PERTEMUAN DASAR METODE NUMERIK Meri pd peremun ini:. Dlil-dlil dsr memik unuk meode numerik. Teori bilngn. Rl Seelh menyelesikn peremun ini, mhsisw dihrpkn dp menjelskn dlil dsr memik unuk meode numerik, eori bilngn dn rl. APAKAH METODE NUMERIK ITU? Meode nliik menggunkn simbol-simbol u rumus unuk menyelesikn sebuh persoln memik, sedngkn meode numerik, sesui dengn nmny, memnfkn ngk-ngk dn rumus yng relif sederhn unuk menyelesikn suu persoln memik. Meode numerik menggunkn pendekn lih-lih mencri jwbn yng eksk dri persoln eknik. Bnyk meode numerik yng dilkukn dengn cr memberi ebkn wl dri jwbnny kemudin memperbiki jwbn ersebu sehingg semkin mendeki jwbn ekskny. Hl ini dinmkn iersi. Mengp menggunkn meode numerik? Mempermudh penyelesin persoln eknik. Pd conoh-conoh persoln eknik yng elh dikemukkn pd peremun sebelumny, idk semuny dp diselesikn secr nliik dengn mudh, u bhkn penyelesin nliikny idk diemukn kren erllu kompleks. Oleh kren iu dikembngkn meode numerik yng mempermudh dlm menyelesikn persoln eknik kren berbsis pendekn. Dengn semkin berkembngny eknologi kompuer, penggunn kompuer unuk menyelesikn persoln eknik semkin bnyk dilkukn. Tidk mudh unuk menerjemhkn lngkh-lngkh meode nliik menjdi lgorim yng dp digunkn unuk memprogrm kompuer. Seblikny meode numerik lebih mudh dierpkn dlm progrm kompuer kren sif lminy yng menggunkn ngk. Unuk urn emsny: jik pd persoln yng hendk diselesikn erdp eori u nlisis memik sederhn yng dp digunkn unuk menyelesiknny, mk penyelesin nliis ini disrnkn unuk digunkn kren kn memberikn hsil yng eksk. Jik idk, mk meode numerik dp digunkn. Persoln p sjkh yng dp diselesikn menggunkn meode numerik?. Turunn numerik. Penyelesin persmn k linier. Penyelesin sisem persmn linier simuln
. Inerpolsi 5. Regresi 6. Inegrsi numerik 7. Penyelesin persmn differensil bis dn prsil RALAT Kren meode numerik menggunkn pendekn unuk mencri penyelesin suu persoln memik, mk erdp perbedn nr jwbn pendekn di dengn jwbn yng sebenrny (eksk, hl ini dinmkn dengn rl. Berkin dengn rl ini, dlm menggunkn meode numerik, ki perlu unuk:. mengidenifiksi sumber dri mn rl ersebu muncul. menghiung rl ersebu. meminimlkn rl ersebu, unuk mendpkn hsil erbik Rl seji (rue error Rl seji didefinisikn sebgi perbedn nr nili sejiny (nili eksk dengn nili pendeknny. E rl seji - nili eksk Sebuh fungsi, f( = 7e 0.5 kn dihiung nili urunnny pd = Penyelesin nliik: f'( =.5e 0.5 f'( = 9.5 Penyelesin numerik: f'( = 0.65 Rl seji: E = 9.5-0.65 = -0.75 Rl seji relif (relive rue error Rl seji relif didefinisikn sebgi rsio nr rl seji dengn nili ekskny. rl seji nili eksk bisny rl seji relif jug dinykn dlm nili bsolu persenseny Pd ksus di s - 0.75 Rl seji relif: -0.0789 9.5-0.75 00% 7.89% 9.5 Rl pendekn (pproime error Dlm penerpn meode numerik, seringkli nili eksk dri penyelesinny idk dikehui. Jusru meode numerik digunkn kren penyelesin nliik yng menghsilkn nili eksk idk dp u suli unuk dilkukn. Oleh kren iu, rl seji seringkli idk dp dihiung. Meode numerik jug bnyk dilkukn dengn menyedikn ebkn wl sebgi jwbn pendekn, yng kemudin diperbiki dengn cr iersi sehingg jwbn pendeknny semkin mendeki nili ekskny. Rl pendekn digunkn unuk
menili pkh jwbn ki sudh memenuhi syr erenu (disebu sebgi olernsi sehingg dp dimbil sebgi jwbn erbik. Rl pendekn didefinisikn sebgi perbedn nr nili pendekn sekrng dengn nili pendekn sebelumny. E nili pendekn sekrng - nili pendekn sebelumny Sebuh fungsi, f( = -e kn dihiung krny, yiu nili pd f( = 0 Penyelesin nliik: f ( e 0 e 0.69 Penyelesin numerik (meode Newon Rphson, dengn ebkn = 0.6 i f ( i f '( e i e i i i i e 0.6 e 0.6 0.6 0.6976 Rl pendekn: E = 0.6976-0.6 = 0.0976 Perhikn bhw nili bsolu rl sejiny berkurng dri 0.09 menjdi 0.008. Ariny, inersi berikuny lebih mendekkn jwbn ke nili ekskny (konvergen. Rl pendekn relif (relive pproime error Rl pendekn relif didefinisikn sebgi rsio nr rl pendekn dengn nili pendekn sekrng. rl pendekn nili pendekn sekrng bisny rl pendekn relif jug dinykn dlm nili bsolu persenseny Pd ksus di s 0.0976 Rl pendekn relif: 0.997 0.6976 0.0976 00%.997% 0.6976 Kpnkh ki berheni melkukn iersi? Jik ki sudh dp menghiung rl pendekn, mk nili rl ersebu dp digunkn unuk menenukn pkh iersi sudh dp dihenikn u perlu dilkukn iersi lgi unuk memperoleh jwbn yng lebih bik. Di sini ki menggunkn prmeer olernsi rl, yng digunkn sebgi bs. Apbil rl pendekn sudh lebih kecil dripd olernsi rl, mk iersi dp dihenikn. Jdi krieri berheni iersi dp diuliskn sebgi slh su di bwh ini: E E ol ol Iersi dp jug dihenikn pbil cch iersi sudh melebihi nili erenu: 0.8 0.6 0. 0. 0-0. 0 0. 0. 0.6 0.8-0. -0.6-0.8
ier ier m hl ini berlku pbil erny iersi yng dilkukn bersif divergen (semkin menjuh dri jwbn ekskny. DERET TAYLOR Dere Tylor, yng diperkenlkn oleh Brook Tylor pd hun 75, bnyk digunkn dlm meode numerik. Seip fungsi koninyu dp diwkili oleh dere Tylor yng merupkn jumlhn k berhingg dri suku-suku yng dihiung dri nili urunn fungsi ersebu pd sebuh iik unggl. Dere Tylor dri sebuh fungsi f(: ( f ''( f ( f ( f ( f '( ( ( (...!! ( i f ( i ( i0 i! lernif penulisn: h h ( h ( f h f hf f f f!!! Khusus unuk = 0, dere ini disebu sebgi Dere Mclurin. ( f ''(0 f (0 f ( f (0 f '(0...!! ( i f (0 i i0 i! Conoh dere Mclurin unuk beberp fungsi: 6 cos(!! 6! 5 7 sin(! 5! 7! e!! Pd prkekny, dlm meode numerik, Dere Tylor bisny diuliskn/digunkn dlm orde u bnykny suku yng erbs (pd definisiny, orde u bnykny suku dlh k berhingg. Hiung nili e 0.5 menggunkn dere Mclurin orde e!!! 0.5 0.5 0.5 0.5 e 0.5!!!.80 Hiung nili sin( menggunkn dere Tylor orde
di sini digunkn = / ( ( f ''( f ( f ( f ( f ( f '( ( ( ( (!!! ( f ''( f ( f ( f ( f '( ( ( (!! ( f ( (! ( f ''( f ( sin( cos( (0.9 (0.9 (0.9!! ( f ( (0.9! 0 f ( 0(0.9 (0.9 (0.9 (0.9!!! 0.909 Rl pd Dere Tylor Dere Tylor memiliki bnyk suku k berhingg. Jik ki menggunkn hny beberp suku perm, mk kn d rl kib pemoongn bnykny suku yng sering disebu rl pemoongn (runcion error. Polinomil Tylor orde n dp diuliskn sebgi n h h ( h ( n f h f hf ' f " f... f Rn (!! n! di mn sis/residu R n didefinsikn sebgi: n h n R f n c, c h ( n! Dere Tylor unuk e pd iik di sekir = 0 dlh 5 e!!! 5! ( Berpkh rl pemoongn jik nili e dihiung hny menggunkn suku perm (orde? e!! e!!.66667 Rl pemoongnny dlh suku-suku Dere Tylor yng idk digunkn: 5 5 E! 5!! 5! 0.0565 (b Gunkn eorem residu unuk menenukn bs-bs rl pemoongnny. 5
n h n R f n c, c h ( n! c dlh sebuh iik di dlm (, +h. Dlm ksus ini, 0 R f! f c! c e Kren c h 0 c 0 0 c Bs-bs rl dlh 0 e e R e R 0.0667 R 0. c 6 Jdi bs rl pemoongn dlh nr 0.0667 dn 0.6 (pd sol, diperoleh rl pemoongn dlh = 0.0565. RALAT PEMBULATAN Kompuer memiliki cr erenu unuk menyimpn d, yng memiliki keerbsn di dlm merepresensikn bilngn riil. Hl ini berkin dengn kpsis penyimpnn dlm suu sisem bilngn digil. Sebgi conoh, ngk / kn disimpn di dlm memori kompuer sebgi 0. mislny, dengn jumlh digi erbs. Pdhl sebenrny ngk / jik diulis dlm bilngn desiml menjdi 0... dengn bnykny digi k berhingg. Dlm hl ini elh erjdi pemoongn jumlh digi menjdi erbs. Angk / disimpn dlm memori kompuer sebgi 0.666667. Di sini erlih bhw ngk yng disimpn dlm memori kompuer merupkn pembuln dri bilngn desiml yng sebenrny. Hl ini menimbulkn dny rl pembuln (round off error. Angk dn jug kn disimpn dengn jumlh erbs, sehingg menimbulkn rl pembuln. 6
SOAL LATIHAN DASAR METODE NUMERIK. Mislkn nili eksk = 0/ dn nili pendekn =.. Hiunglh rl seji, rl seji relif, dn rl seji dlm persense.. Apbil diulis dlm 6 digi di belkng iik, hiunglh rl seji, rl seji relif, dn rl seji dlm persense.. Sebuh fungsi f( = ln(+. Tuliskn Dere Mclurin orde unuk fungsi ersebu b. Cri bs-bs rl pemoongnny 7