DASAR LAUT SINUSOIDAL DAN DINDING SUNGAI SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG

DASAR LAUT SINUSOIDAL DAN DINDING SUNGAI SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh: Viska Noviantri 10103015 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

DASAR LAUT SINUSOIDAL DAN DINDING SUNGAI SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh : Viska Noviantri 101 03 015 Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, Juni 2007 Dosen Pembimbing I Dosen Pembimbing II Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetya Dr. Agus Yodi Gunawan NIP. 131835249 NIP. 132129139 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

Bandung, 27 Juni 2007 Karya ini kupersembahkan untuk Apa, Mamah, Teteh, Vita, dan orang-orang yang mengerti arti dari suatu perjuangan... Jangan paksakan hati dan jiwa untuk memikul beban yang berat, sebab ia akan menjadi buta, dan jika suatu masalah tidak terselesaikan dengan otakmu, selesaikanlah dengan hatimu... Karya kecil ini bukan akhir dari perjuangan, tetapi awal dari segala perjuangan yang sebenarnya...

Abstract Longshore sandbars are often found along gentle beaches. The number of bars can range from a few to dozens and the spacing from tens to hundreds of meters. The bar amplitudes can be as high as meter. We are interested in studying how this natural sinusoidal sandbars affect the amplitude of incoming waves. In this final project we show that sinusoidal sandbars may lead to Bragg resonance. Basically, when a wave meets a different depth, it will scatter into a transmitted wave and a reflected wave. Let us imagine an incident wave running above a flat bottom with a finite patch of sinusoidal disturbance. During its evolution there occurs many scattering processes. Bragg resonance happens when the wavelength of incident wave is twice of the wavelength of the periodic bottom disturbance. Applying multiple scale expansion to get the results. We also find that a larger amplitude disturbance leads to a larger reflected wave amplitude. This result explains that the longshore sandbar indeed can reduce the amplitude of incident wave and protect a beach from a large amplitude incident wave. It turns out that the same phenomena occurs for water waves in a long channel with corrugated boundaries. Starting from the full governing equation for flat bottom channel, if the channel width is small compared with the characteristic wavelength, we obtain a one-dimensional wave equation, in which its coefficient depend explicitly on the function of the left and right boundaries. Bragg resonance is then occurs under analogous condition. But here we observe that a large amplitude disturbance does not directly lead to a larger reflected wave amplitude. iv

Abstrak Tugas akhir ini akan membahas pengaruh dasar laut sinusoidal terhadap amplitudo gelombang datang. Pada dasarnya, ketika suatu gelombang melewati dasar tak rata, maka gelombang ini akan mengalami transmisi dan refleksi. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa dasar laut sinusoidal dapat menyebabkan terjadinya fenomena resonansi Bragg. Resonansi Bragg terjadi ketika panjang gelombang datang sebesar dua kali panjang gelombang dasar sinusoidal. Metode yang digunakan untuk mendapatkan hampiran solusinya adalah metode ekspansi asimtotik multi skala (multiple scale). Pada akhirnya diperoleh bahwa besar amplitudo gelombang yang direfleksikan berbanding lurus dengan amplitudo dasar sinusoidal. Hasil ini menunjukkan bahwa dasar sinusoidal dapat mereduksi amplitudo gelombang datang sehingga amplitudo gelombang transmisi cukup kecil. Dengan demikian, dasar sinusoidal dapat melindungi pantai dari amplitudo gelombang datang yang cukup besar. Fenomena serupa terjadi pada gelombang air sungai yang melewati suatu daerah berdinding sinusoidal. Persamaan yang digunakan adalah persamaan gelombang untuk dasar rata dengan asumsi kedalaman sungai cukup kecil dibandingkan dengan panjang gelombang. Dengan tambahan asumsi bahwa lebar sungai cukup kecil, maka akan diperoleh persamaan gelombang satu dimensi yang koefisiennya bergantung pada syarat batas dinding kiri dan kanan. Pada akhirnya akan diperoleh bahwa besar amplitudo dinding sinusoidal tidak selalu berbanding lurus dengan amplitudo gelombang yang direfleksikan. v

Prakata Alahamdulillaahirabbil aalamiin, puji dan syukur kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat dan karunianya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya. Tugas Akhir ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat kelulusan pada Program Studi Matematika, Institut Teknologi Bandung. Tugas akhir yang berjudul Dasar Laut Sinusoidal dan Dinding Sungai Sinusoidal Sebagai Reflektor Gelombang ini disusun atas dasar ketertarikan penulis untuk mengaplikasikan matematika dalam fenomena alam. Banyak sekali bantuan yang diberikan kepada penulis selama penulis menimba ilmu sampai ketika penulis menjalani masa perkuliahan di Institut Teknologi Bandung, terutama saat menyusun tugas akhir. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Apa dan mama, atas segala doa, semangat, kesabaran, pengorbanan dan kasih sayang mereka kepada penulis. Teteh dan Ita yang telah memberikan keceriaan dalam kehidupan penulis. 2. Ade Suhendar, yang telah memberikan warna dalam kehidupan penulis. 3. Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetya F dan Dr. Agus Yodi Gunawan selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, bantuan, saran, dan kritik sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan. 4. Dr. Leo. H. Wiryanto dan Yudi Soeharyadi, Ph.D., sebagai dosen penguji yang telah memberikan banyak saran dan kritik sehingga tugas ahir ini menjadi vi

PRAKATA vii lebih baik. 5. Warsoma Djohan M.Si yang telah memberikan sarana dan prasana sehingga mempermudah proses penyusunan tugas akhir ini. 6. Dr. Johann Matheus Tuwankota selaku dosen wali penulis yang telah berperan sebagai bapak bagi penulis selama berada di kampus ini serta seluruh staff dosen matematika ITB yang telah memberikan banyak pengetahuan dan pengalaman kepada penulis. 7. Manes, Ami, Sarah, Imel, Fiska, Islah, Ayu, dan Erma, terima kasih atas kebersamaan kita selama ini sebagai teman bermain dan belajar yang sangat baik. Gita, Stefanus, Ani, Dede, Hendrik, Yo, Riswan, Bowo, Uul, dan Andrew, terima kasih atas nasehat-nasehat yang telah diberikan dan penulis sangat senang bisa bekerja sama dalam satu tim dengan kalian. Juga untuk seluruh anak MA-03 atas bantuan serta kekompakan kita selama ini dan mudah-mudahan hal tersebut dapat tetap terjaga selamanya. 8. Bpk. Mamad, Bpk. Anshor, Ibu Rika, Bpk. Luthfi, Ibu Ati, Ibu Eti, Ibu Lilis, Ibu Mimi dan Ibu Nien, yang telah memberikan ilmu, kepercayaan, dukungan, dan nasehat kepada penulis. 9. Untuk anak didikku Puji, Nova, Ulfa, dan Idan, terima kasih telah memberikan kepercayaan, pengalaman, dan pengertian kepada penulis. Mudah-mudahan cita-cita kalian dapat terwujud. Amin. 10. Serta seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menjalani hidup di dunia ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu Segala perhatian, semangat, dukungan, bantuan dan pengorbanan dari bapak, ibu, serta seluruh rekan-rekan sangat berarti dan tidak akan penulis lupakan. Mudahmudahan Allah SWT. dapat membalas segala amal baik bapak, ibu, dan rekanrekan.

PRAKATA viii Penulis menyadari bahwa masih banyak keterbatasan pengetahuan yang dimiliki dan kekurangan pada tugas akhir ini. Oleh karena itu, saran dan kritik dari berbagai pihak sangat penulis nantikan. Akhir kata, penulis persembahkan tugas akhir yang sangat sederhana ini. Mudah - mudahan memberikan manfaat bagi para pembaca sekalian umumnya dan bagi penulis khususnya. Bandung, Juni 2007 Penulis Viska Noviantri

Daftar Isi Halaman Pengesahan Abstract Abstrak Prakata Daftar Isi ii iv v vi ix 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang.............................. 1 1.2 Rumusan Masalah............................ 2 1.3 Tujuan................................... 3 1.4 Manfaat.................................. 3 1.5 Kerangka Teori.............................. 4 1.6 Teknik Penelitian............................. 4 1.7 Sistematika Penulisan........................... 4 2 TEORI DASAR 6 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal................... 6 2.2 Ekspansi Asimtotik............................ 8 2.3 Metode Ekspansi Asimtotik Multi Skala................ 10 ix

Daftar Isi x 3 DASAR SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG 16 3.1 Persamaan Gelombang untuk Dasar Sinusoidal............. 16 3.2 Resonansi Bragg untuk Dasar Sinusoidal................ 18 3.3 Amplitudo Gelombang Transmisi dan Gelombang Refleksi...... 20 3.4 Koefisien Transmisi dan Refleksi Untuk Dasar Laut Sinusoidal.... 23 3.5 Simulasi dan Pembahasan........................ 29 3.5.1 Resonansi Sempurna....................... 29 3.5.2 Perbandingan Resonansi Sempurna, Subcritical Detuning, dan Supercritical Detuning...................... 32 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG 35 4.1 Persamaan Gelombang untuk Dinding Sinusoidal........... 36 4.2 Resonansi Bragg untuk Dinding Sinusoidal............... 39 4.3 Amplitudo Gelombang Transmisi dan Gelombang Refleksi...... 41 4.4 Koefisien Transmisi dan Refleksi Untuk Dinding Sinusoidal...... 44 4.5 Simulasi dan Pembahasan........................ 46 4.5.1 Resonansi Sempurna....................... 46 4.5.2 Perbandingan Resonansi Sempurna, Subcritical Detuning, dan Supercritical Detuning...................... 49 5 KESIMPULAN 52 Daftar Pustaka 54 Daftar Simbol 55

Daftar Gambar 2.1 Solusi eksak (2.3.5) dan solusi asimtotik reguler (2.3.4) untuk ε = 0.1. 12 3.1 Skema lapisan fluida pada dasar laut sinusoidal............. 16 3.2 Gelombang datang, gelombang transmisi dan gelombang refleksi.... 24 3.3 Grafik R(x) pada dasar laut sinusoidal untuk beberapa nilai εd.... 30 3.4 Grafik R(0) sebagai fungsi dari εd.................... 31 3.5 Grafik R(x) pada dasar laut sinusoidal untuk beberapa nilai εd yang diperoleh secara numerik......................... 32 3.6 Grafik R(x) dasar laut sinusoidal (subcritical detuning)......... 33 3.7 Grafik R(x) dasar laut sinusoidal (supercritical detuning)........ 33 3.8 Grafik R(x) dasar laut sinusoidal untuk εd = 0.14 pada tiga kasus.. 33 3.9 Grafik R(x) dasar laut sinusoidal untuk εd = 0.08 pada tiga kasus.. 33 4.1 Dua tipe dinding sungai sinusoidal dilihat dari atas........... 36 4.2 Skema dinding sinusoidal tipe 2 dilihat dari atas............ 37 4.3 Grafik R(x) pada dinding sungai sinusoidal untuk beberapa nilai εg. 47 4.4 Grafik R(0) sebagai fungsi dari εg.................... 48 4.5 Grafik R(x) pada dinding sungai sinusoidal untuk beberapa nilai εg yang diperoleh secara numerik...................... 49 4.6 Grafik R(x) dinding sungai sinusoidal (subcritical detuning)...... 50 4.7 Grafik R(x) dinding sungai sinusoidal (supercritical detuning)..... 50 4.8 Grafik R(x) dinding sungai sinusoidal untuk εd = 0.14 pada tiga kasus. 50 4.9 Grafik R(x) dinding sungai sinusoidal untuk εd = 0.08 pada tiga kasus. 50 xi