PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGA SEMESTER 00 SOAL A Elevsi muk ir di sutu reservoir dinytkn dengn vribel (rndom kontinyu) m yng memiliki fungsi probbilits (probbility density function, pdf) menurut persmn berikut: p 0.5 0 jik untuknili ynglin. Gmbrkn skets pdf elevsi muk ir tersebut.. ril konstnt.. ril fungsi distribusi kumultif. 4. itungl probbilits muk ir melmpui elevsi.5 m. 5. itungl elevsi muk ir rt-rt di reservoir. PENYELESAIAN Persmn pdf menunjukkn bw konstnt bernili positif; kurv pdf berbentuk prbol dengn punck di bw (kurv membuk ke ts), yitu p () = 0. Konstnt. Nili kontnt dpt dicri dengn mempertikn bw lus di bw kurv pdf bernili. p p d d p d p d Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00
Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00 0 d 0.5 0 d 0.5 9 umultive distribution function, cdf. p P d Mempertikn bentuk persmn pdf sert skets kurv pdf tersebut, tmpk bw cdf rus dicri untuk tig rentng nili, yitu < <, < <, sert < <. Untuk < <. d 0 Syrt bts: ( ) = 0, () = 0 Jdi = 0, seingg () = 0 Untuk < <. d 0.5 Syrt bts: () = 0, () =. 0 tu 54 9 Dengn demikin,.
Untuk < <. 0 d Syrt bts: () =, (+ ) = Jdi =, seingg () = Dengn demikin, cdf elevsi muk ir di reservoir tersebut dl: 0 untuk untuk untuk Probbilits elevsi muk ir melmpui.5 m. prob.5 prob.5.5.5 4.5% Elevsi muk ir rt-rt..5.5 Elevsi muk ir rt-rt dpt dilit lngsung pd skets pdf. Tmpk bw elevsi muk ir rt-rt dl = m. Elevsi muk ir rt-rt dpt pul diitung dengn cr sebgi berikut: 0 p d 0.5 0.5 4 d 0 d 8 9 m Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00
pdf cdf 4.0.00.5.0.5 cdf 0.5.0 0.50.5.0 0.5 pdf 0.5 0.0 0.00-0 + 4 (m) SOAL B Untuk melindungi sutu construction site (pekerjn kn berlngsung 5 tun), diperlukn cofferdm. Debit kl-ulng 5 tun ditetpkn sebgi dsr perncngn cofferdm tersebut.. itung risiko debit rncngn terlmpui sebelum pekerjn di construction site selesi.. itungl probbilits cofferdm jebol untuk pertm kliny pd tun ke- (dlm tun pertm setel pekerjn di construction site selesi). PENYELESAIAN Setip tun, risiko debit melmpui debit rncngn dl prob(q > Q 5 ) = 0.04. Jik risiko tersebut dl p, mk pelung debit tidk melmpui debit rncngn dl q = p = 0.9. Risiko debit rncngn terlmpui sebelum perkerjn selesi. Risiko limpsn dlm ms pekerjn 5 tun ke depn dpt diperkirkn dengn mengitung terlebi dulu pelung tidk terjdi limpsn selm periode tersebut, yitu: f X n x x nx x; n, p p q Persmn di ts dl persmn distribusi binomil. Dlm persmn tersebut, x = 0 dl frekuensi limpsn dn n = 5 dl periode 5 tun ke depn. f X 5 0 0 5 5 0;5,0.04 0.04 0.9 0.9 0.854 8.5% Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00 4
Risiko terjdi limpsn dlm 5 tun ke depn dl ( pelung tidk terjdi limpsn dlm periode yng sm) tu 8.5% = 8.5%. Ditinju dri sudut pndng probbilits, risiko limpsn dlm 5 tun ke depn dl risiko terjdi limpsn setidkny stu kli dlm 5 tun ke depn; rtiny, limpsn dpt terjdi stu, du, tig, empt, tu lim kli. Nmun, dlm perspektif fungsi cofferdm, sekli limpsn terjdi, cofferdm kn rusk. Dengn kt lin, secr fisik, cofferdm tidk berfungsi lgi setel limpsn terjdi stu kli. Probbilits cofferdm jebol untuk pertm kliny pd tun ke- (dlm tun pertm setel pekerjn di construction site selesi). Terjdi limpsn pertm kliny pd tun keenm dpt dilit sebgi tidk terjdi limpsn selm lim tun dn terjdi limpsn pd tun keenm; probbilits peristiw seperti ini terjdi dl p q 5 = 0.04 (8.5%) =.%. Probbilits terjdi limpsn pertm kliny pd tun keenm dpt dipndng sebgi distribusi geometris pd proses Bernoulli: f X x x; p pq Dlm persmn di ts, x = dl tun st limpsn pertm kliny terjdi. Dengn demikin probbilits terjdi limpsn pertm kliny terjdi pd tun keenm dl: 5 ;0.04 0.040.9 0.040.9 0.0.% f. X SOAL Debit mximum tunn di sutu titik kontrol Sungi X disjikn pd tbel di bw ini. Debit tersebut dpt dinggp berdistribusi norml. 98-995 000 40 40 00 50 590 90 40 0 0 99-005 90 590 00 490 080 50 0 00 80 80. Apbil dpt dinggp bw: i) debit mximum rt-rt dn simpngn bku dt tersebut mendekti nili populsi, ii) simpngn bku populsi 98-995 dn 99-005 sm dengn simpngn bku populsi, dn iii) simpngn bku populsi selm 99-005 sm dengn simpngn bku populsi selm 98-995, buktikn bw tel terjdi peningktn debit mximum tunn pd periode 99-005 dibndingkn debit mximum periode 985-99.. Jik simpngn bku populsi tidk diketui, susunl ipotesis tentng peningktn debit mximum pd sol di ts.. Jik vrin populsi tidk diketui, nmun diketui bw vrin debit mximum pd kedu periode tidk sm, susunl ipotesis yng bru tentng peningktn debit mximum pd sol di ts. Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00 5
PENYELESAIAN Sol ini mirip dengn Sol UAS 004. Dri smpel dt debit mximum tunn dpt diitung prmeter sttistik sebgi berikut: 98-995 99-005 98-005 juml smpel, n 0 0 0 nili rt-rt, Q m /s 54 00 80 simpngn bku, s Q m /s 40 44 490 Apk tel terjdi peningktn debit mximum (debit mximum periode 98-995 lebi besr dripd debit mximum periode 99-005)? Dengn sumsi bw debit rt-rt dn simpngn bku seluru dt (98-005) mendekti nili populsiny, mk: = 80 m /s dn = 490 m /s. Di sini, ingin diuji jik debit mximum periode 99-005 lebi besr dripd debit mximum seluru populsi, > 80 m /s. Untuk keperlun ini, dilkukn uji stu sisi (one-tiled test). Dri dt debit selm periode 99-005 dengn n =0, diperole Q = 00 m /s. Apbil debit mximum tunn tersebut dinggp berdistribusi norml, mk sttistik ujiny dl: n Z Q. Uji ipotesisny dl: 0 : = 80 m /s : > 80 m /s Untuk tingkt keykinn ( ) = 95% (z =.4), mk 0 ditolk jik z > z. 0 z 0080.. 490 Kren z > z, mk 0 ditolk, yng berrti bw tidk sm dengn 80 m /s, nmun lebi besr dripd 80 m /s. Ini menunjukkn bw tel terjdi peningktn debit mximum pd periode 99-005. Pertnyn yng sm, nmun dinggp nili simpngn bku populsi tidk diketui. Uji ipotesis untuk melit dny peningktn debit mximum pd periode 99-005 jik nili simpngn bku populsi tidk diketui dl: 0 : = 80 m /s : > 80 m /s Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00
n T. dengn sttistik uji Q Untuk n = 0, = 490 m /s, Q 0 t 0080.. 490 00 m /s, dn = 80 m /s, diperole t score: Dengn tingkt keykinn ( ) = 95%, diperole t = 0.0. Kren t > t, mk 0 ditolk, yng menunjukkn bw tel terjdi peningktn debit mximum tunn pd periode 99-005. Pertnyn yng sm, nmun dinggp nili kergmn populsi tidk diketui dn nili kergmn pd kedu periode tidk sm. Uji ipotesis untuk melit dny peningktn debit mximum pd periode 99-005 jik nili kergmn populsi tidk diketui dn nili kergmn pd kedu periode dt tidk sm dl: 0 : = : > Q Q dengn sttistik uji T yng berdistribusi mendekti distribusi Student s t s n s n Q dengn degrees of freedom yng dinytkn dengn persmn: sq n s Q n s n s n Q n Q n Q Dri dt debit mximum tunn, diketui: n 0 Q 54m s 40m s s Q n s Q 0 Q 00m s 44m s seingg diperole 8 dn t =.. Apbil dipki tingkt keykinn ( ) = 95%, diperole t = 0.0. Kren t > t, mk 0 ditolk, yng menunjukkn bw tel terjdi peningktn debit mximum tunn pd periode 99-005. ttn. Nili z dn t untuk nili tingkt keykinn ( ) yng diketui tu ditetpkn dpt diperole dri tbel distribusi norml stndr tu tbel distribusi Student s t. Nili-nili ini dpt pul diitung dengn bntun MSExcel. Perint MSExcel untuk mengitung nili z untuk nili ( ) yng diketui dl =NORMSINV(probbility). Di sini, probbility dl Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00
pelung kejdin untuk smpel tu populsi yng berdistribusi norml, yng dlm l ini dl ( ). =NORMSINV(0.95) =.4. Perint MSExcel untuk mengitung nili t untuk nili ( yng diketui dl =TINV(probbility,degrees_of_freedom). Di sini, probbility dl pelung kejdin untuk smpel berdistribusi Student s t du sisi (two-tiled Student s t-distribution). =TINV(0.95,0) =0.0. -o0o- Istirto: Penyelesin Sol Ujin Teng Semester 00 8