Bab 2 Hukum Coulomb A. Pendahuluan Pada pokok bahasan ini disajikan tentang hukum Coulomb, yaitu hukum dasar yang mengatur tentang gaya interaksi (gaya Coulomb) antara muatan-muatan yang terpisah pada suatu jarak tertentu, baik untuk sistem muatan titik maupun distribusi muatan kontinyu. Akan diperkenalkan juga tentang rapat muatan volume, rapat muatan luasan, dan rapat muatan garis; dengan demikian perlu memahami elemen volume, elemen luasan, dan elemen panjang dalam system-sistem koordinat Cartesian, Silinder, dan Bola. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan tentang muatan titik dan menentukan besarnya, menjelaskan dan menghitung gaya Coulomb antara dua muatan titik, dan gaya yang dikerjakan oleh sistem muatan titik dan distribusi muatan kontinyu pada sebuah muatan titik. B. Penyajian Gejala kelistrikan (electricity) awalnya teramati pada beberapa abad yang lalu, bahwa bila bahan-bahan tertentu digosok maka ia akan memperoleh kemampuan untuk mengerahkan gaya pada benda lain. Suatu bahan yang berperilaku seperti ini adalah amber (ëlektron dalam bahasa Yunani). Prosesnya disebut pelistrikan (electrification) oleh gesekan, dan kita menyebut keadaan bahan yang telah berubah ini sebagai bermuatan atau memiliki muatan listrik. Ternyata, pelistrikan oleh gesekan bukanlah proses penciptaan muatan listrik, melainkan pemisahan dua jenis muatan yang semula hadir dalam jumlah yang sama di dalam bahan tak bermuatan atau netral. Kedua jenis muatan ini secara sembarang disebut positif dan negative. Muatan positif didefinisikan sebagai muatan yang tertinggal pada sebuah batang gelas setelah digosok dengan kain sutera; muatan negatif tertinggal pada kain sutera dalam jumlah yang sama dengan muatan positif pada batang gelas. Muatan listrik adalah kekal atau lestari (conserved) dalam arti bahwa muatan netto tidak dapat diciptakan ataupun dimusnahkan. Gaya antara muatan-muatan listrik dapat berupa U maupun gaya tarikan. Penyelidikan kuantitatif yang pertama tentang ketergantungan gaya-gaya ini pada besar muatan-muatan dan jarak antara muatan-muatan tersebut telah dilakukan oleh Coulomb dalam tahun 1785 dan hasilnya dikenal sebagai hukum Coulomb. Universitas Gadjah Mada 1
2.1 Muatan Titik dan Hukum Coulomb Muatan (biasanya dilambangkan oleh q atau Q) suatu obyek biasanya didistribusikan dengan cara tertentu pada obyek tersebut, dan gaya antara dua obyek akan bergantung pada distribusi ini dan muatan total masing-masing obyek. Muatan titik (point charge) merupakan distribusi muatan yang paling sederhana, diasumsikan bahwa muatan terletak di sebuah titik geometris di dalam ruang. Hal ini sebuah idealisasi, berlaku dengan sangat baik di laboratorium jika besaran jarak yang terlibat sangat besar dibandingkan dengan ukuran obyek bermuatan. Membandingkan besar kedua muatan titik q 1 dan q 2 : Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan muatan titik lain q sembarang sbb: Muatan q diletakkan pada suatu jarak tetap R dari q 1, kemudian gaya resultan pada q diukur (Gambar 2-1a). Kemudian, q 1 diganti dengan q 2 pada jarak R yang sama dari q; lalu, gaya pada q diukur (Gambar 2-1b). Besar gaya sebanding dengan besar muatan q 1 dan q 2. Karena q dan R tetap dan sama, maka perbedaan besar gaya hanya disebabkan oleh perbedaan nilai numerik muatan-muatan q 1 dan q 2. Nisbah besar muatan-muatan q 1 dan q 2 tersebut dapat didefinisikan sama dengan nisbah besar gaya-gaya yang dihasilkannya pada muatan q; jadi kita memperoleh untuk q dan R yang tetap dan sama untuk kedua kasus. Dengan demikian, jika suatu muatan satuan telah dapat dipilih,, maka nilai mutlak muatan-muatan dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (2-1). Universitas Gadjah Mada 2
Ditinjau: dua muatan titik q dan q terpisah oleh jarak R (Gambar 2-2) tetap di tempatnya dan berada di ruang hampa (vacuum). muatan q terletak di, muatan q terletak di. vektor letak relatif muatan q terhadap q adalah ; jadi gaya yang bekerja pada q oleh q ditulis sebagai, dinyatakan sebagai hukum Coulomb (dalam satuan SI): yaitu gaya sebanding dengan perkalian besar kedua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua muatan tersebut. Dalam sistem satuan SI, satuan muatan didefinisikan dalam arus listrik yang merupakan laju aliran muatan. Satuan arus listrik adalah ampere, sedangkan satuan muatan dinamakan coulomb dan didefinisikan sebagai 1 coulomb = 1 ampere-sekon. Dalam hukum Coulomb: disebut permitivitas ruang hampa, dan umumnya ditulis dalam satuan farad/meter, dengan 1 farad = 1 (coulomb) 2 /joule. Bermanfaat jika mengingat bahwa Dengan ketelitian yang cukup dalam pembahasan kita di sini. Universitas Gadjah Mada 3
Pada hukum Coulomb persamaan (2-3): jika qq > 0, kedua muatan sejenis (tandanya sama), maka searah dengan, yaitu gaya yang bekerja merupakan gaya tolak (Gambar 2-2); jika qq <0, kedua muatan tak sejenis (tandanya berbeda), maka berlawanan dengan arah, yaitu gaya yang bekerja pada q adalah gaya tarik. Dirangkum: muatan-muatan sejenis saling tolak, sedangkan muatan-muatan tak sejenis saling tarik. Hukum Coulomb dapat juga ditulis sebagai: Gaya yang dikerahkan oleh q dan q, ditulis sebagai adalah adalah dengan adalah vektor letak relatif q, terhadap q. Karena dan sama besar yaitu sama dengan, maka yang menunjukkan bahwa gaya-gaya Coulomb antara dua muatan adalah sama besar dan berlawanan arah, meskipun besar (nilai) kedua muatan dapat sangat berbeda. Kita sedang mengasumsikan situasi statik, yaitu muatan-muatan dalam keadaan diam dan tetap pada tempatnya. Hal berarti bahwa agar q berada dalam keadaan setimbang, maka haruslah terdapat suatu gaya mekanik tambahan bekerja padanya sedemikian sehingga gaya resultan (netto) merupakan vektor nol; dengan kata lain, kita harus punya Hal serupa juga berlaku pada q. 2.2 Sistem Muatan Titik Jika selain muatan q (terletak di ) terdapat sejumlah N muatan titik lain q i yang terletak di dengan di dengan i = 1, 2, 3,..., N (lihat Gambar 2.3), maka gaya total yang bekerja pada q adalah jumlahan vektor semua gaya yang bekerja padanya yang dikerahkan oleh muatan q i tersebut; ditulis: Universitas Gadjah Mada 4
dengan Persamaan (2-10) mengungkapkan kenyataan gaya total sebagai jumlahan gaya-gaya individual antara tiap pasangan muatan yang dihitung dari hukum Coulomb sebagaimana jika muatan-muatan lainnya tidak ada. Sekali lagi, kita mengasumsikan bahwa muatanmuatan individual dalam keadaan diam, dan tetap diam, oleh adanya gaya-gaya mekanik yang diperlukan agar ia tetap diam. Persaman (2-10) diungkapkan dalam SKC: 2.3 Muatan Terdistribusi Kontinyu Distribusi muatan-muatan yang terletak sangat berdesakan dapat dipandang sebagai terdistribusi secara kontinyu; analogi: segelas air sebagai distribusi massa kontinyu. Universitas Gadjah Mada 5
Pada distribusi muatan kontinyu, elemen muatan dq' dianggap sebagai muatan titik (Gambar 2.4). Gaya yang dikerjakan oleh distribusi muatan kontinyu pada sebuah muatan titik q diungkapkan oleh Distribusi muatan volume (3 dimensi) Elemen muatan volume (Gambar 2-5a): dengan adalah elemen volume, dan ( ) adalah rapat muatan volume, yaitu muatan per satuan volume, dengan satuan coulomb/(meter) 3. (Kita akan menulis rapat muatan ini sebagai dalam kasus di mana dapat terjadi kebingungan dengan pada sistem koordinat silinder.) Gaya total yang dikerahkan distribusi muatan volume pada muatan titik q: Kita telah menulis ( ) karena secara umum rapat muatan volume dapat bervariasi terhadap letak titik dalam distribusi muatan; integral dalam persamaan (2-15) dievaluasi ke seluruh volume total V' yang memuat distribusi muatan. Distribusi muatan permukaan (luasan) (2 dimensi) Elemen muatan permukaan (Gambar 2-5b): dengan da' adalah elemen luas, dan ( ) adalah rapat muatan permukaan, yaitu muatan per satuan luas, dengan satuan coulomb/(meter) 2, dan secara umum dapat bervariasi terhadap letak. Universitas Gadjah Mada 6
Gaya total yang dikerahkan distribusi muatan permukaan pada muatan titik q: integral dievaluasi ke seluruh luasan total S' yang memuat distribusi muatan. Distribusi muatan garis (1 dimensi) Elemen muatan garis (Gambar 2-5c): dengan ds' adalah elemen panjang (garis), dan ( ) adalah rapat muatan garis, yaitu muatan per satuan panjang, dengan satuan coulomb/meter, dan secara umum dapat bervariasi terhadap letak. Gaya total yang dikerahkan distribusi muatan garis pada muatan titik q: integral dievaluasi ke seluruh panjang garis total L' yang memuat distribusi muatan. Jika rapat muatan tetap (konstan), bukan fungsi letak, maka muatan dikatakan terdistribusi seragam (uniform). Jika semua kemungkinan distribusi tersebut diatas hadir serentak, maka gaya total pada q adalah jumlahan semua gaya oleh semua ragam distribusi muatan, yaitu = (dari muatan - muatan titik) + (dari distribusi muatan volume), + (dari distribusi muatan permukaan) + (dari distribusi muatan garis). (2-20) Peringatan: Anda dapat menghindari banyak kesulitan, waktu, dan jawaban yang salah dengan mengingat dan mengikuti dua aturan sederhana, meskipun terdengar sangat trivial (1) selalu menggambar vektor letak relatif, dan dengan demikian juga menggambar, dari titik sumber ke titik medan; (2) jangan pernah menulis letak titik sumber sebagai atau (x,y,z) dan seterusnya, melainkan tulislah atau label lain, seperti dilakukan dalam persamaan-persamaan (2-10) dan (2-11). Sebagai contoh, gaya coulomb yang dikerjakan oleh distribusi muatan bola seragam berjejari a dengan rapat muatan dan muatan total Q' pada sebuah muatan titik q yang terletak sejauh r di luar bola (r > a) dari pusat bola adalah Universitas Gadjah Mada 7
mengingat bahwa muatan total Q' adalah Uraian langkah-langkah untuk memperoleh hasil ini dapat diihat pada referensi 1 Bab 2, hal. 52-56. C. Penutup Setelah menyelesaikan pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan soal-soal latihan berikut ini. 1. Dua muatan titik q' dan -q' terletak di sumbu x berturut-turut di x = a dan x = -a. Cari gaya total yang bekerja pada sebuah muatan titik q yang terletak di sembarang titik di bidang xy! 2. Tunjukkan bahwa gaya yang dikerjakan oleh distribusi muatan bola seragam (rapat muatan ) yang berjejari a pada sebuah muatan titik q yang berada di dalam bola sejauh r dari pusat bola (r < a) adalah ( )! 3. Suatu muatan garis sepanjang L dengan rapat muatan garis tetap terletak di sepanjang sumbu z yang ujung-ujungnya terletak di z = z 0 dan z = z 0 + L. Carilah gaya total pada muatan garis ini yang dikerjakan oleh distribusi muatan bola seragam yang berpusat di O dan berjejari a < z 0! 4. Muatan terdistribusi ke seluruh permukaan piringan lingkaran berjejari a yang terletak di bidang xy dan berpusat di O. Rapat muatan permukaan dalam sistem koordinat silinder adalah dengan A adalah tetapan. Apakah satuan tetapan A? Berapakah muatan total piringan? Cari gaya yang dikerah oleh distribusi muatan ini pada sebuah muatan titik q di sumbu z! Daftar Pustaka 1. Wangsness, R.K., 1979, Electromagnetic Fields, John Wiley & Sons, New York Universitas Gadjah Mada 8