BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Menurut Aminudin (2005), program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan untuk menunjukan fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier, sedangkan program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi pengertian program linier adalah suatu teknis perencanaan yang bersifat analitis yang analisisnya menggunakan model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa alternatif pemecahaan optimum terhadap persoalan. Dimyati dan A. Dimyati (1987) juga mendefinisikan program linier sebagai suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas, dengan cara yang terbaik yang mungkin dapat dilakukan. Masalah yang dialami perusahaan adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa modal, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Perusahaan menginginkan tercapainya hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya ini. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimasi seperti biaya, waktu dan jarak. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah dirumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya
adalah menerjemahkan masalah ini ke dalam bentuk model matematika, yang terang mempunyai cara pemecahan yang lebih mudah dan rapi guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi (Siagian, 1987). Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan diterapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap : 1. Menentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan menyatakan dalam simbol matematik 2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu persamaan linier dari variabel keputusan 3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan persamaan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu 2.1.1 Model Program Linier Bentuk umum model program linier : optimumkan (maksimumkan atau minimumkan) : n z = C jx j= 1 dengan kendala : j x 0 untuk j = 1, 2,..., n j atau dalam bentuk lengkapnya sebagai berikut :
Fungsi tujuan : Dengan kendala :.................. X 0 untuk j = 1, 2,..., n. j Keterangan : = fungsi tujuan yang merupakan nilai optimal (memaksimumkan atau meminimumkan) = kenaikan nilai Z apabila ada penambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan unit dapat disebut juga koefisien pada variabel keputusan = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui). = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit j = kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit m n kegiatan. = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (Aminudin, 2005) Model program linier ini merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Dalam model program linier dikenal 2 (dua) macam fungsi, yaitu :
1. Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. 2. Fungsi kendala (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. 2.1.2 Terminologi Program Linier Terminologi umum untuk model program linier adalah sebagai berikut: 1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) di sebut fungsi tujuan atau objective function 2. Fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu : a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi batasan sebanyak m. b. Fungsi batasan non-negative constrains yaitu variabel x j 0 3. Variabel-variabel x j disebut sebagai variabel keputusan. 2.1.3 Asumsi-Asumsi Dasar Program Linier Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan program linier menjadi absah, adapun asumsi program linier adalah sebagai berikut :
1. Asumsi kesebandingan (proposionality) a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan. b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu. 2. Asumsi penambahan (additivity) a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. 3. Asumsi pembagian (divisibility) Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan. 4. Asumsi kepastian (certainty) Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti. 2.1.4 Unsur-Unsur Program Linier Setiap model program linier paling sedikit terdiri dari dua komponen yaitu : fungsi tujuan, dan kendala. a. Variabel Keputusan Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan ini tidak negatif.
b. Fungsi Tujuan Adapun tujuan dalam program linier adalah masalah optimasi yakni tujuan memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu di mana tingkat pencapaian tujuan ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan dari kapasitas waktu produksi kemampuan yang dimiliki. c. Kendala Tujuan Kendala merupakan batasan-batasam yang harus diperhatikan dalam penyelesaian program linier. Kendala tersebut dibuat dalam fungsi linier. Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan program linier ini, yaitu cara grafik dan metode simpleks (Dimyati dan A.Dimyati, 1992). 1. Metode Grafik Metode grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier dengan 2 variabel keputusan, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam menyampaikan sesuatu. 2. Metode Simpleks Metode simpleks merupakan suatu cara pemecahan masalah yang memiliki lebih dari 3 variabel keputusan. Dan lebih efisien dibangdingkan dengan metode grafik yang hanya dapat memecahkan masalah dengan dua variabel keputusan. 2.2 Program Integer Persoalan Program Integer (IP) adalah persoalan pemrograman (programming) di mana pemecahan optimalnya harus menghasilkan bilangan integer (bulat) jadi
bukan pecahan. Dengan perkataan lain dari antara berbagai bilangan integer, harus dicari nilai-nilai variabel yang fisibel (layak) dan membuat fungsi tujuan (Objective function) maksimum (Supranto, 1980). Menurut Mulyono (2004), program integer dibutuhkan ketika keputusan harus dalam bentuk bilangan integer. Model matematis dari program integer sebenarnya sama dengan model program linier, dengan tambahan batasan bahwa variabel keputusannya harus bilangan integer. Program integer adalah suatu program linier dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat non negative. Secara umum menurut P. Siagian (2006) model persoalan pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) dapat diformulasikan sebagai berikut: Maks/Min : Berdasarkan : n ax ij j ( =,, ) i = 1, 2,..., m j= 1 Keterangan : = fungsi tujuan yang merupakan nilai optimal (memaksimumkan atau meminimumkan) = kenaikan nilai Z apabila ada penambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan unit dapat disebut juga koefisien pada variabel keputusan = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui). = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit j
= kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit m n kegiatan. = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia. 2.3 Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound) Menurut Fien Zulfikarijah (2004), Branch and Bound adalah algoritma umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh A.H. Land dan A.G. Doig pada tahun 1960. Branch and bound bukan sebuah teknik solusi khusus terbatas untuk masalah program integer. Branch and bound adalah pendekatan solusi yang dapat diterapkan pada beberapa jenis masalah. Pendekatan Branch and bound didasarkan pada prinsip bahwa himpunan total solusi layak dapat dipartisi menjadi subset yang lebih kecil dari solusi. Subset yang lebih kecil ini kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi terbaik ditemukan. Ketika pendekatan Branch and bound diterapkan untuk masalah program integer. Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel layak suatu masalah program linier dengan membuat sub-masalah-sub-masalah. Ada dua konsep dasar dalam algoritma branch and bound : 1. Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi. 2. Bounding adalah suatu proses untuk mencari/menghitung batas atas (BA) dan batas bawah (BB) untuk solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi. Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan program linier dari suatu masalah program integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal
program linier integer. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada program liniernya kemudian diselesaikan. Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk program linier integer lebih kecil sama dengan nilai fungsi objektif optimal untuk program linier (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimal program linier merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer. Diungkapkan pula oleh Winston (2004) bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah program linier integer, artinya semua variabelnya sudah bernilai integer. Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound : 1) Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks selesaikan masalah tanpa pembatasan bilangan integer. 2) Teliti solusi optimalnya, jika variabel keputusan yang diharapkan adalah bilangan integer, solusi optimum integer telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan bilangan integer, lanjutkan kelangkah 3. 3) Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah diintegerkan (rounded down). 4) Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar (artinya bilangan desimal terbesar dari masing-masing vaariabel untuk dijadikan
pencabangan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel (layak) yang diikutsertakan. 5) Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi optimum yang diintegerkan menjadi batas bawah (solusi yang sebelumnya tidak integer kemudian diintegerkan). Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel (layak) adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 4. Ringkasan langkah-langkah metode branch and bound dalam menentukan solusi integer optimal untuk model maksimisasi adalah sebagai berikut: a) Dapatkan solusi simpleks optimal dari model program linear b) Tentukan solusi simpleks optimal sebelum dilakukan metode branch and bound sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah dari solusi simpleks sebagai batas bawah (artinya mengintegerkan solusi simpleks optimal) c) Pilih nilai dari variabel keputusan dengan bagian pecahan yang terbesar untuk percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel keputusan ini yang mencerminkan pembagian nilai integer. Hasilnya adalah sebuah batasan dan sebuah batasan. d) Ciptakan dengan node baru, satu dengan batasan dan satu dengan batasan
e) Selesaikan model program linear dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node f) Solusi simpleks merupakan batas atas pada tiap node, dan solusi maksimum yang diintegerkan merupakan batas bawah dari node. g) Jika proses ini menghasilkan solusi integer fisible (layak) dengan nilai batas atas terbesar pada akhir node mana saja, maka solusi integer optimal tercapai. Jika tidak muncul suatu solusi integer fisibel (layak), lakukan percabangan dari node dengan batas atas terbesar. h) Ulangi langkah c (Winston, 2004).
Gambar 2.1 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi maksimum Mulai Inisialisasi pohon ruang solusi Branch and bound Pohon kosong? Ambil submasalah baru Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan solusi Output solusi Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a < b? Ya Bunuh cabang ini Akhir Tidak Apakah variabel bertipe pecahan? Ya Buat cabang baru Tidak Apakah solusi bertipe integer? Ya b = maks (b,a) Tidak
Gambar 2.2 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi minimum Mulai Inisialisasi pohon ruang solusi Branch and bound Pohon kosong? Ambil submasalah baru Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan solusi Output solusi Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a > b? Ya Bunuh cabang ini Akhir Tidak Apakah variabel bertipe pecahan? Ya Buat cabang baru Tidak Apakah solusi bertipe integer? Ya b = min(b,a) Tidak
Keuntungan dari cara metode adalah cara yang efisien untuk mendapatkan seluruh jawaban fisibel (layak), sedangkan kerugian cara ini adalah ia akan rnencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang dibutuhkan hanya keterangan mengenai nilai objektif yang optimum.