4. Metode Mekanika Statistik

4. Metode Mekanika Statistik Reesentatif ensemble ada bebeaa sistem Distibusi Kanonik Fungsi Patisi dan ntoi Sistem Kanonik Besa 4.1. Reesentatif nsemble ada Bebeaa Sistem Sistem teisolasi: Ada atikel beada dalam volume:v enegi antaa dan + δ Pada situasi keseimbangan, sistem daat ditemukan dengan eluang sama ada setia accessible states. Kemungkinan menemukan sistem dalam keadaan (dengan enegi ): P C bila < < +δ = 0 ada kondisi lain ilai C daat ditentukan dengan nomalisasi. disebut ensemble mikokanonik. Sistem dalam kontak dengan esevoi anas: A A (esevoi) Sistem gabungan A (0) A & A Konsevasi enegi: + = (0) Dai hal ini, kemungkinan menemukan sistem dalam keadaan : M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 37

P = C Ω ( (0) ) Seeti biasanya C daat dieoleh dengan nomalisasi: P = 1 Sekaang kita angga bahwa A jauh lebih kecil dai A, sehingga << (0), oleh kaena itu: (0) (0) ln Ω' ln Ω'( ) = ln Ω'( )... ' 0 dengan menuliskan: ln Ω' β ' kaakteistik esevoi A 0 maka: atau ln Ω ( (0) ) = ln Ω ( (0) ) β Ω'( ) =Ω '( ) e (0) (0) Dai hal ini, esamaan P = C Ω ( (0) ) daat ditulis: P = Ce Sekali lagi C meuakan konstanta yang tidak tegantung : C = e 1 Dengan demikian obabilitas daat dituliskan secaa ekslisit: P e = e Fakto eksonensial distibusi kanonik. disebut fakto Boltzmann dan distibusi P = Ce disebut e β P bekaitan dengan enegi tunggal. Sekaang obabilitas P() untuk menemukan A memiliki enegi antaa dan +δ P ( ) = P disini < <+δ. Seteusnya daat ditulis: P( ) = CΩ ( ) e Bebagai haga ata-ata daat dicai: M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 38

y = e e y 4.. Contoh-contoh Pemakaian 4..1. Paamagnetisme H Sejumlah a atom besin memiliki momen magnetik intinsik Dua kemunngkinan keadaan: + : sin u (aalel H) : sin u (anti aalel H) negi: = μ H Jadi: + = μh - = + μh Pobabilitas Pi = Ce i P + = C e -β P = C e β Haga ata-ata momen magnetik: Pμ P+ μ + P ( μ) μ H = = P P + P μh = μ tanh + M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 39

Pehatikan dua kondisi ekstim tanh y: y << 1 tanh y y y >> 1 tanh y 1 Jadi untuk μh μ H << 1 μ H = μh >> 1 μh = μ Kalau kita definisikan χ : susetibilitas magnetik M = χ H M : magnetisasi 0μ H 0μ μh χ = untuk <<< 1 Sesuai dengan hukum Cuie. μh Untuk >>> 1 dieoleh M o o μ Telihat bahwa M 0 tidak tegantung H, disini M 0 mengalami satuasi. M 0 μ M maks M H μh M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 40

4... Molekul ada Gas Ideal Molekul-molekul teus meneus dalam kotak tana inteaksi lua enegi hanya tedii dai enegi kinetik k = ½ mv = m Posisi: dan + d Momentum: dan + d Volume dai uang fasa: d 3 d 3 = dx dy dz d x d y d z Poblem Fisika statistik tentu saja untuk mencai obabilitas: 3 3 3 3 d d m 3 h 0 P(, ) d d e Untuk momentum saja: 3 3 3 m 3 = P( ) d P(, ) d d e d Daat dituunkan untuk keceatan: m 3 3 3 P( v) d v = P( ) d = Ce d v Kalau dinomalisasi 3 3 P(, v) d d v = 3/ mv 3 3 m 3 3 dihasilkan: P( v) d d v = e d d v V π Distibusi Maxwell-Boltzmann M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 41

4..3. Molekul Gas Ideal dalam Pengauh Gavitasi = + mgz m z 3 3 β mgz 3 3 d d + m P(, ) d d e 3 h 0 Untuk momentum saja: 3 m 3 P( ) d = Ce d Untuk suatu ketinggian z: P(z) dz : kemungkinan suatu molekul beada diantaa z dan z+dz 3 3 Pzdz ( ) = xy, P(, ) dd menghasilkan: mgz / P( z) dz = C ' e dz mgz / P( z) dz = P(0) e dz (law of atmoshee) 4.3. Pengetian Fungsi Patisi Sistem dengan negi Rata-ata Tetentu M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 4

ambil a sebagai jumlah sub-sistem dengan enegi, maka: Σ a = konstan Kalau kita gunakan distibusi kanonik: P e e = (es. (1)) e Sekaang kita lakukan ehitungan enegi ata-ata: e P = Ce = e valuasi embilang ada es. (1) dieoleh: Z e = ( e ) = β β = β Z e dengan ( ) Bandingkan kembali dengan esamaan (1), dieoleh: 1 Z ln Z = = Z β β Z disebut sebagai fungsi atisi (sum ove states, Zustand Summe) Dai Z ini bebagai besaan Fisika daat dituunkan. (Ruanya besaan ini kometito Ω()!!) Pehatikan bebeaa contoh beikut: Disesi : ( Δ ) = ln Z = = β β (Poof this!, if you can t do it, lease consult Reif. 13) Keja: d' W = ~ Xdx ~ disini: X = x seteusnya daat ditunjukkan: M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 43

~ X 1 ln Z = β x Contoh untuk kasus tekanan: 1 ln Z d' W = dv = dv β V Jadi 1 ln Z = β V Hubungan dengan Temodinamika: d ln Z = βd' W dβ = β d' W d( β ) + βd d (ln Z + β ) = β ( d' W + d ) = βd' Q Bandingkan dengan d' Q ds = T daat disimulkan: S = (ln Z + β ) k 1 aabila digunakan β = dieoleh: TS = ln Z + negi bebas Helmholtz: F = TS = ln Z Telihat daat dituunkan langsung dai fungsi atisi. Pilih Z atau Ω??? ntoi daat dinyatakan: S k ln Ω() S k(ln Z + β ) atau Secaa matematik, ehitungan ln Z lebih mudah dibandingkan k ln Ω(). ln Z melibatkan jumlah ada semua keadaan, sedangkan Ω() meuakan jumlah keadaan antaa dan +δ yang cuku sulit ehitungannya. Secaa fisis, definisi S k ln Ω() lebih tansaan. M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 44

4.4. nsemble Kanonik Besa (Gand Canonical nsemble) Pada diskusi sebelumnya: A A Tejadi inteaksi temal: Konsevasi enegi: + = (0) Sekaang kita tinjau jenis sistem lain, disini bukan hanya enegi yang dietukakan tetai atikel juga diebolehkan beindah: A A Maka ada sistem A (0) = A + A : bukan hanya tejadi konsevasi enegi, tetai jumlah atikel ada kombinasi sistem ini juga teta: + = (0) = konstan + = 0) = konstan Sama seeti agumen tedahulu (detail baca di Reif!): P (, ) Ω ( (0), (0) ) dan seteusnya didaatkan distibusi Kanonik besa: P e α Seeti yang lalu β meuakan aamete temeatu, disini α daat dikaitkan dengan otensial kimia : μ = α negi dan jumlah atikel ata-ata: α e = ; α e e = e α α M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 45

Selanjutnya daat dibuktikan (bukti lengka ada ying et al., Statistical Mechanics and Dynamics, halaman 04-05) ln Z = V T, μ ( T ln Z) S = k V, μ ln Z = μ VT, dengan Z meuakan fungsi atisi gand canonic. Contoh-contoh soal: 1. Suatu sistem dua level dengan = n 1 +n atikel beenegi masing-masing 1 dan. Sistem ini beada dalam kontak dengan suatu esevoi anas besuhu T. Bila ada suatu emisi kuantum tejadi menuju ke esevoi, tejadi eubahan oulasi sistem n n - 1 dan n 1 n 1 + 1. (Angga n 1 dan n sangat besa) Hitung eubahan entoi: (a) ada sistem dua level (b) ada esevoi (c) dai (a) dan (b) fomulasikan asio n /n 1 (Qualifying xam in Univesity of Califonia at Bekeley) Jawab: Visualisasi oblem: n n 1 T esevoi (a) Peubahan entoi ada sistem dua level: ΔS = S akhi S awal!! = kln kln ( n 1)!( n1+ 1)! n! n1! n n = kln kln n1+ 1 n1 (b) Peubahan entoi ada esevoi: ΔQ Δ S = = 1 T T (c) dai (a) dan (b): ΔS 1 + ΔS = 0 dieoleh: M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 46

n ex 1 = n1. Pehatikan idealisasi suatu kistal yang memiliki buah titik kisi juga osisi intestisial (osisi anta titik kisi dimana atom juga daat menemati). Misalkan ε meuakan enegi yang dibutuhkan untuk memindahkan atom dai osisi titik kisi ke intestisial dan n meuakan jumlah atom-atom yang menemati osisi intestisial dalam keadaan keseimbangan (a) Hitung enegi intenal sistem! (misalkan U o meuakan enegi intenal bila semua atom menemati titik kisinya) (b) Beaa entoi S? beikan fomulasi asimtotik bila n>>>1? (c) yatakan oulasi n dalam suhu keseimbangan T! (Qualifying xam in Pinceton Univesity) Jawab: (a) Kaena ada n atom menemati osisi intestisial maka enegi dalam menjadi: = U o + nε (b) Kombinasi:! Cn = n!( n)! ada C n caa n atom menemati osisi kisi dan ada C n caa ula n atom menemati osisi intestisial, jadi jumlah keadaan mikoskoik: ( C ) n Ω=, sehingga:! S = kln n!( n )! Kalau n >>> 1, maka ln n! n ln n n S = k [ ln n ln n ( n) ln ( n)] (c) Pada keseimbangan, suhu dan volume teta, maka enegi bebas F minimum: F = TS = U o + nε Tk [ ln n ln n ( n) ln ( n)] F n = 0, dieoleh: n = e / + 1 M. Hikam, Fisika Statistik, Metode Mekanika Statistik 47