BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Berbagai gejala alam menampilkan perilaku yang rumit, tidak dapat diramalkan dan tampak acak (random). Keacakan ini merupakan suatu yang mendasar, dan tidak akan hilang walaupun informasi tentang sistem itu bertambah. Keacakan yang dihasilkan dengan cara seperti itulah yang dikatakan sebagai chaos. Akan tetapi, menurut teori chaos, apabila keacakan tersebut kita perhatikan dalam waktu yang cukup lama dengan mempertimbangkan dimensi waktu, maka akan ditemukan keteraturan dalam keacakan tersebut. Dengan demikian, chaos memungkinkan ditemukannya keteraturan dalam sistem-sistem yang tampaknya tidak beraturan, dan hal ini memiliki dampak besar pada banyak cabang ilmu pengetahuan. Pemanfaatan chaos antara lain pada analisis pergerakan saham pada bidang fisika ekonomi, kriptografi, dinamika atmosfer dan lautan, vibrasi molekul, ekologi, bahkan dalam bidang dinamika sosial. Untuk itu pemahaman yang jelas terhadap gejala chaos sangat diperlukan untuk dapat diterapkan pada berbagai bidang ilmu. Deskripsi teoritik sering tidak mampu mengungkap gejala chaos ini. Karakter tak linier persamaan matematika yang muncul merupakan kesulitan utama. Dan dengan adanya kemajuan teknologi, maka permasalahan ini dapat diselesaikan dengan penggunaan komputer digital. Grafik komputer dengan resolusi tinggi memungkinkan para peneliti untuk menyelidiki gejala chaos yang terbentuk dari pola keluaran suatu sistem yang disimulasi (Setiawan, 1991). Pendulum sederhana merupakan salah satu model yang dikembangkan para peneliti untuk menjelaskan perilaku chaos. Dipergunakannya sistem pendulum
sederhana ini karena merupakan sistem paling sederhana yang dapat mendemonstrasikan perilaku chaos, dan karena sistem ini secara matematika sama dengan persoalan-persoalan yang melibatkan getaran. Pendulum ini berupa sistem mekanik yang tersusun atas sebuah massa yang terikat oleh sebuah tali yang dapat berayun bebas sebagai respon terhadap gaya grafitasi. Dalam kasus sederhana, gerakan pendulum mengabaikan kehadiran gaya gesekan dan diasumsikan bahwa sudut simpangan sangat kecil. Gerakan yang dihasilkan dari pendulum dengan kondisi semacam ini berupa gerak harmonik sederhana. Sedangkan pendulum yang sebenarnya memiliki gesekan dengan medium saat berayun, pengendalian sistem melalui gaya pengendali eksternal dan dimungkinkan untuk berayun dengan sudut simpangan berapapun. Fitur inilah yang kemudian mengantarkan kepada perilaku chaos. Titik tekan penelitian gejala chaos ini adalah pada penggambaran yang jelas dinamika sistem secara nyata. Oleh karena itu perangkat-perangkat analisis gejala chaos yang akan digunakan dalam penelitian ini berupa perangkat analisis secara kualitatif, yang meliputi grafik lintasan, ruang fasa, belahan Poincarè, dan perbandingan grafik lintasan. Selain itu pemahaman terhadap keadaan fisis secara riil terhadap persamaan gerak pendulum adalah hal yang sangat penting, maka penelitian ini juga menampilkan animasi gerak pendulum. Adapun perangkat lunak yang digunakan pada simulasi ini adalah Mathematica versi 6. Digunakanya Mathematica versi 6 karena merupakan perangkat lunak untuk komputasi numerik dengan kemampuan yang baik dalam perhitungan dan dapat memberikan tampilan GUI (Graphic User Interface) sehingga lebih mudah digunakan pengguna (User Friendly). Dengan simulasi ini diharapkan mampu memberi pemahaman yang jelas tentang perilaku chaos.
1.2. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Menganalisis gejala chaos pada sistem pendulum sederhana berdasarkan grafik keluaran simulasi penyelesaian persamaan gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali yang terdiri dari grafik lintasan, ruang fasa, belahan Poincaré, dan perbandingan grafik lintasan untuk dua kondisi awal yang berbeda. 2. Merancang program bantu untuk mensimulasikan penyelesaian persamaan gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica Versi 6. 3. Merancang program bantu untuk menganimasikan gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica Versi 6. 4. Menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 untuk menyelesaikan persamaan gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali yang berupa persamaan differensial orde 2. 1.3. Manfaat Penelitian Memberikan analisis dan rancangan program untuk dapat memahami perilaku chaos pada suatu sistem dinamis secara kualitatif, serta memberikan informasi mengenai gerak riil pendulum sederhana yang berguna dalam proses pembelajaran chaos.
1.4. Batasan Masalah Penelitian ini dibatasi pada: 1. Model yang digunakan untuk menganalisis perilaku chaos pada sistem dinamis adalah pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan frekuensi alami pendulum, Ω 2 = 1 dan massa pendulum, m = 1 (Dimensionless) pada kondisi awal ω 0 = 0.8 rad/s dan θ 0 = 0.8 rad serta koefisien redaman, q = 0.4. 2. Gejala chaos pada sistem pendulum sederhana nonlinier dianalisis secara kualitatif menggunakan belahan Poincaré, ruang fasa, grafik lintasan, dan perbandingan grafik lintasan untuk dua kondisi awal yang berbeda dengan memvariasikan amplitudo gaya pengendali eksternal. 3. Penyelesaian persamaan differensial pendulum sederhana teredam dan terkendali dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. 4. Simulasi dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica versi 6. 1.5. Sistematika Penulisan Laporan tugas akhir ini disusun dalam lima bab yaitu sebagai berikut: Bab 1 Pendahuluan Bab ini menjelaskan latar belakang penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, batasan masalah, dan sistematika penulisan.
Bab 2 Tinjauan Pustaka Bab ini menjelaskan landasan teori yang digunakan dalam penelitian, yaitu dasar teori pendulum sederhana, chaos, dan Metode Runge-Kutta, yang digunakan untuk mengolah informasi yang akan diimplementasikan dalam simulasi. Bab 3 Analisis Masalah Dan Perancangan Program Bab ini membahas penyelesaian masalah yang akan disimulasi, dan algoritma program yang akan digunakan. Bab 4 Hasil Dan Pembahasan Bab ini memberikan hasil uji coba simulasi gejala chaos pada pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali untuk beberapa variasi amplitudo gaya pengendali eksternal, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh antara keadaan tanpa chaos dengan keadaan chaos. Bab 5 Kesimpulan Dan Saran Bab ini memberikan kesimpulan dari hasil perancangan program yang telah dilakukan dan juga memberikan saran-saran untuk penelitian selanjutnya.