Jurnal Matematika & Sains, Agustus 24, Vol. 9 Nomor 2 Semiring Pseudo-ernary Maxrizal dan Ari Suparwanto Mahasiswa S2 Matematika FMPA UGM, Jurusan Matematika FMPA UGM, e-mail: maxrizal@ugm.ac.id; ari_suparwanto@ugm.ac.id Diterima 22 November 23, disetujui untuk dipublikasikan 4 Maret 24 Abstrak Dalam makalah ini akan diperkenalkan definisi dan sifat-sifat semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, akan diperkenalkan subsemiring pseudo-ternary dan ideal pada semiring pseudo-ternary. Lebih lanjut, ideal-ideal yang terbentuk pada semiring pseudo-ternary akan digunakan untuk membentuk semiring pseudo-ternary faktor. Kata kunci: Semiring pseudo-ternary, Semiring pseudo-ternary faktor. Faktanya, definisi semiring ternary dimotivasi oleh struktur pada himpunan bilangan bulat negatif ( ) yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa. Selanjutnya, konsep semiring ternary pada diperluas pada matriks persegi atas sehingga M n n ( ) yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian matriks biasa juga merupakan semiring ternary. Perhatikan bahwa M n n ( ) merupakan matriks khusus dari matriks persegi panjang sehingga perlu diselidiki konsep yang lebih umum yaitu konsep semiring ternary pada matriks M m n ( ). Untuk itu, dibentuk ( M n n ( ),, ) dengan definisi operasi biner A B A B dan operasi triner ABC AB C. Perhatikan bahwa, operasi triner dibentuk agar Pseudo-ernary Semiring Abstract n this paper we introduce the notion of pseudo-ternary semiring. Furthermore, we will introduce pseudo-ternary subsemiring and ideals in pseudo-ternary semiring. Finally, ideals in pseudo-ternary semiring will be used for constructing pseudo-ternary factor semiring. Keywords: Pseudo-ternary semiring, Factor pseudo-ternary semiring.. Pendahuluan ketiga matriks persegi panjang bisa dioperasikan dengan metode perkalian matriks biasa. Konsep semiring ternary diperkenalkan oleh Dutta dan Kar (24). Semiring merupakan Berdasarkan sifat-sifat penjumlahan dua generalisasi dari ring ternary yang diperkenalkan matriks, ( M oleh Lister pada tahun 97. Himpunan S tak kosong n n ( ), ) merupakan semigrup abelian yang dilengkapi operasi biner penjumlahan (+) dan dan well-defined pada M n n ( ) karena operasi triner perkalian () disebut semiring ternary AB C M n n ( ). Selanjutnya, akan diselidiki sifat jika (S, +) merupakan semigrup abelian, (S,) asosiatif pada ( M merupakan semigrup dan (S, +, ) memenuhi sifat n n ( ), ). Ambil distributif. Perhatikan bahwa operasi triner ABCD,,, M n n ( ), maka berlaku menyebabkan sifat asosiatif pada (S,) didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap a, b, c, d, S berlaku ( A BC) DE ( AB C) DE (abc)de = a(bcd) e = ab(cde). AB CD E A ( BCD) E A( BC D) E ABC ( D) E AD CB E A B( CDE) AB( CD E) AB CD E Perhatikan bahwa hanya berlaku sifat ( A BC) DE AB( CD E). Hal ini disebabkan karena untuk sebarang matriks berukuran m n, hubungan BCD DCB belum tentu berlaku. Jadi, ( M n n ( ),, ) bukan merupakan semiring ternary, walaupun pada ( ( ),, ) juga berlaku sifat distributif. M n n Berdasarkan permasalahan di atas, dalam makalah ini didefinisikan suatu struktur baru yang 5
Maxrizal dan Suparwanto, Semiring Pseudo-ernary 5 disebut semiring pseudo-ternary. Semiring pseudoternary bersifat lebih umum dari semiring ternary sehingga memberikan peluang untuk menyelidiki sifat-sifat pada semiring ternary yang masih tetap berlaku pada semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, dijelaskan contoh dan sifat dari semiring pseudoternary, subsemiring pseudo-ternary dan ideal pada semiring pseudo-ternary. Pada bagian akhir makalah dikaji proses pembentukan semiring faktor pseudoternary. 2. Semiring ernary Berikut adalah beberapa definisi tentang semiring ternary dan sifat-sifat yang dimiliki oleh semiring ternary. Definisi. Diberikan himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner penjumlahan + : S S S dan triner perkalian + : S S S. Himpunan S disebut semiring ternary jika memenuhi:. (S, +) merupakan semigrup abelian. 2. (S,) merupakan semigrup, yaitu untuk setiap a,b,c,d,e S berlaku abc S dan (abc)de = a(bcd)e = ab(cde). 3. Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap a,b,c,d S berlaku (i) (a + b)cd = acd + bcd (ii) a(b + c)d = abd + acd (iii) ab(c + d) = abc + abd Definisi 2. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring ternary S dinotasikan dengan jika untuk setiap x,y S berlaku + x = x dan xy = xy =. Semiring ternary S yang mempunyai elemen nol disebut semiring ternary dengan elemen nol. Pada pembahasan selanjutnya S merupakan notasi untuk semiring ternary dengan elemen nol dan S* merupakan notasi untuk semiring ternary tanpa elemen nol, yaitu S* S \. Definisi 3. Suatu elemen e S disebut elemen satuan dari semiring ternary S, jika untuk setiap x S berlaku eex = exe = xee = x. Proposisi. Jika elemen e S merupakan elemen satuan dari semiring ternary S maka untuk setiap x,y S berlaku exy = xey = xye. Definisi 4. Semiring ternary S disebut semiring ternary komutatif jika untuk setiap s, s 2, s 3 S maka sss 2 3 sss 2 3 sss 2 3. Definisi 5. Diberikan sebarang s dari suatu semiring ternary S, s disebut elemen pembagi nol kiri (tengah, kanan) dari S jika terdapat s 2, s 3 S dengan s2 dan s3 sehingga sss 2 3 ( sss 2 3, sss 2 3 ). Elemen pembagi nol kiri yang sekaligus elemen pembagi nol tengah dan kanan disebut elemen pembagi nol. Definisi 6. Diberikan semiring ternary komutatif. Jika S tidak mempunyai elemen pembagi nol maka S disebut suatu semi-daerah integral ternary. Definisi 7. Diberikan semiring ternary (S, +, ). Himpunan S disebut subsemiring ternary jika (, +, ) juga merupakan semiring ternary. Proposisi 2. Diberikan suatu semiring ternary (S, +, ) dan subhimpunan S. Himpunan merupakan subsemiring ternary jika dan hanya jika untuk setiap t, t 2, t 3, berlaku t t 2 dan ttt 23. Definisi 8. Diberikan suatu semiring ternary (S, +, ) dan subhimpunan S dengan syarat untuk setiap i, i2 berlaku i i2. Jika untuk setiap s, s2 S dan i berlaku ssi 2 ( iss2, sis2 ), maka disebut ideal kiri (kanan, tengah) dari S. Jika merupakan ideal kiri, kanan dan tengah dari S, maka disebut ideal dari S. Definisi 9. Suatu relasi ekuivalensi pada semiring ternary S disebut relasi kongruensi jika memenuhi kondisi berikut: untuk setiap aa,, bb,, cc. S berlaku aa dan bb ( ab) ( a b) aa, bb dan cc ( abc) ( abc ) Definisi. Diberikan ideal sejati dari semiring ternary S. Relasi Bourne atas S didefinisikan sebagai berikut: untuk tiap s, s S, s s jika hanya jika s a s a2 untuk suatu a, a 2. Proposisi 3. Relasi Bourne pada S merupakan relasi kongruensi pada S. Selanjutnya, relasi ini disebut relasi kongruensi Bourne. Definisi. Diberikan suatu ideal sejati dari semiring ternary S dan kongruensi Bourne atas. Didefinisikan operasi biner penjumlahan dan triner perkalian pada S/ sebagai berikut: untuk setiap s,t,u S,
52 Jurnal Matematika & Sains, Agustus 24, Vol. 9 Nomor 2 s t ( st) ( s )( t )( u ) ( stu) Dengan operasi biner penjumlahan dan triner, ( s,, ) merupakan suatu semiring ternary dan disebut semiring ternary faktor Bourne. 3. Hasil dan Pembahasan Berdasarkan permasalahan pada bagian pendahuluan, berikut ini diberikan definisi dari semiring pseudo-ternary. Definisi 2. Diberikan himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner : SS S dan operasi triner : SSS S. Himpunan S disebut semiring pseudo-ternary jika S, merupakan semigrup abelian, S, merupakan semigrup pseudo-ternary yaitu untuk setiap abcde,,,, S berlaku abc S dan (abc)de = ab(cde), dan Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap a,b,c,d S, yaitu (i) (a + b)cd = acd + bcd (ii) a(b + c)d = abd + acd (iii) ab(c + d) = abc + abd Contoh. Himpunan matriks persegi panjang ( M n n ( ),, ) dengan definisi operasi biner AB A B dan operasi triner ABC AB C merupakan semiring pseudo-ternary. Contoh 2. Setiap semiring ternary merupakan semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, akan didefinisikan elemen nol pada semiring pseudo-ternary. Definisi 3. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring pseudo-ternary S dinotasikan dengan jika untuk setiap x, y S berlaku + x = x dan xy = xy = xy =. Semiring pseudo-ternary S yang mempunyai elemen nol disebut semiring pseudo-ternary dengan elemen nol. Selanjutnya, pada pembahasan di bawah ini S merupakan notasi untuk semiring pseudo-ternary dengan elemen nol dan S* S \. Definisi 4. Suatu elemen e S disebut elemen satuan dari semiring pseudo-ternary S, jika untuk setiap x S berlaku eex = exe = xee = x. Jika S semiring pseudo-ternary maka untuk setiap x, y S berlaku xye = (exe)ye = ex(eye) = exy dan xye = (xee)ye = xe(eye) = xey. Perhatikan bahwa untuk setiap x, y S berlaku exy = xey = xye. Jadi, proposisi pada semiring ternary masih berlaku pada semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, didefinisikan sifat komutatif pada semiring pseudo-ternary. Definisi 5. Semiring pseudo-ternary S disebut semiring pseudo-ternary komutatif jika untuk setiap s, s2, s3 S maka sss 2 3 sss 2 3 sss 2 3. Contoh 3. Diberikan himpunan a A a, b b Semiring pseudo-ternary ( A,, ) semiring pseudo-ternary komutatif. merupakan Proposisi 4. Setiap semiring pseudo-ternary komutatif merupakan semiring ternary. Perhatikan Definisi 2, untuk setiap a, b, c, d, f S berlaku (abc)df = ab(cdf). Akan dibuktikan (abc)df = a(bcd)f = ab(cdf). Perhatikan bahwa S semiring pseudo-ternary komutatif sehingga berlaku a(bcd)f = (abc)df = (bcd)af = bc(daf) = (bca)df = (abc)df. Jadi, S merupakan semiring ternary. Contoh 4. Semiring pseudo-ternary ( A,, ) pada Contoh 3, merupakan semiring ternary komutatif. Perhatikan bahwa struktur matriks menyebabkan munculnya elemen-elemen pembagi nol. Hal itu juga berlaku pada semiring pseudo-ternary. Definisi 6. Diberikan suatu semiring pseudo-ternary S. Misalkan s elemen Ss, disebut elemen pembagi nol kiri (tengah, kanan) dari S jika terdapat s, s S dengan s2 dan s3 sehingga 2 3 sss 2 3 ( sss 2 3, sss 2 3 ). Elemen pembagi nol kiri yang sekaligus elemen pembagi nol tengah dan kanan disebut elemen pembagi nol. Contoh 5. Diberikan S M 2 3 dan dibentuk semiring pseudo-ternary ( S,, ). Misalkan A, B, C, S tak nol, dengan a c A, B, dan b d e C Elemen A merupakan salah satu elemen pembagi nol di S.
Maxrizal dan Suparwanto, Semiring Pseudo-ernary 53 Definisi 7. Semiring pseudo-ternary komutatif S yang tidak mempunyai pembagi nol maka S disebut semi-daerah integral pseudo-ternary. Akibat. Setiap semi-daerah integral pseudoternary merupakan semi-daerah integral ternary. Berdasarkan Proposisi 4 dan Definisi 6. Contoh 6. Dibentuk h ( a) a. Semiring pseudo-ternary ( H,, ) merupakan suatu semidaerah integral pseudo-ternary sekaligus semi-daerah integral ternary. Selanjutnya akan diselidiki sifat dari suatu subhimpunan pada semiring pseudo-ternary. Berikut ini diberikan definisi dari subsemiring pseudoternary. Definisi 8. Diberikan semiring pseudo-ternary S,,. Himpunan S disebut subsemiring pseudo-ternary jika,, juga merupakan semiring pseudo-ternary. Proposisi 5. Diberikan suatu semiring pseudoternary S,, dan subhimpunan S. Himpunan subsemiring pseudo-ternary jika dan hanya jika untuk setiap t, t 2, t 3, berlaku t t 2 dan ttt 23. Contoh 7. Diberikan subhimpunan M m m (2 ). Struktur (,, ) merupakan subsemiring pseudoternary dari semiring pseudo-ternary ( (2 ), ). M m m Selanjutnya, akan diselidiki proses pembentukan semiring pseudo-ternary factor. Secara umum, untuk sebarang semiring pseudo-ternary S diberikan relasi dengan definisi berikut. Definisi 9. Diberikan subsemiring pseudo-ternary pada semiring pseudo-ternary S. Untuk setiap s, s S, s dikatakan berelasi (Bourne) dengan s dinotasikan s s jika hanya jika s a s a2 untuk suatu a, a2. Proposisi 6. Relasi Bourne pada semiring pseudo-ternary S merupakan relasi ekuivalen pada c. Pertama, akan dibuktikan bersifat refleksif. Diambil s S, maka s a s a untuk setiap a, sehingga s s. Dengan demikian, bersifat refleksif. Kedua, akan dibuktikan bersifat simetris. Diambil s, s S dengan s s, maka untuk suatu aa, 2, sasa2sa2sa s s. Dengan demikian, bersifat simetris. Selanjutnya, akan dibuktikan bersifat transitif. Diambil s, s, s S dengan s s dan s s, maka untuk suatu a, a2, a3, a4, berlaku s a s a2 dan s a3 s a4 sehingga s ( aa3) s ( a2 a3) dan s ( a2 a3) s ( a2 a4). Akibatnya s ( a a3) s ( a2 a4). Jadi, bersifat transitif. Dengan demikian, merupakan relasi ekuivalen. Perhatikan bahwa relasi ekuivalen pada semiring pseudo-ternary S menyebabkan S terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalen yang saling asing. Selanjutnya, kelas ekuivalen dari suatu elemen s dari s s dinotasikan dengan s dan semua himpunan kelas ekuivalen dari S dinotasikan dengan S. Definisi 2. Diberikan kelas-kelas ekuivalen s dan s pada semiring pseudo-ternary S. Kelas s dan s dikatakan sama, dinotasikan dengan s s jika dan hanya jika s s. Seperti halnya pada semiring, pada semiring pseudo-ternary juga dapat didefinisikan relasi kongruensi. Berikut definisi relasi kongruensi pada semiring pseudo-ternary S. Definisi 2. Suatu relasi ekuivalen pada semiring pseudo-ternary S disebut relasi kongruensi jika memenuhi kondisi: untuk setiap aa,, bb,, cc. S berlaku. aa dan bb ( ab) ( a b) 2. aa, bb dan cc ( abc) ( abc). Selanjutnya, akan diselidiki kongruensi pada relasi Bourne pada semiring pseudo-ternary S. Berdasarkan Proposisi 6, relasi merupakan relasi ekuivalen pada S. Pertama, akan ditunjukkan jika untuk setiap s, s, t, t S, s s, dan tt maka berlaku ( a t) ( s t). Misalkan s s dan tt. Berdasarkan Definisi 9 berlaku, s s sa s a t ttb tb 2 2 untuk suatu a, a 2, b, b 2. Jika kedua persamaan dijumlahkan, maka diperoleh ( s t) ( a b ) ( st) ( a b ) 2 2
54 Jurnal Matematika & Sains, Agustus 24, Vol. 9 Nomor 2 untuk suatu a, a2, b, b2 atau ( s t) c ( st) c 2 untuk suatu c, c 2. Berdasarkan Definisi 9, berlaku ( s t) ( s t). Kedua, akan ditunjukkan jika s s, tt, dan u u' maka berlaku ( stu) ( s t u ), untuk setiap s, s', t, t', u, u' S. Diambil s s, tt dan u u'. Berdasarkan Definisi 9, ' ' 2, t t' t b t' b2 s s s a s a, dan uu' uc u' c2 untuk suatu a, a2, b, b2, c, c2. Jika ketiga persamaan dikalikan maka diperoleh ( s a)( tb)( u c) = ( sa )( tb )( u c ). Dari ruas kiri diperoleh 2 2 2 stu ( stc sbu sb c tau ta c a b u a b c ). Karena a, b, c, maka abc tetapi stc, sbu, sbc, tau, tac dan abu belum tentu di dalam karena hanya suatu subsemiring pseudoternary di S. Hal yang sama terjadi di ruas kanan. Perhatikan bahwa, jika di ruas kiri disyaratkan stc, sbu, sbc, tau, tac, dan abu di dalam maka diperoleh stu d, dengan d stc sbu sbc tau taca bu abc di dalam. Hal yang sama terjadi di ruas kanan sehingga diperoleh s '' tu' d2. Syarat tambahan inilah yang memotivasi munculnya definisi ideal pada semiring pseudo-ternary S. Definisi 22. Diberikan suatu semiring pseudo-ternary S dan subhimpunan S dengan syarat untuk setiap i, i2 maka berlaku i i 2. Jika untuk setiap s, s2 S dan i berlaku ssi 2 ( iss2, sis2 ) maka merupakan suatu ideal kiri (kanan, tengah) dari S. Jika merupakan ideal kiri, kanan dan tengah dari S maka disebut suatu ideal dari S. Perhatikan bahwa subsemiring pseudoternary harus merupakan ideal di semiring pseudoternary S agar persamaan di ruas kiri dan kanan menjadi stu d s t u d2, untuk suatu d, d2. Berdasarkan Definisi 9, berlaku ( stu) ( st. u ) Jadi, relasi pada semiring pseudo-ternary S merupakan relasi kongruensi. Selanjutnya, akan diselidiki eksistensi dari semiring pseudo-ternary faktor dari semiring pseudoternary S. Diberikan ideal dari semiring pseudoternary S dan relasi kongruensi pada S. Didefinisikan operasi biner penjumlahan dan triner perkalian pada S dengan S t ( s t) dan ( S )( t )( U ) ( s t), untuk setiap s,, tu S. Akan dibuktikan bahwa S yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner merupakan semiring ternary. Pertama, akan dibuktikan S yang dilengkapi operasi biner (+) merupakan semigrup komutatif. Akan ditunjukkan operasi (+) pada S welldefined. Diambil s, t, s, t S dengan s, s, t, t S. Akan ditunjukkan jika S s dan t t maka s t s t. Berdasarkan Definisi 2, jika s s dan t t maka berlaku s s dan tt. Karena relasi kongruensi pada S dan berdasarkan Definisi 2, jika s s dan tt maka berlaku ( s t) ( s t). Berdasarkan Definisi 2, berlaku s t s t. Jadi, operasi (+) pada S well-defined. Akan ditunjukkan operasi (+) pada S bersifat asosiatif. Diambil s, t, u S dengan s,, tu S. Dibentuk persamaan ( s t ) u ( s t ) u ( st) u s( t u) s ( tu ) s ( t u ) Jadi, operasi (+) pada S bersifat asosiatif. Akan ditunjukkan operasi (+) pada S bersifat komutatif. Diambil s, t S dengan s, t S. Dibentuk s t ( s t) ts t s. Jadi, operasi (+) pada S bersifat komutatif. Kedua, akan dibuktikan S dilengkapi operasi triner merupakan semigrup pseudoternary. Akan ditunjukkan operasi pada S welldefined. Diambil s, t, u, s ', t', u' S dengan s, s, t, t, u, u S. Akan ditunjukkan jika s s, t t dan u u maka stu st u. Berdasarkan Definisi 2, jika s s, t t dan u u maka berlaku s s, tt dan uu. Karena relasi kongruensi pada S dan berdasarkan Definisi 2, jika s s, tt dan uu maka berlaku ( stu) ( st. u ) Berdasarkan Definisi 2, berlaku stu st u. Jadi, operasi () pada S well-defined.
Maxrizal dan Suparwanto, Semiring Pseudo-ernary 55 Akan ditunjukkan operasi pada S bersifat asosiatif. Misalkan s, t, u, v, w S dengan s, t, u, v, w S. Maka ( s )( t )( u ) ( v )( w ) ( stu ) ( v )( w ) ( stu) vw st( uvw) ( s )( t ) ( uvw) ( s )( t ) ( u )( v )( w ) Jadi, pada S bersifat asosiatif. Ketiga, akan dibuktikan bahwa S yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner memenuhi sifat distributif kiri, tengah dan kanan. Diambil s, t, u, v S dengan s,, tuvw,, S. Maka ( s ) ( t ) ( u )( v ) ( s t) ( u )( v ) (( s tuv ) ) (( suv) ( tuv) suv tuv ( s )( u )( v ) ( t )( u )( v ) ( s ) ( t ) ( u ) ( v ) ( s ) ( t u) ( v ) (( s tv ) ) (( stv) ( suv) stv suv ( s )( t )( v ) ( s )( u )( v ) st( u v) ( stu) ( stv) ( s )( t ) ( u ) ( v ) ( s )( t ) ( u v) stu stv ( s )( t )( u ) ( s )( t )( v ) Jadi, S yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner memenuhi sifat distributif kiri, tengah dan kanan. Dengan demikian, S yang dilengkapi operasi biner (+) dan triner merupakan semiring pseudo-ternary dan disebut semiring pseudo-ternary faktor Bourne. Akibat 2. Jika S merupakan semiring pseudoternary faktor komutatif maka S semiring ternary faktor. Berdasarkan Proposisi 4. 4. Kesimpulan Dari pembahasan di atas dapat diberikan dua kesimpulan, beberapa sifat pada semiring ternary masih berlaku pada semiring pseudo-ternary seperti sifat subsemiring pseudo-ternary, ideal dan pembentukan semiring pseudo-ternary faktor; setiap semiring pseudo-ternary komutatif merupakan semiring ternary. Daftar Pustaka Dutta,. K. and S. Kar, 24, On ernary Semifield, Discussiones Mathematicae General Algebra and Applications, 24, 85-98. Kar, S., 2, deal heory in ernary Semiring, Bulletin of Malaysian Mathematics Sciences Society, 34, 69-77. Kar, S. and B. K. Maity, 27, Congruence On ernary Semigroups, Journal of he Chungcheong Mathematical Society, 2, 3.