BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Penyakit menular merupakan masalah kesehatan utama di hampir setiap negara, termasuk Indonesia. Beberapa penyakit dapat menyebar dalam populasi hingga menyebabkan epidemi. Salah satunya adalah penyakit hepatitis. Hepatitis merupakan suatu proses peradangan yang menyerang organ hati. Secara populer biasanya dikenal dengan penyakit hati, sakit liver, atau sakit kuning (jaundice). Kebanyakkan penyakit hepatitis disebabkan oleh virus, salah satunya adalah virus hepatitis C (Hepatitis C Virus/HCV). Selain HCV, masih ada beberapa virus hepatitis yang dibagi berdasarkan tipenya, yaitu virus hepatitis A, B, D, dan E. Berbeda dengan virus hepatitis lainnya, HCV merupakan penyebab utama penyakit liver kronis dan sirosis yang mengarah pada transplantasi hati bahkan berujung pada kematian. Sejak tahun 2005, WHO menyebutkan bahwa penderita hepatitis C telah mencapai 170 juta jiwa. Sedangkan di Indonesia sendiri jumlah penderita hepatitis C sekitar 6,6-7 juta jiwa, tentu saja ini bukan jumlah yang sedikit. Penderita hepatitis C akan terus bertambah seiring dengan bertambahnya infeksi baru yang mencapai tiga sampai empat juta jiwa setiap tahunnya. Penularan infeksi HCV paling banyak terjadi pada komunitas pecandu narkoba suntik (Injecting Drug Users/IDU). Pola hidup para pecandu yang setia kawan membuat komunitas IDU menjadi kelompok paling beresiko terinfeksi HCV. Sebagian besar penderita hepatitis C tidak menyadari bahwa dirinya telah mengidap penyakit tersebut. Hal ini dikarenakan sifatnya yang asimptomatik, artinya tidak ada gejala-gejala khusus yang ditimbulkan dari penyakit hepatitis C. Bahkan beberapa orang berpikiran bahwa dirinya hanya terserang flu. Adapun gejala yang biasa dirasakan pada sebagian penderita hepatitis C antara lain demam, 1
2 rasa lelah, mual dan muntah, nyeri pada perut, feses abu-abu, nafsu makan turun, serta Jaundice (kulit dan mata berwarna kuning). Hal inilah yang mungkin merupakan salah satu faktor penderita hepatitis C terus bertambah setiap tahunnya. Kondisi ini semakin diperparah dengan belum adanya vaksin yang dapat digunakan untuk mencegah penularan infeksi HCV. Namun, saat ini pengobatan dengan kombinasi Pegylated Interferon Alfa dan obat antivirus Ribavirin merupakan cara yang cukup efektif untuk mengobati penyakit hepatitis C kronis. Pengobatan ini dilakukan selama 24-48 minggu sampai virus tidak terdeteksi selama enam bulan setelah pengobatan. Dampak infeksi HCV yang berbahaya dan jumlah penderita yang terus bertambah setiap tahunnya, membuat organisasi kesehatan dunia WHO tahun 2010 menetapkan penyakit hepatitis C sebagai masalah kesehatan yang harus diperhatikkan dunia dan menetapkannya sejajar dengan penyakit HIV, TBC, dan Malaria. Adanya permasalahan-permasalahan kompleks seperti saat ini menuntut manusia untuk memecahkan persamalahan tersebut. Perkembangan ilmu pengetahuan khususnya dibidang matematika turut memberikan peranan penting dalam menggambarkan fenomena penyebaran infeksi HCV dalam bentuk model matematika yang disebut dengan model epidemi. Dengan model epidemi dapat diketahui kapan suatu penyakit akan menjadi endemi dan langkah apa yang dapat dilakukan untuk menanggulangi penyebaran penyakit. Skripsi ini berbasis model epidemi SIRS dengan infeksi kronis dan kemungkinan reinfeksi berdasarkan pada penelitian yang dilakukan oleh Elbasha (2013). Pada Elbasha (2013) model epidemi SIRS dikembangkan untuk mempelajari penyebaran infeksi HCV dengan menerapkan adanya pengobatan terhadap penderita hepatitis C kronis. Perilaku dinamik dari model penyebaran infeksi HCV yang akan diselidiki adalah keberadaan (eksistensi) titik ekuilibrium bebas infeksi dan titik ekuilibrium adanya infeksi (endemik), serta analisis kestabilan global dari masingmasing titik ekuilibrium. Hal baru yang diberikan dalam skripsi ini adalah adanya simulasi numerik yang menggambarkan adanya kenaikkan dan penurunan infeksi HCV dalam komunitas IDU.
3 1.2. Tujuan Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah 1. Memperoleh model penyebaran infeksi HCV dengan menerapkan pengobatan pada penderita hepatitis C kronis berdasarkan fakta-fakta yang ada. 2. Melakukan analisa terhadap model yang telah dibentuk terkait titik ekuilibrium dan kestabilannya. 3. Mempelajari model penyebaran infeksi HCV melalui simulasi numerik. 1.3. Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat dalam pengembangan model matematika bidang epidemiologi terkait penyebaran infeksi HCV, serta pemberian pengobatan sebagai upaya untuk mengendalikan penyebaran infeksi HCV terutama pada komunitas IDU yang merupakan komunitas dengan resiko tertinggi tertular infeksi HCV. 1.4. Batasan Masalah Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada pembentukkan model penyebaran infeksi HCV dalam komunitas IDU disertai dengan adanya pengobatan pada penderita hepatitis C kronis. Penentuan titik ekuilibrium bebas infeksi maupun titik ekuilibrium adanya infeksi (endemik), bilangan reproduksi kontrol, analisis kestabilan titik ekuilibrium, dan simulasi numerik model penyebaran infeksi HCV. 1.5. Tinjauan Pustaka Penyusunan model penyebaran infeksi HCV dalam skripsi ini mengacu pada jurnal berjudul Model for Hepatitis C Virus Transmissions yang dibuat oleh Elbasha (2013). Dalam jurnal Elbasha (2013), diberikan model penyebaran infeksi HCV, pada model tersebut individu yang menderita hepatitis C akut dapat berkembang menjadi hepatitis C kornis. Model tersebut juga memperhatikan adanya kemungkinan
4 reinfeksi pada individu yang telah sembuh dari penyakit serta menerapkan pengobatan terhadap individu dengan penyakit hepatitis C kronis. Analisis pada jurnal Elbasha (2013) terkait kestabilan dari titik-titik ekuilibrium dilakukan dengan terlebih dahulu dengan menyederhanakan model dengan menganggap karakteristik infeksi primer dan reinfeksi adalah sama, serta tidak ada kemungkinan terjadi reinfeksi virus. Penulisan pada skripsi ini difokuskan pada penjabaran dan penjelasan mengenai model penyebaran infeksi HCV yang tertera dalam jurnal Elbasha (2013). Titik-titik ekuilibrium dan bilangan reproduksi yang didapat dalam jurnal dijabarkan buktinya, serta lebih dipaparkan analisis kestabilannya. Berbeda dengan jurnal Elbasha (2013) dalam skripsi ini disertakan simulasi numerik yang menunjukkan kondisi adanya kenaikkan dan penurunan infeksi HCV. Dalam analisis model yang terdapat pada jurnal digunakan beberapa sumber pustaka. Wiggins (1990) menjelaskan mengenai konsep model epidemi SIRS yang diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick. Model disusun dengan bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Konsep mengenai fungsi diferensiabel dan sistem persamaan diferensial mengacu pada Perko (1991). Kemudian Anton (2000) menjelaskan mengenai definisi nilai eigen dan vektor eigen. Definisi mengenai linearisasi dari sistem persamaan diferensial nonlinear mengacu pada Perko (1991). Kemudian beberapa definisi dan teorema mengenai kestabilan titik ekuilibrium mengacu pada Olsder (1994). Teori- teori dasar mengenai himpunan invariant dan fungsi Lyapunov mengacu pada Verhults (1990), Luenberger (1979) dan Becerra (2008). Konsep mengenai himpunan konveks dan fungsi konveks mengacu pada Bazaraa (1993). Kemudian untuk definisi mengenai bilangan reproduksi dasar mengacu pada Van Den Driessche dan Watmough (2001). Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan toolbox ODE45 dari program aplikasi MATLABR2009a
5 1.6. Metodologi Penelitian Penelitian mengenai model penyebaran infeksi HCV dimulai dengan mengidentifikasi masalah terkait epidemi penyakit hepatitis C untuk mengetahui faktafakta mengenai penyakit hepatitis C melalui studi literatur. Asumsi-asumsi diperlukan guna memberikan informasi tambahan yang tidak diperoleh dari fakta-fakta di lapangan, serta pendefinisian parameter-parameter yang digunakan pada model. Model matematika penyebaran infeksi HCV disusun berdasarkan diagram kompartemen yang menggambarkan dinamika populasi yang telah dibuat terlebih dahulu, kemudian disajikan menjadi model matematika dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Analisis yang dilakukan terhadap model penyebaran infeksi HCV adalah bilangan reproduksi kontrol yang dinotasikan dengan R c. Menentukan titik ekuilibrium bebas infeksi dan titik ekuilibrium endemik dari model yang telah dibentuk, menganalisa kestabilan lokal dan global dari model di sekitar titik-titik ekuilibrim, serta melakukan simulasi numerik terkait model yang telah dibentuk. Simulasi model penyebaran infeksi HCV dilakukan dengan menggunakan bantuan sebuah toolbox yang mengimplementasi metode runge kutta orde 4 dan 5, yaitu ODE45 dari program aplikasi MATLAB R2009a. Simulasi ini dilakukan dengan memberikan nilai awal yang berbeda-beda sehingga dihasilkan potret fase yang menggambarkan perilaku model penyebaran infeksi HCV. Model penyebaran infeksi HCV beserta dengan analisis model yang dibahas dalam skripsi ini telah dikemukakan oleh Elbasha (2013) pada jurnalnya yang berjudul Model for Hepatitis C Virus Transmissions. Kontribusi penulis antara lain menjelaskan konstruksi model penyebaran infeksi HCV, menjabarkan bukti teorema yang ada, serta memberikan simulasi numerik yang menggambarkan kenaikkan dan penurunan infeksi HCV dikaitkan dengan bilangan reproduksi kontrol R c melalui bantuan program komputer MATLAB.
6 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan dari masalah yang dikaji. BAB II DASAR TEORI Bab ini membahas teori penunjang yang digunakan untuk pemecahan masalah pada bab selanjutnya. Bab ini membahas teori-teori tentang model SIRS, fungsi diferensial, sistem persamaan diferensial linear, sistem persamaan diferensial linear dan nonlinear, kestabilan titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar, himpunan invariant dan fungsi Liapunov, serta himpunan konveks dan fungsi konveks. BAB III MODEL PENYEBARAN INFEKSI HCV DALAM KOMUNITAS PENGGUNA NARKOBA SUNTIK (IDU) Bab ini menyajikan pembentukkan model penyebaran infeksi HCV berdasarkan fakta dan asumsi. Model yang telah dibentuk kemudian dianalisa, analisis model penyebaran infeksi HCV tersebut meliputi bilangan reproduksi R c, titik ekulibrium bebas infeksi, titik ekuilibrium adanya infeksi virus (endemik) dan analisis kestabilan di sekitar titik-titik ekuilibriumnya. BAB IV SIMULASI MODEL PENYEBARAN INFEKSI HCV DALAM KO- MUNITAS PENGGUNA NARKOBA SUNTIK (IDU) Bab ini berisi simulasi numerik yang menunjukkan adanya penurunan dan kenaikkan infeksi HCV dalam komunitas IDU dari model penyebaran infeksi HCV yang disajikan dalam bentuk potret fase. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan yang telah dilakukan dan saran untuk penelitian lanjutan.