BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Hakikat Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat 2.1.1 Pengertian Kemampuan Kemampuan adalah kapasitas seorang individu untuk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan. Kemampuan juga dapat diartikan sebuah penilaian terkini atas apa yang dapat dilakukan seseorang. Menurut Zain (dalam Yusdi 2010:10), mengartikan bahwa kemampuan adalah kesanggupan, kecakapan, kakuatan kita berusaha dengan diri sendiri. Sedangkan Sinaga dan Hadiati (2001:34) mendefenisikan kemampuan sebagai suatu dasar seseorang yang dengan sendirinya berkaitan dengan pelaksanaan pekerjaan secara efektif atau sangat berhasil. Sementara itu, Robbin (2007:57) kemampuan berarti kapasitas seseorang individu unutk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan. lebih lanjut Robbin menyatakan bahwa kemampuan (ability) adalah sebuah penilaian terkini atas apa yang dapat dilakukan seseorang. Pada dasarnya kemampuan terdiri atas dua kelompok faktor yaitu : 1) Kemampuan intelektual (intelectual ability) yaitu kemampuan yang dibutuhkan untuk melakukan berbagai aktifitas mental-berfikir, menalar dan memecahkan masalah. 2) Kemampuan fisik (physical ability) yaitu kemampuan melakukan tugastugas yang menuntut stamina, keterampilan, kekuatan, dan karakteristik serupa. 5
Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa kemampuan adalah kecakapan atau potensi seseorang individu untuk menguasai keahlian dalam melakukan atau mengerrjakan beragam tugas dalam suatu pekerjaan atau suatu penilaian atas tindakan seseorang. 2.1.2 Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat Mengurang bilangan bulat merupakan salah satu bagian materi ajar pada pembelajaran matematika di sekolah dasar. Menurut Gagne (dalam Aisyah, 2007:3-2) mengemukakan ada dua macam objek yang dipelajari dalam matematika. Kedua obyek yaitu pertama obyek langsung, yakni fakta, keterampilan, konsep dan prinsip. Sedang objek tak langsung adalah tranfer belajar, kemampuan menyelidiki dan kemampuan memecahkan masalah. Berdasarkan pandangan di atas, maka yang dimaksud dengan kemampuan mengurang bilangan bulat dalam penelitian ini meliputi : a. Kemampuan langsung dalam hal menguasai fakta, memiliki keterampilan, memahami konsep serta menggunakan prinsip-prinsip yang ada dalam melakukan pengurangan bilangan bulat b. Kemampuan tidak langsung diperoleh siswa dalam proses pembelajaran yang berupa transfer belajar, kemampuan menyelidiki dan kemampuan memecahkan masalah yang berhubungan dengan materi pengurangan bilangan bulat. 6
2.1.3 Hakikat Pengurangan Bilangan Bulat a. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah penggabungan dari bilangan-bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, dan seterusnya dengan bilangan-bilangan asli yang negatif yaitu -1, -2,- 3, dan seterusnya. Jadi bilangan-bilangan bulat yaitu, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, dan bilangan nol ( 0 ) yaitu bilangan netral yaitu bukan bilangan positif dan negatif. Karso, (2007:6.4) Muhsetyo, (2009:3.4) menyatakan bahwa pembahasan bilangan bulat (integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tentang bilangan asli (natural/counting numbers). Jadi sebelum membahas kajian bilangan bulatnya, akan disinggung terlebih dahulu tentang pembentuk bilangan bulat dari proses operasi hitung pada bilangan asli. Seperti kita ketahui bahwa bilangan asli seolah-olah terjadi dengan sendirinya atau secara alamiah. Proses pembentukan bilangan bilangan bulat dengan memperluas himpunan bilangan asli. Pada himpunan bilangan asli, kita dapat melakukan proses perhitungan yang menghasilkan bilangan asli pula, misal 2+5=7. Kita ketahui 2 dan 5 adalah bilangan asli, sedangkan hasil penjumlahan tersebut yaitu 7 juga merupakan bilangan asli. Karim, dkk (1997:83) mengemukakan bahwa hanya dengan memiliki pengetahuan tentang bilangan cacah saja kita belum mampu menjawab masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari. Dengan kata lain, himpunan bilangan cacah memiliki kekurangan. Sebagai contoh, tak ada bilangan cacah yang membuat kalimat 7 + y = 5 atau 8 + x = 0 menjadi pernyataan yang bernilai benar. Contoh lain, 4 9 = x tidak mempunyai jawaban bilangan cacah, maka 7
para ahli menciptakan bilangan bulat. Bilangan bulat diciptakan dengan cara tiap bilangan cacah, misalnya 4, kita ciptakan dua simbol baru + 4 dan -4. Simbol bilangan yang diawali tanda plus kecil agak ke atas mewakili bilangan positif. Biasanya tanda plus ini dihilangkan untuk menyatakan positif, sehingga + 4 juga berarti 4. Selanjutnya simbol yang diawali dengan tanda minus kecil agak ke atas mewakili bilangan negatif. Misalnya -3 mewakili bilangan negatif 3. Untuk bilangan 0 bukan bilangan positif dan bukan negatif maka tidak perlu membubuhi tanda apapun. Untuk bilangan cacah 1 ada -1, 2 ada -2, 3 ada -3 dan seterusnya. Dengan demikian, untuk masing-masing bilangan cacah positif yaitu 1,2,3,4,5,6,7,. ada pasangannya -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,. Bilangan terakhir ini disebut bilangan bulat negatif. Gabungan himpunan semua bilangan cacah dan himpunan semua bilangan bulat negatif disebut bilangan bulat. Jadi himpunan semua bilangan bulat terdiri atas : 1) bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu : 1,2,3,4,5,. 2) bilangan bulat nol, yaitu 0 dan 3) bilangan bulat negatif, yaitu: { -1, -2, -3, -4, -5, -6, } Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif dan bilangan bulat 0 (nol). c. Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat Pada operasi pengurangan bilangan bulat terdapat sifat tertutup, sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat distributif, sifat bilangan nol, dan sifat invers. 8
1. Sifat tertutup Sifat tertutup yaitu hasil atau jumlah dua bilangan bulat adalah bilangan bulat juga. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.sifat tertutup berlaku pada penjumlahan dan pengurangan. Misalnya : 6 + (-2) = 4, (6 dan -2 adalah dua bilangan bulat). 4 hasil dari penjumlahan adalah bilangan bulat juga. 8 10 = -2. (8 dan 10 adalah dua bilangan bulat ). -2 adalah bilangan bulat. Bilangan 4 dan -2 merupakan bilangan bulat. Jadi, baik penjumlahan maupun pengurangan dalam bilangan bulat memenuhi sifat tertutup. 2. Sifat Komutatif ( Pertukaran ) Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Sifat ini hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian. Bentuk umum dari sifat komutatif pada penjumlahan yaitu : a + b = b + a. 8 + 2 = 10 2 + 8 = 10 Jadi, 8 + 2 = 2 + 8 Perkalian : 5 7 = 35 7 5 = 35 9
Jadi, 5 7 = 7 5 3. Sifat asosiatif ( Pengelompokan ) Sifat ini juga hanya berlaku pada penjumlahan dan perkalian. Bentuk umum dari sifat Asosiatif pada operasi penjumlahan (a + b ) + c = a + ( b + c ) dan operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ). Penjumlahan Ruas kiri (5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12 Ruas kanan 5 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12 Jadi, (5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4). Perkalian (5 3) 4 = 15 4 = 60 5 (3 4) = 5 12 = 60 Jadi, (5 3) 4 = 5 (3 4). 4. Sifat distribusi ( penyebaran) Sifat distributif ada dua yaitu : 1) Sifat distributif perkalian pada terhadap penjumlahan dengan bentuk umum : a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ). 6 ( 4 + 5 ) = 6 9 = 54 ( 6 4 ) + ( 6 5 ) = 24 + 30 = 54 Jadi, 6 ( 4 + 5 ) = ( 6 4 ) + ( 6 5 ) 10
2) Sifat distributif perkalian pada terhadap pengurangan dengan bentuk umum : a x ( b c ) = ( a x b ) ( a x c ) 7 ( 9 6 ) = 7 3 = 21 ( 7 9 ) ( 7 6 ) = 63 42 = 21 Jadi, 7 ( 9 6 ) = ( 7 9 ) ( 7 6 ) 5. Sifat bilangan nol Untuk menjelaskan konsep dari sifat bilangan 0 ( nol ), dapat dilakukan dengan penjumlahan sembarang bilangan 0. Misalnya 5 + 0 = 5, -2 + 0 = -2. Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat ditambah dengan nol sama dengan dirinya sendiri. 6. Sifat Invers Sifat invers atau disebut juga lawan suatu bilangan. Misalnya lawan dari +1 adalah -1 atau -3 lawannya adalah +3, lawan dari +2 adalah -2 atau -2 lawannya adalah +2, dst. Jika bilangan-bilangan yang berlainan tanda tersebut dijumlahkan perpasangannya akan menghasilkan nilai yang sama yaitu 0. Secara matematis dapatlah dinyatakan bahwa setiap bilangan bulat a mempunyai invers a, dapat juga dikatakan a adalah lawan a, sehingga berlaku a + (-a) = 0 = (-a) + a. Misal : 1 + (-1) = 0 2 + (-2) = 0 11
3 + (-3) = 0 Dapatlah disimpulkan, setiap bilangan bulat (kecuali 0) dapat dipasangkan dengan bilangan bulat yang lain yang merupakan lawan dari bilangan bulat itu sendiri sehingga jumlah pasangan itu adalah 0. c. Pengertian Pengurangan Pengurangan adalah mengurangkan sebuah bilangan dari bilangan lainnya. Pengurangan adalah konsep matematika utama yang seharusnya dipelajari oleh anak-anak setelah penambahan. Biasanya pengurangan diajarkan hampir bersamaan dengan pengajaran penambahan, tepatnya adalah penambahan diajarkan terlebih dahulu baru kemudian pengurangan kemudian keduanya akan diajarkan secara pararel. Ada beberapa tahap untuk mengenali konsep pengurangan ini. Tahap-tahap ini bergantung pada kemampuan (bukan pada umur) anak tersebut secara unik sehingga tidak dapat dipaksakan dalam proses pengajarannya. Untuk memudahkan, cara pengajaran operasi pengurangan dibagi menjadi tiga tahap, yaitu : 1. Tahap Pengenalan Pengurangan Dalam tahap ini, diperkenalkan konsep selisih dalam kehidupan seharihari. Agar perpindahan dari konsep penambahan ke pengurangan berjalan dengan mulus, digunakan pendekatan menghitung ke atas (counting up), yaitu dengan dengan mencari berapa kumpulan benda yang dibutuhkan agar jumlahnya sama dengan kumpulan benda lain yang lebih banyak. Misalnya selama bermain dengan kelereng, jika ada tiga kelereng di lantai, si anak dapat ditanyakan berapa kelereng 12
yang harus ditambahkan agar jumlahnya menjadi sepuluh kelereng (contoh 3 +? = 10). Di sini objek kelereng tentu saja dapat diganti dengan objek-objek yang lain, misalnya teman bermain mereka, barang belanjaan dan sebagainya. Setelah anak telah memahami pengurangan dengan pendekatan menghitung ke atas (counting up), berarti mereka telah siap untuk mengenalkan pendekatan menghitung ke bawah (counting down) yang bersifat lebih langsung ke persoalannya. Pendekatan ini dapat diajarkan dengan cara mengambil satu kelereng dari sepuluh kelereng, kemudian ditanyakan hasilnya kepada si anak (contoh 10 1 =?). Pendekatan ini harus diiringi dengan penggunaan kata-kata untuk menjelaskan konsep pengurangan tersebut misalnya sepuluh dikurangi satu sama dengan sembilan. Dengan mengajarkan fakta-fakta ini terus menerus kepada anak-anak, mereka akan dapat menarik kesimpulan tentang operasi matematika (dalam hal ini tentang pengurangan) dengan tepat walaupun hal ini belum disampaikan dalam bentuk angka tertulis. 2. Tahap Pengurangan Tradisional Tahap ini tentunya dimulai dengan penulisan angka dan simbol operator pengurangan (-). Pada tahap ini, anak-anak sudah harus dapat mengabstraksi konsep bilangan ke dalam sebuah notasi desimal tertulis. Urutan pengajarannya, berdasarkan tingkat kesulitan yang harus dikerjakan oleh anak yaitu berdasarkan banyaknya digit bilangan yang terlibat, misalnya satuan, puluhan, ratusan dan seterusnya. Pada setiap digit bilangan ini dilakukan latihan yang berulang-ulang agar siswa dapat menguasai dengan mahir. Baru kemudian berpindah ke digit 13
bilangan yang lebih banyak. Contoh cara mengajarkan pengurangan satuan (sebagai contoh 4-2) Pada level ini merupakan masa transisi, dari bentuk pengajaran verbal pada tahap pengenalan ke bentuk pengajaran tertulis. Jadi pada waktu membantu mengajarkannya tetap perlu diilustrasikan prosesnya dengan menggunakan jari tangan kita. Cara ini diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada. Fokuskan pengulangannya untuk bilangan 10, misalnya 10-1=9, 10-2=8 dan seterusnya (dalam metode sempoa ini disebut bilangan saling komplementer). 3. Tahap Pengurangan Mental Perhitungan mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya konsentrasi pada para praktisinya. Kunci utama dalam pengurangan secara mental adalah ingatan (memori) dalam mengurangkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar kepala. Serta visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi pengurangan. Disini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep abstrak dari angka tanpa menggunakan peralatan bantuan. d. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Dalam operasi pengurangan bilangan bulat mencakup pengurangan bilangan bulat positif dengan positif, pengurangan bilangan bulat positif dengan negatif, pengurangan bilangan bulat negatif dengan positif dan pengurangan 14
bilangan bulat negatif dengan negatif. Berikut ini dijabarkan bagaimana kita dapat melakukan operasi hitung pengurangan bilangan bulat, Nugraha, (2010:69). a. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif Ada 3 kemungkinan jika bilangan bulat positif dikurangi bilangan bulat positif. 1) Menghasilkan bilangan bulat positif, jika angka bilangan yang dikurangi lebih kecil daripada angka pengurang. 8 3 = 5 8 2 = 6 2) Menghasilkan bilangan bulat negatif, jika angka bilangan pengurang lebih kecil daripada angka bilangan yang dikurangi. 8 9 = -1 8 10 = -2 3) Menghasilkan bilangan nol, jika angka bilangan yang dikurangi sama dengan angka bilangan pengurang. 8-8 = 0 b. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat positif 6 - (-1) = 6 + 1 = 7 15
4 - (-6) = 4 + 6 = 10 c. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat negatif -4 6 = -10-2 - 8 = -10 d. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif Ada 2 kemungkinan jika bilangan bulat negatif dikurangi bilangan bulat negatif. 1. Menghasilkan bilangan bulat positif, jika angka bilangan yang dikurangi lebih besar daripada angka pengurang -4 - (-6) = -4 + 6 = 2 2. Menghasilkan bilangan bulat negatif, jika angka bilangan pengurang lebih besar daripada angka bilangan yang dikurangi -8 - (-4) = -8 + 4 = -4 3. Semua bilangan bulat jika dikurangi dengan 0 (nol), menghasilkan bilangan bulat itu sendiri 8-0 = 8 9-0 = 9 16
2.2 Upaya Guru Meningkatkan Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat Upaya yang dapat dilakukan dalam meningkatkan kemampuan siswa dalam mengurang bilangan bulat yaitu sebagai berikut : 1. Menerapkan Model Pembelajaran yang Efektif Model pembelajaran yang efektif dalam pembelajaran antara lain memiliki nilai relevansi dengan pencapaian daya matematika dan memberi peluang untuk bangkitnya kreativitas guru. Kemudian berpotensi mengembangkan suasana belajar mandiri selain dapat menarik perhatian siswa dan sejauh mungkin memanfaatkan momentum kemajuan teknologi khususnya dengan mengoptimalkan fungsi teknologi informasi. Agar tujuan pembelajaran dapat tercapai maksimal, maka harus diupayakan agar semua siswa lebih mengerti dan memahami materi yang diajarkan daripada harus mengejar target kurikulum tanpa dibarengi pemahaman materi. Dalam prakteknya, pembelajaran berorientasi pada siswa ini dapat dilaksanakan dengan cara pendampingan siswa satu persatu atau per kelompok. Penjelasan materi dan contoh pengerjaan soal diberikan secara klasikal di depan kelas. Kemudian ketika siswa mengerjakan latihan soal guru (beserta asistennya) keliling untuk memperhatikan siswa secara personal. Tugas guru adalah membantu siswa agar dapat menyelesaikan tugasnya sampai benar. Siswa yang pandai akan mendapat perhatian yang kurang sementara siswa yang lemah akan mendapat perhatian yang lebih intensif. Hal yang paling esensial ketika mendampingi (terutama bagi yang berkemampuan rendah) adalah menumbuhkan keyakinan dalam diri siswa bahwa saya (baca: siswa) bisa dan mampu mengerjakan soal. Guru harus berusaha menghilangkan 17
persepsi dalam diri siswa bahwa matematika itu sulit dan mengusahakan agar siswa memiliki pengalaman bahwa belajar itu mudah dan menyenangkan. 2. Menyediakan fasilitas, sumber belajar, dan lingkungan yang mendukung Apabila di dalam kegiatan pembelajaran telah tersedia fasilitas dan sumber belajar yang menarik dan cukup untuk mendukung, hal itu akan menumbuhkan semangat belajar siswa. Demikian pula faktor kondisi dan situasi lingkungan yang juga penting untuk diperhatikan. Jangan sampai faktor itu memperlunak semangat dan keaktifan peserta didik dalam kegiatan belajar. 3. Melaksanakan kegiatan pembelajaran yang menarik, menyenangkan, dan menantang. Agar siswa dapat tetap aktif dalam mengikuti kegiatan atau melaksanakan tugas pembelajaran, perlu dipilih jenis kegiatan atau tugas yang sifatnya menarik atau menyenangkan bagi siswa di samping juga bersifat menantang. Pelaksanaan kegiatan hendaknya bervariatif, tidak selalu harus di dalam kelas, misalnya siswa diberikan tugas yang dikerjakan diluar kelas seperti diperpustakaan, dan lain-lain. Penerapan model belajar sambil bekerja (learning by doing) sangat dianjurkan. Bahkan dijenjang sekolah dasar. Pembelajaran matematika dapat saja dilakukan sambil bernyanyi atau belajar sambil bermain. Untuk lebih mengaktifkan siswa secara merata dapat diterapkan pemberian tugas secara individu atau kelompok belajar (group learning) yang didukung oleh adanya fasilitas/sumber belajar yang cukup. Sekiranya tersedia, dianjurkan penggunaan media pembelajaran sehingga pelaksanaan pembelajaran matematika dapat lebih efektif. 18
4. Membantu kesulitan belajar peserta didik, baik secara individual maupun kelompok. Kondisi pembelajaran dimana siswa belajar secara pasif, jelas tidak menguntungkan terhadap hasil belajarnya. Untuk itu perlu usaha guru agar siswa belajar secara aktif. Sejalan dengan pendapat tersebut Sumarmo (2000) mengatakan agar pembelajaran dapat memaksimalkan proses dan hasil belajar, guru perlu mendorong siswa untuk terlibat secara aktif dalam diskusi, bertanya serta menjawab pertanyaan, berpikir secara kritis, menjelaskan setiap jawaban yang diberikan, serta mengajukan alasan untuk setiap jawaban yang diajukan. Pembelajaran yang diberikan pada kondisi ini ditekankan pada penggunaan diskusi, baik diskusi dalam kelompok kecil maupun diskusi dalam kelas secara keseluruhan. Membantu kesulitan peserta didik dengan cara memperhatikan proses dan hasil belajarnya. Dalam proses belajar terdapat beberap unsur antara lain yaitu penggunaan metode untuk mennyampaikan materi kepada para siswa. Metode yang menarik yaitu dengan gambar dan tulisan warna-warni akan menarik siswa untuk mencatat dan mempelajari materi yang telah disampaikan. 5. Menggunakan Media Pembelajaran Menggunakan media pembelajaran yang baik, serta harus sesuai dengan tujuan pembelajaran. 6. Menggunakan metode yang bervariasi 19
Metode yang bervariasi akan sangat membantu dalam proses belajar dan mengajar. Dengan adanya metode yang baru akan mempermudah guru untuk menyampaikan materi pada siswa. 7. Menerapkan Penilaian Kelas Pada umumnya guru di dalam menilai siswa didasarkan kepada nilai tes formatif baik itu nilai ulangan harian, nilai ulangan tengah semester maupun nilai ulangan akhir semester. Yang terjadi adalah siswa yang berkemampuan kognitif rendah maka selamanya akan dinilai rendah. Begitu sebaliknya, siswa yang berkemampuan kognitif tinggi maka selamanya akan dinilai tinggi. Sebab nilai tes formatif yang selama ini dilaksanakan berbanding lurus dengan kemampuan kognitif. Keaktifan siswa yang berkaitan dengan kemampuan afektif dan psikomotorik dalam hal ini lepas dari penilaian. Jika ini yang terjadi, maka siswa selain dirugikan juga kurang termotivasi dalam belajar. Penilaian kelas seharusnya dapat mengukur semua kemampuan siswa. 20