BB LNDSN EORI. rsose Ivers d Determi Mtriks Defiisi.. il terdt sutu mtriks [ ij ] erordo m mk trsose dri mtriks dlh erordo m g dihsilk deg memertukrk ris d kolom mtriks ; itu kolom ertm dri dlh ris ertm dri kolom kedu dri dlh ris kedu dri seterus. d Beer sift mtriks trsose: (i). ( B) B (ii). ( ) (iii). k( ) ( k ) k sutu sklr. (iv). ( B) B Defiisi.. Sutu mtriks diseut simetris il trsose mtriks sm deg mtriks tu mtriks simetris il. Cotoh. 7 d 7 diseut mtriks simetris. Defiisi.. Mislk dlh mtriks ujursgkr jik terdt mtriks B g ukur sm sedemiki higg B B I mk ivertiel (dt dilik) d B diseut segi ivers dri ditulis. diseut
Cotoh. Misl d B mk B I B I Defiisi.. Jik dlh mtriks ujursgkr mk mior dri etri ij ditk segi M ij d didefiisik segi determi dri sumtriks g tersis setelh ris ke-i d kolom ke-j dihilgk dri ( ) i j M ij ditk segi C ij d diseut segi kofktor dri etri. Nili ij. Determi dt diotsik C C C.... Cotoh. Mislk 8 Determi dri mtriks dlh = C C C 8 ( 8 ) () () () 8. Sistem ersm Liier Homoge Defiisi.. Sutu sistem ersm liier diseut homoge jik semu etuk kostt dlh ; itu sistem ii memiliki etuk
......... m m m Seti sistem ersm liier homoge dlh kosiste kre semu sistem memiliki solusi.... Solusi ii diseut solusi trivil; jik terdt solusi li mk solusi-solusi terseut diseut solusi otrivil. Cotoh. Sutu sistem ersm liier segi erikut + = + + = + = + + = Mtriks g dieresr utuk sistem terseut dlh Deg mereduksi mtriks terseut mejdi etuk eselo ris kit memeroleh Sistem ersm g ersesui dlh + + = + = = Deg meelesik vriel-vriel utm dieroleh
Jdi solusi umum dlh s t s t erhtik hw solusi trivil dieroleh il s t. t. Rug Vektor deg Rug Hsil Kli Dlm Defiisi.. Hsil kli dlm (ier roduct) d seuh rug vektor rel V dlh seuh fugsi g megsosisik seuh ilg rel <uv> deg sesg vektor u d v di dlm V ii tereuhi gi semu vektor u v d w di dlm V k. (i). < u v > = < v u > (ii). < u + v w > = < u w > + < v w > (iii). < ku v > = k< u v > (iv). < v v > d < v v > = jik d h jik v. sedemik higg ksiom-ksiom erikut d semu ilg sklr (ksiom kesimetri) (ksiom ejumlh) (ksiom homogeits) (ksiom ositivits) Seuh rug vektor rel g memiliki seuh hsil kli dlm diseut rug hsil kli dlm rel (rel ier roduct sce). Defiisi.. Jik V dlh seuh rug hsil kli dlm mk orm (orm) tu jg (legth) seuh vektor u di dlm V diotsik deg u d didefiisik segi u = < u u > / Jrk (distce) tr du uh titik (vektor) u d v diotsik deg d(u v) d didefiisik segi d(u v) = u - v Cotoh. Mislk u = (u u) d v = (v v) dlh vektor-vektor d Hsil kli dlm Euclide eroot <u v> = uv + uv memeuhi keemt ksiom hsil kli dlm. R.
(i). ksiom kesimetri; < u v > = uv + uv = vu + vu = < v u > g memuktik tereuhi ksiom ertm. (ii). ksiom ejumlh; Jik w = (w w) mk < u +v w > = (u + v)w + (u + v)w = (uw + uw) + (vw + vw) = <u w> + <v w> g memuktik tereuhi ksiom kedu. (iii). ksiom homogeits; Seljut < ku v > = (ku)v + (ku)v = k(uv + uv) = k< u v > g memuktik tereuhi ksiom ketig. (iv). ksiom ositivits; khir <v v> = vv + vv = v + v Jelslh <v v> = v + v. Leih juh lgi <v v> = v + v = jik d h jik v = v. Deg demiki semu ksiom memeuhi srt.. Bsis Ortoorml d Mtriks Ortogol.. Bsis Ortoorml Defiisi.. Himu S = {u u... uk} d jik <ui uj> = utuk seti i j. R dlh himu ortogol Defiisi.. Himu S = {u u... uk} d (i). S dlh ortogol R dlh ortoorml jik : (ii). Seti vektor dlm S dlh vektor stu itu ui = utuk seti i.
Cotoh. Himu S = {u u} deg u= [ ] d u= [ ] dlh ortogol kre : <u u> = () + () + () = Kre u = d u = mk S uk himu ortoorml. Deg meormlissik msig-msig vektor dri S dieroleh : v = u/ u = [ ] = [ ] v = u/ u = {v v}dlh himu g ortoorml kre : (i). <u u>... (ii). v = d v = [ ] = eorem.. Jik S = {v v... v} dlh sutu himu ortogol vektorvektor tkol d seuh rug hsil kli dlm mk S es liier. Bukti. sumsik hw kv + kv +...+ kv = k ditujukk hw S = {v v... v} dlh es liier ki deg memuktik k k... k. Utuk seti vi dlm S erdsrk sumsi dieroleh < kv + kv +...+ kv vi > = < vi > = tu secr ekuivle k< vvi > + k< vvi > +...+ k< vvi > = Dri ortogolits S kit memeroleh <vjvi> = utuk ersm ii dt disederhk mejdi ki < vivi > k v v i i i j i sehigg Kre vektor-vektor di dlm S disumsik segi vektor-vektor tkol <vivi> erdsrk ksiom ositivits utuk hsil kli dlm. Deg demiki k. Kre ideks i k k... k g megkitk S es liier. i dlh serg kit memeroleh
eorem.. Mislk {v v... v} dlh sis ortoorml d misl u semrg vektor d R mk memeuhi : R d deg <uv> dlh koefisie dri vi. u = <uv> v + <uv> v +...+ <uv> v Bukti. Mislk S = {v v... v} dlh sis ortoorml d semrg vektor d R mk memeuhi : R d misl u deg k k... k sedemiki higg <vi vj> = utuk u = kv + kv +...+ kv dlh sklr. Kre S dlh ortoorml mk ortogol i j. Seleih jik S dlh ortoorml mk seti vektor v i d S dlh vektor stu itu <vi vi> = vi =. Misl i memeuhi i mk : <vi u> = <vi kv + kv +...+ kv > = k<vi v> + k<vi v> +...+ ki<vi vi> +...+ k<vi v> k. k.... k i... k. k i Jdi terukti koefisie dri v i dlh k i i <vi u> = vi.u = u.vi Cotoh.7 Mislk v = [ ] v = v = Mk V = {v v v} dlh sis ortoorml utuk R k dierlihtk hw u = [ ] dlh komisi liier vektor-vektor V Sesui teorem.. didtk : d <uv> = ; 7 <uv> ; <uv>.. u = <uv> v + <uv> v + <uv> v [ ] = [ ] + 7 + = [ ] + 8 + = [ ]
eorem.. (roses Grm-Schmidt) Seti rug hsil kli dlm tkol erdimesi terhigg memiliki seuh sis ortoorml. Bukti. Mislk V dlh sutu rug hsil kli dlm tkol erdimesi terhigg serg d mislk {uu...u} dlh sis serg utuk V. k ditujukk hw V memiliki seuh sis ortogol kre vektor-vektor di dlm sis ortogol itu dt diormlissik utuk meghsilk seuh sis ortoorml utuk V. Urut lgkh erikut ii k meghsilk seuh sis ortogol {vv...v} utuk V. Lgkh. Mislk v = u / u Lgkh. erdt seuh vektor v g ortogol terhd v deg meghitug komoe v g diretg oleh v. v = (u <u v>v) / u <u v>v Lgkh. Seljut v = (u <u v>v <u v>v) / u <u v>v <u v>v d seterus smi v. Setelh lgkh ke- k dieroleh himu vektorvektor ortogol {vv...v}. Kre V erdimesi d seti himu ortogol ersift es liier mk himu {vv...v} dlh seuh sis ortogol gi V. Cotoh.8 Dierik R esert erkli dlm Euclid deg memerguk roses ortoormlissi Grm-Schmidt trsformsik vektor-vektor sis u = ( ) u = ( ) u = ( ) mejdi sis g ortoorml. Vektor v g ortoorml Vektor v g ortoorml v = u / u v = (u <u v>v) / u <u v>v u <u v>v
7 mk v = (u <u v>v) / u <u v>v Vektor v g ortoorml v = (u <u v>v <u v>v) / u <u v>v <u v>v u <u v>v <u v>v mk v = (u <u v>v <u v>v) / u <u v>v <u v>v Jdi v v v Memetuk sis ortoorml utuk R.... Mtriks Ortogol Defiisi.. Mtriks erordo dlh mtriks ortogol jik kolomkolom dri mtriks dlh himu vektor kolom g ortoorml. Defiisi.. Seuh mtriks ujursgkr g memiliki sift diseut segi mtriks ortogol. eorem.. Jik mtiks dlh mtiks ortogol mk. Bukti. Mtriks ortogol jik d h jik I
8 kemudi I Cotoh.9 Vektor-vektor u = [ ] v = d w = dlh vektor-vektor ortoorml. Sedemiki higg mtriks : dlh ortogol mk didtk :. Ekuivlesi Betuk Kudrt Seelum k didefiisik sutu oersi elemeter d mtriks. Defiisi.. Oersi elemeter d mtriks dlh: (i). eukr temt tr du ris tu du kolom ki ris ke-i deg ris ke-j tu kolom ke-i deg kolom ke-j. (ii). Meglik ris ke-i tu kolom ke-i deg sutu kostt α.
9 (iii). Memh ris ke-i deg α kli ris ke-j tu memh kolom ke-i deg kostt α kli kolom ke-j. Defiisi.. Du mtriks d B g erordo sm diktk ekuivle il slh stu mtriks terseut dt dieroleh dri mtriks g li deg megguk oersi elemeter. tu deg kt li du mtriks d B g erordo sm diseut ekuivle jik B = Q utuk sutu mtriks d Q g tk sigulr tu mtriks elemeter. Utuk relsi ekuivlesi ii dierik simol ~. B ~ memiliki rti ekuivle deg B. Relsi ekuivle itu : (i). ~ utuk seti mtriks (ii). B ~ mk B ~ (iii). B ~ d B ~ C mk ~ C Cotoh. B mk ~ 8 ~ B ~ ditulis B ~. Di m itu ris ke- itu ris ke- d itu ris ke-. Defiisi.. Du etuk kudrt d B diseut ekuivle jik d h jik terdt mtriks tk sigulr g memeuhi = d B itu
= () () = = ( ) = B. Nili Eige Vektor Eige d Rug Eige Defiisi.8. Mislk dlh seuh mtriks. Sklr diseut ili eige dri ketik seuh vektor sedemiki higg = λ. Vektor diseut vektor eige dri g ersesui terhd λ. Vektor eige terhd λ g didt meruk vektor tk ol di dlm rug solusi d sistem liier. Rug solusi ii diseut rug eige g tersusu ts sis rug eige. Dri ersm = λ didtk: λ = (λi ) Sistem ersm homoge di ts memui solusi tk trivil jik d h jik I. eguri determi ii k meghsilk sutu oliomil erderjt g is diseut segi ersm krkteristik. Metode ecri kr dt dicri deg emfktor rumus BC (jik ersm kudrt) d emgi sitetis (tur horer). Cotoh. Kre I mk ersm krkteristik mtriks dlh
I Dijrk segi erikut ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 8 8 8 8 8 Jdi ili-ili eige dri mtriks dlh d 8. Utuk mk: I d misl dlh eelesi tk trivil dri I = itu: k diselesik deg oersi ris elemeter segi erikut ersm tuggl g didt dlh. Mislk t s d t s. sehigg vektor eige g ersesui deg dlh t s t s t s mk d dlh sis d rug eige g ersesui deg
. Utuk 8 mk: 8 I d misl dlh eelesi tk trivil dri 8I = itu: k diselesik deg oersi ris elemeter segi erikut ersm g didt dlh d. Mislk u u d u. sehigg vektor eige g ersesui deg 8 dlh u u u u mk dlh sis d rug eige g ersesui deg 8..7 Digolissi Mtriks d Digolissi secr Ortogol Defiisi.7. Seuh mtriks ujursgkr dt didigolissi jik terdt mtriks g memui ivers sehigg meruk mtriks digol. Mtriks diseut medigolissi mtriks.
eorem.7. Jik erikut dlh ekuivle. (i). (ii). dlh seuh mtriks dt didigolissi memiliki vektor eige g es liier. mk kedu ert Bukti. (i) (ii) Kre seuh mtriks g dt dilik disumsik dt didigolissi mk terdt Sedemiki ru sehigg dlh digol misl D di m D Berdsrk rumus D hw D ; jels (.) Jik... meotsik vektor-vektor kolom dri mtriks mk dri ersm (.) urut kolom-kolom mtriks dlh λ λ... λ. k teti urut kolom-kolom memeroleh Kre dlh.... Sehigg kit = λ = λ... = λ (.) dt dilik vektor-vektor kolom semu tk ol; sehigg erdsrk ersm (.)... dlh ili-ili eige dri d... dlh vektor-vektor eige g terkit. Kre memiliki ivers mk... es liier. Jdi eige g es liier. dt dilik d memui vektor
(ii) (i) Mislk memiliki vektor eige... g es liier deg iliili eige... g terkit d mislk dlh seuh mtriks g vektor-vektor kolom dlh.... Berdsrk erkli mtriks vektor-vektor kolom dri mtriks dlh... Nmu = λ = λ... = λ sehigg D (.) di m D dlh mtriks digol g memiliki ili-ili eige... segi etri-etri digol utm. Kre vektor-vektor kolom mtriks es liier; sehigg ersm (.) dt diotsik segi deg demiki mtriks dt didigolissi. D Berdsrk teorem.7. di ts didtlh lgkh-lgkh utuk medigolissi seuh mtriks itu : erordo Lgkh. etuk ili-ili eige mtriks. Lgkh. etuk.... g dt didigolissi vektor eige g es liier dri mtriks itu Lgkh. Betuk mtriks g kolom dlh vektor-vektor deg Lgkh. Mtriks... segi vektor-vektor kolom mtriks. D kemudi k mejdi digol deg
... segi etri-etri digol secr erurut di m i dlh ili eige g terkit deg i utuk i.... Cotoh. Kre I mk ersm krkteristik mtriks dlh I Jdi ili-ili eige dri mtriks dlh d. Utuk mk: I d misl dlh eelesi tk trivil dri I = itu: k diselesik deg oersi ris elemeter segi erikut ersm tuggl g didt dlh. Mislk s s d t. sehigg vektor eige g ersesui deg dlh t s t s s
mk d dlh sis d rug eige g ersesui deg. Utuk mk: I d misl dlh eelesi tk trivil dri 8I = itu: k diselesik deg oersi ris elemeter segi erikut ersm g didt dlh d. Mislk u u d. Sehigg vektor eige g ersesui deg dlh u u u mk dlh sis d rug eige g ersesui deg. Sehigg { } dlh vektor es liier d didtk : g k medigolissi. Utuk memuktik :
7 Cotoh. ersm krkteristik dri mtriks dlh I Jdi ersesui deg dlh stu-stu ili eige g didt. Vektor eige g mislk g memeuhi I = k diselesik deg oersi ris elemeter segi erikut ersm g didt dlh. Mislk s d s. Sehigg vektor eige g ersesui deg dlh s s s Kre meruk rug eige g erdimesi stu mk du vektor eige g es liier sehigg tidk memui tidk dt didigolissi. eorem.7. Jik vv...vk dlh vektor eige dri mtriks g ersesui deg ili-ili eige g ered... dlh himu vektor es liier. k mk {vv...vk} Bukti. Mislk vv...vk dlh vektor-vektor eige g ersesui deg
ili-ili eige g ered k 8.... Mislk vv...vk dlh tidk es liier gr didtk kotrdiksi. gr disimulk vv...vk es liier. Kre vektor eige meurut defiisi dlh tk ol mk {v} dlh es liier. Mislk r dlh ilg ult teresr sehigg {vv...vk} es liier. Kre disumsik hw {vv...vk} tidk es liier srt r k r memeuhi. Seljut sesui defiisi r {vv...vr+} tidk es liier. Deg demiki sklr c c... c r tidk semu ol sehigg cv + cv +...+ cr+vr+ = (.) Deg meglik kedu sisi d (.) deg mtriks d meerk kit memeroleh v = λv v = λv... vr+ = λvr+ Deg meglik kedu sisi (.) deg g dieroleh dri (.) meghsilk cλv + cλv +...+ cr+λr+vr+ = (.) r d megurgk ersm c(λ λr+)v + c(λ λr+)v +...+ cr (λr λr+)vr = Kre {vv...vr} meruk himu es liier ersm ii megkitk c c c r... r r r r d kre... r ered mk dieroleh c c... c (.) r Sustitusi ili-ili ii d (.) k meghsilk Kre vektor eige vr+ tidk ol mk cr+vr+ c r (.7) ersm (.) d (.7) ertetg deg hl g terjdi hw c c... c r tidk semu ol. Jdi terukti hw egdi slh d {vv...vk} es liier.
9 Cotoh. Dri cotoh. didtk mtriks di m kolom-kolom dlh vektor eige. Kre mk vektor- vektor kolom dlh vektor-vektor g es liier. eorem.7. Jik seuh mtriks erordo ered mk dt didigolissi. memiliki ili eige g Bukti. Jik vv...v dlh vektor-vektor eige g terkit deg ili-ili eige g ered... mk sesui teorem.7. vv...v es liier. Jdi sesui deg teorem.7. mk dt didigolissi. Cotoh. Mislk seuh mtriks 7 8 memiliki tig ili eige g ered d. Oleh kre itu dt didigolissi. Yki : Seljut utuk meetuk mtriks teorem.7.. dt diguk cr g sesui Defiisi.7. Mtriks ujursgkr dt didigolissi secr ortogol jik terdt mtriks g ortogol sehigg diseut medigolissi secr ortogol. digol. Mtriks eorem.7. Jik dlh mtriks erordo dlh ekuivle. mk ert erikut ii
(i). (ii). dt didigolissi secr ortogol. memiliki seuh himu vektor-vektor eige g ortoorml. Bukti. (i) (ii) Kre dt didigolissi secr ortogol mk terdt seuh mtriks ortogol sedemiki higg mtriks Sesui teorem.7. mtriks. Kre ortoorml sehigg memiliki (ii) (i) sumsik hw terdiri dri dlh digol. vektor kolom mtriks dlh vektor-vektor eige ortogol ortogol vektor-vektor kolom ii dlh vektor eige g ortoorml. memiliki seuh himu ortoorml g vektor eige {... }. Segim ditujukk dlm emukti d teorem.7. mtriks segi kolom-kolom k medigolissi deg vektor-vektor eige ii. Kre vektor-vektor eige ii ortoorml mk ortogol sehigg k medigolissi ortogol. secr eorem.7. Jik mtiks simetris. dlh mtriks g dt didigolissi mk dlh Bukti. Mislk g ortogol sedemiki higg : Jdi tu kre ortogol mk : sehigg dt didigolissi secr ortogol terdt mtriks D D D terukti hw simetris. D D D eorem.7. Jik dlh mtriks simetris mk vektor-vektor g ersl dri rug eige g ered k slig ortogol.
Bukti. Mislk v d v dlh vektor-vektor eige g terkit deg du ili eige g ered itu d dri mtriks. k ditujukk hw v.v =. emukti megei hl ii melitk sutu trik g dimuli deg metk v.v. Dri sift erkli vektor d sift simetris mtriks k dieroleh eti v dlh seuh vektor eige mtriks v dlh seuh vektor eige mtriks ersm (.8) meghsilk huug dt ditulisk kemli segi Kre kre v.v = v. v = v. v (.8) d ersm (.9) dieroleh v.v =. λv.v = v. λv g erhuug deg d g erhuug deg sehigg (λ λ)v.v = (.9) disumsik ered. Oleh kre itu dri kit teorem.7. di ts erikut lgkh-lgkh g dt dilkuk utuk medigolissi mtriks simetris g ortogol: Lgkh. etuk seuh sis utuk seti rug eige mtriks. Lgkh. Guk roses Grm-Schmidt d msig-msig sis erikut utuk memeroleh seuh sis ortoorml d seti rug eige. Lgkh. Betuklh seuh mtriks g kolom-kolom dlh vektorvektor sis g diut d lgkh ; mtriks ii secr ortogol medigolissi. Cotoh. etuk seuh mtriks ortogol g medigolissi ersm krkteristik utuk dlh
8 I Sehigg ili-ili eige dri dlh d 8. Deg megguk ecri sis dt ditujukk hw u d u memetuk seuh sis utuk rug eige g terkit dg. Deg meerk roses Grm-Schmidt d {uu} k meghsilk vektor-vektor eige ortoorml seerti erikut: v d v Rug eige g terkit deg 8 memiliki u segi seuh sis. Deg meerk roses Grm-Schmidt d {u} k meghsilk v khir deg megguk v v d v segi vektor-vektor kolom dieroleh g medigolissi secr ortogol.