TUGAS AKHIR KAJIAN MODEL MARKOV WAKTU DISKRIT UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR PADA MODEL EPIDEMIK SIR Oleh: RAFIQATUL HASANAH NRP. 1208 100 021 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si. Drs. Suhud Wahyudi, M.Si. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2012
ABSTRAK Setiap tahun, jutaan manusia di seluruh dunia meninggal karena penyakit menular. Memodelkan proses penyebaran penyakit menular akan mempermudah dalam mengerti dinamika penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Pada Tugas Akhir ini dianalisis sebuah model probabilitas transisi penyebaran penyakit menular untuk model epidemik SIR, dengan tetap memperhatikan keunggulan pendekatan model yang sudah ada (misalnya asal penularan dan dinamika penyebaran) dan memanfaatkan penggunaan efisiensi dari teknik program dinamik untuk membentuk model yang diinginkan. State space dalam model ini dapat direduksi dengan agregasi state. Hasil yang didapat dari penelitian Tugas Akhir ini adalah didapat probabilitas transisi model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular dan model epidemik SIR, serta probabilitas transisi untuk rantai markov tereduksi pada penyakit menular melalui agregasi state. Dalam Tugas Akhir ini juga didapat simulasi grafik hubungan jumlah individu tiap kelas kompartemen dan hubungan probabilitas penggerak kejadian SI(t) serta IR(t) terhadap waktu. Kata kunci: agregasi state, model epidemik SIR, model Markov waktu diskrit, state space, teknik program dinamik
1 PENDAHULUAN 2 TINJAUAN PUSTAKA 3 METODE PENELITIAN 4 ANALISIS DAN PEMBAHASAN 5 PENUTUP 6 DAFTAR PUSTAKA
PENDAHULUAN LATAR BELAKANG MASALAH Berbagai jenis patogen manusia dan Sirkulasi penyakit menular [1] Kebijakan kesehatan dinamik Model stokastik penyebaran penyakit menular Diperoleh melalui teknik program dinamik Proses stokastik markov Diskrit Kontinu Diskrit
LATAR BELAKANG MASALAH (LANJUTAN) SIR merupakan model epidemik dengan karakteristik bahwa: S (susceptibles): individu rentan terinfeksi suatu penyakit I (infected): individu yang terinfeksi R (recovered): individu yang terinfeksi akan sembuh Penelitian Sebelumnya: 1. Sari (2009): menganalisis tentang hubungan kesetimbangan Model epidemik SIS baik secara deterministik dan stokastik. 2. Hardiningsih, A.Y (2010): menganalisis tentang kestabilan titik setimbang pada model deterministik dan mean distribusi probabilitas pada model stokastik untuk model epidemik SIR.
LATAR BELAKANG MASALAH (LANJUTAN) Memanfaatkan penggunaan efisiensi dari teknik program dinamik Model markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular pada model Epidemik SIR State space dapat direduksi dengan agregasi state Dapat dibentuk peluang kepercayaan tentang keadaan aktual penyebaran penyakit berdasarkan data yang diobservasi
RUMUSAN MASALAH 1 2 3 Bagaimana membentuk model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular. Bagaimana membentuk probabilitas transisi model Markov untuk model epidemik SIR. Bagaimana mereduksi state space model Markov untuk penyakit menular melalui agregasi state. BATASAN MASALAH 1 2 Pembangunan model Markov waktu diskrit dari penyakit menular memenuhi persyaratan teknik program dinamik. Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe SIR waktu diskrit. 3 4 5 Model stokastik waktu diskrit merupakan model Rantai Markov dengan state space berhingga. Model epidemik SIR tidak dibahas tentang pemberian vaksinasi atau sejenisnya. Jumlah populasi suatu wilayah tertentu diasumsikan tetap (konstan).
TUJUAN 1. Membentuk model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular. 2. Membentuk probabilitas transisi model Markov untuk model epidemik SIR. 3. Mereduksi state space model Markov untuk penyakit menular melalui agregasi state. MANFAAT Manfaat yang diharapkan pada Tugas Akhir adalah untuk memberikan informasi mengenai pemanfaatan penggunaan efisiensi dari teknik program dinamik dalam membentuk model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular sehingga diharapkan dapat diambil langkah-langkah yang tepat untuk mencegah terjadinya epidemik yang semakin meluas.
TINJAUAN PUSTAKA Model Epidemik SIR Adapun asumsi pada Model Epidemik SIR ini adalah : a. Jumlah populasi N berukuran tetap (konstan) b. Laju kelahiran dan kematian sama c. Semua populasi yang baru lahir adalah individu yang rentan Berdasarkan asumsi-asumsi di atas disusun diagram kompartemen model epidemik SIR sebagai berikut : Berdasarkan diagram kompartemen pada Gambar 1. model epidemik SIR analog dengan model sebagai berikut [2]. dengan:
Program Dinamik Program Dinamik adalah suatu teknik matematis yang digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya. Tujuan utama model ini adalah untuk mempermudah penyelesaian persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu [3]. Ide dasar Program Dinamik ialah membagi persoalan menjadi beberapa bagian yang lebih kecil sehingga memudahkan penyelesaiannya. Pada persoalan Program Dinamik tidak ada formulasi matematis yang standar. Karena itu persamaan-persamaan yang dipilih harus dikembangkan agar dapat memenuhi masing-masing situasi yang dihadapi. Dengan demikian, antara satu persoalan dengan persoalan yang lainnya dapat mempunyai struktur penyelesaian persoalan yang berbeda. Proses Stokastik Proses stokastik adalah himpunan variabel acak dalam bentuk dengan T adalah beberapa himpunan indeks yang disebut parameter space dan S adalah ruang sampel dari peubah acak yang disebut state space. Untuk setiap t tertentu, menyatakan suatu peubah acak yang didefinisikan pada S. Untuk setiap s tertentu, berhubungan dengan fungsi yang didefinisikan pada T yang disebut lintasan sampel (sample path). Secara singkat proses stokastik adalah himpunan peubah acak yang menggambarkan dinamika dari suatu proses [4].
Rantai Markov Proses stokastik dengan waktu diskrit dengan adalah peubah acak diskrit yang didefinisikan pada state space yang berhingga S = {0, 1, 2,..., s} atau tak berhingga terhitung S = {0, 1, 2,...}. Proses stokastik Markov adalah suatu proses stokastik dimana perilaku/ kelakuan sistem pada waktu yang akan datang (besok) hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak bergantung pada keadaan yang lalu atau dapat dikatakan hanya bergantung pada keadaan satu langkah ke belakang [4]. Definisi 1. Probabilitas Transisi t Langkah
Teorema 1. Persamaan Chapman-Kolmogorov [5] Maximum Likelihood Estimators Salah satu metode yang seringkali digunakan untuk mendapatkan estimator dari parameter adalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Hal ini dikarenakan metode MLE mempunyai sifat-sifat yang baik untuk sampel berukuran besar, antara lain asimtotik unbiased, asimtotik konsisten serta mempunyai sifat invarian. MLE dilakukan dengan memaksimumkan fungsi likelihood. Pada dasarnya, estimasi parameter dengan menggunakan MLE meliputi dua tahap, yakni mengkonstruksi fungsi likelihood dan memperoleh nilai estimator yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut. Misalkan X variabel random dengan fungsi probabilitas f(x,λ), dimana λ merupakan parameter yang tidak diketahui dan saling independen maka pengkonstruksian fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan [6]
Peluang Bersyarat dan Distribusi Peluang Teorema 2. [7] Teorema 3. Aturan Bayes [7] Definisi 2. Distribusi Binomial [7]
Definisi 3. Distribusi Eksponensial [7] Definisi 4. Distribusi Poisson [7]
METODE PENELITIAN
ANALISIS DAN PEMBAHASAN Probabilitas Transisi Untuk Penyebaran Penyakit Menular 1. Menentukan kelas dan bentuk persamaan state dinamik. Jika diasumsikan bahwa ukuran populasi tetap dan sama dengan N, maka persamaan state dinamik untuk penyakit ini adalah: Dengan menggunakan persamaan (4), state penyakit sepenuhnya diidentifikasi jika diketahui (M-1) variabel dari State dari perubahan sistem sebagai peristiwa yang terjadi, disebut dinamika penggerak kejadian seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.
2. Menentukan distribusi probabilitas bersama dari penggerak kejadian dalam state penyakit pada waktu t. 3. Membentuk kendala dinamika penggerak dan kelayakan.
4. Membentuk probabilitas transisi untuk Rantai Markov
Estimasi Parameter Untuk Penyebaran Penyakit Menular 1. Mengkonstruksi fungsi likelihood untuk model penyebaran penyakit menular.
Dengan menggunakan prinsip probabilitas bersyarat pada persamaan (3), maka persamaan (14) menjadi
2. Memperoleh nilai estimator yang memaksimumkan fungsi likelihood
Probabiltas Transisi untuk Model Epidemik SIR 1. Menentukan kelas dan bentuk persamaan state dinamik. 2. Menentukan distribusi probabilitas bersama dari penggerak kejadian pada waktu t.
3. Membentuk kendala dinamika penggerak dan kelayakan.
4. Membentuk probabilitas transisi untuk Rantai Markov
Contoh Kasus Model Epidemik SIR
Reduksi State Space Model Markov untuk Penyakit Menular Melalui Agregasi State
KESIMPULAN 1 Dari hasil analisis Model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular, didapatkan kesimpulan sebagai berikut : Bentuk probabilitas transisi model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular adalah:
2 Bentuk probabilitas transisi model Markov untuk model epidemik SIR adalah: 3 Probabilitas transisi untuk rantai markov tereduksi pada penyakit menular melalui agregasi state adalah:
DAFTAR PUSTAKA [1]Yaesoubi, R., Cohen, T. (2011). Generalized Markov models of infectious disease spread: A novel framework for developing dynamic health policies. European Journal of Operation Research Vol. 215, Hal. 679-687. [2]Hardiningsih, A.Y. (2010). Kajian Model Epidemik SIR Deterministik dan Stokastik pada Waktu Diskrit. Surabaya: Jurusan Matematika ITS. [3] Ana, N. (2009). Penentuan Pola Release Air Waduk Gondang Berdasarkan Kondisi Musim Tahun Air Dengan Pendekatan Program Dinamik. Surabaya: Jurusan Matematika ITS. [4]Sari, W.A. (2009). Perencanaan Jumlah Tenaga Perawat di RSUD Dr. Soetomo Menggunakan Rantai Markov. Surabaya: Jurusan Matematika ITS. [5]Langi, Y.A.R. (2011). Penentuan Klasifikasi State pada Rantai Markov dengan Menggunakan Nilai Eigen dari Matriks Peluang Transisi. Jurnal Ilmiah Sains Vol. 11 No. 1, April 2011, Hal. 124-130. [6] Ekawati, R. (2009). Kajian Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan Maximum Likelihood Estimators dan Least Square Procedure. Surabaya: Jurusan Matematika ITS. [7]Walpole, R.E., Myers, R.H. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: Penerbit ITB.