau menjual aset di pasar. Pemegang opsi akan mendapatkan keuntungan pada saat eksekusi opsi payoff) jika harga beli pada kontrak opsi lebih rendah daripada harga di pasar atau jika harga jual pada kontrak opsi lebih tinggi daripada harga di pasar. Fungsinya yang dapat melindungi aset dari risiko fluktuasi harga menjadikan opsi cukup diminati. Oleh karena itu, opsi banyak diperjualbelikan di bursa selain intrumen keuangan lainnya seperti saham, obligasi, komoditas dan lain sebagainya. Harga opsi bergantung pada aset yang mendasarinya yang dapat berupa saham, komoditas, mata uang, dan tingkat bunga. Salah satu penentuan harga opsi adalah dengan cara menghitung nilai sekarang dari nilai harapan payoff opsi. Terdapat dua jenis opsi yang biasa diperjualbelikan di bursa yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada akhir periode opsi, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi kapanpun selama periode opsi berlaku. Payoff dari opsi Eropa bergantung pada harga aset pada akhir periode, sedangkan payoff dari opsi Amerika bergantung pada harga aset pada saat eksekusi.

17 2 Selain kedua opsi tersebut, terdapat opsi jenis lain yang dijual di luar bursa yang dinamakan opsi eksotik. Kebutuhan perlindungan yang lebih tepat terhadap aset yang dimiliki pengguna opsi menjadi dasar munculnya opsi eksotik. Salah satu opsi yang termasuk ke dalam opsi eksotik adalah opsi Asia. Opsi Asia merupakan opsi yang harganya bergantung pada rataan harga aset selama periode opsi. Payoff opsi Asia merupakan selisih dari rataan harga aset dengan harga strike. Penghitungan rataan harga aset yang dapat digunakan adalah rataan aritmetik dan rataan geometrik. Dalam menentukan harga opsi Asia dengan cara analitik, perlu diketahui proses dari harga aset. Jika harga aset diasumsikan mengikuti proses gerak Brown geometrik sesuai dengan model Black-Scholes, maka logaritma return dari harga aset menyebar normal. Dengan menggunakan asumsi ini, sebaran rataan aritmetik dari harga aset tidak dapat ditentukan. Hal ini dikarenakan tidak ada properti untuk menentukan sebarannya. Oleh karenanya, harga opsi Asia dengan rataan aritmetik tidak dapat ditentukan secara analitik Hull 2009). Dalam menentukan harga opsi yang tidak dapat ditentukan secara analitik, perlu dilakukan penaksiran nilai dengan menggunakan simulasi numerik yang salah satunya adalah metode Monte Carlo. Metode Monte Carlo adalah metode yang digunakan untuk menaksir suatu nilai dengan cara membangkitkan sampel acak yang mungkin dari hasil simulasi, kemudian ditentukan rataannya. Metode Monte Carlo dalam penentuan harga opsi adalah dengan menyimulasikan sampel payoff opsi kemudian ditentukan rataan dari sampel tersebut yang merupakan taksiran dari nilai harapan payoff opsi. Keuntungan penggunaan metode Monte Carlo adalah dapat digunakan untuk menentukan nilai opsi yang path dependent, yaitu nilainya bergantung pada lintasan dari harga aset yang mendasarinya selama periode opsi. Kelebihan dari metode Monte Carlo adalah semakin banyak simulasi yang dilakukan maka hasil taksirannya akan semakin mendekati solusi analitiknya Glasserman 2003). Selain memiliki kelebihan, metode Monte Carlo juga memiliki kekurangan, yakni tingkat kekonvergenannya yang rendah Glasserman 2003). Hal ini menyebabkan waktu eksekusi menjadi lama dalam menentukan solusi yang akurat sehingga menjadikan metode Monte Carlo kurang efisien. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode untuk meningkatkan efisiensinya dengan cara mereduksi varian, salah satunya adalah metode control variate. Metode control variate adalah suatu teknik untuk mengurangi nilai error suatu variabel yang tidak diketahui dengan cara memanfaatkan informasi error dari variabel yang diketahui. Pada penelitian sebelumnya, Kemna dan Vorst 1990) menaksir nilai opsi Asia dengan menggunakan control variate martingale linear, Han dan Lai 2009) menaksir nilai opsi Asia dengan menggunakan control variate martingale nonlinear, Zhang 2009) menaksir nilai opsi Asia dengan menggunakan control variate opsi Eropa, dan Dingec 2013) menaksir nilai opsi Asia dengan menggunakan control variate opsi Asia dengan rataan geometrik. Pada penelitian ini dilakukan penaksiran nilai opsi Asia dengan menggunakan simulasi Monte Carlo yang digabungkan dengan metode control variate. Control variate yang digunakan adalah opsi Eropa dan opsi Asia dengan rataan geometrik. Metode ini diterapkan pada komoditas pertanian jagung pipilan untuk meminimalisir risiko kerugian yang dihadapi oleh petani.

18 3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah: 1. Menentukan harga opsi put Asia menggunakan simulasi Monte Carlo dengan metode control variate dan tanpa metode control variate. 2. Membandingkan hasil penentuan harga opsi Asia menggunakan simulasi Monte Carlo dengan metode control variate dan tanpa metode control variate dan mengaplikasikannya pada komoditas jagung pipilan. Manfaat Penelitian Penelitian ini dapat memberikan informasi kepada pemerintah dalam upaya membantu petani dalam meminimalisir risiko penurunan harga jual komoditas dengan memanfaatkan opsi. Dengan menggunakan opsi, petani memperoleh kepastian harga jual komoditas yang diproduksinya. 2 TINJAUAN PUSTAKA Opsi Opsi merupakan suatu kontrak yang dapat digunakan untuk melindungi return harga dari suatu aset terhadap risiko fluktuasi harga. Adapun definisi dari opsi adalah sebagai berikut. Definisi 2.1 Opsi) Opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu pada harga dan waktu yang telah ditentukan. Opsi merupakan suatu produk derivatif turunan) yang harganya bergantung pada aset yang mendasarinya Hull 2009). Jenis-jenis opsi Berbagai jenis opsi yang biasa diperdagangkan di bursa di antaranya adalah sebagai berikut. Jenis-jenis opsi berdasarkan hak yang dimiliki yaitu: 1. Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset dengan jumlah tertentu sebesar harga strike pada waktu yang telah ditentukan. 2. Opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan jumlah tertentu sebesar harga strike pada waktu yang telah ditentukan. Hull 2009) Jenis-jenis opsi berdasarkan waktu pelaksanaan eksekusi opsi yaitu: 1. Opsi Eropa adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual aset pada akhir periode opsi. Opsi Eropa disebut juga opsi vanilla.

19 4 2. Opsi Amerika adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual aset kapanpun selama periode opsi berlaku. Hull 2009) Nilai/Harga Opsi Nilai/harga opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seseorang untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. Ada beberapa faktor yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu: a) Harga aset Harga aset memiliki pengaruh terhadap nilai opsi, bergantung pada jenis opsinya. Untuk opsi call, jika harga aset tinggi maka nilai opsi akan tinggi, sedangkan untuk opsi put, jika harga aset tinggi maka nilai opsi akan rendah. b) Harga strike Harga strike merupakan harga jual atau harga beli aset yang tercantum pada kontrak opsi dan besarnya akan tetap selama waktu berlakunya opsi. Jika faktor lain diasumsikan tetap, semakin rendah harga strike maka akan semakin tinggi nilai opsi call, sedangkan untuk opsi put semakin tinggi harga strike maka akan semakin tinggi nilai opsi tersebut. c) Lama periode opsi Lama periode opsi adalah jangka waktu berlakunya suatu opsi. Semakin lama periode suatu opsi maka akan semakin besar kemungkinan harga aset berubah sehingga akan mempengaruhi nilai opsi. d) Volatilitas σ Volatilitas merupakan suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga berfluktuasi dalam suatu periode Lo 2003). Volatilitas atas harga aset adalah suatu ukuran ketidakpastian mengenai pergerakan harga aset di masa yang akan datang. Semakin tinggi nilai volatilitas, maka semakin besar kenaikan atau penurunan harga aset di masa yang akan datang. Besarnya kenaikan atau penurunan harga aset ini akan mempengaruhi besarnya nilai opsi. e) Tingkat bunga bebas risiko Tingkat bunga bebas risiko adalah tingkat bunga yang diperoleh jika menginvestasikan sejumlah uang pada suatu aset yang bebas risiko. Tingkat bunga bebas risiko juga mempengaruhi besarnya nilai opsi. Hull 2009) Payoff Opsi Payoff adalah besarnya keuntungan yang diperoleh pemegang opsi pada saat eksekusi opsi. Setiap opsi memiliki payoff bergantung pada jenisnya. Payoff opsi digunakan dalam menentukan harga opsi Hull 2009). Payoff Opsi Eropa Nilai payoff dari opsi Eropa dipengaruhi oleh besarnya harga aset pada akhir periode opsi dan harga strike. Payoff opsi Eropa berbeda untuk tiap jenisnya yaitu untuk call dan put dinyatakan sebagai berikut:

20 payoff opsi call Eropa : dengan adalah harga aset pada akhir periode opsi dan adalah harga strike. Pemegang opsi call Eropa akan mendapatkan payoff yang semakin tinggi dengan semakin tingginya harga aset. payoff opsi put Eropa : Pemegang opsi put Eropa akan mendapatkan payoff yang semakin tinggi dengan semakin rendahnya harga aset. Hull 2009) Pendekatan Penentuan Harga Opsi Dalam menentukan harga opsi terdapat dua pendekatan yang dapat digunakan sebagai berikut: a) Penentuan solusi persamaan diferensial parsial harga opsi Metode yang dapat digunakan dengan menggunakan pendekatan tersebut adalah transformasi deret Fourier, ekspansi deret Taylor, konvolusi, beda hingga, dan integral langsung. b) Penentuan harga opsi dengan risiko netral Metode yang dapat digunakan dengan menggunakan pendekatan tersebut adalah metode binomial tree dan metode Monte Carlo. Dalam penelitian ini akan digunakan pendekatan penentuan harga opsi dengan risiko netral. Galda 2008) Penentuan Harga Opsi dengan Risiko Netral Penentuan harga opsi dengan risiko netral adalah dengan menggunakan asumsi bahwa tingkat return yang diperoleh dari suatu investasi sebesar tingkat bunga bebas risiko. Hal ini berarti bahwa setiap investor diasumsikan memperoleh risiko yang sama dari suatu investasi. Pada asumsi risiko netral, investasi tidak bergantung pada pilihan risiko dari investor. Jika investasi dengan menggunakan tingkat return maka investasi tersebut akan bergantung pada pilihan risiko dari investor. Semakin besar risiko yang dipilih, maka semakin besar pula nilai Prosedur penentuan harga opsi dengan risiko netral adalah sebagai berikut: Mengasumsikan tingkat return adalah tingkat bunga bebas risiko yaitu Menentukan nilai harapan dari payoff opsi Misalkan nilai payoff suatu opsi adalah maka nilai harapan dari payoff tersebut adalah [ ] Menghitung nilai sekarang dari nilai harapan payoff opsi Nilai sekarang dari nilai harapan payoff opsi dihitung dengan menentukan diskon dari nilai harapan payoff opsi terhadap tingkat bunga bebas risiko selama periode opsi sehingga didapatkan harga opsi adalah sebagai berikut: [ ] Hull 2009) 5

21 6 Proses Stokastik Harga Aset Berdasarkan penjelasan sebelumnya bahwa opsi merupakan produk derivatif yang harganya bergantung pada aset yang mendasarinya, sehingga dalam menentukan harga opsi perlu diketahui proses stokastik dari harga aset. Berikut beberapa definisi yang digunakan dalam proses stokastik harga aset. Definisi 2.2 Proses Stokastik) Proses stokastik { } adalah himpunan peubah acak yang dapat diindeks dengan parameter waktu yang berurutan Ghahramani 1996). Definisi 2.3 Proses Stokastik Markov) Proses stokastik Markov adalah proses stokastik dengan nilai peubah acak di masa mendatang hanya bergantung pada nilai peubah acak saat ini dan tidak bergantung pada nilai peubah acak di masa lalu Ghahramani 1996). Definisi 2.4 Hukum Bilangan Besar) Suatu barisan peubah acak yang identik dan saling bebas, memiliki nilai harapan [ ] an ni ai varian [ ] Misalkan 1) maka Ghahramani 1996). ) Definisi 2.5 Teorema Limit Pusat) Suatu barisan peubah acak yang identik dan saling bebas, memiliki nilai harapan [ ] an ni ai varian [ ] Misalkan sesuai dengan persamaan 1), maka atau dapat dinyatakan ) dengan fungsi distribusi kumulatif normal baku sebagai berikut Ghahramani 1996). ) Dalam mendefinisikan proses berikutnya, perlu diketahui istilah-istilah berikut: drift rate adalah rataan perubahan peubah acak per satuan waktu, dan

22 7 variance rate adalah varian peubah acak per satuan waktu. Definisi 2.6 Gerak Brown) Proses stokastik { ) } disebut gerak Brown jika memenuhi persyaratan berikut: untuk peubah acak ) = ) ) stasioner dan saling bebas, 3. untuk setiap berdistribusi normal yang memiliki rataan 0 dan varian dengan interval waktu Ross 2010) Definisi 2.7 Gerak Brown dengan Drift) Proses stokastik { ) } disebut gerak Brown dengan drift rate dan variance rate jika memenuhi persyaratan berikut: untuk peubah acak ) = ) ) stasioner dan saling bebas, 3. untuk setiap berdistribusi normal yang memiliki rataan dan varian dengan interval waktu Proses dapat dinyatakan sebagai berikut ) ) 2) dengan gerak Brown standar adalah gerak Brown yang memiliki variance rate Ross 2010). Definisi 2.8 Gerak Brown Geometrik) Jika { ) } adalah proses gerak Brown dengan drift rate dan variance rate yang dapat dinyatakan sesuai dengan persamaan 2), maka proses stokastik { ) } yang didefinisikan dengan ) ) )) dinamakan gerak Brown geometrik. Bentuk diferensial dari persamaan tersebut dengan substitusi variabel dari persamaan 2) adalah Dari persamaan tersebut peubah memiliki drift rate dan variance rate ) Ross 2010). Definisi 2.9 Proses Wiener) Proses Wiener merupakan proses stokastik Markov yang memiliki drift rate 0 dan variance rate 1. Proses stokastik { ) } mengikuti proses Wiener jika memiliki dua sifat berikut. 1. Perubahan ) pada interval waktu adalah ) )

23 8 di mana ) dan interval waktu 2. Nilai ) pada dua interval waktu yang singkat dan tidak beririsan, adalah saling bebas. Berdasarkan sifat pertama proses Wiener, diperoleh sebaran dari ) sebagai berikut ) Sifat kedua menyatakan bahwa proses Wiener mengikuti proses Markov. Proses Wiener disebut juga gerak Brown standar Hull 2009). Definisi 2.10 Proses Wiener Umum) Proses Wiener umum dari suatu peubah acak dan variance rate didefinisikan sebagai berikut dengan konstan dan proses Wiener. Proses Wiener umum untuk peubah acak dirumuskan sebagai berikut dengan Hull 2009) merupakan proses Wiener. Sebaran dari yang memiliki drift rate pada interval waktu adalah dapat Lema Ito Misalkan suatu fungsi merupakan fungsi dari dan dengan mengikuti proses gerak Brown geometrik yang memiliki drift rate dan variance rate ) Berdasarkan Lema Ito, fungsi memenuhi persamaan berikut ) ) 3) Dari persamaan tersebut, dapat diketahui bahwa fungsi memiliki drift rate 2009). ) dan variance rate Proses Harga Aset ) Hull Harga aset merupakan peubah acak yang mengikuti proses stokastik karena nilainya dipengaruhi oleh ketidakpastian. Ketidakpastian tersebut mempengaruhi pergerakan dari harga aset.

24 Dalam memodelkan proses harga aset adalah dengan mendefinisikan return harga aset dengan asumsi risiko netral dalam interval waktu sebagai berikut 4) dengan adalah tingkat bunga bebas risiko, adalah volatilitas harga aset, dan proses Wiener. Persamaan 4) menunjukkan bahwa persentase perubahan return) harga aset dipengaruhi oleh komponen deterministik dan komponen stokastik. Komponen deterministiknya adalah Nilai merupakan nilai harapan dari return harga aset pada interval waktu Komponen stokastiknya adalah Komponen stokastik menunjukkan bahwa besarnya return harga aset dipengaruhi ketidakpastian yaitu proses Wiener Dari persamaan 4) dapat diperoleh sebaran dari return harga aset yaitu Berdasarkan persamaan 4), perubahan harga aset dalam interval waktu dapat dinyatakan sebagai berikut 5) Komponen deterministik pada persamaan 5) adalah memperlihatkan bahwa perubahan harga aset adalah sebesar tingkat bunga bebas risiko yang proporsional dengan harga aset selama waktu Komponen stokastik pada persamaan 5) adalah dengan variance rate ) memperlihatkan variance rate proporsional terhadap harga aset dan dipengaruhi ketidakpastian yang diperoleh dari proses Wiener Perubahan harga aset pada waktu yang sangat singkat yaitu ketika adalah 6) Solusi dari persamaan 6) pada interval waktu dari hingga adalah sebagai berikut ) ) ) )) 7) dengan ) adalah harga aset pada waktu interval waktu adalah banyaknya subinterval waktu selama waktu periode opsi dan adalah proses Wiener. Dari persamaan 7), harga aset ) mengikuti proses gerak Brown geometrik dengan ) ) ) merupakan gerak Brown dengan drift, yang memiliki drift rate 9 ) dan variance rate Dengan menggunakan definisi proses Wiener, persamaan 7) dapat dinyatakan sebagai berikut ) ) ) ) ) 8) dengan ) bilangan acak pada waktu ) Persamaan tersebut digunakan untuk menyimulasikan harga aset dalam setiap path.

25 10 Untuk menentukan sebaran dari harga aset adalah dengan menentukan dahulu sebaran dari logaritma harga aset. Misalkan mengikuti proses gerak Brown geometrik yang dinyatakan pada persamaan 6), dan fungsi Fungsi bergantung pada nilai dan sehingga berdasarkan Lema Ito, proses untuk adalah sebagai berikut ) Dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa variabel Wiener umum dengan drift rate ) dan variance rate. mengikuti proses Perubahan variabel dalam interval waktu singkat dapat dinyatakan sebagai berikut atau ) ) 9) Berdasarkan persamaan 9), karena maka sebaran perubahan dari waktu hingga sebagai berikut ) ) ) ) 10) atau Sebaran ) ) ) ) 11) ) dapat ditentukan dari persamaan 10) sebagai berikut ) ) ) ) 12) Secara umum, pernyataan 12) menunjukkan bahwa menyebar normal atau dengan kata lain menyebar lognormal Hull 2009). Volatilitas dari Data Historis Volatilitas dari harga aset adalah ukuran ketidakpastian mengenai return harga aset. Ketidakpastian tersebut diukur dengan menggunakan standar deviasi dari return harga aset selama waktu yang ingin diamati. Volatilitas dari suatu aset pada persamaan 8) dapat ditaksir secara empiris berdasarkan data historis. Untuk menentukan nilai volatilitas tersebut, didefinisikan beberapa parameter berikut. : banyaknya subinterval waktu selama periode opsi ) : harga aset pada waktu : panjang interval waktu dalam satuan tahun dengan dan misalkan logaritma dari return harga aset e- dinyatakan sebagai berikut ) ) 13)

26 11 dengan banyaknya subinterval waktu selama periode opsi. Standar deviasi sampel dari dapat dihitung dengan rumus ) dengan adalah rataan dari Berdasarkan pernyataan 11), dapat ditentukan standar deviasi dari adalah Oleh karena itu, standar deviasi sampel s merupakan taksiran dari Jadi, volatilitas dari suatu harga aset dapat ditaksir dengan menggunakan persamaan berikut: 14) Hull 2009) Harga Opsi Eropa Salah satu opsi yang harganya dapat ditentukan secara analitik adalah opsi Eropa. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Black- Scholes. Hal ini karena harga opsi Eropa bergantung pada harga aset pada akhir periode yang memiliki sebaran lognormal sesuai dengan asumsi yang disyaratkan pada metode Black-Scholes. Untuk menentukan harga opsi Eropa dengan menggunakan rumus Black-Scholes adalah dengan menghitung nilai sekarang dari nilai harapan payoff opsi Eropa menggunakan asumsi risiko netral. Harga opsi call Eropa adalah sebagai berikut [ ] dengan adalah payoff opsi call Eropa, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] Harga opsi put Eropa dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] dengan adalah payoff opsi put Eropa, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] Dengan menggunakan asumsi harga aset mengikuti proses gerak Brown geometrik sesuai dengan persamaan 6) dan tanpa adanya pembayaran dividen, solusi analitik harga opsi Eropa diperoleh dengan menggunakan rumus Black- Scholes sebagai berikut ) 15) dan ) 16) dengan dan ) )

27 12 dengan harga awal aset, dan adalah fungsi distribusi kumulatif normal baku. Pembuktian rumus harga opsi Eropa terdapat pada Lampiran 2. Dari persamaan 15) diperoleh nilai harapan payoff opsi call Eropa sebagai berikut [ ] Nilai harapan payoff opsi put Eropa diperoleh dari persamaan 16) sebagai berikut [ ] 17) Hull 2009) 3 MODEL HARGA OPSI ASIA Opsi Asia Opsi Asia merupakan salah satu opsi eksotik yang diperjualbelikan di luar bursa. Opsi eksotik merupakan opsi yang dibuat karena adanya kebutuhan investor dalam memberikan perlindungan yang lebih tepat terhadap portofolionya yang tidak dipenuhi di bursa seperti penentuan tanggal eksekusi, harga strike, dan ukuran kontrak yang berbeda dengan yang ditawarkan di bursa. Opsi Asia memiliki karakteristik yaitu harganya bergantung pada rataan dari harga aset selama periode opsi. Rataan harga aset dihitung dari harga aset dalam suatu lintasan path) selama periode opsi, sehingga opsi Asia biasa disebut opsi yang path dependent. Opsi Asia memiliki kelebihan yaitu dapat meminimalisir manipulasi harga aset pada akhir periode opsi, karena harganya tidak bergantung pada harga aset di akhir periode saja. Rataan yang dapat dipergunakan dalam penghitungan payoff opsi Asia adalah sebagai berikut: rataan aritmetik ) dengan ) harga aset pada waktu dan adalah banyaknya sub interval waktu selama periode opsi rataan geometrik )) Berdasarkan rataan yang digunakan, opsi Asia terbagi menjadi dua jenis yaitu: a) opsi Asia dengan rataan aritmetik Opsi Asia dengan rataan aritmetik memiliki payoff sebagai berikut: payoff opsi call Asia: payoff opsi put Asia:

28 13 b) opsi Asia dengan rataan geometrik Opsi Asia dengan rataan geometrik memiliki payoff sebagai berikut: payoff opsi call Asia payoff opsi put Asia Hull 2009) Model Harga Opsi Asia dengan Rataan Aritmetik Opsi Asia yang biasa dipergunakan di pasar adalah opsi Asia dengan rataan aritmetik. Namun, harga opsi Asia dengan rataan aritmetik tidak dapat ditentukan secara analitik. Hal ini dikarenakan dengan penggunaan asumsi harga aset mengikuti proses gerak Brown geometrik, maka harga aset menyebar lognormal. Dengan penggunaan asumsi tersebut, rataan aritmetik dari harga aset tidak dapat ditentukan sebarannya. Oleh karena sebarannya tidak diketahui, sehingga harganya tidak dapat ditentukan secara analitik. Harga opsi Asia dengan rataan aritmetik dapat ditentukan dengan menghitung nilai sekarang dari nilai harapan payoff opsi Asia dengan rataan aritmetik. Untuk opsi call Asia adalah sebagai berikut: [ ] dengan adalah payoff opsi call Asia dengan rataan aritmetik, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] atau dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] Harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] dengan adalah payoff opsi put Asia dengan rataan aritmetik, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] atau dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] 18) Untuk menentukan harga opsi Asia tersebut yaitu dengan mendefinisikan nilai harapan ke dalam bentuk integral. Oleh karena dalam penelitian ini akan dihitung harga opsi put Asia, sehingga didefinisikan nilai harapan dari opsi put Asia dari persamaan 18) sebagai berikut. [ ] ) 19) dengan merupakan peubah acak rataan harga aset yang memiliki ruang sampel [ ] dan ) adalah fungsi kepekatan peluang dari peubah acak Persamaan 19) tidak mudah ditentukan nilainya secara analitik. Oleh karena itu, harga opsi Asia dengan rataan aritmetik tidak dapat ditentukan secara analitik, sehingga dibutuhkan penggunaan metode penaksiran nilai untuk menentukan harga opsi Asia tersebut Dingec 2013).

29 14 Harga Opsi Asia dengan Rataan Geometrik Harga opsi Asia dengan rataan geometrik memiliki solusi analitik. Solusi tersebut dapat diperoleh karena rataan geometrik dari harga aset menyebar lognormal bukti terdapat pada Lampiran 3). Oleh karena rataan geometrik dari harga aset menyebar lognormal, maka harga opsi Asia dengan rataan geometrik dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Black-Scholes. Solusi analitik harga opsi Asia dengan rataan geometrik dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Black-Scholes dengan cara menghitung nilai sekarang dari nilai harapan payoff opsi Asia dengan rataan geometrik menggunakan asumsi risiko netral. Untuk opsi call Asia adalah sebagai berikut: [ ] dengan adalah payoff opsi call Asia dengan rataan geometrik, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] Harga opsi put Asia dengan rataan geometrik dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] dengan adalah payoff opsi put Asia dengan rataan geometrik, sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] Dengan menggunakan asumsi harga aset mengikuti proses gerak Brown geometrik sesuai dengan persamaan 6) dan tanpa adanya pembayaran dividen, solusi analitik harga opsi Asia dengan rataan geometrik diperoleh dengan menggunakan rumus Black-Scholes sebagai berikut: Opsi call ) 20) ) dengan ) dan adalah fungsi distribusi kumulatif normal baku. Pembuktian harga opsi Asia dengan rataan geometrik terdapat pada Lampiran 4. Opsi put 21) ) ) Dari persamaan 20) diperoleh nilai harapan payoff opsi call Asia dengan rataan geometrik sebagai berikut [ ] ) Nilai harapan payoff opsi put Asia dengan rataan geometrik diperoleh dari persamaan 21) sebagai berikut

30 15 Dingec 2013) [ ] ) 22) 4 METODE MONTE CARLO Pada matematika ukuran, didefinisikan peluang suatu kejadian sebagai banyaknya kejadian atau ukuran/volume relatif kejadian terhadap semua kejadian yang mungkin. Monte Carlo menggunakan prinsip sebaliknya yakni menghitung volume suatu himpunan dengan menginterpretasikannya sebagai peluang. Dengan cara sederhana yaitu membangkitkan sampel acak dari semua hasil yang mungkin kemudian menentukan rataannya terhadap banyaknya sampel acak tersebut sebagai taksiran volume. Hukum bilangan besar menjamin taksiran ini konvergen ke nilai analitiknya dengan semakin banyaknya sampel yang diambil. Salah satu penggunaan metode Monte Carlo adalah dalam menentukan harga opsi yang tidak memiliki solusi analitik dengan melakukan penaksiran nilai. Dalam peneltian ini akan dilakukan penaksiran harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik pada persamaan 18). Untuk menentukan harga opsi put Asia digunakan estimator Monte Carlo sebagai berikut 23) dengan banyaknya sampel yang diambil dan merupakan sampel harga opsi pada simulasi e- yang identik dan saling bebas sebagai berikut 24) dengan berikut merupakan sampel payoff opsi put Asia pada simulasi e- sebagai ) 25) dengan sampel rataan aritmetik harga aset yang identik dan saling bebas pada simulasi e- Harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik ditaksir dengan estimator Monte Carlo sebagai berikut Sebaran nilai error dari estimator Monte Carlo dapat ditentukan dengan menggunakan teorema limit pusat. Teorema tersebut menyatakan bahwa untuk berlaku 26) Nilai adalah varian dari harga opsi sebagai berikut ) )

31 16 Namun, nilai tidak dapat dihitung karena nilai tidak dapat ditentukan. Nilai varian tersebut dapat ditaksir dengan menggunakan varian sampel sebagai berikut ) Dari pernyataan 26), diperoleh sebaran nilai error dari estimator Monte Carlo sebagai berikut ) ) Berdasarkan sebaran nilai error tersebut, dapat diketahui bahwa error dari estimator Monte Carlo akan semakin menurun dengan semakin rendahnya nilai standar deviasi/standar error yaitu Hal ini berarti besar nilai error dipengaruhi oleh faktor sehingga tingkat kekonvergenan dari estimator Monte Carlo adalah ) Tingkat kekonvergenan tersebut menyatakan bahwa nilai error akan semakin rendah dengan semakin meningkatnya nilai atau semakin banyak simulasi yang dilakukan. Namun, tingkat kekonvergenan tersebut rendah, sehingga waktu yang diperlukan untuk memperoleh hasil taksiran yang akurat menjadi lama. Interpretasi dari standar error dari estimator Monte Carlo adalah untuk menurunkan nilai standar error setengah dari sebelumnya, diperlukan sampel empat kali lebih banyak dari sampel sebelumnya atau untuk menambahkan satu digit akurasi pada lebar interval kepercayaaan yaitu menambahkan satu bilangan desimal membutuhkan sampel 100 kali lebih banyak dari sampel sebelumnya. Hal ini disebabkan bentuk akar kuadrat dari tingkat kekonvergenan yang dinyatakan dengan sebagai pembagi pada standar error. Untuk menunjukkan seberapa akurat estimator Monte Carlo pada persamaan 23), dapat ditunjukkan dengan menggunakan interval kepercayaan yaitu interval dari hasil taksiran yang memuat solusi analitik dengan tingkat kepercayaan Tingkat kepercayaan merupakan pembatas kejadian yang signifikan dengan kejadian yang tidak signifikan. Kejadian yang tidak signifikan adalah kejadian yang memiliki peluang kurang dari sehingga dianggap tidak terjadi. Interval kepercayaan dari estimator Monte Carlo dengan peluang adalah [ ) ) ] 27) dengan merupakan standar deviasi sampel dan adalah kuantil dari distribusi normal baku ) )) Lebar interval kepercayaan bergantung pada banyaknya simulasi Estimator Monte Carlo merupakan estimator yang baik, karena: Takbias Untuk [ ]

32 Konsisten Berdasarkan hukum bilangan besar, untuk maka dengan peluang 1. Efisien Dengan diperoleh lebar interval kepercayaan pada pernyataan 27) semakin mengecil. Glasserman 2003) 17 5 METODE CONTROL VARIATE Metode control variate adalah salah satu metode reduksi varian yang digunakan untuk meningkatkan efisiensi metode Monte Carlo dalam menaksir suatu nilai. Metode control variate memanfaatkan informasi error dalam menaksir kuantitas yang diketahui untuk mereduksi error dalam penaksiran kuantitas yang tidak diketahui. Sebagai ilustrasi, metode ini dapat digunakan untuk menentukan harga suatu opsi yang tidak dapat ditentukan secara analitik, dengan menggunakan opsi lain atau variabel lain yang memiliki korelasi dan memiliki nilai harapan analitik. Kunci utama prosedur control variate adalah melakukan simulasi numerik secara bersamaan. Untuk menaksir harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik menggunakan metode control variate, ditentukan dahulu control variate-nya yaitu opsi lain atau variabel lain. Opsi yang menjadi control variate tersebut harus memiliki solusi analitik dan memiliki korelasi dengan opsi yang akan ditaksir harganya yaitu opsi put Asia. Misalkan opsi yang menjadi control variate memiliki nilai payoff dan nilai harapan [ ] Opsi put Asia dengan rataan arimetik memiliki nilai payoff Simulasikan sampel payoff kedua opsi yaitu dan secara bersamaan menggunakan metode Monte Carlo. Dengan melakukan simulasi sebanyak simulasi, didapat pasangan sampel payoff kedua opsi yang identik dan saling bebas yaitu ) ) ) Sampel payoff kedua opsi yang telah dibangkitkan tersebut digunakan untuk menentukan estimator control variate dari harga opsi Asia sebagai berikut [ ] ) dengan c adalah faktor pereduksi varian. Nilai [ ]) adalah nilai error yang berfungsi sebagai control dalam menaksir harga Estimator harga opsi dengan metode control variate merupakan estimator yang baik, yaitu memenuhi sifat tak bias, konsisten, dan efisien. Estimator control variate takbias karena [ ] [ [ ] )]

33 18 [ ] [ [ ] )] [ ] [ ] [ ]) Misalkan untuk setiap i, [ ] [ ] dan [ ] [ ] maka [ ] [ ] [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] Estimator control variate konsiten ditunjukkan sebagai berikut [ ] )) [ ]) [ ]) Berdasarkan hukum bilangan besar diperoleh [ ] an [ ] sehingga [ ] [ ] [ ]) [ ] [ ] Glasserman 2003)

34 6 METODE MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA DENGAN CONTROL VARIATE DAN TANPA CONTROL VARIATE 19 Dalam menentukan harga opsi yang tidak dapat ditentukan secara analitik, diperlukan suatu metode penaksiran nilai. Salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menaksir nilai adalah metode Monte Carlo. Dengan menggunakan metode Monte Carlo, taksiran yang dihasilkan konvergen ke solusi analitiknya dengan semakin banyak simulasi yang dilakukan atau semakin banyak sampel yang dibangkitkan. Namun, metode Monte Carlo memiliki kekurangan yaitu tingkat kekonvergenannya yang rendah. Hal ini menyebabkan hasil taksirannya lamban menuju solusi analitiknya sehingga metode Monte Carlo menjadi kurang efisien. Oleh karena itu perlu digunakan metode lain untuk meningkatkan efisiensi metode Monte Carlo dengan cara mereduksi varian dari estimator. Pada penjelasan sebelumnya telah dijelaskan salah satu metode reduksi varian yaitu metode control variate. Metode control variate ini akan digabungkan dengan metode Monte Carlo sehingga akan diperoleh hasil estimasi dengan nilai varian yang lebih rendah dibandingkan dengan hasil estimasi tanpa menggunakan metode control variate. Berikut akan dijelaskan model penentuan harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik dengan menggunakan Metode Monte Carlo tanpa control variate dan dengan control variate. Model Harga Opsi Asia dengan Metode Monte Carlo tanpa Control Variate Harga opsi Asia akan ditaksir nilainya menggunakan metode Monte Carlo tanpa metode control variate. Estimator harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik menggunakan metode Monte Carlo adalah sebagai berikut dengan adalah sampel payoff dari opsi put Asia dengan rataan aritmetik pada simulasi ke-i sebagai berikut dengan adalah sampel rataan aritmetik pada simulasi ke-i sebagai berikut ) ) dengan ) adalah harga aset pada waktu pada simulasi ke-i. Nilai varian dari estimator Monte Carlo dapat ditentukan sebagai berikut ) ) )

35 20 Sampel diperoleh pada tiap simulasi, sehingga sampel tersebut saling bebas untuk setiap maka diperoleh ) var ) Misal untuk setiap i, var ) sehingga ) Glasserman 2003) 28) Model Harga Opsi Asia dengan Metode Monte Carlo dan Control Variate Harga Opsi Asia akan ditaksir menggunakan metode Monte Carlo dan menggabungkannya dengan metode control variate. Untuk menentukan harga opsi Asia dengan rataan aritmetik menggunakan metode Monte Carlo dan control variate, perlu ditentukan control variate-nya terlebih dahulu. Control variate yang digunakan dapat merupakan variabel atau opsi lain yang memiliki nilai harapan analitik dan memiliki korelasi terhadap opsi Asia tersebut. Semakin tinggi korelasi variabel yang menjadi control variate dengan opsi Asia maka hasil taksiran dengan control variate akan semakin baik. Estimator harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik menggunakan metode Monte Carlo dan control variate adalah sebagai berikut [ ] ) dengan adalah sampel payoff opsi yang menjadi control variate yang diperoleh dari simulasi dan [ ] adalah nilai harapan analitik dari opsi tersebut. Nilai varian dari estimator Monte Carlo dengan control variate adalah sebagai berikut. ) [ ] )) [ ] )) [ ]) Nilai [ ] merupakan nilai harapan analitik maka saling bebas dengan nilai sampel dan sehingga ) ) [ ]))

36 21 Nilai [ ] konstan, maka [ ] sehingga ) ) )) ) )) cov )) cov ) cov ))) ) ) ) ))) ) ) ) ))) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ))

37 22 Untuk peubah peubah peubah Selanjutnya diperoleh ) an sa ing e as sehingga an sa ing e as sehingga an sa ing e as sehingga ). ) ) ) ) ) )) Nilai ) ) ) sehingga ) ) )) ) ) )) Misalkan untuk setiap i, ) dan maka ) ) ) ) ) ) ) 29) Metode control variate merupakan metode reduksi varian, sehingga nilai varian yang diperoleh haruslah lebih rendah daripada tanpa menggunakan control variate. Oleh karena itu, agar estimator control variate memiliki nilai varian yang lebih rendah, akan dipilih nilai c yang dapat meminimumkan nilai ) Dengan menggunakan prinsip optimasi yaitu dengan menggunakan kalkulus turunan, diperoleh nilai sebagai berikut: ) ) )) ) ) ) 30)

38 Nilai yang diperoleh adalah titik stasioner. Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut merupakan titik stasioner maksimum atau minimum, maka digunakan turunan kedua dari varian sebagai berikut ) Pada persamaan tersebut, turunan kedua dari varian estimator control variate memiliki nilai yang positif, sehingga ) memiliki nilai minimum di Nilai yang telah diperoleh kemudian disubstitusi ke dalam persamaan 29), sehingga varian estimator control variate menjadi 23 ) ) ) ) ) ) ) Untuk membandingkan nilai varian dari estimator control variate terhadap nilai varian dari estimator tanpa control variate, maka dengan menggunakan persamaan 28), varian dari estimator control variate dapat dinyatakan sebagai berikut ) ) ) Nilai ) an positif sehingga nilai ) akan lebih rendah daripada ) Dengan demikian, nilai varian dari estimator control variate lebih rendah dibandingkan dengan nilai varian dari estimator tanpa control variate. Nilai dan tidak dapat ditentukan secara analitik, sehingga nilai tidak dapat ditentukan. Namun, nilai dan dapat diperoleh dengan penaksiran menggunakan simulasi pilot dengan sebagai berikut: ) [ ]) ) 31) [ ]) 32) dengan adalah rataan dari dan adalah banyaknya simulasi pilot dengan. Simulasi pilot ini digunakan agar tidak muncul bias pada estimator control variate. Dengan mensubtitusikan nilai persamaan 31) dan 32) ke dalam persamaan 30) diperoleh nilai hasil penaksiran sebagai berikut ) [ ]) [ ] 33) Glasserman 2003) Pada penelitian sebelumnya, Zhang 2009) menaksir harga opsi Asia dengan rataan aritmetik menggunakan control variate opsi Eropa. Hasil penelitiannya

39 24 menunjukkan bahwa estimator harga opsi Asia dengan control variate memiliki nilai standar deviasi lebih rendah daripada estimator harga opsi Asia tanpa control variate. Dengan standar deviasi yang lebih rendah, diperoleh interval kepercayaan yang lebih akurat. Penelitian lainnya yaitu dilakukan oleh Dingec 2013) dalam menaksir harga opsi Asia dengan rataan aritmetik menggunakan control variate opsi Asia dengan rataan geometrik. Opsi Asia dengan rataan geometrik memiliki korelasi yang tinggi terhadap opsi Asia dengan rataan aritmetik. Oleh karena itu, hasil penelitiannya menunjukan bahwa standar deviasi dari estimator control variate jauh lebih rendah dibandingkan dengan estimator tanpa control variate. Nilai standar deviasi yang jauh lebih rendah tersebut menyebabkan hasil taksirannya lebih cepat mendekati solusi analitiknya. Berdasarkan penelitian Zhang dan Dingec tersebut, maka dalam penelitian ini akan dilakukan penaksiran harga opsi Asia dengan rataan aritmetik menggunakan metode Monte Carlo dengan control variate opsi Eropa dan opsi Asia dengan rataan geometrik. Selain itu juga akan dilakukan penaksiran dengan menggunakan metode Monte Carlo tanpa control variate. Hasil penaksiran harga opsi menggunakan metode control variate akan dibandingkan dengan metode tanpa control variate. 7 APLIKASI NUMERIK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA PADA KOMODITAS PERTANIAN Dalam mengaplikasikan penentuan harga opsi Asia pada komoditas pertanian, diperlukan data harga komoditas pertanian. Data harga komoditas yang dipilih adalah data yang memiliki sebaran logaritma return harganya normal. Oleh karena itu, setelah data harga komoditas diperoleh, kemudian akan dilakukan uji normal terhadap logaritma return harganya. Data Harga Komoditas Data yang digunakan adalah harga komoditas pertanian bulanan dalam satuan Rp/kg selama tahun yang diperoleh dari Buku Statistik Harga Komoditas Pertanian dan Buletin Analisis Perkembangan Harga Komoditas Pertanian yang diterbitkan oleh Pusdatin Pusat Data dan Sistem Informasi Pertanian) Kementerian Pertanian. Dalam penentuan komoditas, dipilih komoditas yang tidak cepat membusuk, karena periode opsi berjangka waktu bulanan hingga tahunan. Dalam penelitian ini, komoditas yang dipilih adalah jagung pipilan. Data harga jagung pipilan bulanan terdapat pada Lampiran 1. Pengujian Kenormalan Data Data harga komoditas yang telah diperoleh kemudian ditentukan nilai logaritma return harganya dengan menggunakan persamaan 13). Selanjutnya dilakukan uji normal terhadap data tersebut. Software yang digunakan untuk menguji kenormalan data adalah software SPSS versi 22 dengan menggunakan uji

40 normal Kolmogorov-Smirnov. Uji tersebut menggunakan - untuk menentukan apabila data yang digunakan mirip atau berbeda dengan sampel dari distribusi normal. Hipotesis yang digunakan dalam uji tersebut adalah sebagai berikut data sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal, data sampel tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Kriteria keputusan yang digunakan dengan tingkat kepercayaan adalah sebagai berikut jika - maka tolak dan terima jika - maka terima dan tolak Gregory 2009). Dari hasil uji tersebut, diperoleh -.. Tingkat kepercayaan yang digunakan adalah. Oleh karena - sehingga diterima dan diperoleh kesimpulan bahwa data logaritma return harga komoditas jagung pipilan berdistribusi normal penjelasan prosedur uji normal terdapat pada Lampiran 5). Penentuan Volatilitas Setelah dilakukan uji normal terhadap logaritma return harga komoditas jagung pipilan, kemudian ditentukan nilai volatilitasnya dengan menggunakan persamaan 14). Nilai volatilitas dari komoditas jagung pipilan diperoleh sebesar Nilai volatilitas ini digunakan untuk menyimulasikan harga komoditas dalam satu path yaitu dengan menggunakan persamaan 8). Simulasi Numerik Pada simulasi numerik yang dilakukan, input parameter-parameter yang digunakan adalah harga awal komoditas p g harga strike p g lama periode opsi tahun tingkat bunga bebas risiko. per tahun, volatilitas. an a n a simu asi pi ot dan banyaknya subinterval waktu Simulasi yang dilakukan untuk menentukan harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik. Untuk harga opsi call Asia dengan rataan aritmetik dapat dihitung dengan menggunakan prosedur yang sama dengan mengganti nilai payoff-nya. Simulasi yang dilakukan menggunakan bahasa pemrograman scilab 5.5. Pada penelitian ini dilakukan tiga simulasi numerik sebagai berikut: a) Simulasi Monte Carlo Biasa MCB) Simulasi ini menggunakan simulasi Monte Carlo tanpa menggunakan metode control variate. b) Simulasi Monte Carlo dengan control variate opsi Eropa MCE) Simulasi ini menggunakan simulasi Monte Carlo dan metode control variate. Control variate yang digunakan adalah opsi Eropa. Opsi Eropa dipilih sebagai control variate karena memiliki korelasi terhadap opsi Asia dengan rataan aritmetik dan juga memiliki solusi analitik. 25

41 26 c) Simulasi Monte Carlo dengan control variate opsi Asia dengan rataan geometrik MCG) Simulasi ini menggunakan simulasi Monte Carlo dan metode control variate. Control variate yang digunakan adalah opsi Asia dengan rataan geometrik. Opsi Asia dengan rataan geometrik dipilih sebagai control variate karena memiliki korelasi yang tinggi terhadap opsi Asia dengan rataan aritmetik dan juga memiliki solusi analitik. a) Simulasi Monte Carlo Biasa MCB) Langkah-langkah dalam melakukan simulasi MCB yaitu: Membangkitkan bilangan acak pada waktu yang menyebar normal baku dalam tiap path pada simulasi e- sebagai berikut ) Menyimulasikan harga aset dalam tiap path pada waktu pada simulasi e- dengan menggunakan persamaan berikut ) ) ) ) ) 34) Menentukan sampel rataan aritmetik dari harga aset pada simulasi e- sebagai berikut ) 35) Menentukan sampel payoff opsi put Asia dengan rataan aritmetik pada simulasi e- dengan menggunakan persamaan 25) sebagai berikut ) Menentukan sampel harga opsi put Asia dengan metode Monte Carlo pada simulasi e- dengan menggunakan persamaan 24) sebagai berikut Estimator Monte Carlo untuk menaksir harga opsi Asia adalah Harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik ditaksir dengan menggunakan estimator Monte Carlo sebagai berikut Dengan kepercayaan sebesar 95%, interval kepercayaan dari estimator harga opsi Asia adalah [.. ] dengan merupakan varian sampel dari harga opsi yang diperoleh dengan menggunakan rumus berikut )

42 Berikut Tabel 1 merupakan hasil simulasi MCB untuk menentukan harga opsi put Asia dengan berbagai nilai n banyaknya simulasi) yang dipilih. Tabel 1 Hasil simulasi Monte Carlo Biasa MCB) Banyaknya Harga opsi Asia Error simulasi Rp/kg) taksiran Interval kepercayaan [ ; ] [ ; ] 1, [ ; ] 10, [ ; ] 100, [ ; ] Tabel 1 menunjukkan harga opsi Asia dari hasil simulasi MCB disertai nilai error taksiran dan interval kepercayaan. Oleh karena opsi Asia tidak memiliki solusi analitik, maka nilai error taksiran dihitung dari persentase selisih harga opsi pada tiap simulasi terhadap harga opsi pada simulasi optimal. Simulasi optimal dipilih dengan mempertimbangkan simulasi yang dapat diproses pada komputer sesuai kapasitas memory maksimum yang tersedia, yakni dengan simulasi Pada simulasi optimal tersebut, didapat harga opsi Asia sebesar Rp /kg. Dari hasil simulasi pada tabel, dapat terlihat bahwa dengan semakin banyak simulasi yang dilakukan, nilai error dari harga opsi Asia semakin mengecil. Nilai error pada simulasi dengan sebesar Nilai error ini bisa diperkecil dengan memperbanyak simulasi yang dilakukan. Interval kepercayaan dari setiap simulasi terlihat semakin menyempit dengan semakin banyak simulasi yang dilakukan. Dengan memperoleh interval kepercayaan yang semakin menyempit akan lebih mudah untuk mendapatkan solusi analitiknya. Pada simulasi Monte Carlo, untuk meningkatkan akurasi dengan presisi ganda, yaitu memperkecil lebar interval kepercayaan menjadi setengah dari lebar interval pada simulasi sebelumnya, diperlukan simulasi 4 kali lebih besar dari simulasi sebelumnya. Sebagai contoh, lebar interval kepercayaan pada simulasi sebesar Untuk meningkatkan dengan presisi ganda, yaitu agar lebar interval kepercayaan menjadi sebesar , diperlukan 400,000 simulasi. Simulasi ini akan memakan waktu jauh lebih lama, dan juga terkendala dengan kapasitas memori komputer yang terbatas. Hal ini menyebabkan simulasi MCB menjadi kurang efisien, sehingga diperlukan metode lain untuk meningkatkan efisiensinya dengan cara mereduksi varian. b) Simulasi Monte Carlo dengan Opsi Eropa sebagai Control Variate MCE) Langkah-langkah dalam melakukan simulasi MCE yaitu: Membangkitkan bilangan acak pada waktu yang menyebar normal baku dalam tiap path pada simulasi e- didapat 27

43 28 Menyimulasikan harga aset dalam tiap path pada waktu pada simulasi e- dengan menggunakan persamaan 34) didapat Menentukan sampel rataan aritmetik dari harga aset pada simulasi e- dengan menggunakan persamaan 35) sehingga didapat Menentukan sampel payoff opsi put Asia dengan rataan aritmetik pada simulasi e- dengan menggunakan persamaan 25) sehingga didapat Bersamaan dengan itu dihitung sampel payoff opsi put Eropa pada simulasi e- sebagai berikut ) sehingga didapat Menentukan sampel harga opsi put Asia dengan metode control variate pada simulasi e- sebagai berikut [ ])) 36) dengan [ ] adalah nilai harapan payoff opsi put Eropa yang diperoleh dengan menggunakan persamaan 17), sedangkan nilai didapat dari persamaan berikut ) [ ]) [ ]) dan nilai adalah nilai rataan dari serta Estimator control variate untuk menaksir harga banyaknya simulasi pilot. adalah 37) Harga opsi put Asia dengan rataan aritmetik ditaksir dengan menggunakan estimator control variate pada persamaan 37) sebagai berikut Dengan kepercayaan sebesar 95%, interval kepercayaan dari estimator harga opsi Asia adalah [.. ] dengan varian sampel dari persamaan 36) yang diperoleh dengan menggunakan rumus )

44 Berikut Tabel 2 merupakan hasil simulasi MCE untuk menentukan harga opsi put Asia dengan berbagai nilai n banyaknya simulasi) yang dipilih. Tabel 2 Hasil simulasi Monte Carlo Eropa MCE) Banyaknya Harga opsi Asia Error simulasi Rp/kg) taksiran Interval kepercayaan [ ; ] [ ; ] 1, [ ; ] 10, [ ; ] 100, [ ; ] 29 Pada Tabel 2, nilai error diperoleh dengan menghitung persentase selisih harga opsi pada tiap simulasi dengan harga opsi pada simulasi optimal yaitu dengan Harga opsi pada simulasi optimal adalah sebesar Rp /kg. Dari Tabel 2, terlihat bahwa nilai error taksiran pada tiap simulasi yang dilakukan sudah semakin membaik dibandingkan dengan simulasi MCB. Nilai error yang dihasilkan pada simulasi MCE dengan sebesar lebih baik daripada nilai error dari simulasi MCB yaitu sebesar Nilai error dari simulasi MCE 2 kali lebih kecil dibandingkan dengan nilai error dari simulasi MCB. Dengan nilai error yang lebih kecil, maka solusi yang diperoleh dari simulasi MCE lebih cepat mendekati solusi analitiknya. Lebar interval kepercayaan harga opsi dengan simulasi MCE pada simulasi yaitu sebesar Lebar interval ini hampir setengah dari lebar interval kepercayaan hasil simulasi MCB pada simulasi yaitu dengan lebar Untuk memperoleh lebar interval setengah dari lebar interval sebelumnya, diperlukan simulasi Monte Carlo 4 kali lebih besar dari simulasi sebelumnya. Oleh karena itu, pada kasus ini diperlukan simulasi MCB sebanyak 400,000 untuk mendapatkan lebar interval yang diperoleh pada simulasi MCE dengan tersebut. Hal ini tentunya akan jauh lebih lama untuk mendapatkan hasilnya. Sehingga dapat dikatakan bahwa simulasi MCE lebih efisien dibandingkan simulasi MCB dari segi waktu dan banyaknya penghitungan yang diperlukan dalam memperoleh solusi yang akurat. c) Simulasi Monte Carlo dengan Opsi Asia dengan Rataan Geometrik sebagai Control Variate MCG) Langkah-langkah dalam melakukan simulasi MCG yaitu: Membangkitkan bilangan acak pada waktu yang menyebar normal baku dalam tiap path pada simulasi e- didapat Menyimulasikan harga aset dalam tiap path pada waktu pada simulasi e- dengan menggunakan persamaan 34) didapat