I. Ulangan Bab Pertanaan Teori 1. Tentukanlah besar dan arah vektor-vektor berikut : a. V = 3, 1 b. V = 1, 3 c. V = 5, 8 a. Besar V adalah V 3 1 31 4 Arah V adalah 1 1 tan = 3 30 3 3 b. Besar V adalah V 1 3 13 4 Arah V adalah 3 tan = 3 60 1 c. Besar V adalah V 5 8 564 89 9,43 Arah V adalah 8 tan = 1,6 58 5. Apabila diketahui U i 3j dan V 4i 6j. Tentukan : a. U + V c. 3U, dan b. U V d. 8U 3V a) b) U + V = ( - 4)i + (-3 + 6)j = -i + 3j U - V = - (-4) i + (-3-6)j = ( + 4)i + (-9)j = 6i - 9j
c) d) 3U = 3(i - 3j) = 6i - 9j 8U - 3V = 8( i - 3j ) - 3 (-4i + 6j ) = 16i - 4j + 1i -18j = 18i -4j 3. Tentukan vektor V bila besar dan arah vektor tersebut adalah : a. V 8 ; = 3 b. V 4 ; = 4 c. V 6 ; = 3 a) tan tan 3 3 maka 3 V 8 3 8 3 8 4 8, maka 4 dan = 3 4 3 V ij V 4 i + 4 3j b) tan tan 1 maka 4 V 4 4 4 4, maka dan = Vij V i + j
c) tan tan 3 3 maka 3 V 6 3 6 3 6 4 6, maka 3 dan = 3 3 3 Vij V 3 i + 3 3j 4. Buktikan bahwa garis ang menghubungkan titik tengah sisi sebuah segiempat sembarang akan membentuk sebuah jajargenjang dengan menggunakan analisis vektor! B C D E A H G F 5. Suatu benda mendapat gaa sebesar 3 N dari arah kiri 4 N dari arah bawah. Kemudian gaa sebesar 7 N juga bekerja pada benda tersebut dan gaa ini membentuk sudut 4 terhadap bidang horizontal. Berapa gaa resultan ang bekerja pada benda tersebut dan kemanakah arahna? F 3 7 N F 1 3 N 4 F 1 4 N F
Dengan menggunakan koordinat kartesian : F 3 7 N F 1 3 N 4 F 1 4 N F 1 3 1 F F F cos F 3 7 cos 37 37 4 4 3 1 F F F sin F 4 7sin 4 7 4 7 4 4 F F F 3 7 4 7 9 1 49 16 8 49 74 49.17N F 4 7 Arah resultan F aitu : tan 0, 487 5,97 F 3 7 6. Tunjukkan dengan menggunakan analisis vektor bahwa vektor U = 3i - 4j dan V = 4i + 3j adalah vektor ang saling tegak lurus! Vektor U dan V saling tegak lurus jika sudut ang diapitna ( ) adalah 90, dimana U V cos. UV U 3 ( 4) 9 16 5 5
V 4 (3) 169 5 5 ii j j UV 34 43 1 1 1 1 0 Maka : U V 0 cos 0 UV 55 cos 0 maka = arc.cos 0 = 90 (terbukti) 7. Dua vektor mempunai panjang a satuan dan b satuan. Kedua vektor saling tegak lurus. Tentukan panjang vektor resultan dan selisih kedua vektor tersebut! Apakah vektor resultan dan selisih vektor mempunai panjang ang sama? Sama seperti pembahasan soal sebelumna, jika suatu vektor tegak lurus terhadap vektor lain, maka sudut ang diapit kedua vektor tersebut adalah 90. Misalkan a adalah panjang vektor dari A, maka A B, maka B b. A A i A j B B i B j dan A B cos cos90 0 AB A B A B 0 A B = 0 = A B ii (A B ) j j = 0 AB ab A B (A B ) a, dan b adalah panjang vektor dari A A A dan a B B B b Resultan dari A dan B aitu A + B (A + B ) i (A + B ) j Selisih dari A dan B aitu A B (A B ) i(a B ) j Panjang vektor resultan dari kedua vektor tersebut : (A + B ) (A + B ) A A B B A A B B A A B B A AB B
A B +A B A A B B a b Panjang selisih vektor dari kedua vektor tersebut : (A B ) (A B ) A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A AB A A B B a b B Dari jawaban di atas dapat dilihat bahwa vektor resultan dan selisih vektor memiliki panjang ang sama 8. Dua vektor mempunai panjang ang sama. Bila kedua vektor dijumlahkan, mungkinkah nilai vektor resultanna R sama dengan nilai vektor tersebut? Misalkan vektor A dan B memiliki panjang ang sama aitu c. A A i A j dan BB B A B c i j A A A c dan B B B c maka A A B B R = A + B (A + B ) i (A + B ) j Nilai vektor resultan (A + B ) (A + B ) A A B B A A B B A A B B A B A B c c A B A B c c A B A B A B A B Nilai vektor resultanna R tidak sama dengan nilai vektorna masing-masing.
9. Dua vektor mempunai panjang 6 m dan 8 m. Tentukanlah nilai resultan terbesar dan terkecil kedua vektor tersebut! Resultan terbesar di dapat jika kedua vektor memiliki arah ang sama, maka sudut ang diapitna adalah nol. R 8 6 86cos 0 64 36 96 196 14 m Resultan terkecil di dapat jika kedua vektor memiliki arah ang berlawanan, maka sudut ang diapitna adalah 180. R 8 6 86cos180 64 36 96 4 m 10. Berapakah sudut ang dibentuk oleh vektor V = 6i j + k dan vektor U = 3i + 8j k? V 6 1 3641 41 U 3 8 9644 77 63 ii 8 j j 1kk V U cos VU 41 77 18 1 16 1 1 18 16 0 cos 0 3157 3157 3157 cos 0 90
Pilihan Ganda 1. Di antara besaran-besaran berikut, ang bukan besaran vektor ialah. A. kelajuan B. kecepatan C. gaa D. percepatan E. perpindahan Besaran vektor adalah besaran fisis ang memilki nilai dan arah, contohna kecepatan, gaa, percepatan, perpindahan, dan sebagaina. Sedangkan kelajuan adalah besaran skalar, aitu hana memiliki nilai saja dan tidak memiliki arah. Jawabanna adalah (A). Jika besar vektor A = 0 satuan, membuat sudut 60 dengan sumbu- positif, besar vektor tersebut dalam arah sumbu- dan sumbu- adalah... A. A 5 satuan, A 5 satuan B. A 3 satuan, A 5 satuan C. A 10 satuan, A 10 satuan D. A 10 satuan, A 10 3 satuan E. A 0 satuan, A 0 satuan A A A cos (0)cos(60 ) (0) 1 10 satuan A Asin (0)sin(60 ) (0) 1 3 10 3 satuan Jawabanna adalah (D)
3. Dua vektor masing-masing 4 satuan dan 9 satuan merupakan dua vektor segaris berlawanan arah. Jumlah kedua vektor tersebut ialah. A. 4 satuan B. 5 satuan C. 7 satuan D. 9 satuan E. 13 satuan Dua vektor segaris tetapi berlawanan arah maka sudut ang diapitna adalah 180. Maka jumlah vektor tersebut adalah : R 4 9 49cos180 16 817 5 5 m Atau R = 9 4 = 5 m (untuk dua vektor ang segaris) Jawaban adalah (B) 4. Vektor A dan B merupakan vektor ang segaris dan searah. Resultan kedua vektor tersebut besarna ialah.. A. A B B. A AB B C. A B D. A AB B E. A B Dua vektor segaris dan searah maka sudut ang diapitna adalah 0 Maka jumlah vektor tersebut adalah : R A B ABcos 0 A AB B Jawaban adalah (D)
5. Panjang vektor P = 6 satuan dan Q = 8 satuan. Sedangkan panjang P + Q adalah 10 satuan. Besar sudut apit antara vektor P dan Q adalah.. A. 45 B. 60 C. 90 D. 10 E. 180 PQ P Q PQcos 10 6 8 6 8cos 10 36 64 96cos 10 100 96cos (kedua ruas dikuadratkan) 100 100 96 cos 96 cos 0 cos 0 90 Jawabanna adalah (C) 6. Titik ujung vektor R berada pada koordinat (3,). Bila titik asalna dipindahkan pada koordinat (-1,-3), maka koordinat titik ujung menjadi. A. (1,3) B. (-3,) C. (3,-) D. (-,-1) E. (,-1) (0,0) R R (3,) (,-1) Titik asal vektor R (0,0) dipindahkan menjadi (-1,-3), maka titik tersebut digeser sebanak (-1,-3). Titik ujungna akan mengalami hal ang sama, aitu bergeser sejauh (-1,-3), maka titik ujung ang baru aitu (, -1). Jawabanna adalah (E) (-1,-3)
7. Diagram berikut ang menggambarkan S = P + Q + R ialah R Q R Q S A S B P P R Q R Q C D S S P P R Q E S P Q R E S = P + Q + R P Jawabanna adalah (E) 8. Panjang vektor W bila W = ( 4i + 3j 1k) ialah. A. 11 B. 1 C. 13 D. 14 E. 15 W W iw jw k dimana W W W W z z W (4) (3) ( 1) 16 9 144 169 13 Jawabanna adalah (C)
9. Perkalian titik antara vektor U = 3i + j dengan V = -4i + 7j menghasilkan besaran A. -4 B. - C. D. 6 E. 8 U V 11 141 1 14 U V 34 ii 7 j j dimana ii j jkk 1 Jawabanna adalah (C) 10. Hasil perkalian silang antara vektor U = i + 3j 3k dengan V = -3i + 6j -4k ialah. A. 4i13j 18k B. 6i17j 1k C. 6i19j 1k D. 6i1j 17k E. 8i19j 1k U U iu ju k dan V V iv j V k z z UV UVi UV UV j UV UVk i j k U V z z z z U V 34 36 i 33 4 j 6 3 3 k U V 1 18 9 8 1 9 U V 1 18 i 9 8 j 1 9 k U V 6i17 j 1k Jawabanna adalah (B)
II. Evaluasi 1 Pertanaan Teori 1. Satuan Internasional dapat digunakan hampir di seluruh dunia. Mengapa dibutuhkan sistem ang berlaku meneluruh? Jelaskan! Satuan internasional dibutuhkan untuk memperoleh keseragaman dalam pengukuran sehingga dapat dipakai di seluruh dunia.. Tentukan banakna angka penting pada bilangan-bilangan berikut! a. 4,65 m b. 0,001600 s c. 860m d. 77.00 mm e. 100.00.00 kg f. 40,00 m a. 4 angka penting (, 4, 6, dan 5) b. 4 angka penting (1, 6, 0, dan 0) c. 4 angka penting (, 8, 6, dan 0) d. 3 angka penting ( 7, 7, dan ) e. 5 angka penting (1, 0, 0, 0, dan 0) f. 5 angka penting (4, 0, 0,, dan 0) 4. Dua perahu menarik sebuah balok. Perahu 1 menarik dengan gaa 500N dan membentuk sudut 0 dengan garis horizontal. Perahu menarik dengan gaa dan membentuk sudut 30 dengan garis horizontal.
Perahu 1 500 N balok 0 30 garis horizontal N Perahu a. Jika balok ang ditarik bergerak horizontal, berapakah besar gaa? b. Jika perahu ditarik dengan newton tetapi membentuk sudut 50 terhadap horizontal, berapakah besar gaa ang dibutuhkan agar balok tetap bergerak horizontal? a. Agar balok dapat bergerak horizontal, besar gaa pada perahu 1 harus seimbang dengan gaa pada perahu. F cos 0F cos30 1 500(0,94) (0,87) 500(0,94) 540, 3 N (0,87) b. F1cos 0 F cos50 500(0,94) (0, 643) 500(0,94) 730,95 N (0,643) 5. Dua vektor gaa saling tegak lurus dan mempunai nilai ang sama, aitu 50 N. Tentukan besar vektor ketiga agar resultan ketiga vektor tersebut bernilia nol Resultan vektor pertama dan vektor kedua aitu : R 500 500 0 5000 50 N R 50 50 5050cos90
Resultan vektor ketiga () dengan hasil resultan pertama dan kedua aitu nol, Maka besarna adalah berlawanan dengan hasil resultan pertama dan kedua aitu 50 N atau 50 N dengan arah ang berlawanan dengan arah resultan vektor pertama dan kedua.
II. Soal-Soal Pilihan Ganda 1. Di antara kelompok besaran di bawah ini, besaran turunan diwakili oleh. A. kuat arus, massa, volume B. suhu, massa, volume C. waktu, momentum, percepatan D. usaha, momentum, percepatan E. kecepatan, suhu, jumlah zat Besaran turunan adalah besaran ang diturunkan dari besaran pokok. Yang termasuk besaran pokok dalam fisika ada tujuh, aitu massa, panjang, waktu, suhu, jumlah zat, intensitas cahaa, dan kuat arus. Selain dari ketujuh besaran tersebut, berarti termasuk besaran turunan. Maka ang termasuk besaran turunan adalah usaha, momentum, dan percepatan. Jawabanna adalah (D). Pengukuran tebal plat logam dengan mikrometer akan menghasilkan pengukuran pasti ang bernilai.. A. 6,55 mm C. 6,3 mm E. 6 mm B. 6,5 mm D. 6,0 mm Mikrometer memiliki ketelitian 0,01 mm. Nilai ang memiliki komponen ketelitian 0,01 mm adalah 6,5 mm. Jawabanna adalah (B) 3 3. Dimensi ML T ialah dimensi besaran. A. energi potensial C. usaha E. daa B. energi kinetik D. gaa berat
L T 3 M kg m ML T memiliki satuan sekon Dimana 1 Js kg m sekon 3 3 kg m Joule, maka sekon merupakan satuan dari Daa, aitu Jawabanna adalah (E) 3 Joule Js sekon 1 usaha W P waktu t 4. Diameter sebuah pensil diukur dengan mistar ingsut (jangka sorong) dan diperoleh data 8, mm, 8,3 mm. Hasil pengukuran tersebut dan ketidakpastianna ialah A. 8,10 0,03 mm B. 8, 0 0, 03 mm C. 8, 0 0, 05 mm D. 8,30 0,03 mm E. 8,30 0,05 mm Nilai rata-rata pengukuran : 8, 8.3 8, 5 mm, sesuai dengan aturan angka penting, aitu nilai rata-rata pengukuran memiliki angka penting sebanak dengan banakna angka penting pada data terkecil. Maka nilai tersebut dibulatkan kebawah (karena angka sebelumna genap) menjadi 8,. Ketidakpastian pengukuran : 8, 8, 8, 8,3 1 1 0,01 0,05, karena 1 ketidakpastianna memiliki 3 angka penting, maka nilai rata-rata hasil pengukuran dijadikan 3 angka penting juga. Maka hasil pengukuran adalah 8, 0 0, 05 mm Jawabanna adalah (C) 5. Sebuah kubus logam bermassa 3.710 gram mempunai volume 440 logam diperoleh 3 cm. Massa jenis
A. 3 8, 4318 g cm B. C. D. E. 3 8, 43 g cm 3 8, 43 g cm 3 8, 4 g cm 3 8, 0 g cm 3.710 Massa jenis ( ) M g 8,43181818 g 3 3 V 440 cm cm Sesuai aturan angka penting untuk operasi perkalian dan pembagian, hasil dari operasi tersebut memiliki banakna angka penting sebanak angka penting pada bilangan ang memiliki angka penting paling sedikit. Pada soal ini bilangan ang memiliki angka penting paling sedikit aitu volume, tiga angka penting. Maka hasil pembagianna memiliki tiga angka penting juga, jawabanna aitu Jawabanna adalah (C) 3 8, 43 g cm 6. Ketelitian mistar ukur, jangka sorong, mikrometer, secara berurutan ialah. A. 1; 0,1; 0,01 mm B. 1; 0,01; 0,01 mm C. 1; 0,4; 0,1 mm D. 0,1; 0,01; 0,01 mm E. 0,5; 0,1; 0,001 mm Ketelitian mistar ukur adalah 1 mm; ketelitian 0,1 mm; dan mikrometer 0,01 mm. Jawabanna adalah (A) 7. Sudut ang dibentuk antara vektor U = 4i + j dengan V = -i + 3j ialah A. 47 C. 67 E. 97 B. 57 D. 87
U V cos UV U 4 () 160 0 5 V (3) 49 13 ii j j UV 4 3 8 1 6 1 Maka : U V cos 0,14 UV 5 13 cos 0,14 maka = arc.cos 0 = 97 Jawabanna adalah (E) 8. Sebuah vektor gaa F bernilai 18 N diuaraikan menjadi dua vektor ang saling tegak lurus. Salah satu vektor ini membentuk sudut 60 dengan vektor F. Nilai kedua vektor ini masing-masing ialah.. A. 9 N dan 9 N B. 9 N dan 9 3 N C. 9 N dan 6 N D. 6 N dan 6 N E. 6 N dan 9 N F =18 N 60 Fcos 6018 1 9 N Fsin 6018 1 3 9 3 N Jawabanna adalah (B) 9. Vektor V mempunai titik asal (3,-) dan titik ujung (5,1). Bila ditulis dalam vektor satuan maka vektor V berbentuk.. A. V = i + j
B. V = i + 3j C. V = i + 4j D. V = 3i + j E. V = 3i + j Titika asal =(3,-) dan titik ujung, 1, 1 = (5,1) Komponen dari vektor V aitu V 1 53 Komponen dari vektor V aitu V 1 1 ( ) 3 Vektor V = Vi V j maka V = i + 3j Jawabanna adalah (B) 10. Perhatikan gambar berikut! F 3 130 N 4 F 30 N 30 N F 1 Resultan gaa F 1, F, dan F 3 ialah. A. 15 N B. 100 N C. 70 N D. 50 N E. 5 N 1 3 F F F cos F 30 130cos 4 4 30 130 1 30 65 35 N 3 F F F sin F 30 130sin 4 4 30 130 1 30 65 35 N
F F F 35 35 450 450 4900 70N Jawabanna adalah (C) 11. Vektor satuan ang arahna sama dengan vektor V = (,4,-3) ialah. A. B. C. D. E. 4 3 U,, 9 9 9 4 3 U,, 17 17 17 4 3 U,, 19 19 19 4 3 U,, 13 13 13 4 3 U,, 11 11 11 Vektor ang arahna sama, maka sudut ang diapitna adalah 0 U V U V cos 0 1 U V U V UV UV V (4) ( 3) 4169 9 U = (U,U,U z) U i i U j j U k k UV 4 3 z UV U 1 4U 1 3U 1 U 4U 3U Maka : z z U V U V U 4U 3U U 9 U 4U 3U 9 U z z
U 4U 3U 9 U U U z 4 U ; U ; 9 9 Sehingga : 4 3 U = (,, ) 9 9 9 Jawabanna adalah (A) U 3 9 1. Hasil kali silang antara vektor U = i j + k dan V = i + 3j -4j ialah.. A. i6j 4k B. i8j 5k C. i8j 5k D. i8j 5k E. 4i6j 5k U U iu ju k dan V V iv j V k z z UV UVi UV UV j UV UVk U V z z z z U V 14 3 i 14 j 13 1 k i j k U V 4 6 i 4 4 j 3 k U V 8 5 U V i8j 5k Jawabanna adalah (B)
13. Persegi PQRS mempunai sisi ang panjangna 10 m. Titik T membagi sisi QR atas dua bagian ang sama panjangna. Resultan vektor PR dan PT adalah. A. 10 m B. 0 m C. 5 m D. 15 m E. 5 m S P R T Q Panjang PR dan PT aitu : R 10 m T PR PQ PR 10 10 10 10 m QT = TR = 5 m PT QT PQ 5 10 15 5 5 m P 10 m Q QT 5 1 sintpq sudut TPQ 6,56 PQ 5 5 5 Sudut RPT = sudut RPQ sudut TPQ = 456,5618, 44 Resultan PR dan PT aitu : PR PT PRPTcos RPT 10 5 5 10 5 5 cos 18, 44 00 15 10 5 50,95 00 15 300 65 5 m Jawabanna adalah (C) 14. Dua vektor dengan panjang masing-masing 10 N dan 5 N membentuk sudut 37 dan 143 dengan sumbu- positif. Panjang resultan kedua vektor tersebut adalah A. 11, N C. 10,4 N E. 9,8 N B. 10,8 N D. 9,6 N
14337106 10 N 5 N 143 37 Resultan kedua vektor aitu : 10 5 105cos106 100 5 7,56 97, 44 9,8 N Jawabanna adalah (E) 15. Vektor P dan Q membentuk sudut 60. Jika nilai vektor P dan Q adalah 5 dan 7 maka nilai P + Q ialah A. 11 C. 9 E. 17 B. 89 D. 109 P + Q = P + Q + P Q cos60 Q = 7 60 5 + 7 + 5 7 0,5 5 + 49 + 35 109 Jawabanna adalah (D) P = 5