BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Black dan Scholes (1973) mempublikasikan jurnal yang berjudul Pricing of Option and Corporate Liabilities yang berisi tentang perhitungan rumus harga opsi Call tipe Eropa secara matematis. Pada model tersebut terdapat parameter volatilitas yang merupakan satu-satunya parameter yang tidak dapat diketahui secara langsung di market. Untuk itu perlu dilakukan pendekatan perhitungan secara akurat terhadap nilai volatilitas yang menjadi faktor kunci dalam penentuan harga opsi. Ada dua pendekatan yang telah dikembangkan dalam literatur keuangan untuk menghitung nilai volatilitas, yaitu: (1) Volatilitas historis (historical volatility), yaitu volatilitas yang dihitung berdasarkan data underlying aset periode sebelumnya, dan (2) Volatilitas tersirat (implied volatility), yaitu volatilitas pasar yang dipandang lebih realistik dibandingkan dengan volatilitas historis. Dalam pendekatan ini volatilitas dihitung dengan menyamakan harga opsi berdasarkan model Black-Scholes dan harga opsi yang ada di pasar. Dengan pendekatan historical volatility, menghasilkan nilai volatilitas tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung harga opsi call teoritis berdasarkan Black- Scholes. Namun didapat hasil harga opsi yang berbeda dengan harga opsi market, sehingga estimasi historical volatility dianggap tidak realistis dengan market. Untuk itu digunakan estimasi implied volatility. Model harga opsi call Black-Scholes merupakan persamaan non linear sehingga sangat sulit dicari penyelesaian nilai implied volatility secara analitik, untuk itu digunakan metode numerik. Ada beberapa cara numerik yang digunakan untuk menghitung implied volatility. Salah satu caranya adalah dengan metode coba-coba (trial and error). Pada metode coba-coba, implied volatility dihitung dengan mencoba
2 berbagai nilai dugaan volatility, selanjutnya dicari nilai yang paling mendekati nilai sebenarnya. Metode ini dianggap tidak ilmiah karena tidak memiliki algoritma yang baku. Metode lain yang digunakan untuk menghitung implied volatility adalah metode interpolasi linear. Metode ini cukup sederhana karena menggunakan kesamaan segitiga sebangun. Namun dalam metode ini memiliki beberapa kelemahan, yaitu: (1) Memerlukan waktu yang relatif lama untuk melakukan perhitungan (2) Tidak efisien jika digunakan untuk menghitung beberapa nilai implied volatility secara realtime dengan beberapa nilai pergerakan harga Perhitungan metode interpolasi linear disempurnakan dengan mengestimasi nilai implied volatility menggunakan metode Newton Raphson dan Bisection. Hasil dari nilai implied volatility ini dapat digunakan untuk menentukan harga opsi call tipe Eropa pada periode selanjutnya Nurhuda (2013). Untuk memperbaiki kelemahan-kelemahan tersebut, diperlukan rumus pendekatan nilai implied volatility secara eksplisit yang lebih efisien, memiliki akurasi yang baik, dan cepat dalam memberikan hasil. 1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: (1) Menentukan rumus pendekatan implied volatility secara eksplisit dari persamaan Black Scholes dengan menggunakan ekspansi deret Taylor orde satu dan tiga. (2) Membandingkan besar eror perhitungan harga opsi Black-Scholes antara historical volatility dan implied volatility orde satu. (3) Membandingkan besar eror perhitungan harga opsi Black-Scholes antara implied volatility orde satu dan implied volatility orde tiga. (4) Menganalisa pengaruh waktu kontrak opsi terhadap besar eror harga opsi Black- Scholes menggunakan implied volatility orde tiga.
3 Adapun manfaat dari penelitian ini pada kontek akademik penelitian ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam meraih gelar master bidang matematika pada program studi matematika FMIPA UGM, sedangkan pada konteks praktis penelitian ini diharapkan dapat memperkaya khasanah riset bidang ilmu statistika keuangan di Indonesia. 1.3. Tinjauan Pustaka Tinjauan pustaka awal tesis ini dimulai dari model pembentukan harga opsi oleh Black dan Scholes (1973). Nilai variabel volatility pada model Black-Scholes (BS) disebut implied volatility. Penyelesaian eksplisit implied volatility pada model BS tidak memungkinkan dilakukan, sehingga digunakan metode numerik. Li (2005) mengatakan bahwa untuk menyederhanakan beberapa aplikasi perhitungan implied volatility dengan metode iterasi, pendekatan nilai implied volatility dicari bentuk eksplisitnya. Perhitungan pendekatan secara eksplisit lebih berguna, karena menghasilkan solusi yang sederhana, rasionable, akurat, dan valid. Selain itu juga pertimbangan biaya dan kesulitan dari metode iterasi menjadi motivasi untuk mencari rumus eksplisit dari implied volatility. Sebagai contoh, seorang trader sering membutuhkan data plot implied volatility pada saat itu (realtime). Untuk kasus ini penggunaan rumus eksplisit implied volatility menjadi suatu keharusan. Sejauh ini ada beberapa rumus pendekatan implied volatility menggunakan ekspansi deret Taylor yang sudah dipublikasikan, yaitu Brenner dan Subrahmanyam (1988) menemukan rumus pendekatan untuk menghitung implied volatility yang cukup sederhana menggunakan deret Taylor order satu, rumus tersebut akurat untuk kasus harga saham sama dengan harga kontrak (discounted strike price). Corrado dan Miller (1995) menyempurnakan perhitungan dengan rumus pendekatan yang valid untuk menghitung semua kasus, termasuk harga saham berbeda dengan harga kontrak. Selanjutnya Li (2005) menyempurnakan rumus menggunakan ekpansi deret Taylor order tiga sehingga diperoleh akurasi rumus yang lebih baik.
4 Dalam tesis ini, materi deret Taylor diambil dari Apostol (1967). Materi persamaan pangkat tiga diambil dari Viéte (1983). Teori peluang, distribusi Normal, dan distribusi Lognormal diambil dari Rice (1995) dan Bain dan Englehartd (1992). Materi model harga saham dirujuk berdasakan Samuelson (1965), Mandelbrot (1966), Wilmott (1994), dan Abdurakhman (2007). Sedangkan materi teori opsi dan volatilitas return saham diambil dari Higham (2004), Hull (2009), dan Abdurakhman (2012). Beberapa contoh studi kasus yang dituliskan dalam tesis ini menggunakan sumber data dari internet, yaitu melalui akses website www.finance.yahoo.com. Untuk data suku bunga bank central Eropa diperoleh dari website resmi European Central Bank (ECB), yaitu www.ecb.europa.eu/. 1.4. Metodologi Penelitian Penelitian tentang implied volatility ini dilakukan melalui studi kepustakaan. Penelitian dimulai dengan pembentukan model harga opsi call tipe Eropa tanpa pembayaran deviden. Kemudian dari model yang terbentuk, dicari estimasi nilai implied volatility secara eksplisit menggunakan ekspansi deret Taylor order satu dan order tiga. Bagian terakhir dari penelitian ini adalah studi kasus perbandingan eror estimasi harga opsi call tipe Eropa menggunakan historical volatility vs implied volatility, implied volatility order satu vs implied volatility order tiga, dan analisis eror hasil perhitungan implied volatility terhadap durasi waktu kontrak opsi. Data yang digunakan bersumber dari internet (www.finance.yahoo.com dan www.ecb.europa.eu/). Untuk pengolahan data pada tesis ini menggunakan program Microsoft Excel 2007 dan Minitab 11. 1.5. Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri atas 5 (lima) bab yaitu: I. PENDAHULUAN Bab ini membahas mengenai latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan.
5 II. DASAR TEORI Bab ini akan menyajikan deret Taylor, persamaan pangkat tiga, teori peluang, distribusi Normal, distribusi Lognormal, model harga saham, opsi, harga opsi call model Black-Scholes, volatilitas return saham, estimasi historical implied volatility, dan, estimasi implied volatility. III. PEMBAHASAN Bab ini berisi perhitungan rumus implied volatility opsi call menggunakan ekspansi deret Taylor orde satu dan orde tiga untuk kasus at-the-money dan in-orout-of-the-money. IV. STUDI KASUS Bab ini berisi hasil studi kasus perbandingan eror hasil estimasi harga opsi call tipe Eropa menggunakan historical volatility vs implied volatility, implied volatility orde satu vs implied volatility orde tiga, dan analisis eror hasil perhitungan implied volatility terhadap durasi waktu kontrak opsi. V. PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari bab-bab sebelumnya, harapan dan saran sebagai konsekuensi dan kekurangan maupun kelebihan dari hasil pembahasan.