Tingkat Efisiensi Metode Robust dalam Menaksir Garis Jika Ragam Galat Tidak Homogen Harmi Sugiarti dan Andi Megawarni e-mail: harmi@mailutacid dan mega@mailutacid Abstract This paper aims to compare the relative efficiency of weighted least square (WLS) ordinary least square (OLS) and robust regression method in regression coefficient estimation when the error term is not homogen The assumption of homegeneous error variance underlying the ordinary least square (OLS) is very important to get the best linear unbiased estimation of the regression coefficients The investigation compares the methods in calculating efficiency of booth simulation and experimental data In conclusion the WLS method is relatively more efficient than OLS and Robust Regression methods Key words: Efisiensi Relatif OLS WLS Robust Homogenitas PENDAHULUAN ) diperlukan oleh metode kuadrat terkecil (ordinary least square OLS) untuk mendapatkan penaksir parameter yang bersifat tak bias linear terbaik (best linear unbiased estimator BLUE) dari model regresi Y i X i X i p X pi i i n Yi adalah nilai peubah respons pada pengamatan ke-i X i adalah nilai peubah bebas pada pengamatan ke-i dan p adalah koefisien regresi yang tidak diketahui nilainya dan akan dicari nilai taksirannya Dalam hal asumsi ragam galat homogen tidak dipenuhi salah satu metode alternatif yang dapat digunakan adalah metode kuadrat terkecil tertimbang (weighted least square WLS) Metode ini menghasilkan lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding metode OLS (Sugiarti & Megawarni ) Penanganan kasus ketidakhomogenan ragam galat kadangkala diikuti munculnya penyimpangan asumsi lainnya diantaranya adalah munculnya pengamatan pencilan (outlier) dalam data Adanya pengamatan pencilan dalam data dapat mengakibatkan penaksir koefisien garis regresi yang diperoleh tidak baik Namun demikian tindakan membuang (menolak) begitu saja suatu pengamatan pencilan bukanlah tindakan yang bijaksana karena adakalanya pengamatan pencilan memberikan informasi yang cukup berarti Asumsi ragam galat homogen ( i wi tidak Disamping alasan faktor kesulitan menentukan pembobot karena besarnya diketahui penggunaan metode WLS masih belum dapat mereduksi munculnya pengamatan pencilan Untuk mengatasi kelemahan-kelemahan dari metode yang ada baik metode OLS maupun metode WLS perlu dicoba metode lain yang bersifat tidak sensitif terhadap pelanggaran asumsiasumsi yaitu metode regresi robust (robust regression) Metode regresi robust ini menghasilkan lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding metode OLS tetapi
Sugiarti H dan Megawarni A Tingkat Efisiensi Metode lebih lebar dibanding metode WLS (Sugiarti & Megawarni 3) Untuk memberi rekomendasi metode mana yang tepat untuk digunakan menaksir koefisien garis regresi perlu mengkaji tingkat efisiensi dari metode tersebut Efisiensi relatif dari dua penaksir adalah rasio dari ukuran sampel yang diperlukan untuk mendapatkan keakuratan yang sama Efisiensi tergantung pada distribusi data sesungguhnya sehingga dalam praktek efisiensi yang sesungguhnya tidak diketahui Jika dan adalah penaksir untuk parameter maka efisiensi relatif dengan E ˆ var ˆ E ˆ terhadap eff ˆ ˆ adalah ˆ mse mse ˆ ˆ ˆ var ˆ ˆ dan ˆ mse E E Jika dan maka efisiensi relatif terhadap eff ˆ ˆ menjadi lebih efisien dibanding jika var ˆ var ˆ mse adalah penaksir tak bias untuk parameter ˆ var / x % var ˆ Penaksir dikatakan (Fleming 3) Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan tingkat efisiensi antara metode OLS metode WLS dan metode regresi robust dalam menaksir koefisien garis regresi jika ragam galat tidak homogen METODOLOGI Data yang dipergunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi yaitu data yang dibangkitkan dengan bantuan program paket MINITAB versi dan data eksperimen yaitu berupa data rata-rata panjang daun (cm) tanaman temulawak (Curcuma xanthorrhiza roxb) pada umur 7 minggu yang diberi pupuk kandang pada berbagai taraf yaitu: tanpa pupuk 5 kg/lubang kg/lubang dan ditanam pada variasi jarak tanam 6 x 4 cm dan 6 x 6 cm (Priono 988) Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari galat ( ) yang memenuhi kriteria nilai rataan nol dan ragam tidak homogen Galat tersebut dapat diperoleh dengan cara membangkitkan data Pembangkitan galat dikelompokkan ke dalam tiga kelompok dengan setiap kelompok mempunyai rataan nol dan ragam berbeda-beda Langkah ke dua adalah menentukan nilai-nilai peubah bebas X dan X karena X dan X adalah konstanta yang diketahui Nilai-nilai dari koefisien regresi yaitu diasumsikan dengan nilai tertentu Dari nilai-nilai yang telah diketahui dapat dicari nilai peubah respons sebagai Y X Langkah ke tiga adalah menguji apakah dari pasangan data X X dan Y diperoleh ragam galat yang tidak homogen Apabila hasil uji menyatakan ragam galat tidak homogen maka pasangan data X X dan Y dengan rataan galat nol dan ragam galat tidak homogen telah diperoleh Langkah ke empat setelah pasangan data X X dan Y yang mempunyai rataan galat nol dan ragam galat tidak homogen telah diperoleh selanjutnya dilakukan penaksiran koefisien regresi dan variansi koefisien regresi dengan metode OLS metode WLS dan metode regresi robust 5
Jurnal Matematika Sains dan Teknologi Vol 6 No Maret 5 4-9 Langkah ke lima menghitung dan membandingkan tingkat efisiensi metode WLS terhadap metode OLS menghitung dan membandingkan tingkat efisiensi metode regresi robust terhadap metode OLS serta menghitung dan membandingkan tingkat efisiensi metode regresi robust terhadap metode WLS Langkah ke enam adalah mengulang langkah ke empat dan ke lima untuk data eksperimen HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Simulasi Dengan menggunakan pasangan data X X dan Y pada Lampiran metode OLS metode WLS dan metode regresi robust memberikan nilai taksiran variansi untuk masing-masing koefisien regresinya seperti tampak pada Tabel berikut Tabel Penaksir Variansi Data Simulasi OLS WLS Robust 4449 599 97566 568 3 496 4 3 Nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode OLS untuk masing-masing koefisien adalah eff ˆ ˆ / 46% ˆ ˆ eff / 43696% dan eff ˆ / ˆ = 4567% Nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode regresi robust terhadap metode OLS untuk masing-masing koefisien regresi adalah eff ˆ ˆ / 847% ˆ ˆ eff / 46% dan eff ˆ / ˆ = 393% Nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode regresi robust untuk masing-masing koefisien regresi adalah eff ˆ ˆ / 5358% ˆ ˆ eff / 388% dan eff ˆ / ˆ 9838% Secara ringkas nilai efisiensi tersebut dapat dilihat pada Tabel berikut Tabel Nilai Efisiensi Relatif untuk Data Simulasi eff ˆ / ˆ eff ˆ / ˆ eff ˆ / ˆ 4645 84693 535858 436956679 463469 38778 4567978 3937 98378357 6
Sugiarti H dan Megawarni A Tingkat Efisiensi Metode Hasil Eksperimen Dengan menggunakan data eksperimen tentang rata-rata panjang daun tanaman temulawak berumur 7 minggu (Y) yang diberi pupuk kandang pada tiga taraf ( X ) dan ditanam pada dua variasi jarak tanam ( X ) metode OLS metode WLS dan metode regresi robust memberikan nilai taksiran variansi masing-masing koefisien regresinya seperti pada Tabel 3 dan Tabel 4 berikut Tabel 3 Penaksir Variansi Data Eksperimen dengan Pembobot Konsentrasi Pupuk OLS WLS Robust 74565 8468 6637388 659 8437 4536965 788 6757 67 Tabel 4 Penaksir Variansi Data Eksperimen dengan Pembobot Jarak Tanam OLS WLS Robust 74565 43936 6637388 659 66365 4536965 788 79 67 Jika digunakan pembobot konsentrasi pupuk nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode OLS untuk masing-masing koefisien adalah eff ˆ ˆ / 4389% ˆ ˆ eff / 49988% eff ˆ / ˆ 39975% dan Jika digunakan pembobot jarak tanam nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode OLS untuk masing-masing koefisien regresi adalah eff ˆ ˆ / 69% ˆ ˆ eff / 444% eff ˆ / ˆ 9996% dan Nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode regresi robust eff ˆ / ˆ 4463% terhadap metode OLS untuk masing-masing koefisien regresi adalah ˆ ˆ eff / 3578% eff ˆ / ˆ 4483% dan Jika digunakan pembobot konsentrasi pupuk nilai efisiensi relatif untuk masing-masing penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode regresi robust eff ˆ / ˆ 9358% ˆ ˆ eff / 499% eff ˆ / ˆ 8999% adalah dan Jika digunakan jarak tanam sebagai pembobot nilai efisiensi relative penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode regresi robust untuk masing-masing koefisien eff ˆ / ˆ 3787% ˆ ˆ eff / 6844% eff ˆ / ˆ 3% regresi adalah dan Secara ringkas nilai efisiensi tersebut dapat dilihat pada Tabel 5 dan Tabel 6 berikut Tabel 5 Nilai Efisiensi Relatif untuk Data Eksperimen dengan Pembobot Konsentrasi Pupuk 7
Jurnal Matematika Sains dan Teknologi Vol 6 No Maret 5 4-9 eff ˆ / ˆ eff ˆ / ˆ eff ˆ / ˆ 43886357 44635568 93583445 49988357 357834563 499954 399754486 4488378 8998877 Tabel 6 Nilai Efisiensi Relatif untuk Data Eksperimen dengan Pembobot Jarak Tanam eff ˆ / ˆ eff ˆ / ˆ eff ˆ / ˆ KESIMPULAN 6948 44635568 378763553 44464 357834563 684445 99965736 4488378 364495 Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa baik metode WLS maupun metode regresi robust sangat efisien dibanding metode OLS dalam menaksir koefisien garis regresi jika ragam galat tidak homogen Sedangkan jika dibandingkan tingkat efisien antara metode WLS dengan metode regresi robust dapat disimpulkan bahwa metode WLS lebih efisien dibanding metode regresi robust dalam menaksir koefisien garis regresi jika ragam galat tidak homogen DAFTAR PUSTAKA Draper NR & Smith H 98 Applied regression analysis nd ed New York: Wiley Fleming Ron 3 Basic statistical concepts Diperoleh dari http://wwwukyedu/ Ag/Ag Econ 7 Oktober 3 Montgomery DC & Peck EA 99 Introduction to linear regression analysis nd ed New York: Wiley Myers RH 99 Classical and modern regression with applications nd ed Boston: PWS- Kent Neter J & Wasserman W 99 Applied linear statistical models 3 rd ed Homewood Illinois: Irwin Priono M 988 Pengaruh pemberian pupuk kandang & jarak tanam terhadap pertumbuhan tanaman temulawak (curcuma xanthorriza roxb) Skripsi yang tidak dipublikasikan Universitas Jenderal Soedirman Purwokerto Staudte RG & Sheather SJ 99 Robust estimation and testing New York: Wiley 8
Sugiarti H dan Megawarni A Tingkat Efisiensi Metode Sugiarti H & Megawarni A 3 Penggunaan metode regresi Robust untuk mencari slang kepercayaan koefisien garis regresi jika ragam galat tidak homogen Jakarta: Lembaga Penelitian Universitas Terbuka Sugiarti H & Megawarni A Selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi jika ragam galat tidak homogen dengan metode OLS dan WLS Jakarta: Lembaga Penelitian Universitas Terbuka LAMPIRAN Data Simulasi Pengamatan Y X 97 48 53-759 659 95 6 6587 3 473 4-69 4 983 6 46 839 5 55494 34-5565 6 697 7-37 7 646 3 9-3538 8 6 6 5 6968 9 7549 83 4 54867 7493 79 9 4985 397 4 6-876 3976 8 3 9769 3 93 89 36-3877 4 53497 8 4 549658 5 88483 76 4-5694 6 349 36-39 7 55939 37 3-4647 8 9589 5 89 894 9 5646 8 646 38479 48 89 47855 786 83 88-3793 5493 4 39348 3 77655 6 4-6345 4 676 3 8 9697 5 3447 37-583 6 3485 66 74-5537 7 443 69 8-6769 8 848 67 3484 9 83743 55 6 74334 3 464 37 6 4646 X 9