BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dengan makin pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, maka akan terasa penting serta perlunya metematika untuk dipelajari sebagai ilmu bantu dalam pengembangan ilmu lain. Matematika seolah-olah menjadi penjawab atas segala permasalahan dan menjadi penyelesaian atas segala kebutuhan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari permasalahan yang sederhana sampai dengan permasalahan yang komplek, mulai dari operasi-operasi yang mudah sampai dengan operasi-operasi yang rumit (Ruseffendi: 2007). Selain itu matematika dapat meningkatkan kemampuan berfikir logika, pemahaman ruang serta kemampuan membuat generalisasi. Sehingga pada gilirannya diharapkan dapat membentuk sikap aktif, kreatif dan objektif. Generalisasi dalam bidang matematika adalah suatu proses perkembangan pemecahan masalah dalam bidang matematika (Trianto: 2007). Dengan demikian, matematika merupakan suatu alat yang menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah, selain itu dengan menggunakan bahasa matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis dan dipecahkan. Sebagai sebuah ilmu yang senantiasa berkembang, berbagai konsep matematika kian menjadi alat analisis yang penting dalam ilmu pengetahuan. Salah satu konsep matematika dalam analisis itu adalah deret, deret merupakan bidang studi matematika yang memperkaya pengetahuan, diantaranya deret sangat 1
berperan dalam membantu menyelesaikan masalah sains dan teknologi, serta berbagai manfaatnya dalam keseharian. Sebagai contoh sederhana peristiwa di sekitar kita yang menggunakan konsep barisan dan deret adalah bola pingpong yang jatuh ke lantai dengan ketinggian hasil pantulan yang berkurang secara beraturan. Melalui rumusan pengurangan tinggi pantulan, tinggi pantulan pada pantulan ke n dapat kita ketahui. Selain itu jarak yang ditempuh bola sampai berhenti pun dapat dihitung. Pada contoh peristiwa diatas angka ketinggian hasil pantulan bola pingpong adalah barisan, dan jarak yang ditempuh bola pingpong ketika bergerak naik turun adalah deret (Renreng: 1990). Deret pada dasarnya terdiri atas tiga aspek yang saling berkaitan erat dan seimbang antara satu dengan yang lainnya yaitu aspek yang pertama adalah aspek teori, sedang aspek aplikasi adalah kelanjutan dari perkembangan aspek teori dan aspek metode. Dalam penjelasannya deret sendiri adalah jumlah yang ditunjukan oleh suku-suku suatu barisan, deret bisa dibedakan menjadi deret konvergen dan deret divergen. Sedang macam-macam deret diantaranya adalah deret kompleks, dengan suku-suku bilangan kompleks (Mursita: 2011). Dengan demikian perlu ada suatu cara untuk menguji kekonvergenan suatu deret yang salah satunya adalah deret kompleks. Dari uraian di atas, maka penulis tertarik untuk menguraikan pembahasan di atas dengan judul: Uji Kekonvergenan Pada Deret Kompleks. 2
1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah pada prinsipnya adalah untuk menyatakan secara tersurat pertanyaan-pertanyaan yang akan diselesaikan. Hal terpenting pada penulisan rumusan masalah adalah harus singkat, padat, dan jelas, serta dituangkan dalam bentuk kalimat tanya. Rumusan masalah yang baik akan menampakkan variabel-variabel yang diteliti, jenis serta hubungan antara variabel-variabel tersebut. Dengan melihat uraian latar belakang tersebut di atas maka penulis mengemukakan rumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana cara menguji konvergensi deret? 2. Bagaimana cara menguji kekonvergenan pada deret kompleks? 1.3 Batasan Masalah Dalam banyak fenomena, penggunaan deret diperlukan untuk memperoleh hasil kuantitatif yang bersifat hampiran ketika memecahkan persoalan yang cukup rumit secara sistematis. Dalam penulisan ini agar tidak menimbulkan salah tafsir dari isi yang terkandung dalam penulisannya, maka perlu adanya batasan masalah. Batasan masalah yang disebut adalah sebagai berikut: 1. Barisan dan deret geometri. 2. Barisan dan deret kompleks dengan suku-suku bilangan kompleks. 3. Uji kekonvergenan pada deret kompleks. 3
1.4 Tujuan Pembahasan Beberapa hal yang melatarbelakangi pembahasan ini adalah agar penulis serta pembaca memiliki gambaran tentang uji kekonvergenan deret kompleks, dalam hal ini penulis akan menguraikan keterkaitan pembahasan rumusan masalah di atas. Berdasarkan rumusan masalah di atas, beberapa tujuan yang akan dicapai dalam pembahasan ini, antara lain: 1. Untuk mengetahui cara menguji konvergensi deret. 2. Untuk mengetahui cara menguji kekonvergenan pada deret kompleks. 1.5 Manfaat Pembahasan Beberapa manfaat yang diharapkan penulis dalam pembahasan ini adalah meningkatkan proses pengembangan pengetahuan ilmu matematika, terutama pada konsep deret serta pada pelaksanaan pembangunan pada umumnya. Dalam arti luas uraian pada bab ini berisi alasan kelayakan atas masalah yang dibahas. Beberapa manfaat yang menyebabkan dilaksanakannya pembahasan ini antara lain: 1. Bagi penulis, pembahasan ini untuk menambah masukan tentang uji kekonvergenan pada deret kompleks 2. Bagi pembaca, yaitu sebagai tambahan pengetahuan yang berhubungan dengan uji kekonvergenan pada deret kompleks, sehingga pada saatnya dapat memperkaya wawasan. 4
1.6 Penegasan Istilah Penegasan istilah atau sering disebut definisi operasional dimaksudkan agar tidak terjadi salah tafsir terhadap istilah-istilah yang digunakan dalam pembahasan, pada penjabaran uji kekonvergenan pada deret kompleks penulis merasa perlu menjelaskan beberapa istilah yang digunakan dalam pembahasannya. Adapun istilah-istilah yang perlu ditegaskan dalam penulisan ini adalah sebagai berikut: 1. Barisan adalah suatu fungsi dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli {1,2,3, } 2. Barisan kompleks adalah bilangan kompleks yang diurutkan dengan suatu pola tertentu, biasanya ditulis dalam bentuk: z 1, z 2, z 3, atau {z 1, z 2, z 3, } atau disingkat {z n } 3. Deret kompleks merupakan penjumlahan suku-suku dari bilangan kompleks, bila barisan dinyatakan dengan pola z 1, z 2, z 3, maka deret kompleks dinyatakan dengan pola: S 1 = z 1 ; S 2 = z 1 + z 2 ; S 3 = z 1 + z 2 + z 3 dan seterusnya. 5
1.7 Sistematika Penulisan Dalam penulisan tugas akhir dengan judul uji kekonvergenan pada deret kompleks, penulis menjabarkannya dengan sistematika penulisan sebagai berikut: BAB I : PENDAHULUAN Pada bab pendahuluan ini, menjelaskan tentang: latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan pembahasan, manfaat pembahasan, penegasan istilah dan sistematika penulisan. BAB II : KAJIAN PUSTAKA Pada kajian pustaka ini, dijabarkan teori tentang: barisan dan deret, Bilangan kompleks serta Barisan dan deret kompleks. BAB III : PEMBAHASAN Pada bab pembahasan ini menjelaskan tentang: uji konvergensi deret dan uji kekonvergenan pada deret kompleks. BAB IV : PENUTUP Pada bab penutup ini, dijelaskan tentang: Kesimpulan dan saran. DAFTAR PUSTAKA 6