Combinatorics Teknik Menghitung (Kombinatorik) Penjumlahan Perkalian Kombinasi Adalah cabang dari matematika diskrit tentang cara mengetahui ukuran himpunan terbatas tanpa harus melakukan perhitungan setiap elemennya secara aktual. Oleh: Ridha Ferdhiana Aturan Jumlah Misal sebuah tugas bisa diselesaikan dalam sebuah kumpulan sub tugas saling bebas yang terbatas: sub tugas 1, sub tugas 2,..., sub tugas n ; Sekarang, misal tiap tugas mempunyai beberapa cara untuk dilakukan, misal Sub tugas 1 bisa dilakukan sebanyak t 1 cara, Sub tugas 2 bisa dilakukan sebanyak t 2 cara,... Sub tugas n bisa dilakukan sebanyak t n cara. Maka banyaknya cara untuk melakukan tugasitu adalah: Contoh Anna punya lima novel, empat majalah, dan tiga buku pengetahuan umum. Berapa banyak cara bisa dilakukan Anna untuk memilih bahan bacaan sambil menunggu antrian di bank? Jawab: Anna punya tiga tugas memilih novel, memilih majalah, atau memilih buku. Yang pertama bisa dilakukan dengan 5 cara, yang kedua, 4 cara, dan yang ketiga dengan 3 cara. Sehingga terdapat: 5 + 4 + 3 = 12 cara untuk memilih bahan bacaaan. t 1 + t 2 +... + t n
Buktikan: Diberikan A dan B adalah himpunan terbatas n( A B)=n( A)+n(B) n( A B) Jika A B= maka,n( A B)=n( A)+n(B) Jika A B, maka n( A) n(b) Bukti: n( A B)=n( A)+n(B A) =n( A)+n(B) n( A B) Soal : Dalam sebuah himpuan semesta, U, yang mempunyai anggota 100 buah, dan jika A dan B adalah himpunan bagian dari U dan n( A B)=70 serta n( A B c )=90, dapatkan n(a). Tugas : Buktikan! n( A B C)=n( A)+n(B)+n(C) n( A B) n( A C) n(b C)+n( A B C) Aturan Kali Misal sebuah tugas harus diselesaikan, dan dalam tugas tersebut terdapat sederetan n sub tugas untuk menyelesaikan: tugas = sub tugas 1, sub tugas 2, sub tugas 3,..., sub tugas n dimana tiap sub tugas mempunyai sebanyak t x cara untuk menyelesaikannya Sub tugas 1 = t 1 cara, Sub tugas 2 = t 2 cara stlh sub tugas 1 selesai, Sub tugas 3 = t 3 cara stlh sub tugas 1 dan sub tugas 2 selesai,..., Sub tugas n = t n cara stlh sub tugas 1... sub tugas n 1 selesai Maka banyak cara untuk menyelesaikan tugas adl t 1 t 2 t 3... t n
Contoh - Aturan Kali Berapa cara bisa dipilih untuk mengecat 3 kamar menggunakan 4 warna? Tugas: 1 mengecat kamar 1 4 cara (4 warna) 2 mengecat kamar 2 4 cara (4 warna) 3 mengecat kamar 3 4 cara (4 warna) Jadi terdapat t 1 = 4, t 2 = 4, t 3 = 4, dan 4 4 4 = 64 cara untuk mengecat 3 kamar dengan 4 warna Contoh Aturan Kali Terdapat berapa cara berbeda untuk mengurutkan 9 orang? Terdapat 9 tugas memilih orang pertama, memilih orang kedua, dst, Tugas pertama mempunyai 9 pilihan, kedua 8 pilihan,... dan terakhir kesembilan hanya 1 pilihan, shg terdapat: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 362880 Aturan Kali Jika A dan B adl dua himpunan terbatas, maka: A B = A B Kardinalitas dari perkalian kartesian adalah perkalian dari kardinalitas kedua himpunan. Maka n(a x B) = n(a) x n(b) TEKNIK MENGHITUNG: PERKALIAN Banyaknya susunan bilangan positif genap yang terdiri dari 3 angka yang diambil dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan tidak boleh lebih dari 500 adalah... Angka-angka yang kurang dari 500, dimulai dengan angka 2,3, dan 4. Sehingga banyaknya angka adalah : 3 x 6 x 3 = 54
Contoh Aturan Kali Berapa banyak cara berbeda memilih 3 orang dalam sebuah grup yang terdiri dari 8 orang untuk menjadi ketua, wakil ketua, dan bendahara? Jawab : TEKNIK MENGHITUNG: PERMUTASI n P n, r, P r Pengertian: Mengatur n buah obyek yang diambil sebanyak r buah (r n) dalam suatu urutan. P n, r =n n 1 n 2 n r 1 = n! n r! Dimana n n 1 n 2 n r 1 = n n 1 n 2 n r 1. n r! n r! Kemungkinan permutasi dari tiga bola berbeda warna: Jika himpunan S = {a, b}. Apa permutasinya? ab ba
Jika himpunan S = {a, b, c}. Apa permutasinya? abc acb bca bac cab cba Jika himpunan S = {a, b, c, d}. Apa permutasinya? abcd acbd bcad bacd cabd cbad abdc acdb bcda badc cadb cbda adbc adcb bdca bdac cdab cdba dabc dacb dbca dbac dcab dcba TEKNIK MENGHITUNG: PERMUTASI P n, r, P r n Pada kasus khusus: P n,n =n n 1 n 2 n r 1 3.2.1=n! dengan Perulangan Banyaknya permutasi dari n obyek dimana beberapa obyeknya adl sama. Banyaknya permutasi dari n obyek dengan obyek 1 sebanyak n 1, obyek 2 sebanyak n 2,..., obyek k sebanyak n k n! P n, n 1, n 2,, n k = n 1! n 2! n k! SAMPEL TERURUT Pengambilan Sampel DENGAN Pengembalian n.n.n. n=n r Pengambilan Sampel TANPA Pengembalian r P n,n =n n 1 n 2 n r 1 3.2.1=n! Pengambilan sebanyak n P n, r =n n 1 n 2 n r 1 = n! n r! Pengambilan sebanyak r
Sebuah balapan kuda dengan 8 ekor kuda. Jika seorang petaruh memilih tiga kuda secara acak, dan memasang taruhan pada kuda pertama, kedua, dan ketiga scr berurutan, ada berapa cara dia bisa memilih kuda? Untuk menyampaikan pesan rahasia, dua kapal mempunyai tiga tiang bendera dan 10 bendera yang berbeda (satu bendera pada tiap tiang). Ada berapa cara menyampaikan pesan? P(8,3) = 8. 7. 6 = 336 permutasi yg mungkin Jadi ada 336 cara. Jika pelat nomor terdiri dari 3 huruf diikuti oleh 3 angka, ada berapa kemungkinan pelat nomor: Kombinasi Kombinasi adalah sebuah koleksi tak terurut dari obyek. a. Jika huruf dan angka boleh berulang? b. Jika huruf dan angka tidak boleh berulang? Definisi: Diberikan sebuah himp.s dgn n obyek. Setiap subset yang berukuran k dari obyek (0 < k < n)adl kombinasi dgn ukuran k, atau k-kombinasi dari S.
Kombinasi Himpunan A = {a, b, c}. Apa 2 combinasi dari A? {a, b} {a, c} {b, c} Apa 3 combinasi dari A? {a, b, c} Apa 1 combinasi dari A? {a} {b} {c} Kombinasi Himpunan B = {a, b, c, d}. Apa 2 combinasi dari B? {a, b} {a, c} {a,d} {b, c} {b, d} {c, d} Apa 3 combinasi dari B? {a, b, c} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, d} Kombinasi Bandingkan 3 combinasi dgn 3 permutasi dari B: 3 permutasi 3 combinasi abc acb bac bca cba cab {a, b, c} abd adb bad bda dba dab {a, b, d} adc acd dac dca cda cad {a, c, d} dbc dcb bdc bcd cbd cdb {b, c, d} TEKNIK MENGHITUNG: KOMBINASI C n, r,c n r, n r Pengertian: Mengatur n buah obyek yang diambil sebanyak r buah (r n) tidak dalam urutan. C (n,r)= P(n,r) n! = r! r!(n r)!