ESTIMASI COPULA BIVARIAT DAN APLIKASI PADA DOUBLE DECREMENT TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung Oleh ELIS NURZANAH NIM : 20105020 Program Studi Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007
ESTIMASI COPULA BIVARIAT DAN APLIKASI PADA DOUBLE DECREMENT Oleh ELIS NURZANAH NIM : 20105020 Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung Menyetujui, Pembimbing Tanggal 27 Juni 2007 (Dr. Sutawanir Darwis )
Ya Tuhan kami, sempurnakanlah bagi kami cahaya kami dan ampunilah kami, sesungguhnya Engkau Maha Kuasa atas segala sesuatu (QS. At Tahriim : 8)
i ABSTRAK ESTIMASI COPULA DAN APLIKASI PADA DOUBLE DECREMENT Oleh ELIS NURZANAH NIM : 20105020 Tesis ini menjelaskan tentang konsep Copula sebagai alat untuk mempelajari dependensi non linier antar kejadian dalam kasus multivariat. Copula merupakan suatu fungsi yang menghubungkan fungsi distribusi marginal masing-masing variabel acak terhadap fungsi distribusi gabungan. Saat ini penelitian tentang sifat-sifat dan aplikasi copula sudah banyak dikembangkan, dan dalam tesis ini secara lebih khusus akan mendiskusikan aplikasi estimasi dependensi non linier untuk model double decrement. Sebagai pendahuluan akan dijelaskan tentang sifat-sifat copula sebagai suatu ukuran dependensi dan disertakan pula contoh famili copula. Selanjutnya akan diberikan algoritma identifikasi copula yang cocok untuk memodelkan data, dan diperoleh kuantifikasi copula sebagai Kendall τ ˆ = 0.975. Hasil ini dapat digunakan untuk menentukan tarif premi dalam double decrement benefit. Kata kunci : dependensi, distribusi, copula, decrement, kendall
ii ABSTRACT ESTIMATION OF COPULA AND ITS APPLICATION ON DOUBLE DECREMENT MODELS By ELIS NURZANAH NIM : 20105020 This thesis introduces the concept of copulas, a tool for understanding non linear dependence among multivariate outcomes. A copula is a function that links univariate marginals to their full multivariate distribution. The literature on the statistical properties and applications of copulas has been developing rapidly in recent years. This article explores some of these practical applications, focus on estimation non linear dependence of double decrement models. In addition, we describe basic properties of copulas, measures of dependence, and several families of copulas that have appeared in the literature. Then we expose a guide to identify the Archimedean copula that suited to double decrement data. Using a suitable copula,the dependence measure is quantified as Kendall τ ˆ = 0.975. This result can be used to define the premium tariff for double decrement benefit. Keywords: dependence, distribution, copula, decrement, kendall
iii PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
iv UCAPAN TERIMA KASIH Puji dan syukur atas segala berkah dan pertolongan yang Allah berikan kepada penulis sehingga bisa menyelesaikan tesis ini. Semoga hal ini juga bisa menjadi bakti penulis kepada kedua orang tua yang senantiasa memberikan dorongan dan do a untuk mewujudkan segala cita, dan bisa menjadi motivasi bagi adik penulis dalam perjuangannya. Penulis sangat berterima kasih pada Dr. Sutawanir Darwis sebagai Pembimbing, atas segala saran, bimbingan dan nasehatnya selama penelitian berlangsung dan selama penulisan tesis ini. Terima kasih disampaikan kepada Institut Teknologi Bandung atas bantuan Beasiswa Voucher yang diterima selama pendidikan program magister ini. Satu hal yang tak kalah berarti adalah dukungan dari para sahabat seperjuangan, pihak-pihak yang telah membantu selama penulis melaksanakan studi, serta temanteman S2 angkatan 2005. Semoga kenangan indah bersama selalu terukir dalam benak kita. Bandung, Juni 2007 Penulis
v DAFTAR ISI ABSTRAK ABSTRACT... PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS..... UCAPAN TERIMA KASIH......... DAFTAR ISI.... i ii iii iv v DAFTAR LAMPIRAN.... vii DAFTAR GAMBAR...... viii DAFTAR TABEL..... ix Bab I Pendahuluan.. 1 1.1. Latar Belakang... 1 1.2. Tujuan.... 2 1.3. Pembatasan Masalah.. 2 1.4. Sistematika Pembahasan.... 3 Bab II Kajian Teori Copula..... 4 2.1. Pendahuluan Copula.. 4 2.2. Copula dan Sifat-sifatnya.... 7 2.3. Copula dan Variabel Acak. 10 2.4. Survival Copula.... 13 2.5. Copula Archimedean..... 14 2.6. Kendall s Tau....... 17
vi Bab III Studi Kasus Model Double Decrement.. 22 3.1. Model Double Decrement..... 22 3.2. Data Double Decrement.... 27 3.3. Pemodelan Dependensi Decrement Melalui Copula.. 29 Bab V Kesimpulan dan Saran.. 33 DAFTAR PUSTAKA... 34
vii DAFTAR LAMPIRAN Lampiran A Program perhitungan Vbar dengan Matlab.... 35 Lampiran B Program identifikasi Copula dengan Matlab..... 36
viii DAFTAR GAMBAR DAN ILUSTRASI Gambar 2.1 Persegi panjang Q = [ a, x] [ b, y] 5 Gambar 3.1 Diagram Pencar...... 27 Gambar 3.2 Grafik qx vs Umur...... 28 Gambar 3.3 Grafik qx vs Umur Hasil Graduasi... 28 Gambar 3.4 Grafik K(v)... 30 Gambar 3.5 QQ Plot Copula Clayton terhadap Non Parametrik... 31 Gambar 3.6 QQ Plot Copula Gumbel terhadap Non Parametrik... 31
ix DAFTAR TABEL Tabel 1 Contoh Copula Archimedean... 15 Tabel 2 λ ( v)... 16 Tabel 3 τ.. 21 Tabel 4 Data Double Decrement.. 27