26 BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Tinjauan Pustaka 211 Pengumpulan Data Statistika Deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna Perlu kiranya dimengerti bahwa statistika deskriptif memberikan informasi hanya mengenai data yang dipunyai dan sama sekali tidak menarik inferensia atau kesimpulan apapun tentang gugus data induknya yang lebih besar ( Ronald E Walpole, 1995, p2) Jenis data : 1 Kualitatif Adalah data yang berbentuk kalimat, kata atau gambar 2 Kuantitatif Adalah data yang berbentuk angka, disini angka dibedakan menjadi : Diskrit Kontinu
27 212 Perencanaan dan Pengendalian Produksi Perencanaan dan Pengendalian Produksi adalah penentuan dan penetapan kegiatan-kegiatan produksi yang akan dilakukan untuk mencapai tujuan perusahaan pabrik tersebut, dan mengawasi kegiatan pelaksanaan dari proses dan hasil produksi, agar apa yang telah direncanakan dapat terlaksana dan tujuan yang diharapkan dapat tercapai Jadi, perencanaan dan pengendalian produksi merupakan kegiatan pengorganisasian dari bagianbagian yang ada dalam melakukan proses produksi Tujuan dari perencanaan dan pengendalian produksi adalah merencanakan dan mengendalikan aliran material ke dalam dan, di dalam, dan keluar pabrik sehingga posisi keuntungan optimal yang merupakan tujuan perusahaan dapat dicapai (Sofjan Assauri, 1999, p125) 213 Melakukan Pengukuran Waktu Pengukuran waktu adalah pekerjaan mengamati dan mencatat waktuwaktu kerjanya baik setiap elemen ataupun siklus Teknik pengukuran waktu terbagi atas dua bagian yaitu secara langsung dan secara tidak langsung Pengukuran secara langsung adalah pengukuran yang dilakukan secara langsung yaitu ditempat dimana pekerjaan yang bersangkutan dilaksanakan Dua cara yang termasuk didalamnya adalah cara jam henti dan sampling pekerjaan Cara tidak langsung melakukan perhitungan waktu tanpa harus
28 berada ditempat pekerjaan yaitu dengan membaca tabel-tabel yang tersedia asalkan mengetahui jalannya pekerjaan melalui elemen-elemen pekerjaan atau elemen-elemen gerakan Hal-hal yang dikerjakan selama pengukuran berlangsung adalah pengkuran pendahuluan Tujuan melakukan pengukuran pendahuluan adalah untuk mengetahui berapa kali pengukuran harus dilakukan untuk tingkattingkat ketelitian dan keyakinan yang diinginkan Tingkat-tingkat ketelitian dan keyakinan ini ditetapkan pada saat menjalankan langkah penetapan tujuan pengukuran Untuk mengetahui berapa kali pengukuran harus dilakukan, dilakukan beberapa tahap pengukuran pendahuluan Pengukuran pendahuluan pertama dilakukan dengan melakukan beberapa buah pengukuran yang banyaknya ditentukan oleh pengukur Biasanya sepuluh kali atau lebih Setelah pengukuran tahap pertama ini dijalankan, tiga hal harus mengikutinya yaitu menguji keseragaman data, menghitung jumlah pengukuran yang diperlukan, dan bila jumlah belum mencukupi dilanjutkan dengan pengukuran pendahuluan kedua Jika tahap kedua selesai maka dilakukanlah ketiga hal yang sama seperti tadi, dimana bila perlu dilanjutkan dengan pengukuran pendahuluan tahap kedua Begitu seterusnya sampai jumlah keseluruhan pengukuran mencukupi untuk tingkattingkat ketelitian dan keyakinan yang dikehendaki Istilah pengukuran
29 pendahuluan terus digunakan selama jumlah pengukuran yang telah dilakukan pada tahap pengukuran belum mencukupi (Sutalaksana, 1979, p131-132) 214 Uji Keseragaman Data Tugas mengukur adalah mendapatkan data yang seragam Karena ketidak seragaman data dapat datang tanpa disadari, maka diperlukan suatu alat yang dapat mendeteksi Batas-batas kontrol yang dibentuk dari data merupakan batas seragam tidaknya data Data yang dikatakan seragam yaitu berasal dari sistem sebab yang sama, bila berada diantara kedua batas kontrol Data yang tidak seragam yaitu berasal dari sistem sebab yang berbeda, jika berada diluar batas kontrol Uji keseragaman data perlu untuk dilakukan terlebih dahulu sebelum menggunakan data yang diperoleh guna menetapkan waktu baku Uji keseragaman data bisa dilaksanakan dengan cara visual dan/atau mengaplikasikan peta kontrol (control chart) Peta kontrol (control chart) adalah suatu alat yang tepat guna dalam menguji keseragaman data dan/atau keajegan data yang diperoleh dari hasil pengamatan Uji keseragaman data secara visual dilakukan secara sederhana mudah dan cepat Disini kita hanya sekedar melihat data yang terkumpul dan seterusnya mengedentifikasikan data yang terlalu ekstrim Yang dimaksud dengan data yang terlalu ekstrim adalah data yang terlalu besar atau yang
30 terlalu kecil dan jauh menyimpang dari trend rata-ratanya Data yang terlalu ekstrim ini sebaiknya dibuang jauh-jauh dan tidak dimasukkan ke dalam perhitungan selanjutnya (Sutalaksana, 1979, p131-132) Langkah langkah yang dilakukan untuk menguji keseragaman data sebagai berikut : 1 Hasil pengukuran dikelompokkan ke dalam subgrup-subgrup dan hitung rata-rata dari tiap subgrup : X k = Xi n dimana : n = ukuran subgrup, yaitu banyaknya data dalam satu subgrup k = jumlah subgrup yang terbentuk Xi = data pengamatan 2 Hitung rata-rata keseluruhan, yaitu rata-rata dari rata-rata subgrup : X = k X k 3 Hitung standar deviasi dari waktu penyelesaian : Xi X σ = N 1 dimana: N = jumlah pengamatan pendahuluan yang telah dilakukan 4 Hitung standar deviasi dari distribusi harga rata-rata subgrup : 2
31 σ = X σ n 5 Tentukan Batas Kontrol Atas (BKA) dan Batas Kontrol Bawah (BKB) : BKA = x + 3 x ( Zσ ) X BKB = x 3 x ( Zσ ) Dimana : Z = koefisien pada distribusi normal sesuai dengan tingkat kepercayaan, rumusnya : X Z = 1 1 β 2 6 Jika seluruh rata-rata data waktu subgrup berada di daerah antara BKA dan BKB, maka data waktu dikatakan seragam 215 Uji Kecukupan Data Waktu yang diperlukan untuk melaksanakan elemen kerja pada umumnya akan sedikit berbeda dari siklus ke siklus kerja sekalipun operator bekerja pada kecepatan normal dan uniform, tiap elemen dalam siklus yang berbeda tidak selalu akan bisa diselesaikan dalam waktu yang persis sama Aktivitas pengukuran kerja pada dasarnya adalah merupakan proses sampling Konsekuensi yang diperoleh adalah bahwa semakin besar jumlah siklus kerja yang diamati atau diukur maka akan semakin mendekati kebenaran akan data waktu yang diperoleh Konsistensi dari hasil pengukuran dan pembacaan
32 waktu oleh stop-watch akan merupakan hal yang diinginkan dalam proses pengukuran kerja Semakin kecil variasi atau perbedaan data waktu yang ada, maka jumlah pengukuran atau pengamatan yang harus dilakukan juga akan cukup kecil Sebaliknya, semakin besar variabilitas dari data waktu pengukuran, akan menyebabkan jumlah siklus kerja yang diamati juga akan semakin besar agar bisa diperoleh ketelitian yang dikehendaki Perhitungan uji kecukupan data dapat dilakukan setelah semua harga rata-rata subgrup berada dalam batas kendali Rumus dari kecukupan data adalah: Z N' = s N Xi 2 Xi ( Xi) 2 2 dimana: N = jumlah pengukuran data minimum yang dibutuhkan N = jumlah pengukuran pendahuluan yang telah dilakukan setelah dikurangi data pengukuran di luar BKA atau BKB Z = bilangan konversi pada distribusi normal sesuai dengan tingkat kepercayaan s = tingkat ketelitian Jumlah pengukuran waktu dapat dikatakan cukup apabila jumlah pengukuran data minimum yang dibutuhkan secara teoritis lebih kecil atau sama dengan jumlah pengukuran pendahuluan yang sudah dilakukan (N N)
33 Jika jumlah pengukuran masih belum mencukupi, maka harus dilakukan pengukuran lagi sampai jumlah pengukuran tersebut cukup (Sutalaksana, 1979, p134) 216 Tingkat Ketelitian dan Tingkat Keyakinan pengukuran ini bertujuan untuk mencari waktu yang sebenarnya dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan Karena waktu penyelesaian ini tidak pernah diketahui sebelumnya maka harus diadakan pengukuran Yang ideal tentunya dilakukan pengukuran-pengukuran yang sangat banyak (sampai tak terhingga) karena dengan demikian diperoleh jawaban yang pasti Tetapi hal ini jelas tidak mungkin karena keterbatasan waktu, tenaga dan tentunya biaya Namun sebaliknya jika tidak dilakukan beberapa kali pengukuran, dapat diduga hasilnya sangat kasar Sehingga yang diperlukan adalah jumlah pengukuran yang tidak membebankan waktu, tenaga dan biaya yang besar tetapi hasilnya tidak dapat dipercaya Jadi,walaupun jumlah pengukuran tidak berjuta kali, tetapi jelas tidak hanya beberapa kali saja Dengan tidak dilakukannya pengukuran yang banyak sekali ini, pengukur akan kehilangan sebagian kepastian akan ketetapan atau rata-rata waktu penyelesaian yang sebenarnya Tingkat ketelitian dan tingkat kepercayaan adalah pencerminan tingkat kepastian yang diinginkan pengukur setelah memutuskan tidak akan melakukan pengukuran yang sangat banyak
34 Tingkat ketelitian menunjukkan penyimpangan maksimum hasil pengukuran dari waktu penyelesaian sebenarnya Hal ini biasanya dinyatakan dalam persen Sedangkan, tingkat kepercayaan menunjukkan besarnya kepercayaan pengukur bahwa hasil yang diperoleh memenuhi syarat ketelitian tadi Jadi tingkat ketelitian 10% dan tingkat keyakinan 95% memberi arti bahwa pengukur membolehkan rata-rata hasil pengukurannya menyimpang sejauh 10% dari rata-rata sebenarnya, dan kemungkinan berhasil mendapatkan hal ini adalah 95% Dengan kata lain, jika pengukur sampai memperbolehkan rata-rata pengukuran yang menyimpang lebih dari 10% seharusnya, hal ini boleh terjadi hanya dengan kemungkinan 5% (100%-95%) Pengaruh tingkat ketelitian dan keyakinan terhadap jumlah pengukuran yang diperlukan dapat dipelajari secara statistik Tetapi secara intuitif hal ini dapat diduga yaitu bahwa semakin tinggi tingkat ketelitian dan semakin besar tingkat keyakinan, maka semakin banyak pengukuran yang diperlukan (Sutalaksana, 1979, p135-136)
35 217 Peramalan Peramalan adalah suatu metode atau cara yang digunakan untuk membantu memberikan gambaran tentang permintaan terhadap produk atau jasa dimasa yang akan datang yang dapat membantu dalam melakukan persiapan untuk periode yang akan datang Peramalan dapat didefinisikan sebagai suatu perkiraan tingkat permintaan yang diharapkan untuk suatu produk atau beberapa produk dalam periode waktu yang akan datang Peramalan juga dapat diartikan sebagai suatu taksiran yang menggunakan cara-cara tertentu, sehingga peramalan dapat menjadi lebih dari sebuah taksiran Taksiran yang ilmiah meskipun akan ada sedikit kesalahan yang dapat disebabkan oleh adanya keterbatasan Peramalan biasanya didukung dengan menganalisa data dari data penjualan dan produksi dari periode-periode yang lalu Data-data ini akan membantu memberikan proyeksi pola terhadap suatu produk atau jasa yang akan membantu dalam proses peramalan Proses peramalan melibatkan perhitungan secara teliti dengan menggunakan metodemetode tertentu dengan melibatkan dan mempertimbangkan faktor-faktor yang mempengaruhi peramalan tersebut (Makridakis, 1999, p19-24) Waktu peramalan dapat diklarifikasikan dalam beberapa periode: 1 Peramalan jangka pendek, untuk jangka waktu kurang dari satu tahun kedepan
36 2 Peramalan jangka sedang, untuk jangka waktu peramalan antara satu sampai dengan tiga tahun kedepan 3 Peramalan jangka panjang, untuk jangka waktu lebih dari lima tahun kedepan Kegunaan peramalan yang mempunyai tujuan yang akan menentukan sifat dari peramalan tersebut Beberapa kegunaan peramalan antara lain: Untuk menentukan keperluan perluasan pabrik dan beberapa kapasitas yang dibutuhkan Untuk menentukan rencana lanjutan untuk produk-produk yang ada dengan fasilitas yang tersedia Untuk menentukan suatu penjadwalan produksi dari produk yang akan datang yang akan diproduksi dengan peralatan yang ada Pola data dapat dibedakan menjadi empat jenis, yaitu antara lain : 1 Pola trend (T) Terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan sekuler jangka panjang dalam data Penjualan banyak perusahaan, produk bruto nasional (GNP) dan berbagai indikator bisnis atau ekonomi lainnya mengikuti suatu pola trend selama perubahannya sepanjang waktu
37 Grafik 21 Pola Trend 2 Polai musiman (S) Terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu) Penjualan dari produk seperti minuman ringan, es krim, dan bahan bakar pemanas ruang semuanya menunjukkan jenis pola ini Grafik 22 Pola Musiman 3 Pola siklis (C) Terjadi bilamana datanya dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubugnan dengan siklus bisnis Contohnya penjualan produk seperti mobil, baja dan peralatan utama lainnya
38 Grafik 23 Pola Pengaruh Siklikal 4 Pola horizontal (H) Terjadi bilamana nilai data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata yang konstan Suatu produk yang penjualannya tidak meningkat atau menurun selama waktu tertentu termasuk jenis ini Demikian pula, suatu keadaan pengendalian mutu yang menyangkut pengambilan contoh dari suatu proses produksi berkelanjutan yang secara teoritis tidak mengalami perubahan juga termasuk jenis ini Grafik 24 Pola horizontal Banyak jenis metode peramalan yang tersedia untuk meramalkan permintaan dalam produksi Namun yang lebih penting adalah bagaimana memahami karateristik suatu metode peramalan agar sesuai dengan situasi pengambilan keputusan Situasi peramalan sangat beragam dalam horison waktu peramalan, faktor yang menentukan hasil yang sebenarnya, tipe pola data dan berbagai aspek lainnya Untuk menghadapi penggunaan yang luas
39 seperti itu, beberapa teknik telah dikembangkan Teknik tersebut dibagi dalam 2 kategori utama, yaitu : 1) Metode peramalan kuantitatif Metode kuantitatif sangat beragam dan setiap teknik memiliki sifat, ketepatan dan biaya tertentu yang harus dipertimbangkan dalam memilih metode tertentu Metode kuantitatif formal didasarkan atas prinsipprinsip statistik yang memiliki ketepatan tinggi atau dapat meminimumkan kesalahan (error), lebih sistematis, dan lebih populer dalam penggunaannya Untuk menggunakan metode kuantitatif terdapat tiga kondisi yang harus dipenuhi, yaitu : a Tersedia informasi tentang masa lalu b Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik c Dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek pola masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang Metode kuantitatif dapat dibagi kedalam dua model, yaitu : a Model deret berkala (time series) Pada model ini, pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu varibel dan / atau kesalahan masa lalu Model deret berkala menggunakan riwayat permintaan masa lalu dalam membaut ramalan untuk masa depan Tujuan metode
40 peramalan deret berkala ini adalah menemukan pola dalam deret berkala historis dan mengekstrapolasikan pola dalam deret data historis dan mengekstrapolasikan pola tersebut ke masa depan Langkah penting dalam memilih suatu metode derat berkala yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling tepat dengan metode tersebut dapat diuji Metode peramalan yang dapat membedakan setiap pola harus dipakai bila diinginkan adanya pemisahan komponen pola tersebut b Model kausal Model kausal mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab-akibat dengan satu atau lebih variabel bebas Maksud dari model kausal adalah menemukan bentuk hubungan tersebut dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang dari varibel tak bebas Setelah hubungan ini ditemukan, nilai-nilai masa mendatang dapat diramalkan cukup dengan memasukkan nilai-nilai yang sesuai untuk varibel-variabel independen Metode peramalan kausal mengasumsikan bahwa permintaan akan suatu produk bergantung pada satu atau beberapa faktor independen (misalnya, harga, iklan, persaingan, dan lain-lain)
41 Metode peramalan kuantitatif terletak diantara dua ekstrim rangkaian kesatuan, yaitu : 1 Metode naif/intuitif Metode ini bersifat sederhana dan mudah dipakai, tetapi tidak selalu tepat seperti metode kuantitatif formal Metode ini masih cukup banyak digunakan karena beberapa orang lebih menyukai pendekatan judgemental daripada pendekatan yang lebih objektif 2 Metode kuantitatif formal yang didasarkan atas prinsipprinsip statistika Metode ini menggunakan ekstrapolasi horisontal, musiman, dan trend Jenis ini didasarkan atas pengalaman empiris yang sangat beragam dari bisnis ke bisnis, produk ke produk, dari dari peramal yang satu ke peramal yang lain 2) Metode peramalan kualitatif atau teknologis Metode peramalan ini tidak memerlukan data yang serupa seperti metode peramalan kuantitatif Input yang dibutuhkan tergantung pada metode tertentu dan biasanya merupakan hasil dari pemikiran intuitif, perkiraan dan pengetahuan yang telah didapat Pendekatan teknologis seringkali memerlukan input dari sejumlah orang yang terlatih
42 Metode kualitatif mengandalkan opini pakar atau manajer dalam membuat prediksi tentang masa depan Metode ini berguna untuk tugas peramalan jangka panjang Penggunaan pertimbangan dalam peramalan, sekilas, tampaknya tidak ilmiah dan bersifat sementara Tetapi bila data masa lalu tidak ada atau tidak mencerminkan masa mendatang, tidak banyak alternatif selain menggunakan opini dari orang-orang yang berpengetahuan Ramalan teknologis terutama digunakan untuk memberikan petunjuk, untuk membantu perencana dan untuk melengkapi ramalan kuantitatif, bukan untuk memberikan suatu ramalan numerik tertentu (Makridakis, 1999, p19-24) Metode kualitatif dapat dikelompokkan menjadi 2, yaitu : a Metode ekspoloratoris Metode eksploratoris (seperti Delphi, kurva-s, analogi, dan penelitian morfologis) dimulai dengan masa lalu dan masa kini sebagai titik awalnya dan bergerak kearah masa depan secara heuristik, seringkali dengan melihat semua kemungkinan yang ada b Metode normatif Metode normatif (seperti matriks keputusan, pohon relevansi, dan analisis sistem) dimulai dengan menetapkan sasaran dan tujuan yang akan datang, kemudian bekerja mundur untuk melihat apakah
43 hal ini dapat dicapai, berdasarkan kendala, sumber daya, dan teknologi yang tersedia 218 Pemilihan Teknik Peramalan Pola atau karakteristik data mempengaruhi teknik peramalan yang dipilih Seringkali, pola data tersebut merupakan karakteristik inheren dari kegiatan yang sedang diteliti Hubungan data dengan jangka waktu semakin jelas jika kita mengamati bahwa pola trend adalah merupakan kecenderungan jangka panjang, sedangkan variasi musiman menunjukkan pola data yang berulang Dalam mengevaluasi teknik-teknik yang dikaitkan dengan pola data bisa saja diterapkan lebih dari satu teknik untuk data yang sama Misalnya, teknik-teknik tertentu mungkin lebih akurat dalam memprediksi titik balik, sedangkan lainnya terbukti lebih andal dalam peramalan pola perubahan yang stabil Bisa juga terjadi beberapa model meramalkan terlalu tinggi (overestimate) atau terlalu rendah (underestimate) dalam situasi tertentu Selain itu, mungkin juga terjadi bahwa prediksi jangka pendek dari suatu model lebih baik dari model lain yang memiliki prediksi jangka panjang yang lebih akurat
44 21111 Teknik Peramalan untuk Data yang Stasioner Suatu data runtut waktu yang bersifat stasioner merupakan suatu serial data yang nilai rata-ratanya tidak berubah sepanjang waktu Keadaan tersebut terjadi jika pola permintaan yang mempengaruhi data tersebut relatif stabil Dalam bentuknya yang paling sederhana, peramalan suatu data runtut waktu yang stasioner memerlukan data historis dari runtut waktu tersebut untuk mengestimasi nilai rata-ratanya, yang kemudian menjadi peramalan untuk nilai-nilai masa datang Beberapa teknik yang dapat dipertimbangkan ketika meramalkan data runtut waktu yang stasioner adalah metode naif, metode rata-rata sederhana, rata-rata bergerak, pemulusan eksponensial sederhana, dan model ARIMA (Hanke, 2005, p75) 21112 Teknik Peramalan untuk Data Trend Suatu data runtut waktu yang bersifat trend didefinisikan sebagai suatu series yang mengandung komponen jangka panjang yang menunjukkan pertumbuhan atau penurunan dalam data tersebut sepanjang suatu periode waktu yang panjang Dengan kata lain, suatu data runtut waktu dikatakan mempunyai trend jika nilai harapannya berubah sepanjang waktu sehingga data tersebut diharapkan menaik atau menurun
45 selama periode dimana peramalan diinginkan Biasanya data runtut waktu ekonomi mengandung suatu trend Teknik-teknik peramalan yang digunakan untuk peramalan data runtut waktu yang mengandung trend adalah rata-rata bergerak, pemulusan eksponensial linier dari Holt, regresi sederhana, model ARIMA (Hanke, 2005, p75-76) 21113 Teknik Peramalan untuk Data Musiman Suatu data runtut waktu yang bersifat musiman didefinisikan sebagai suatu data runtut waktu yang mempunyai pola perubahan yang berulang secara tahunan Mengembangkan suatu teknik peramalan musiman biasanya memerlukan pemilihan metode perkalian dan pertambahan dan kemudian mengestimasi indeks musiman dari data tersebut Indeks ini kemudian digunakan untuk memasukkan sifat musiman dalam peramalan atau untuk menghilangkan pengaruh seperti itu dari nilai-nilai yang diobsevasi Teknik-teknik yang dapat dipertimbangkan ketika kita meramalkan data runtut waktu yang bersifat musiman meliputi metode dekomposisi klasik, Census X-12, pemulusan eksponensial dari Winter, regresi berganda dan model ARIMA (Hanke, 2005, p76)
46 21114 Teknik Peramalan untuk Data yang Bersifat Siklis Pengaruh siklis didefinisikan sebagai fluktuasi seperti gelombang disekitar garis trend Pola siklis cenderung untuk berulang setiap dua, tiga tahun, atau lebih Pola siklis sulit untuk dibuat modelnya karena polanya tidak stabil Turun-naiknya fluktuasi di sekitar trend jarang sekali berulang pada interval waktu yang tetap, dan besarnya fluktuasi juga selalu berubah Metode dekomposisi bisa diperluas untuk menganalisis data siklis Teknik-teknik yang dapat dipertimbangkan ketika kita meramalkan data runtut waktu yang bersifat siklis adalah metode dekomposisi klasik, indikator ekonomi, model-model ekonometrik, regresi berganda dan model ARIMA (Hanke, 2005, p76) 219 Arti dan Fungsi Linear Programming Linear Programming (LP) adalah alat analisis atas masalah yang mempunyai variabel-variabel bersifat deterministik (terukur) dan masingmasing mempunyai hubungan linier satu sama lain Linear Programming ditemukan oleh George Dantzig Teknik analisis ini berkembang secara menakjubkan dan mampu memecahkan berbagai masalah (problem solving) yang terdapat dalam kehidupan nyata (real life) George Dantzig adalah orang
47 yang pertama memformulasikan general LP kemudian mengembangkannya dengan mengunakan metode simplex Linear Programming merupakan alat analisis yang menunjang keberhasilan riset operasi dalam memecahkan berbagai masalah sehingga dapat diambil keputusan yang tepat Sejak tahun 1940-an, LP yang semula digunakan untuk kalangan militer, kemudian digunakan secara luas di berbagai sektor kehidupan, misalnya transportasi, ekonomi, industri, dan pertanian, bahkan dalam ilmu sosial yang menyangkut perilaku manusia (human behavior) Lebih-lebih setelah periode 1960-an dengan digunakannya komputer sebagai alat pemercepat analisis suatu masalah LP tersebut dapat diformulasikan dalam software komputer menjadikan LP sebagai alat canggih dalam riset operasi untuk memperoleh keputusan-keputusan yang optimum dengan cepat dan tepat (Suyadi Prawirosentono, 2005, p12) Dalam dunia nyata belum tentu semua variabel atau parameter dapat diketahui secara pasti Akan tetapi, dengan LP selalu dapat dicoba untuk menyuguhkan solusi dari suatu masalah secara optimum, berdasarkan kondisi yang ada pada saat itu Apabila kemudian parameter berubah maka dapat diperbaiki lebih lanjut dengan menggunakan analisis parametrik (parametric analysis) sehingga dapat diperoleh lagi solusi optimum berikutnya Dalam membangun model dari formulasi akan digunakan karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan LP, yaitu :
48 a Variabel keputusan Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat b Fungsi tujuan Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan (untuk ongkos) c Pembatas Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang d Pembatas tanda Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel keputusan tersebut boleh berharga positif, boleh juga negatif (tidak terbatas dalam tanda) (Tjutju Tarliah Dimyati, 2003, p18-20)
49 2110 Model Linear Programming Aktivitas Sumber 1 2 m z/unit Tingkat Tabel 21 Data untuk model Linear Programming Penggunaan sumber/unit Banyaknya sumber 1 2 n yang dapat digunakan a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 1 a m1 a m2 a mn b m c 1 c 1 c 1 x 1 x 1 x 1 Untuk menjelaskan persoalan diatas, terlebh dahulu diberi nomor (1,2,, m) untuk sumber dan nomor (1,2,, n) untuk aktivitas Tentukan x 1 sebagai tingkat aktivitas j (sebuah variabel keputusan) untuk j = 1,2,, n; dan tentukan z sebagai ukuran keefektifan yang terpilih Koefisien c j adalah koefisien keuntungan (ongkos) per unit Kemudian tentukan b i sebagai banyaknya sumber i yang digunakan dalam pengalokasian (i = 1,2,,m) Akhirnya definisikan a ij sebagai banyaknya sumber i yang digunakan oleh masing-masing unit aktivitas j (untuk i = 1,2,,m dan j = 1,2,,n) Dengan demikian formulasi model matematisnya adalah sebagai berikut :
50 Maksimumkan Z = c1 x1 + c2 x2 + + cnxn Berdasarkan Pembatas : a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn b2 dan am1 x1 + am2 x2 + + amn xn bm x1 0, x2 0,, xn 0 Selain model LP diatas, ada pula model LP dengan bentuk yang lain, seperti : 1 Fungsi tujuan bukan memaksimumkan, melainkan meminimumkan Contoh : Minimumkan Z = c1 x1 + c2 x2 + + cnxn 2 Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai ketidaksamaan dalam bentuk lebih besar atau sama dengan Contoh : ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn bi, untuk beberapa harga i 3 Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai bentuk persamaan Contoh : ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi, untuk beberapa harga i 4 Menghilangkan konstrain nonnegatif untuk beberapa variabel keputusan Contoh : xj tidak terbatas dalam tanda, untuk beberapa harga j (Tjutju Tarliah Dimyati, 2003, p24-26)
51 2111 Teknik Pemecahan Model Linear Programming Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model linear programming ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalanpersoalan LP ini, yaitu dengan cara grafis dan dengan metode simpleks 2115 Metode Simpleks Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan LP yang mempunyai variabel keputusan dan pembatas yang besar Algoritma simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks, sedemikian sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien Metode simpleks merupakan salah satu metode dalam pemograman linier yang umum digunakan untuk menentukan hasil yang optimal bagi permasalahan yang memiliki tiga variabel atau lebih Masalah pemograman linier yang hanya mengandung dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik Tetapi apabila masalah tersebut mengandung lebih dari dua variabel maka metode grafik akan sangat sulit untuk diterapkan sehingga diperlukan penggunaan metode simpleks (Tjutju Tarliah Dimyati, 2003, p53-57)
52 Metode simpleks dikembangkan pertama kali oleh George Dantzig tahun 1947 Metode ini menyelesaikan masalah LP melalui tahapan (perhitungan ulang) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang sampai tercapai solusi optimal Langkah-langkah penyelesaian masalah penyelesaian LP dalam bentuk standar dengan menggunakan metode simpleks adalah sebagai berikut : Langkah 1 : Merubah fungsi tujuan dan fungsi kendala Fungsi tujuan dirubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua C j X j kekiri Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + + C n X n diubah menjadi Z C 1 X 1 C 2 X 2 C n X n = 0 Pada bentuk standar, semua fungsi kendala mempunyai tanda Pertidaksamaan fungsi kendala selain kendala non negatif dirubah menjadi bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack, yaitu suatu variabel yang mewakili tingkat pengangguran, kapasitas yang merupakan batasan Oleh karena variabel yang ada diwakili oleh X 1, X 2,, X n maka variabel slack ini diwakili oleh S 1, S 2,, S m a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + + a 1n X n h 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + + a 2n X n h 2 a m1 X 1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + + a mn X n h m
53 diubah menjadi a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 31 X 3 + + a 1n X n + S 1 = h 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 32 X 3 + + a 2n X n + S 2 = h 2 a m1 X 1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + + a mn X n + S 1 = h m Langkah 2 : Mentabulasikan persamaan-persamaan yang diperoleh pada langkah 1 Tabel 22 Bentuk Umum Tabel Simpleks Awal Basis Z X 1 X 2 X n S 1 S 2 S m Solusi Z S 1 S 2 S m 1 0 0 0 -C 1 -C 2 -C 2 0 0 0 a 11 a 12 a 1n 1 0 0 a 11 a 22 a 2n 0 1 0 a 11 a m2 a mn 0 0 1 0 b 1 b 2 b m Kolom basis menunjukkan variabel yang sedang menjadi basis, yaitu S 1, S 2, S n yang nilainya ditunjukkan oleh kolom solusi Secara tidak langsung ini menunjukkan bahwa variabel non basis (X 1, X 2,, X n ) sama dengan nol, karena belum ada kegiatan sedangkan kapasitasnya masih menganggur yang ditunjukkan oleh nilai S 1, S 2,, S n Langkah 3 : Menentukan entering variable Entering variable (kolom kunci) adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah nilai tabel Pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar Jika pada baris fungsi tujuan terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai negatif yang
54 angkanya terbesar pilihlah salah satu secara sembarang Jika tidak ditemukan nilai negatif, berarti solusi sudah optimal Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang nialinya positif terbesar Jika tidak ditemukan niali positif berarti solusi telah optimal Langkah 4 : Menentukan leaving variable Leaving variable (baris kunci) dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel yang sebaris Rasio = NilaiSolusi KoefisienKolomEnteringnya Jika terdapat lebih dari 1 baris yang mempunyai rasio terkecil maka pilih salah satu secara sembarang Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci maka persoalan tidak memiliki pemecahan Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot Elemen pada perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan elemen pivot Langkah 5 : Menentukan persamaan pivot baru Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot Gantilah nilai basis persamaan pivot baru dengan nama entering variablenya
55 Langkah 6 : Tentukan persamaan baru selain persamaan pivot baru Persamaan baru = (persamaan lama) (koefisien kolom entering x persamaan pivot baru) Langkah 7 : Lanjutkan perbaikan-perbaikan Lakukan langkah perbaikan dengan cara mengulang langkah 3 sampai langkah 6 hingga diperoleh hasil optimal Iterasi baru berhenti setelah pada baris fungsi tujuan sudah tidak ada yang bernilai negatif Solusi yang dihasilkan adalah nilai-nilai yang terletak pada kolom solusi Apabila dalam proses terjadi keadaan dimana nilai-nilai pada baris fungsi tujuan bertambah secara tak terbatas, maka iterasi tidak perlu dilanjutkan, cukup disebutkan bahwa kenaikan nilai Z tidak terbatas Dalam beberapa kasus, terdapat penyimpangan-penyimpangan dari persoalan dengan formulasi standar biasa yang bisa diselesaikan dengan metode simpleks Penyimpangan tersebut dapat berupa tanda (=), kendala bertanda ( ) atau b i negatif Ada 4 cara formulasi, yaitu : 1 Apabila fungsi kendala bertanda, tambahkan variabel slack 2 Apabila fungsi kendala bertanda =, tambahkan variabel artifisial 3 Apabila fungsi kendala bertanda, kurangi dengan variabel slack dan tambahkan variabel artifisial 4 Apabila nilai kanan fungsi kendala adalah negatif, maka harus diubah positif (kalikan -1) dan sesuaikan dengan ketiga point diatas
56 22 Kerangka Berpikir Dalam dunia nyata belum tentu semua variabel atau parameter dapat diketahui secara pasti Akan tetapi dengan Linear Programming selalu dapat dicoba untuk menyuguhkan solusi dari suatu masalah secara optimum, berdasarkan kondisi yang ada pada saat itu Apabila kemudian parameter berubah, maka dapat diperbaiki lebih lanjut dengan menggunakan analisis parametik sehingga dapat diperoleh lagi solusi optimum berikutnya