PROGRA LINEAR BILANGAN BULAT DUAL SKRIPSI Duk Utuk emeuh Slh Stu Syrt emperoleh Gelr Sr Ss (S.S) Progrm Stud temtk Oleh: Berdet Wdsh NI : 7 PROGRA STUDI ATEATIKA JURUSAN ATEATIKA FAKULTAS ATEATIKA DAN ILU PENGETAHUAN ALA UNIVERSITAS SANATA DHARA YOGYAKARTA 7
HALAAN PERSEBAHAN Term ksh Telh megrku membedk yg ber d yg slh edorogku utuk memperthk mmp mmpku euukk pdku utuk tdk terpegruh oleh rtg D utuk megubh kebgugku med seyum Telh megtk bhw kl meyygku euukk betp stmewy ct tu eghpusk r mtku kl ku sedh D utuk meegkku st ku g mrh Telh membtu sesm deg perbut bk kl egrku bhw ku pu mest meolog sesm emelukku ketkku mers suy D membskk pdku AKU SAYANG PADAU Term ksh kelurgku ts segl yg kl lkuk Eth bgm dy drku tp kl Kupersembhk kry utuk: Tuh Yesus Krstus d Bud r Almrhum Bpk, Ibu, b et, L d Semu Kelurg Besrku. v
v
ABSTRAK Progrm ler blg bult merupk bg dr progrm ler d m meggk peyeles dlm betuk blg bult. Dlm progrm ler blg bult terdpt du model, yk progrm ler blg bult frksol dul d progrm ler blg bult dul. Progrm ler blg bult frksol dul memugkk dy l vrbel berup blg pech dlm perhtugy, sedgk dlm progrm ler blg bult dul semu l vrbel dlm perhtug hruslh berup blg bult. slh progrm ler blg bult dpt dselesk deg megguk beberp metode, sepert metode bdg pemotog, metode cbg d bts, d metode eumers. Pd peuls mslh progrm ler blg bult k dselesk deg metode bdg pemotog. Peyeles mslh progrm ler blg bult deg metode bdg pemotog dmul deg megubh betuk bku med betuk kok, d meyusu tbel wl. Setelh tu dlutk deg mecr brs sumber d kolom pvot sert meetuk betuk kedl bdg pemotog. Betuk kedl bdg pemotog tersebut kemud dtmbhk ke dlm tbel, yg seluty dselesk deg metode smpleks. Proses ters dulg hgg peyeles optmum dcp. v
ABSTRACT Iteger progrmmg s prt of ler progrmmg where ts solutos re teger. There re two models of teger progrmmg, dul frctol teger progrmmg d dul ll-teger teger progrmmg. The vlue of vrbles clcultos of dul frctol teger progrmmg c be the form of frctol, whle dul ll-teger teger progrmmg ll of vrble vlues clcultos must be the form of teger. Some methods, such s cuttg ple method, brch d boud method d eumerto method c solve the teger progrmmg problem. I ths pper, we use cuttg ple method to solve teger progrmmg problem. The frst step solvg teger progrmmg problem by cuttg ple method s chgg stdrd form to coc form, d rrgg the begg tble. After tht, we choose the source row d pvot colum, d the determe the form of the Gomory Cut. We wll dd the Gomory Cut to the tble d solve t by dul smple method. We repet ths terto process utl optmum teger soluto. v
KATA PENGANTAR Pu syukur peuls ptk kepd Tuh Yesus ts segl ksh d perldug-ny sehgg peuls skrps dpt terselesk. Skrps dsusu dlm rgk melegkp slh stu syrt utuk memperoleh gelr Sr Ss pd Progrm Stud temtk, Jurus temtk, Fkults temtk d Ilmu Alm, Uversts St Dhrm Yogykrt. Peuls skrps tdk leps dr btu d dukug dr berbg phk. Oleh kre tu, pd kesempt peuls g meympk ucp term ksh kepd:. Ibu Lus Krsmyt, S.S,.S sebg dose pembmbg yg peuh perht d kesbr telh membmbg sert member sr d krtk kepd peuls selm proses peuls skrps.. Bpk Ir. Ig. Ars Dwtmoko,.Sc selku Dek fkults IPA yg telh member dukug dlm peuls skrps.. Bpk Y.G. Hrtoo, S.S,.Sc selku Ketu Progrm Stud temtk, d dose pegu yg memberk dukug, sr d krtk dlm skrps.. Ibu Ay Herwt, S.S,.S selku dose pegu yg telh memberk sr d krtk dlm skrps. 5. Bpk d Ibu dose d Fkults IPA yg telh membmbg d meddk peuls selm meutut lmu d Uversts St Dhrm.. Bpk d Ibu kryw Uversts St Dhrm, khususy sekretrt fkults IPA d perpustk Uversts St Dhrm ts segl btu d fslts yg telh dberk. 7. Almrhum Bpk (pk ku belum bs but bpk bhg deg kelulus tp ku tu bpk sellu meyert hdupku, mksh pk ku syg bpk), v
Ibu, b et, L d semu kelurgku terct ts ksh syg, do, semgt, dukug d kesbry met kelulus. 8. Shbt-shbtku seperug gkt : r(g lup ms qt uggu y!!!), Idh, Erk, Aeg(tuggu ku dkrt y), Very, Upk, Yul, D, Tbt, Fy(mksh lptopy), Adre, Arel, Ages, Wwt, Rt+Alm (mksh semgt btuy), Vrysc, Del, Tedy, Ry, Aprl, Ard, sert kkk-kkk gkt 998, 999, d dk-dk gkt,, yg telh membtu d medukug peuls. 9. Utuk seseorg yg selm megs htku yg telh member dukug, semgt, seht, do, ct d rs sygy.. Utuk sudr-sudrku yg meemku dog: Whyu(mksh dh mu ter ku pem komputery), Nt, Wwt, ms Lus d kelurgku yg telh member dukug, semgt, sr d doy.. Ak-k kost gg edro o 8 : b l(mksh ts perhty hgg ku bs megert rt hdup), b r, b rm, Ayu, T, ery, F, Cu, We, R, Ik, L, Rt, Rsk, Wd,Be d tem-tem kost dr wl smp khr ku kulh yg telh member dukug, semgt, do d cdy.. Semu phk yg telh membtu peuls bk secr lgsug mupu tdk lgsug hgg selesy peuls skrps. Peuls meydr bhw skrps msh byk kekurgy. Oleh kre tu, peuls megucpk term ksh bl d krtk d sr yg dpt membgu peuls. Peuls berhrp semog skrps dpt bermft d med referes bg pembc.
DAFTAR ISI Hlm HALAAN JUDUL.. HALAAN PERSETUJUAN PEBIBING. HALAAN PENGESAHAN HALAAN PERSEBAHAN.... v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA.... v ABSTRAK. v ABSTRACT.... v KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI.. DAFTAR GABAR.. DAFTAR TABEL.. BAB I PENDAHULUAN... A. Ltr Belkg slh. B. Rumus slh..... C. Pembts slh..... D. Tuu Peuls. E. ft Peuls.. F. etode Peuls....... G. Sstemtk Peuls.
BAB II PROGRA LINEAR DENGAN DUAL..... 5 A. Progrm Ler. 5 B. etode Grfk. 9 C. etode smpleks...... D. etode Smpleks Dul.... E. Progrm Ler Blg Bult..... BAB III PROGRA LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL 5 A. slh Progrm Ler Blg Bult...... 5 B. Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Frksol Dul.. 9 BAB IV PROGRA LINEAR BILANGAN BULAT DUAL... A. slh Progrm Ler Blg Bult Dul Deg etode Bdg Pemotog... B. Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Dul... 8 BAB IV PENUTUP..... 8 A. Kesmpul..... 8 B. Sr... 8 DAFTAR PUSTAKA. 8
DAFTAR GABAR Hlm Gmbr..Ilustrs Peyeles slh Progrm Ler deg metode grfk Gmbr..Ilustrs Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult deg metode bdg pemotog........ Gmbr..Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Frksol Dul.. 5 Gmbr.. Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Dul... 8
DAFTAR TABEL Hlm Tbel. Tbel Awl Smpleks Tbel. Tbel Awl Smpleks Dul... 9 Tbel. Tbel Awl Progrm Ler Blg Bult Frktol Dul...... Tbel.. Tbel Deg Betuk Kedl Bdg Pemotog.... Tbel.. Tbel Awl Pd Cotoh slh Progrm Ler Blg Bult Tbel.. Tbel Setelh Opers Brs Elemeter Pd Iters..... Tbel.5. Tbel Setelh Opers Brs Elemeter Pd Iters.. Tbel.. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters.... 5 Tbel.7. Tbel Setelh Dlkuk Opers Brs Elemeter Pd Iters..... Tbel.8. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters... 8 Tbel.9. Tbel Setelh Dlkuk Opers Brs Elemeter Pd Iters... 9 Tbel.. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters... 5 Tbel.. Tbel Setelh Dlkuk Opers Brs Elemeter Pd Iters... 55 Tbel.. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters... 57 Tbel.. Hsl setelh dlkuk opers brs elemeter pd ters... 58 Tbel.. Tbel Awl Progrm Ler Blg Bult... 5 Tbel.. Tbel Awl Pd Cotoh slh Progrm Ler Blg Bult... 7 Tbel.. Tbel Betuk Kedl Bdg Pemotog Pd Iters... 75 Tbel.. Tbel Setelh Dlkuk Opers Brs Elemeter Pd Iters... 75 Tbel.5. Tbel Deg Betuk Kedl Bdg Pemotog Pd Iters... 78 Tbel.. Tbel Setelh Dlkuk Opers Brs Elemeter Pd Iters... 78
BAB I P ENDAHULUAN A. Ltr Belkg slh Progrm ler dlh tekk optms yg bertuu utuk meetuk pemech mslh dr sutu progrm mtemtk yg ler sehgg dpt dtemuk l ssr yg optml. Hsl khr peyeles mslh progrm ler bs dpt berup blg pech tu blg bult. Dlm peyeles mslh yg berup blg bult dperluk sutu peyeles khusus utuk mewby, ytu progrm ler blg bult. Progrm ler blg bult merupk slh stu betuk dr progrm ler deg stu vrbel tu lebh. Dlm mslh progrm ler blg bult vrbel msuky berl blg bult. Byk sekl dtemuk permslh progrm ler blg bult dlm kehdup sehr-hr d dustr. Permslh tersebut tdk dpt dselesk hy deg progrm ler bs, msly mslh produks, mslh trsports, mslh pedwl pr peker d mes-mes ktor, des rg telekomuks d mslh slesme yg berperg (trvelg slesm). Dlm progrm ler blg bult terdpt du model, yk progrm ler blg bult frksol dul d progrm ler blg bult dul. Progrm ler blg bult frksol dul memugkk dy l vrbel berup blg pech dlm perhtugy, sedgk dlm
progrm ler blg bult dul semu l vrbel dlm perhtug hruslh berup blg bult. slh progrm ler blg bult dpt dselesk deg megguk beberp metode, sepert metode bdg pemotog, metode cbg d bts, d metode eumers. Pd peuls mslh progrm ler blg bult k dselesk deg metode bdg pemotog. etode bdg pemotog utuk pertm kly dplksk pd mslh progrm ler blg bult frktol dul kemud dperbk med mslh progrm ler blg bult dul. Peyeles kedu mslh progrm ler blg bult tersebut megguk metode smpleks dul. B. Rumus slh Pokok permslh yg k dbhs dlm skrps dpt dtulsk deg beberp perty sebg berkut :. Bgm meyelesk mslh progrm ler blg bult frksol dul deg metode bdg pemotog?. Bgm meyelesk mslh progrm ler blg bult dul deg metode bdg pemotog? C. Pembts slh Dlm skrps hy k dbhs tetg progrm ler blg bult, yk progrm ler blg bult frksol dul d progrm ler blg bult dul yg dselesk deg metode bdg pemotog yg
megguk metode smpleks dul d lds teor yg berkt deg lbr ler sepert sstem persm ler, mtrks d rug vektor yg telh dpelr pd st kulh tdk k dbhs dlm skrps. D. Tuu Peuls Sesu deg ltr belkg d ts, peuls skrps bertuu utuk dpt meyelesk mslh progrm ler blg bult khususy tetg mslh progrm ler blg bult frksol dul d mslh progrm ler blg bult dul deg metode bdg pemotog d dpt dpertggugwbk lgkh dem lgkh. E. ft Peuls. Dpt meyelesk mslh progrm ler blg bult frksol dul. Dpt meyelesk mslh progrm ler blg bult dul F. etode Peuls etode peuls yg dguk dlm peuls skrps dlh metode stud pustk, ytu deg membc d mempelr mter dr buku - buku cu yg berkt deg topk skrps, sehgg tuls tdk d peemu hl-hl yg bru.
G. Sstemtk Peuls berkut: Sstem peuls skrps terdr dr 5 bb deg urut sebg Bb I PENDAHULUAN Bb meelsk ur mege hl-hl yg med dsr dlm pembhs skrps. Ur tersebut bers ltr belkg mslh, perumus mslh, pembts mslh, tuu peuls, mft peuls, metode peuls d sstemtk peuls. BAB II PROGRA LINEAR DENGAN DUAL Bb memberk peels secr sgkt beberp dsr pegethu, ytu tetg progrm ler, metode grfk, metode smpleks, metode smpleks dul d progrm ler blg bult. BAB III PROGRA LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL Bb membhs tetg lgkh-lgkh peyeles mslh progrm ler blg bult frksol dul megguk metode bdg pemotog. BAB IV PROGRA LINEAR BILANGAN BULAT DUAL Bb membhs tetg lgkh-lgkh peyeles mslh progrm ler blg bult dul megguk metode bdg pemotog. BAB V Peutup Bb bers beberp kesmpul d sr berdsrk hsl pembhs d keseluruh proses peyusu skrps.
5 BAB II PROGRA LINEAR DENGAN DUAL A. Progrm Ler Peerp progrm ler utuk pertm kly dlh d bdg perec mlter, yk pd perg du II oleh gkt berset Amerk Serkt d Iggrs. Kemud pd thu9- hl mtemtk sepert Vo Neum d Leotef melhrk tekk-tekk peyeles mslh progrm ler deg megguk pedekt lbr ler (lbr mtrks). Kry Leotf yg terkel dlh model put-output. Setelh tu hl mtemtk Dr George B. Dtzg, seorg ggot dr psuk Agkt Udr tersebut, memformulsk mslh progrm ler secr umum d meemuk peyeles deg metode smpleks pd thu 97. Progrm ler dlh sutu metode optms yg dguk utuk meyelesk mslh deg fugs ssr d kedl-kedl berbetuk ler. Secr umum mslh progrm ler dpt dytk sebg berkut :. Betuk Bku slh Progrm Ler : mumk ( tu mksmumk) : z c + c + K+ c (.)
deg kedl-kedl : + + + + + + + + + m m m m b b b },, { },, { },, { K O O K K (.),,,, K (.) Rumus d ts dpt drgks sebg berkut : mumk ( tu mksmumk) : z c (.) deg kedl m b,,,, ),, ( K (.5),,,, K (.). Betuk trks slh Progrm ler : mumk (tu mksmumk) : c z (.7) deg kedl-kedl : { },, b A (.8) deg : m m m K O K K A,, b b b b, ( ) c c c,,, K c PLAGIAT ERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7 Defs. Fugs ssr tu fugs tuu Fugs ssr mslh progrm ler berbetuk z p c deg p merupk byky vrbel, merupk koefse ogkos dr vrbel ke-. merupk vrbel ke-, d c Defs. Kedl utm d kedl tk egtf Persm tu pertdksm dlm mslh progrm ler, (,, ) b,,,..., m dsebut kedl utm, deg m merupk byky kedl, d, (koefse teks) merupk koefse kedl ke- dr vrbel ke- d b meytk kostt d rus k utuk kedl ke-. Sedgk ;,,..., p dsebut kedl tk egtf Utuk megembgk sutu metode peyeles, secr umum hrus sesu deg krkter dr mslh progrm ler. Krkter tersebut dytk dlm betuk bku sebg berkut :. Fugs ssry berpol mmum tu mksmum.. Semu kedly berbetuk persm. Betuk dsebut betuk kok dr mslh progrm ler.. Semu vrbel keputus dlh tk egtf.
8 Defs. Peyeles lyk Peyeles lyk dlh peyeles yg memeuh semu kedl yk kedl utm d kedl tk egtf. Defs. Peyeles optmum Peyeles optmum dlh peyeles lyk yg tkhgg byk yg megoptmumk fugs ssr. Defs.5 Peyeles bss Sutu vektor merupk peyeles bss, k: () memeuh persm kedl utm dlm progrm ler. () kolom-kolom mtrks kedl yg bersesu deg vektor tk ol dlh bebs ler. Defs. Peyeles lyk bss Sutu vektor dsebut peyeles lyk bss k dlh peyeles bss d memeuh kedl tk egtf. Defs.7 Peyeles lyk bss optmum Sutu vektor dsebut peyeles lyk bss optmum k dlh peyeles lyk bss yg ug megoptmumk fugs ssr.
9 slh progrm ler bsy dselesk deg du metode peyeles, ytu metode grfk d metode smpleks. slh progrm ler dpt dselesk deg megguk metode grfk bl mslh tersebut hy memlk du vrbel keputus. Tetp utuk mslh yg memlk vrbel keputus lebh dr du tdk mugk megguk metode grfk. Llu pd thu 97 George Dtzg d pkr-pkr ly megembgk metode smpleks yg dpt meyelesk mslh progrm ler yg memut tg vrbel keputus tu lebh. B. etode Grfk slh progrm ler deg du vrbel dpt dselesk megguk metode grfk. eskpu mslh progrm ler rg yg hy memut du vrbel tetp metode grfk memudhk dlm peyeles mslh tersebut. slh progrm ler dpt dlustrsk deg melht Gmbr., yk Psg ( ), yg memeuh semu kedl dsebut peyeles lyk (fesble soluto). Ttk-ttk dlm derh lyk dsebut ttk lyk. Hmpu ttk lyk yg terlht dlm Gmbr., yk derh OABCD dlh derh lyk yg dperoleh dr perpotog kedl-kedl utm. Grfk fugs ssr berup grs lurus z d dsebut grs seldk kre meggmbrk psg-psg (, ) yg memberk l z yg sm. Pd mslh progrm ler yg memksmumk fugs ssr z mk k dtemuk peyeles optmum ttk B, yk ttk yg memksmumk fugs ssr.
D C B A z Gmbr.. Ilustrs Peyeles slh Progrm Ler deg metode grfk C. etode smpleks Utuk meyelesk mslh progrm ler deg metode smpleks, kedl yg msh berbetuk pertdksm hrus dubh dhulu ke betuk persm deg pembh vrbel slck tu vrbel pegett yg mempuy koefse ogkos ol. Jk kedl berpol kurg dr ( ), yk kedl berbetuk pertdksm : + + K + k k mk kedl tersebut dpt dubh ke betuk persm deg membh vrbel pegett + deg + > kedl tersebut dlh k b k. Deg demk, persm utuk + K + + b. k + k k + k, + >
Deg cr yg sm, kedl berpol lebh besr dr ( ), yk kedl berbetuk pertdksm : + + K + k k k b k dpt dubh ke betuk persm deg megurg pertdksm tersebut deg vrbel pegett + deg + > K b, + > k + k + + k + k Utuk meyesuk deg betuk kedl bru, fugs ssr yg semul berbetuk z c + c + K+ c dubh med z c + c + K + c + c ( + + K+ p ), +, +, K, p deg c c K c d, +, +, K, p dlh vrbel pegett. + + p Deg demk mslh yg telh dubh kedlm betuk kok k med sepert : mumk ( tu mksmumk ) : z c (.9) deg kedl b,,, K, m (.),,, K, (.)
Defs.8 Betuk kok Betuk pertdksm yg sudh dubh dlm betuk persm dsebut betuk kok dr mslh progrm ler. Berkut k dberk cotoh mslh progrm ler yg dubh ke betuk kok Cotoh. Ubh sol dbwh ke betuk kok. ksmumk : z + 5 deg kedl Peyeles : + + 8 Pd msg-msg kedl yg msh berbetuk pertdksm dtmbhk stu vrbel pegett, mslk d 5 sehgg msl progrm ler d ts med : ksmumk : z + 5 + + 5 Deg kedl : + + + + 5 8 Sol sudh berbetuk kok d berpol mksmum, deg,, vrbel sl d, 5 dlh vrbel pegett.
Jk mslh progrm ler yg telh dubh ke dlm betuk persm berpol mksmum mk mslh sudh dpt dselesk deg metode smpleks. Bl mslh progrm ler berpol mksmum tu berpol mmum d mempuy peyeles bss yg tdk lyk, kre memut l egtf utuk vrbel pegett, mk mslh progrm ler tersebut belum bs dselesk deg metode smpleks. slh progrm ler yg msh memut l egtf pd vrbel pegetty memerluk vrbel semu, ytu vrbel yg dtmbhk kedlm persm kedl-kedl. Jk dlh vrbel semu yg dsspk pd persm yg memut vrbel pegett berl egtf mk mslh progrm ler tersebut sudh memut sutu peyeles lyk bss. Vrbel semu bersft sebg ktlstor (peghubug) d mempuy l ol supy mslh semul mempuy peyeles optmum. Bl d vrbel semu yg dpk mk fugs ssr yg bru utuk pol mksmum berbetuk z z, sedgk fugs ssr yg bru utuk pol mmum berbetuk z z + deg blg postf yg cukup besr. Slh stu cr utuk meyelesk mslh progrm ler deg megguk metode smpleks dlh mellu tbel smpleks. Lgkh-lgkh peyeles mslh progrm ler deg megguk metode smpleks mellu tbel smpleks dlh sebg berkut :
Lgkh : embetuk mslh progrm ler med betuk kok ytu kedly hrus berbetuk persm, deg membhk vrbel pegett, vrbel semu d b sehgg memeuh betuk bku progrm ler. Lgkh : eyusu tbel wl sepert dlm tbel berkut ( Tbel. ) c Tbel. Tbel Awl Smpleks c c K c c \ K b R c c c m m m O m K K K m b b b m R R R m z z z K z z z z c z c K z c z c Keterg : : vrbel-vrbel keputus : koefse teks b : suku tetp (tk egtf) c : koefse ogkos : vrbel yg med bss dlm tbel yg dtu
5 c : koefse ogkos mlk vrbel bss m z : c m z : c b z c : selsh z deg c R : b hy utuk k Lgkh : egu keoptmum, deg memperhtk l z c. Utuk mslh deg pol mksmum, tbel dktk optmum bl l z c utuk semu. Sedgk utuk mslh deg pol mmum tbel dktk optmum bl l z c utuk semu. Bl sudh optmum berrt sudh ddptk peyelesy. Jk belum optmum mk dlutk ke Lgkh. Lgkh : emperbk tbel. Dlm hl rty memlh vrbel bru yg msuk med vrbel bss. Utuk mslh yg berpol mksmum dlh deg memlh kolom pvot, ytu kolom deg l z c terkecl tu plg mmum. Utuk mslh yg berpol mksmum dlh deg memlh l z c terbesr tu plg mksmum. Setelh dtemuk
kolom pvot mk seluty dcr l rso ( R ) utuk setp brs, ytu b dbg usur-usur pd kolom pvot yg berl postf. Tdk berbed utuk pol mksmum d pol mmum, dplh l R terkecl tu b R m. Brs deg R k terkecl kemud med brs pvot. Setelh brs pvot d kolom pvot terplh, mk perpotog tr brs pvot d kolom pvot ( rs ) dsebut sebg eleme pvot dm vrbely k med vrbel bss bru yg k meggtk vrbel bss lm d seluty meuu ke Lgkh 5. Lgkh 5 : Pd tbel seluty eleme rs dubh supy berl stu d semu eleme pd kolom yg bersesu dubh med ol deg melkuk opers brs elemeter. Vrbel bss bru d koefse ogkos meyesuk deg vrbel bss bru tersebut. Seluty kembl ke lgkh. D. etode Smpleks Dul slh progrm ler memlk du mcm metode smpleks, ytu metode smpleks prml d metode smpleks dul. Utuk setp mslh progrm ler dpt dubh ke betuk dul dm kedl d vrbely dlh keblk dr prml, yk koefse vrbel dlm mslh prml med koefse kedl dlm mslh dul. Jk dlm mslh prml mempuy
7 vrbel d m kedl mk mslh duly k med m vrbel d kedl. Dpt dktk bhw umlh kedl dlm mslh prml sm deg umlh vrbel dlm mslh dul. Bl mslh prml memksmumk fugs ssr mk mslh duly pst memmumk fugs ssr, d begtu seblky. Berkut k dberk cotoh betuk dul dr betuk prml pd mslh progrm ler Cotoh. slh prml mumk z + + deg kedl + + 8 + + + d,,, 8 Peyeles : slh dul ksmumk g y + 8y deg kedl y + 8y y + y y + y y + y d y y,
8 Dlm metode smpleks dul peyelesy dmul dr peyeles bss yg tdk lyk d memeuh cr optmum sedgk metode smpleks prml peyelesy dmul dr peyeles lyk bss tetp tdk hrus optmum. slh progrm ler yg k dcr duly hrus berpol mksmum bku tu mmum bku yg memlk betuk bku sebg berkut : Pol mksmum bku : ksmumk memeuh z c A b ( semu berbetuk ) Pol mmum bku : mumk memeuh z c A b ( semu berbetuk ) Utuk dpt meyusu sutu mslh prml kedlm betuk dul mk hrus dbut kedlm betuk kok sebg berkut : Pol mksmum (tu pol mmum): ksmumk (tu mmumk) yg memeuh z c (.) A b (.)
9 Lgkh-lgkh metode smpleks dul dlh sebg berkut : Lgkh : embetuk mslh progrm ler med betuk kok, ytu kedly hrus berbetuk persm, deg membhk vrbel pegett, vrbel semu d b sehgg memeuh betuk bku progrm ler. Lgkh : eyusu tbel wl dul smpleks yg dsk sebg berkut Tbel. Tbel Awl Smpleks Dul c c c K c c \ K b c c c m m m O m K K K m b b b m z z z K z z z z c z c K z c z c R R R K R Keterg : R z c, hy utuk <
Lgkh : emlh brs pvot, yk deg memlh brs yg mempuy l b plg mmum deg ( b < ) Jk d l b yg sm mk dplh sembrg b. Lgkh : emlh kolom pvot, yk mecr l rso. Nl rso R dperoleh deg membg z c d l mutlk dr koefse teks yg berkoefse egtf tu R z c deg <. Utuk mslh yg berpol mmum dplh l rso yg terkecl tu R z c m, sedgk mslh yg berpol mksmum dplh l rso yg terkecl tu R z c m. Jk koefse teks berl postf tu ol mk mslh progrm ler tersebut tdk d peyeles yg lyk. Lgkh 5 : elkuk opers brs elemeter gr perpotog tr brs pvot d kolom pvot ( rs ) yg dsebut eleme pvot berl d yg ly berl.
Lgkh : egu keoptmum. Jk semu b mk peyeles sudh optmum, d ters hrus dhetk. Jk belum optmum mk hrus dlutk ke Lgkh. Perbed mslh progrm ler deg megguk metode smpleks prml d metode smpleks dul dlh sebg berkut :. Jk mslh progrm ler dlm prml memlk pol mksmum mk dlm duly mslh progrm ler tersebut k memlk pol mmum.. Jumlh vrbel prml sm deg umlh kedl pd betuk duly.. Dlm mslh prml, mtrks koefse teks dlh ( ) tetp dlm mslh duly berbetuk trpose dr mtrks tersebut, yk ( ). t. b dlm mslh progrm ler yg berbetuk prml dsebut suku tetp tetp dlm betuk duly b med koefse ogkos. 5. c dlm mslh progrm ler yg berbetuk prml dsebut koefse ogkos tetp dlm betuk duly c med suku tetp.. Dlm mslh dul, koefse kedl ke- bersl dr koefse vrbel ke- mslh prml. 7. Dlm mslh dul, koefse vrbel ke- bersl dr koefse kedl ke- mslh prml.
D. Progrm Ler Blg Bult Progrm ler blg bult merupk bg dr progrm ler deg tmbh kedl, dm beberp tu semu vrbel keputusy memlk l-l blg bult. slh-mslh progrm ler blg bult meygkut mslh-mslh yg hrus dselesk deg betuk blg bult. Progrm ler blg bult d du model, ytu progrm ler blg bult mur tu bs dsebut progrm ler blg bult (teger progrmmg) d progrm ler blg bult cmpur (med teger progrmmg). Progrm ler blg bult mur dlh sutu model progrm ler yg semu vrbely dlh blg bult, sedgk progrm blg bult cmpur dlh sutu model progrm ler deg beberp vrbely berup blg bult. Secr umum betuk mslh progrm ler blg bult mur d cmpur dlh sebg berkut :. Betuk bku mslh progrm ler blg bult mur. ksmumk (tu mmumk ) : Z c + c + K+ c (.) deg kedl-kedl : + + m + m + K + + K + + K + {,, } b m {,, } b O O {,, } b m (.5),,, K, (.) d blg bult.
Rumus d ts dpt drgks sebg berkut : ksmumk (tu mmumk) Z c (.7) deg kedl : (, ), b (.8), blg bult,, K, m,,, K,. (.9). Betuk bku mslh progrm ler blg bult cmpur. ksmumk (tu mmumk) : Z c + p k d k y k (.) deg kedl :, p k g y k k y k tu b, blg bult,, K, m,,, K,, k,, K, p. (.) Dlm tuls hy k dbhs progrm ler blg bult mur (teger progrmmg). slh progrm ler blg bult dpt dselesk deg megguk beberp metode, sepert metode bdg pemotog (cuttg ple method), metode cbg d bts (brch d boud method), d metode eumers (eumertve methods). Secr umum, lgkh pertm dlm meyelesk mslh progrm ler blg bult dlh deg megbk kedl blg bult. Jk sudh dtemuk peyeles yg
merupk blg bult mk peyeles progrm ler blg bult sudh dcp. Jk teryt msh terdpt peyeles yg merupk blg pech mk dlkuk sutu proses utuk meetuk peyeles blg bult dr mslh tersebut. Dlm tuls hy k dbhs megguk metode bdg pemotog utuk meyelesk mslh progrm ler blg bult. Pd thu 958 Rlph Gomory megembgk metode bdg pemotog (cuttg ple method) yg utuk pertm kly dplksk pd mslh progrm ler blg bult frktol dul (dul frctol teger progrmmg) dlh peyeles metode bdg pemotog yg megguk metode smpleks dul d memugkk dy blg pech dlm perhtugy. Llu pd thu 9 Rlph Gomory memperbk metode bdg pemotog tersebut, yk med mslh progrm ler blg bult dul (dul ll-teger teger progrmmg) yg dlm perhtugy hrus berup blg bult. etode bdg pemotog dlm kedu mslh progrm ler blg bult megguk metode smpleks dul. Ur utuk kedu mslh progrm ler blg bult tersebut k delsk pd bb-bb berkuty.
5 BAB III PROGRA LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL A. slh Progrm Ler Blg Bult Slh stu lgkh yg dlkuk dlm peyeles mslh progrm ler blg bult yg megguk metode bdg pemotog dlh deg membhk kedl bru. Pembh kedl bru dlm metode dperoleh deg meyusu sutu persm yg memeuh setp peyeles lyk dr mslh progrm ler blg bult yg semul. Pembh kedl tersebut memugkk dperolehy peyeles yg optmum dr mslh progrm ler yg berup blg bult. slh progrm ler blg bult yg dselesk deg metode bdg pemotog dpt dlustrsk deg melht Gmbr.. ABCDE dlh derh lyk yg dperoleh dr perpotog kedl-kedl utm. Peyeles dr mslh progrm ler blg bult dpt dgmbrk sebg ttk-ttk lyk pd derh lyk tersebut d ttk D dlh peyeles optmum progrm ler yg pertm kl dperoleh. Sebuh kedl bru dtmbhk sehgg ttk D terbug dr derh lyk d k dlkuk optmss kembl k ddpt peyeles optmum progrm ler yg bru, yk ttk F sehgg derh lyk yg bru dlh ABCGFE. Sebuh kedl bru kedu dtmbhk gr meghpus ttk F dr derh lyk sehgg dperoleh derh lyk yg bru dlh ABCGHIE. Dlm
meyelesk kembl mslh progrm ler blg bult k dtemuk peyeles optmum blg bult, yk ttk H. Gmbr.. Ilustrs Peyeles slh Progrm bdg pemotog Ler Blg Bult deg metode Perbed metode smpleks dul yg sudh dbhs pd bb sebelumy deg mslh progrm ler blg bult dlh pd eleme pvoty ytu berl -. Perhtk kembl pd bb sebelumy mege mslh progrm ler blg bult. Secr umumm mslh progrm ler blg bult yg berpol mksmum dpt dytk dlm betuk kok d betuk mtrks sebg berkut :
7. Betuk kok mslh progrm ler blg bult : ksmumk : z c + c + K+ c (.) deg kedl-kedl : + + K + + + b + + + + K + b O O + + + + m m K m + mbm (.),,, K, (.) d blg bult.. Betuk mtrks mslh progrm ler blg bult : ksmumk : c z (.) deg kedl-kedl : A b (.5) d kompoe-kompoe dlh blg bult. (.) deg ( ) A mtrks kedl berukur m. Betuk kok pd mslh progrm ler blg bult dsusu ke dlm betuk sepert dbwh : ksmumk : ( c ) + ( c ( )) + + ( ( )) z ( ) K c (.7)
8 deg kedl-kedl : ( ( )) + ( ( )) + K + ( ( )) ( ( )) + ( ( )) + K + ( ( )) O O + ( m ( )) + ( m ( )) + K + ( m ( )) + m bm + + + b + b (.8),,, K, d blg bult. Betuk kok d ts dpt dubh ke dlm betuk sepert dbwh : ksmumk : deg kedl-kedl : ( ) + ( ) + + ( ) + K (.9) ( ) ( ) ( ) O + + m deg +, O + m, + +, + + m, ( ) + ( ) + K+ ( ) O +,,,, K, + m O O +, ( ) + ( ) + + ( ) + m, K + m, (.) (.) d blg bult utuk,, K, + m. Persm (.) merupk persm kedl utuk vrbel keputus (orgl vrbles), yk vrbel wl pd mslh progrm ler blg bult. Persm (.) merupk persm kedl utuk kedl utm (orgl costrts) yg d pd mslh progrm ler blg
9 bult. Pd betuk d ts, d m msg-msg meuukk byky vrbel keputus d vrbel slck yg mucul dr kedl utm. Deg membdgk persm (.7), (.8), (.) d (.) dpt ddefsk,, (, K, ),, z, c b + (, K,m), d (, K, m ;, ) +., K, B. Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Frksol Dul etode yg dguk utuk mecr peyeles progrm ler blg bult frksol dul merupk perlus dr metode smpleks dul, yk deg membh kedl bru pd mslh tersebut. Lgkh-lgkh mslh progrm ler blg bult frksol dul dlh sebg berkut :. egubh betuk bku med betuk kok sepert persm (.). eyusu tbel wl dr mslh progrm ler blg bult. Pd persm (.) tbel wl tersebut dsk sebg berkut :
Tbel. Tbel Awl Progrm Ler Blg Bult Frktol Dul. ( ) K ( ) K ( ) K K K O K O L O K L O K + + m +, + m, +, O + m, K K +, + m, K O K +, + m, Keterg :,, (, K, ), b +, (, K, m ), d z, c (, K, m ;, ) +, K,, (, K, + m).. slh progrm ler blg bult dselesk dhulu sebg mslh progrm ler, yk deg megguk metode smpleks dul. Deg lgkh-lgkh sebg berkut : Lgkh : emlh brs pvot, yk deg memlh brs v yg mempuy l v plg mmum deg, v v <
Lgkh : emlh kolom pvot, yk kolom deg l rso yg plg mmum d l rso m v Lgkh : eggt vrbel obss pd kolom pvot deg vrbel v, yk vrbel pd brs pvot. Lgkh : elkuk opers kolom gr eleme-eleme brs v pd kolom pvot berl - d yg l berl. Lgkh 5 : Bl l v msh d yg berl egtf mk kembl ke lgkh. Jk sudh tdk d lg yg berl egtf mk lgkh dhetk d peyeles mslh progrm ler blg bult sudh optmum.. egu keoptmum. Bl peyeles optmum yg dperoleh pd lgkh sebelumy dlh blg bult mk mslh progrm ler blg bult sudh seles. Jk peyeles optmumy belum berup blg bult mk lgkh-lgkh peyeles dlutk lg megguk metode bdg pemotog deg membhk kedl bdg pemotog yg bru yg memut vrbel pegett m+ k +. Llu kedl bdg pemotog yg bru dtmbhk pd tbel yg dtuls pd brs terkhr mk betuk tbel k med :
Tbel.. Tbel Deg Betuk Kedl Bdg Pemotog ( ) K ( ) K ( ) K K K O K O L O K L O K + + m +, + m, +, O + m, K K +, + m, K O K +, + m, + m + k + m+ k, + m+ k, K + m+ k, K + m+ k, Dlm meetuk kedl bdg pemotog hrus dtetuk dhulu brs sumber. Berkut k delsk bgm cr meetuk betuk kedl bdg pemotog d cr memlh brs sumber :. emlh brs sumber Cr memlh brs sumber dlh deg memlh brs yg memut vrbel-vrbel bss yg ly belum berup blg bult. Dlm hl vrbel yg k terplh hrus memberk ketksm yg kut ytu l deg blg pech terbesr supy dpt mempercept pecp peyeles progrm ler blg bult yg optmum.
Jk vrbel bss pd persm ke- buk merupk blg bult mk vrbel tersebut dpt dytk sebg : ( J ) ( ) (.) Keterg : buk berl blg bult dpt berbetuk blg bult J dlh hmpu deks vrbel obss J() dlh eleme d dlm J dlh vrbel obss d dlm J J ( ) Persm (.) dpt dtuls sebg berkut ( ) + J ( ) (.) Setp persm sepert d ts dytk sebg brs sumber (source row). slk : d deg : [ ] f + [ ] f + (.)
[ ] dlh blg bult terbesr yg kurg dr tu sm deg, d [ ] dlh blg bult terbesr yg kurg dr tu sm deg mk f < d f < < Ad du cr utuk memlh brs sumber ytu :. Brs deg l f yg plg mksmum.. Brs deg l f f yg plg mksmum. Jk l f tu f f utuk setp brs sellu sm mk dpt dplh sebrg brs utuk med brs sumber. b. eetuk betuk kedl bdg pemotog Dr ur pemlh brs sumber, deg persm (.) k med :
5 [ ] + f + ([ ] + f )( J ( )) [ ] + f + [ ]( J ( )) + f ( J ( )) tu f ( J ( )) [ ] [ ] J ( ) + f ( ) (.5) ( ) Supy l d J ( ) dlh blg bult, mk rus k dr persm (.5) hrus berl blg bult yg megkbtk rus kr persm (.5) hruslh berl blg bult. Kre f d ( ) utuk setp l d, mk J ( ) f ( ) J ( ) ( ) f deg demk f + f J ( ). ( ) Kre f < mk f + f J ( ) < (.) tu f < f ( ) J ( )
Kre rus kr persm (.5) hrus berl blg bult, mk berdsrk persm (.5), hruslh f + f ( ) J ( ) Jk betuk d ts dtmbhk deg vrbel pegett m+ k + deg blg bult, mk ddpt : + m+ k f ( ) + f J ( ) + + m+ k tu + m+ k f ( J ) f ( ) (.7) Persm (.7) merupk bg pech (frctol cut) tu dsebut ug pembts sekuder. Jk pembts sekuder sudh dmsukk ke dlm tbel yg berd pd brs terkhr dlm tbel d dlkuk opers kolom ( ) mk tbel terkhr ddpt J ( ) sehgg + m+ k f, yg berrt tdk lyk. Hl berrt pembts sekuder yg bru tersebut tdk dpeuh oleh peyeles yg dperoleh kre megkbtk l yg ddpt belum berup blg bult sehgg utuk megts ketdklyk dpt dguk metode smpleks dul, yg pd dsry sm deg memotog derh lyk ke rh peyeles optmum yg berup blg bult.
7 Dr peels yg sudh dbrk d ts d cr-cr memlh brs sumber sert meetuk pembts sekuder, secr umum lgkh pertm yg dlkuk dlm meyelesk mslh progrm ler blg bult frksol dul dlh megubh mslh ke dlm betuk kok d meyusu tbel wl, meyelesk mslh progrm ler blg bult deg cr smpleks bs d dlutk deg lgkh-lgkh sebg berkut : Lgkh : emlh brs sumber v deg du cr d bwh :. Brs deg l f v yg plg mksmum.. Brs deg l f v f v yg plg mksmum. Lgkh : eetuk betuk kedl bdg pemotog yg bru, yk pembts sekuder sepert persm (.7) + m+ k f v ( J ) f v ( ) Lgkh : Tmbhk betuk pembts sekuder yg bru dlm tbel smpleks.
8 Lgkh : ecr brs pvot deg melht l koefse v yg berl egtf d dplh yg plg mmum Lgkh 5 : ecr kolom pvot deg melht l R v yg terkecl. Lgkh : eggtk vrbel o bss pd kolom pvot deg Vrbel v. Lgkh 7 : elkuk opers kolom gr eleme-eleme brs v pd kolom pvot berl - d yg ly berl. Lgkh 8 : Jk msh d l v yg ly belum berup blg bult mk dlutk ke Lgkh. Jk sudh tdk d mk proses dhetk d dperoleh tbel optmum. slh progrm ler blg bult frksol dul tdk membedk tr vrbel keputus d vrbel pegett yk bhw semu vrbel hrus berup blg bult. Ady koefse yg tdk bult dlm kedl tdk
9 memugkk utuk vrbel pegett berup blg bult. Dlm hl, mslh progrm ler blg bult frksol dul dpt meytk bhw tdk terdpt peyeles lyk, seklpu mslh tersebut mempuy peyeles lyk yg berl blg bult dlm betuk buk vrbel pegett. Berkut k dberk cotoh peyeles mslh progrm ler blg bult megguk metode bdg pemotog Cotoh. Selesk mslh progrm ler blg bult berkut: ksmumk: z 5 Deg kedl: 5 d, 7 Peyeles : slh progrm ler d muk dpt dbut ke betuk kok sebg berkut : ksmumk: z 5 Deg kedl: + 5 + d,,, 7
. eyusu tbel wl smpleks. Tbel.. Tbel Awl Pd Cotoh slh Progrm Ler Blg Bult ( ) ( ) 5 5 7. eyelesk deg metode smpleks dul. ITERASI Lgkh : emlh brs pvot Dr tbel wl dperoleh l 5 d 7 mk l m{, } m{ 5, 7} 7 Lgkh : emlh kolom pvot. Jd brs empt sebg brs pvot. Deg memlh l rso terkecl yk R m, 5 m,. Jd kolom pertm k terplh sebg kolom pvot. Lgkh : eggtk vrbel deg vrbel Lgkh : elkuk opers kolom, sehgg dperoleh tbel bru berkut
Tbel.. Tbel Setelh Opers kolom Pd Iters ( ) ( ) 8 7 7-8 Lgkh 5 : Kre msh d l - 8 mk kembl ke Lgkh ITERASI Lgkh : emlh brs pvot Dr tbel dts dperoleh l m { } d brs ketg sebg br pvot. Lgkh : emlh kolom pvot, m 7 8 8, Deg memlh l rso terkecl yk R m, m 7, 7 mk kolom kedu k terplh sebg kolom pvot. Lgkh : eggtk vrbel deg vrbel
Lgkh : elkuk opers kolom, sehgg dperoleh tbel bru sebg berkut Tbel.5. Tbel Setelh Opers kolom Pd Iters ( ) ( ) 7 8 8 - Lgkh 5 : Kre sudh tdk d v < - mk proses dhetk. deg l 8 d 8. egu keoptmum. Dr ters kedu telh dptk peyeles optmum dr mslh 8 progrm ler, ytu d 8, tetp peyeles tersebut belum bult mk peyeles dlutk deg megguk metode bdg pemotog.
ITERASI Lgkh : emlh brs sumber Utuk 8 dperoleh f [ ] 8 8 8 8 Utuk 8 dperoleh f [ ] 8 8 8 8 Kre l 8 f f mk tdk d forms utuk memlh brs sumber, seluty dguk cr yg kedu. Utuk brs pertm dpt dytk sebg berkut : ( ) ( ) 8 Sehgg dperoleh [ ] f f d [ ] ( ) Utuk brs kedu dpt dytk sebg berkut : ( ) + ( ) Sehgg dperoleh [ ] ( ) f 8 7 f d [ ] ( )
Deg demk, mks f f f, + f f + f mks 8 +, 7 8 + mks 8 8, 8 8 mks{,} Deg cr yg kedu, l mksmum dr rso tersebut sm, ytu, mk dr kedu persm tersebut dmbl slh stu. Ds yg k dplh sebg brs sumber dlh persm utuk. Lgkh : eetuk betuk kedl bru, yk pembts sekuder Perhtk kembl pertdksm : ( ) ( ) 8 Dr Lgkh dperoleh f, f d f 8 k persm pembts sekuder yg bru dlh 8 ( ) ( ) 5
5 Lgkh : Tmbhk betuk pembts sekuder yg bru dlm tbel smpleks. Tbel.. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters ( ) ( ) 7 8 8 - - 5 8 Lgkh :ecr brs pvot Dr tbel koefse 8 5 pd brs kelm, mk brs kelm med brs pvot Lgkh 5 : ecr kolom pvot Dr tbel pd kolom pertm dlht l R terkecl, yk 5
Lgkh : eggtk vrbel obss pd kolom pvot deg vrbel 5. Lgkh 7 : elkuk opers kolom Tbel.7. Tbel Setelh Dlkuk Opers kolom Pd Iters ( 5 ) ( ) 7 5 8 - - Lgkh 8 : Kre l d yg ly belum berup blg bult mk d lutk ke Lgkh. ITERASI Lgkh : emlh brs sumber Utuk dperoleh f
7 Utuk dperoleh f f mks{ f, f } mks, Jd brs kedu pd persm terplh sebg brs sumber Lgkh : eetuk betuk kedl bru, yk pembts sekuder Pd tbel utuk brs kedu dpt dytk sebg berkut ( ) + ( ) 5 Sehgg dperoleh [ ] f f d [ ] ( ) Dr lgkh sebelumy ddpt f k persm pembts sekuder yg bru dlh ( ) ( ) 5 Lgkh : Tmbhk betuk pembts sekuder yg bru dlm tbel smpleks.
8 Tbel.8. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters ( 5 ) ( ) 7 5 8 - - Lgkh :ecr brs pvot Dr tbel, koefse pd brs keem, mk brs keem dplh sebg brs pvot. Lgkh 5 : ecr kolom pvot Dr tbel, pd kolom kedu dlht l R terkecl, yk c Lgkh : eggtk vrbel o bss pd kolom pvot deg vrbel.
9 Lgkh 7 : elkuk opers kolom Tbel.9. Tbel Setelh Dlkuk Opers kolom Pd Iters ( 5 ) ( ) 7 7 5 - - Lgkh 8 : kre l v sudh berup blg bult mk tbel sudh optmum deg l (, ) (,) deg l optmum - Pd mslh progrm ler blg bult dlm betuk duly dpt durk bhw kedl wl deg vrbel wl d 5 tu 5 + + 7 tu 7 + + dlh
5 Kedl bdg pemotog yg ddpt pd perhtug dts dlh () ( ) ( ) 5 8 8 5 + + 8 + ( 5 + + ) + ( 7 + ) 5 + 8 8 8 5 + + + + + 5 + () ( ) ( ) 5 + + 5 + ( 5 + + ) + ( + ) + + + + + 5 + +
5 Dr kedl wl d kedl tmbh dpt dgmbrk deg grfk. 5 5 Gmbr.. Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Frksol Dul Sft tmbh tetg pembts sekuder, yk tbel yg sudh optmum bl dselesk kembl deg metode bdg pemotog yg megguk metode smpleks dul k dperoleh tbel optmum yg berl blg bult, yk semu l-l d dlm tbel k berup blg bult tp megubh l optmum dr peyeles optmum tersebut. Ak dperlhtk bhw sutu pembts sekuder sm deg pertksm dlm vrbel obss. Dsumsk tbel wl berp blg bult. Teorem. Setp pembts sekuder pd persm (.7) k med pertksm yg semu vrbely berl blg bult bl dytk dlm suku-suku yg memut vrbel obss pd ters sebelumy.
5 Bukt : slk brs utuk persm pertm med v v + v ( ) J ( ) mk pembts sekuder yg dhslk dlh sebg berkut + m+ f v f v ( ) J ( ),,, K, deg f v v [ v ] tu f v [ v ] v ( ) mk + m+ f v f v J ( ) ([ v ] v ) [ v ] ( v )( J ( )) [ v ] + [ v ]( J ( )) v + v ( J ( )) Sekrg setp vrbel obss J ( ) dlh sutu vrbel obss tupu vrbel bss pd mslh wl. Pd ksus sebelumy dkethu J ( ) g utuk sutu g,, K, d pd ksus seluty persm J ( ) + + +, ( ), utuk sutu,, K, m. eskpu begtu koefse pd persm terkhr semuy berup blg bult kre dt wl dr mslh progrm ler blg bult berup blg bult mk koefsey ug k berup blg bult. Oleh kre tu J ( ) dpt dtuls sebg sutu kombs ler dr, K,. Jd suku pd rus k dlm td kurug pertm dlh sutu blg bult bl dtulsk dlm suku-suku, K,.
5 Suku pd rus k dlm td kurug kedu sm deg v. Vrbel ug sebuh vrbel obss mupu sebg kombs ler dr vrbel obss, K,. ( ) Oleh kre tu + m+ f v f v J ( ) med pertksm yg berup blg bult bl dytk dlm suku-suku dr vrbel obss. Ak dperlhtk dr cotoh (.) bhw mslh progrm ler blg bult yg sudh dperoleh peyeles optmum dpt dkerk kembl deg metode bdg pemotog yg megguk metode smpleks dul sehgg dperoleh tbel optmum yg semu l-l dlm tbel berup blg bult tp megubh l optmum dr peyeles optmum dr tbel (.9). Dr ters kedu tbel (.9) sudh dtemuk peyeles optmum. k cotoh sol (.) dselesk kembl deg ur sebg berkut : ITERASI Lgkh : emlh brs sumber Brs sumber yg k dmbl dlh brs ke-ol kre l d memlk l f Lgkh : eetuk betuk kedl bru, yk pembts sekuder Pd tbel sebelumy, utuk brs ke-ol dpt dytk sebg 7 ( ) + ( ) 5
5 7 7 7 Sehgg dperoleh f (), f d f. k persm pembts sekuder yg bru dlh 7 5 ( ) ( ) 7 Lgkh : Tmbhk betuk pembts sekuder yg bru dlm tbel smpleks. Tbel.. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters ( 5 ) ( ) 7 7 5 - - 7 Lgkh :ecr brs pvot
55 Dr tbel koefse 7 pd brs ketuuh, mk brs ketuuh dplh sebg brs pvot. Lgkh 5 : ecr kolom pvot c Dr tbel, pd kolom kedu dlht l R terkecl yk 7 Lgkh : eggtk vrbel o bss pd kolom pvot deg vrbel 7. Lgkh 7 : elkuk opers kolom Tbel.. Tbel Setelh Dlkuk Opers kolom Pd Iters ( 5 ) ( 7 ) 5 7 5-5 - - -
5 Lgkh 8 : kre belum semu l berup blg bult mk kembl ke Lgkh ITERASI Lgkh : emlh brs sumber Sekrg yg dmbl utuk brs sumber dlh brs pertm yk d memlk l f Lgkh : eetuk betuk kedl bru, yk pembts sekuder Pd tbel sebelumy, utuk brs pertm dpt dytk sebg ( ) + ( ) 5 7 f d f deg sehgg dperoleh ( ) f k persm pembts sekuder yg bru dlh 5 ( ) + ( ) 8 Lgkh : Tmbhk betuk pembts sekuder yg bru dlm tbel smpleks.
57 Tbel.. Tbel Deg Betuk Pembts Sekuder Pd Iters ( 5 ) ( 7 ) 5 7 5-5 - - - 8 Lgkh :ecr brs pvot Dr tbel, koefse 8 pd brs kedelp, mk brs kedelp dplh sebg brs pvot. Lgkh 5 : ecr kolom pvot c Dr tbel, pd kolom kestu dlht l R terkecl yk 8
58 Lgkh : Vrbel 8 k meggtk vrbel o bss pd kolom pvot. Lgkh 7 : elkuk opers kolom Tbel.. Hsl setelh dlkuk opers kolom pd ters ( 8 ) ( 7 ) 5 7 8 - - 5-5 - - - - Lgkh 8 : kre l-ly dlm tbel sudh berup blg bult, mk telh dperoleh peyeles optmum mslh progrm ler blg bult frksol dul deg l, (,) deg l optmum -
59 Progrm ler blg bult frksol dul memlk byk kelemh. Dlm meyelesk mslh progrm ler blg bult, perhtug dlkuk dlm du thp yg sgt rumt, ytu megguk metode smpleks dul. Setelh dtemuk peyeles optmum hrus dlht dhulu pkh sudh memeuh peyeles optmum blg bult tu belum. Jk belum berup blg bult mk tbel hrus dselesk kembl megguk metode bdg pemotog smp dtemuk peyeles optmum blg bult, yk l vrbely berup blg bult. Llu pd thu 9 Rlph Gomory memperbk metode bdg pemotog tersebut, yk med mslh progrm ler blg bult dul.
BAB IV PROGRA LINEAR BILANGAN BULAT DUAL A. slh Progrm ler Blg Bult Dul Deg etode Bdg Pemotog Utuk mecr peyeles pd mslh progrm ler blg bult k dguk metode bdg pemotog, yk deg membhk kedl bdg pemotog. Berkut k durk bgm cr meetuk betuk kedl bdg pemotog. Jk vrbel bss pd sembrg persm ke- yg merupk blg bult mk vrbel tersebut dpt dytk sebg : ( ) + ( ) + + ( ) + K tu ( ) + (.) J ( ) deg J ( ) dlh eleme ke d dlm J (,,,), d < mk brs tersebut dsebut sebg brs sumber. Jk tdk d mk tbel smpleks sudh optmum. Betuk slk sembrg blg d λ dlh sebuh blg postf. f λ λ (.)
deg λ dlh blg bult terbesr yg kurg dr tu sm deg λ mk < f. Ddefsk f r λ mk dperoleh λ λ λ r tu r + λ λ. (.) Kre < f d > λ, mk λ λ < f tu λ < r. Dr persm (.) mk koefse pd persm (.) dpt dtuls sebg ( ) r,..., + λ λ (.) d r + λ λ (.5) deg λ λ < > r, d λ < r. Substtusk persm (.) d (.5) ke dlm persm (.) sehgg dperoleh ( ) ( ) J r r r + + + + λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) + + + J J r r λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) + + + J J r r λ λ λ λ tu + + + + J J r r r ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ λ λ + + + + J J r r r ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ (.) PLAGIAT ERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persm (.) dpt dtuls deg r + r r + ( ) λ (.7) J ' + λ λ ( ) + ( ) ( ) J λ (.8) Teorem. : Utuk sembrg peyeles yg berup blg bult yg memeuh persm (.) d persm (.7), mk ' hruslh sebuh blg bult tk egtf. Bukt : ' blg bult kre semu koefse dlm (.8) dlh blg bult. Seluty k dtuuk ' dlh tk egtf. Utuk sembrg peyeles lyk mk rus kr persm (.7) ly tk egtf. Adk ' dlh blg bult yg egtf. Kre r < λ mk rus k pesm (.7) yk r + λ dlh egtf. Hl kotrdks deg peryt bhw peyeles lyk pd rus kr persm (.7) ly tk egtf deg demk ' dlh blg bult yg tk egtf
Jk λ >, mk < λ sehgg. Bl l tersebut dmsuk pd λ persm (.8) k ddpt ' + λ λ ( ) J ( ) (.9) Kre < berrt <. Tmbhk persm (.9) pd tbel λ smpleks d dpt dggp sebg brs sumber. Utuk λ yg cukup besr mk eleme pvot pd persm (.9) yk deg <. λ λ etode yg dguk dlm mslh progrm ler blg bult dul hmpr sm deg yg dguk dlm mslh progrm ler blg bult frksol dul. Prspy dlh megguk metode smpleks dul lecogrphc, yk sebuh metode smpleks dul deg megguk tur lecogrphc. Atur lecogrphc merupk slh stu prosedur peyeles dlm mslh degeers, yk ters-tersy tdk berulg d byky bss lyk dlh berhgg, sert tdk d bss yg berulg. Deg demk byky ters pd metode smpleks dlh berhgg. Dlm tur dbetuk kolom-kolom tbel yg postf secr lecogrphc.
Defs. Postf secr lecogrphc Sebuh vektor v dlh postf secr lecogrphc k v d eleme tk ol pertm dr v dlh postf d seblky dsebut mmum secr lecogrphc. Berkut k dberk cotoh postf secr lecogrphc Cotoh. slk tedpt vektor v ( ) v ( 5) v ( ) v ( ) k v, v d v dlh postf secr lecogrphc, sedgk v buk postf secr lecogrphc melk mmum secr lecogrphc. Lgkh-lgkh metode bdg pemotog pd mslh progrm ler blg bult dul deg megguk metode smpleks dul dlh sebg berkut :. egubh betuk bku ke dlm betuk kok pd mslh progrm ler blg bult.. Dmul deg meyusu tbel wl smpleks utuk blg bult yg bers peyeles lyk dul lecogrphc. Tbel wl tersebut dsk sebg berkut :
5 Tbel.. Tbel Awl Progrm Ler Blg Bult Kolom α α K α Vrbel ( ) K ( ) Keterg : + +m K K O K +, +, K +, O + m, + m, K + m, α : kompoe + m + pertm dlm kolom ke, yk α. + m,. emlh brs sumber yg tdk lyk v, yk yg memeuh v <, v. Jk tdk d mk peyeles mslh progrm ler blg bult sudh optmum, deg demk lgkh dhetk. Jk d brs yg tdk lyk v mk dlutk ke Lgkh.. Td kolom pvot α p ( p, K, ) yg terkecl secr lecogrphc dtr kolom-kolom yg mempuy < d eleme tk ol yg pertm dlh egtf. Jk tdk d, yk,utuk, K,, mk tdk d peyeles lyky. Jk d mk dlutk ke lgkh berkuty. v v
Sebelum meetuk betuk kedl bdg pemotog hrus dtemuk sebuh λ yg dperoleh dr brs sumber d kolom pvot. Jk koefse brs sumber dtuukk deg b (,, K, ) kolom pvot, mk α p dlm metode smpleks dul lecogrphc memeuh α α L p p (.) p b b setp ( ) deg b < utuk setp ters pd mslh progrm ler blg bult. Deg b p dlh koefse kolom α p pd brs v, yk b p d koefse pd brs v kolom ke- dlh λ mk b. Deg demk dr persm (.), kolom pvot hruslh λ memeuh L α α p p (.) λ utuk setp ( ) deg < λ. Kre dlh blg bult λ postf mk ddpt α α L L p p pα (.) λ
7 Kre λ>, mk < λ k hy k < sehgg kolom pvot dlh kolom terkecl secr lecogrphc yg memut sebuh eleme egtf dlm brs sumber. sehgg slk u d ( p) p u dlh blg bult terbesr L α α p p u (.) Kre u dlh blg bult terbesr, persm (.) meuukk bhw u (.) λ Nl postf terkecl λ yg memeuh (.) dlh λ (.5) u k utuk mem persm (.), tu deg kt l utuk memperthk kolom postf secr lecogrphc α (, K ) hruslh memlk λ mks λ. u,, mk 5. Tetuk kedl bdg pemotog yg merupk pertdksm blg bult dr brs v, yk
8 v + λ λ ( ) J ( ) Tmbhk kedl bdg pemotog dlm tbel, yk pd brs plg bwh. Kemud dlkuk opers kolom gr eleme-eleme pd brs v berl - utuk eleme pd kolom pvot d yg ly berl. Kemud lutk ke Lgkh. B. Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Dul Dr lgkh-lgkh yg sudh dbrk d ts, ytu cr memlh kolom pvot, tur memlh λ d betuk kedl bdg pemotog, secr umum lgkh pertm yg dlkuk dlm meyeles mslh progrm ler blg bult dlh megubh betuk bku med betuk kok d meyusu tbel wl kemud dlutk deg lgkh-lgkh sebg berkut : Lgkh : emlh brs utm tu brs sumber v, yk brs deg <, v dplh yg plg mmum. v Lgkh : emlh kolom pvot α p, yk kolom deg koefse v ( ) deg eleme tk ol pertm dr brs v dlh egtf d dplh yg plg mmum.
9 Lgkh : eetuk l λ deg lgkh-lgkh sebg berkut :. Utuk setp v < ( ) d mslk u p utuk α p kolom pvot yg dplh dlm lgkh d ts, tetuk ( p) u, yk blg bult terbesr yg memeuh u L α fα p deg u d α L. p f. Utuk setp v < ( ), htug λ deg v λ. u. Plh λ mks λ u Lgkh : eetuk betuk kedl bdg pemotog yk v v + λ v λ ( ) J ( ) Lgkh 5: Tmbhk betuk kedl bdg pemotog yg bru ke dlm tbel smpleks utuk med brs sumber yg bru.
7 Lgkh : Vrbel v pd brs sumber yg bru k meggtk vrbel o bss pd kolom pvot. Lgkh 7 : elkuk opers kolom gr eleme-leme pd brs v berl - utuk eleme pd kolom pvot d yg ly berl. Lgkh 8 : Jk msh d l v <, v mk dlutk ke Lgkh. Jk sudh tdk d mk proses dhetk d dperoleh tbel optmum.
7 Algortm mslh progrm ler blg bult dul dperlhtk sebg berkut : ul eyusu tbel Plh brs sumber v deg v < Plh kolom pvot α p, yk mmum v yg postf secr lecogrphc eetuk l λmks λ u v eetuk betuk kedl bdg pemotog, yk v v v + ( J ( )) λ λ Tmbhk betuk kedl bdg pemotog kedlm tbel eggt vrbel obss deg vrbel v elkuk opers kolom l v < YA TIDAK Peyeles sudh optmum Seles
7 Berkut k dberk cotoh peyeles mslh progrm ler blg bult yg megguk metode bdg pemotog Cotoh. Selesk mslh progrm ler blg bult berkut : ksmumk: z 5 Deg kedl: 5 ( ) 7 ( ) d, Peyeles : slh progrm ler d ts dpt dbut ke betuk kok sebg berkut : ksmumk: z 5 Deg kedl: + 5 + d,,, 7 eyusu tbel wl smpleks Tbel.. Tbel Awl Pd Cotoh slh Progrm Ler Blg Bult
7 Kolom α α α Vrbel ( ) ( ) 5 5 7 ITERASI Lgkh : emlh brs sumber. Dlm tbel dlht koefse 7 dlh l yg plg mmum mk brs dlh brs sumber yg dplh. Lgkh : emlh kolom pvot. Dlm tbel dpt dperoleh d koefse. Kre l yg plg mmum mk kolom α dlh kolom pvot yg dplh. Lgkh : eetuk l λ. Kre kolom pvot yg dplh dlh kolom pertm mk l p yg dplh dlh. Jd l u kemud k dtetuk u, yk blg bult terbesr yg memeuh α L fα u. Dlm tbel terlht
7 bhw kompoe pertm α d α 5. Jd 5 L f u mk l u yg k ddpt dlh.. Lht l < pd brs sumber dlh d mk v l λ d λ msg-msg dlh sebg berkut : λ u ( ) ( ) d λ u. emlh λ mksmum ( λ,λ ) mksmum (,) Lgkh : eetuk betuk kedl bdg pemotog yg bru yk tu 7 + ( ) + ( ) 5 ( ) ( ) 5 Lgkh 5 : Tmbhk betuk kedl bdg pemotog yg bru ke dlm tbel smpleks.
75 Tbel.. Tbel Betuk Kedl Bdg Pemotog Pd Iters Kolom α α α Vrbel ( ) ( ) 5 5 7 5 Lgkh : Vrbel 5 k meggtk vrbel. Lgkh 7 : elkuk opers kolom. Sehgg tbel bru yg dperoleh dlh Tbel.. Tbel Setelh Dlkuk Opers kolom Pd Iters Kolom α α α Vrbel ( ) ( ) 5 5
7 Lgkh 8 : Kre msh d l v <, v, yk mk dlutk ke Lgkh. ITERASI Lgkh : emlh brs sumber. Dlm tbel dlht koefse dlh l yg plg mmum mk brs dlh brs sumber yg dplh. Lgkh : emlh kolom pvot. Dlm tbel dperoleh d koefse. Kre l yg plg mmum mk kolom α dlh kolom pvot yg dplh. Lgkh : eetuk l λ. Kre kolom pvot yg dplh dlh kolom kedu mk l p yg dplh dlh, d l u. Kemud dtetuk u, yk blg bult terbesr yg memeuh α L fα u. Dlm tbel terlht bhw L kompoe pertm α d α. Jd f u mk l u yg k ddpt dlh.
77. Lht l < pd brs sumber dlh d mk dperoleh v λ u ( ) ( ) d λ u. emlh λ mksmum ( λ,λ ) mksmum (,) Lgkh : eetuk betuk kedl bdg pemotog yg bru yk tu + 5 ( ) + ( ) ( ) ( ) 5 Lgkh 5 : Tmbhk betuk kedl bdg pemotog yg bru ke dlm tbel smpleks.
78 Tbel.5. Tbel Deg Betuk Kedl Bdg Pemotog Pd Iters Kolom α α α Vrbel ( ) ( ) 5 5 Lgkh : Vrbel k meggtk vrbel. Lgkh 7 : elkuk opers kolom. Sehgg tbel bru yg dperoleh dlh Tbel.. Tbel Setelh Dlkuk Opers kolom Pd Iters Kolom α α α Vrbel ( ) ( ) 5 5
79 Lgkh 8 : Kre sudh tdk d l v <, v mk tbel sudh optmum deg l (, ) (,) d l optmum - Pd mslh progrm ler blg bult dlm betuk duly dpt durk bhw dlm kedl utm yg memlk vrbel wl d dlh 5 7 Kedl bdg pemotog yg ddpt pd perhtug dts dlh ( ) ( ) 5 tu + d ( ) ( ) 5 ( ( ( ) ( ))) ( ) ( ) ( ) tu +
8 Dr kedl-kedl d ts dpt dlustrsk ke dlm gmbr dbwh : 5 5 Gmbr.. Peyeles slh Progrm Ler Blg Bult Dul Dr cotoh dmuk terlht bhw progrm ler blg bult dul dlh cr lebh efse bl dbdgk deg mslh progrm ler blg bult frktol dul yg megguk metode bdg pemotog kre dlm perhtug lebh cept mecp peyeles optmum.
8 BAB V PENUTUP A. Kesmpul slh progrm ler blg bult dktegork med du mslh, yk progrm ler blg bult frksol dul yg memugkk dy blg pech dlm perhtugy, d progrm ler blg bult dul dm dlm perhtugy hrus berup blg bult. Kedu mslh tersebut dpt dselesk deg metode bdg pemotog yg megguk metode smpleks dul. Lgkh-lgkh metode progrm ler blg bult frksol dul dlh sebg berkut :. egubh betuk bku med betuk kok.. eyusu tbel wl dr mslh progrm ler blg bult.. slh progrm ler blg bult dselesk dhulu sebg mslh progrm ler bs, yk deg megguk megguk metode smpleks dul smp dtemuk peyeles optmum tetp peyeles yg ddpt belum tetu berup blg bult.. U optmum. Jk peyeles optmum pd lgkh sebelumy belum berup blg bult mk lgkh-lgkh peyeles dlutk lg megguk metode bdg pemotog deg membhk kedl bdg pemotog yg bru yg memut vrbel pegett.
8 Lgkh-lgkh metode progrm ler blg bult dul dlh sebg berkut :. egubh betuk bku med betuk kok.. eyusu tbel wl dr mslh progrm ler blg bult.. slh progrm ler blg bult dselesk megguk metode bdg pemotog deg membhk kedl bdg pemotog yg bru yg memut vrbel pegett. Dlm meyelesk mslh progrm ler blg bult frksol dul k dtemuk kesult kre tdk cukup hy meyelesk deg metode bdg pemotog yg megguk metode smpleks dul tetp hrus dcr dhulu peyeles megguk metode smpleks dul. Tetp dlm meyelesk mslh progrm ler blg bult dul deg megguk metode bdg pemotog peghtugy dlkuk secr lgsug deg membhk betuk kedl bdg pemotog tp hrus dselesk deg metode smpleks dul dhulu. Deg demk peyeles mslh progrm ler blg bult dul k lebh efse d lebh cept medptk peyeles optmum. B. Sr Dr pembhs tetg progrm ler blg bult deg metode bdg pemotog, pbl medptk mslh progrm ler blg bult k lebh bk bl mslh tersebut dbw kedlm mslh progrm ler blg bult dul. Nmu hedky metode dbdgk deg metode eumers tu metode cbg d bts.
8 DAFTAR PUSTAKA Broso, R (99) Teor d Sol-sol Operto Reserch. Peerbt : Erlgg Chvtl, V. (98). Ler Progrmmg. c Grw Hll Book Compy, Ic. Igzo, J.P. & Cvler, T.. (99). Ler Progrmmg. c Grw Hll Book Compy, Ic. Slk, H.. (975) Iteger Progrmmg. Addso-Wesley Publshg Compy, Ic. Slk, H.. d thur kmlesh (989) Foudtos of Iteger Progrmmg. North-Holld. Suprto, J.. A. (98). Ler Progrmmg. Jkrt: Peerbt Fkults Ekoom Uversts Idoes. Sust, B. (99). Progrm Ler. Jkrt: LPTK Depdkbud. Th, H. A (99). Rset Opers. Jkrt: Peerbt Brup Aksr Wolsey, L.A (998) Iteger Progrmmg. Joh Wley & Sos, New York. Wu, N. & Copps, R. (98). Ler Progrmmg Ad Etesos. c Grw Hll Book Compy, Ic.