ANALISIS STABILITAS MODEL MATEMATIKA DARI PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MELALUI TRANSPORTASI ANTAR DUA KOTA ANALYSIS OF STABILITY OF SPREADING DISEASE MATHEMATICAL MODEL WITH TRANSPORT-RELATED INFECTION BETWEEN TWO CITIES Oleh: Aglis Nisa Sari (1207100023) Dosen Pembimbing: 1. Drs.M.Setijo Winarko, M.Si 2. Drs. I Gusti Ngurah Rai Usadha, M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011
PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Penyebaran penyakit menular antar kota Harus dikontrol Harus dipahami bagaimana pertumbuhan dan penyebaran dari suatu penyakit menular Terdapat banyak faktor yang mempengaruhi, diantaranya populasi yang tidak terkontrol, meningkatnya perjalanan internasional, dan perubahan cuaca Untuk beberapa penyakit seperti penyakit kaki dan mulut serta SARS, transportasi adalah faktor utama yang mempengaruhi penyebarannya
Dalam matematika epidemologi, beberapa model yang menggabungkan wilayah berlainan telah dipelajari. Sattenspiel dan Dietz (1995) memperkenalkan sebuah model dengan perjalanan diantara populasi [2]. Mereka mengidentifikasi parameter dalam kasus perjangkitan cacar air di Pulau Carribean, Dominika, dan secara numerik mempelajari dinamika dari model Pada penelitian sebelumnya, sedikit penelitian yang membahas pengaruh dari penularan melalui transportasi pada dinamika penyakit menular Pada tugas akhir ini, dianalisis sebuah model epidemik untuk menjelaskan penyebaran penyakit menular melalui transportasi serta dianalisis dinamika dari model untuk beberapa kasus penting.
B. PERUMUSAN MASALAH Pada tugas akhir ini akan dianalisis model epidemik [2] yang mempunyai bentuk: Dengan: (1.1) S i adalah individu Susceptible (rentan penyakit) kota i,( i =1,2) I i adalah individu Infective (terinfeksi penyakit) kota i, (i =1,2) a adalah laju kelahiran b adalah laju kematian individu rentan d adalah laju individu terinfeksi yang kembali rentan c adalah laju kematian individu terinfeksi, dengan adalah laju perpindahan (dari i ke j ; ) adalah laju penularan dalam kota j adalah laju penularan (dari kota j ke kota i) adalah incidence rate (jumlah kasus infeksi baru per satuan waktu) dalam kota j adalah incidence rate (jumlah kasus infeksi baru per satuan waktu) dari kota j ke kota i
Adapun permasalahan dalam tugas akhir ini adalah: a. Bagaimana menentukan basic reproduction number, analisis stabilitas dari endemic steady state, dan disease free steady state, serta kaitannya dengan basic reproduction number. b. Bagaimana penyebaran melalui transportasi mempengaruhi dinamika dan perjangkitan penyakit menular di kota berlainan. C. BATASAN MASALAH Tugas akhir ini dibatasi oleh hal-hal sebagai berikut: a. Transportasi terjadi melalui jalur darat antar duakota yang berdekatan. b. Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe SIS (Susceptible Infective Susceptible).
D. TUJUAN PENELITIAN Tujuan dari tugas akhir ini adalah: a. Menentukan basic reproduction number, endemic steady state, dan disease free steady state, dan kestabilannya. b. Menginterpretasikan hasil analisis pengaruh penyebaran penyakit menular melalui transportasi terhadap dinamika dan perjangkitan penyakit menular di kota berlainan. E. MANFAAT PENELITIAN Manfaat dari tugas akhir ini adalah untuk memberikan informasi pengaruh penyebaran penyakit menular melalui transportasi terhadap dinamika dan perjangkitan penyakit menular di kota berlainan sehingga dapat diambil langkahlangkah yang tepat untuk pencegahannya.
TINJAUAN PUSTAKA A. PENYAKIT MENULAR Penyakit menular adalah penyakit yang disebabkan oleh kuman yang menjangkiti tubuh manusia [8]. Kuman dapat berupa virus, bakteri, atau jamur. Penyakit menular disebut juga wabah. Wabah dalam lingkup yang lebih luas disebut epidemik, yaitu wabah yang terjadi secara lebih cepat daripada yang diduga. Adapun wabah dalam lingkup global disebut pandemik. Penyakit yang umum yang terjadi pada laju yang konstan namun cukup tinggi pada suatu populasi disebut sebagai endemik. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai endemik bila setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya kepada satu orang lain (secara rata-rata). Bila infeksi tersebut tidak lenyap dan jumlah orang yang terinfeksi tidak bertambah secara eksponensial, suatu infeksi dikatakan berada dalam keadaan endemik (endemic steady state).
B. TRANSPORTASI Transportasi adalah pemindahan manusia atau barang dari satu tempat ke tempat lainnya dengan menggunakan sebuah alat yang digerakkan oleh manusia atau mesin [9]. Transportasi sendiri dibagi menjadi 3 jalur yaitu, jalur darat, laut, dan udara. Transportasi darat menggunakan alat transportasi darat seperti sepeda, sepeda motor, dan mobil yang disebut kendaraan pribadi serta bis, kereta api, dan bemo yang disebut kendaraan (angkutan) umum.
C. MODEL KOMPARTEMEN Kompartemen adalah suatu aliran yang mendeskripsikan penyebaran penyakit dari individu-individu. Ada beberapa fase dalam suatu kompartemen, yaitu : S E I R : Susceptible; individu yang sehat namun rentan (tak kebal) terhadap penyakit. : Exposed; individu yang terjangkit penyakit namun belum tampak tanda penyakitnya (masa inkubasi). : Infective; individu yang terkena penyakit dan dapat menularkan penyakitnya. : Removed; individu yang kebal setelah terinfeksi.
D. BILANGAN REPRODUKSI DASAR Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya ratarata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung dalam populasi individu rentan penyakit [7]. Bilangan tersebut diperlukan sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian dari suatu sistem persamaan (model) yang dihitung pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Pada model yang kompleks, suatu model mungkin mempunyai lebih dari satu bilangan reproduksi dasar. Untuk kasus seperti ini, bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai terbesar dari beberapa bilangan reproduksi dasar. Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar, akan digunakan metode Driessche dan Watmough [4].
E. KESTABILAN TITIK TETAP Pandang persamaan diferensial Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.1) jika memenuhi. Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan Adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (2.1) untuk semua t.
F. STABIL ASIMTOTIS LOKAL Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan Teorema 2.1 Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks, mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.
Definisi 2.4 Jika J adalah matriks yang berukuran n n maka vektor tak nol dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi : Jx = λx (2.2) Untuk suatu skalar λ disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan λ. Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n n, maka dapat dituliskan kembali persamaan (2.2) sebagai Jx = λix atau ekuivalen dengan (J - λi)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika J - λi = 0. (2.3) Jika matriks maka (2.3) dapat ditulis:
2.6.3 Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz Kriteria kestabilan Routh Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut :, kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi : Sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika elemenelemen pada kolom pertama (a 0, a 1, b 1, c 1, ) memiliki tanda yang sama.
METODOLOGI Tahap-tahap yang digunakan dalam tugas akhir ini agar dapat mencapai tujuan adalah : a. Studi literatur, meliputi pemahaman teoritis tentang penyebaran penyakit menular melalui transportasi, serta kestabilan. b. Analisis kestabilan dengan menguji kestabilan asimotis lokal dari model epidemik. c. Simulasi menggunakan MATLAB. d. Interpretasi hasil analisis dari model epidemik. e. Penyusunan draft dan laporan tugas akhir.
ANALISIS DAN PEMBAHASAN Model Penyebaran Penyakit Menular Tanpa adanya transportasi antar dua kota Melalui transportasi antar dua kota individu rentan dan terinfeksi bepergian antar 2 kota ( dan Hanya individu rentan yang bepergian Semua individu di kota 2 bepergian ke kota 1, namun individu terinfeksi di kota 1 dicegah dari bepergian ke kota 2
Model Penyebaran Penyakit Tanpa Adanya Transportasi Antar Dua Kota Jika pergerakan dari individu diabaikan,, maka model (1.1) menjadi:
Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah: P 1 Titik kesetimbangan endemik adalah Basic reproduction number untuk model (4.1) adalah
Sekarang akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan model (4.1). Setelah dilakukan proses linearisasi, didapat matriks Jacobian untuk model (4.1) sebagai berikut Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit P 1 Adalah Nilai eigen matriks diperoleh dari
Jika, maka sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit stabil. Jika, maka sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil. Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan adalah Nilai eigen matriks diperoleh dari Sehingga didapat persamaan kuadrat dengan bentuk dengan nilai
Jika, maka, sehingga titik kesetimbangan endemik stabil. Jika, maka, sehingga titik kesetimbangan endemik tidak stabil. Berdasarkan hasil analisa kestabilan, jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil dan titik kesetimbangan endemik stabil sehingga jumlah individu terinfeksi bertambah dan penyebaran penyakit menular meningkat. Jika, maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil dan titik kesetimbangan endemik tidak stabil sehingga jumlah individu terinfeksi berkurang dan penyebaran penyakit menular akan menurun. Sedangkan jika maka jumlah penderita banyaknya tidak bertambah dan tidak berkurang.
Model Penyebaran Penyakit Menular melalui Transportasi antar Dua Kota Jika individu rentan dan terinfeksi bepergian antar 2 kota, maka didapat model sebagai berikut:
Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model (4.9) adalah: Selanjutnya ditentukan titik kesetimbangan koeksisten, yaitu titik kesetimbangan yang semua variabelnya tidak bernilai nol. Jika diasumsikan kedua kota identik (parameter demografis sama untuk setiap kota), maka dan Titik kesetimbangan koeksisten adalah dengan Basic reproduction number untuk model (4.9) adalah
Sekarang akan dicari kestabilan lokal titik kesetimbangan model (4.9). Setelah dilakukan proses linearisasi, didapat matriks Jacobian untuk model (4.9) sebagai berikut Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit Adalah
Nilai eigen dari J( ) diperoleh dari titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika
Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan koeksisten adalah dengan polinomial karakteristik dari adalah
Pandang matriks. Jelas Oleh karena itu, nilai eigen dari mempunyai bagian real negatif. Pandang matriks
Kemudian, Ketika, didapat, oleh karena itu, nilai eigen dari mempunyai bagian real negatif, yang mengakibatkan stabil ketika
Model Penyebaran Penyakit untuk Individu Rentan yang Bepergian Pada kasus individu terinfeksi dicegah dari bepergian ke kota lain, model (4.9) menjadi
titik kesetimbangan bebas penyakit adalah : titik kesetimbangan endemik adalah dengan titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 1 adalah dengan titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah dengan
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan adalah Nilai eigen matriks diperoleh dari Nilai eigen dari matriks di atas adalah Oleh karena itu, titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan koeksisten Dengan polinomial karakteristik dari adalah Jika, maka
Kemudian dan Oleh karena itu, 2 nilai eigen dari A+B mempunyai bagian real negatif. dan. Nilai eigen dari juga mempunyai bagian real negatif. Oleh karena itu, stabil
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan adalah Andaikan Nilai eigen dari diperoleh dari Berdasarkan perhitungan, dapat disimpulkan bahwa ada dan stabil jika sedangkan jika ada tetapi tidak stabil.
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan adalah Andaikan Persamaan karakteristik dari adalah Dari perhitungan, dapat disimpulakan bahwa sedangkan jika ada tetapi tidak stabil. ada dan stabil jika
Model Penyebaran Penyakit untuk Semua Individu di Kota 2 Bepergian ke Kota 1, namun Individu Terinfeksi di Kota 1 Dicegah dari Bepergian ke Kota 2 Pada kasus ini, model (4.9) direduksi menjadi
titik kesetimbangan bebas penyakit pada model (4.21) adalah. titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah Dengan, Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit adalah: Nilai eigen dari adalah diperoleh dari Oleh karena itu, stabil ketika
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah Persamaan karakteristik dari matriks adalah Dengan,
Titik kesetimbangan dari model 4.21 dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika Supaya, maka Dari perhitungan di atas, titik kesetimbangan bebas penyakit ada untuk ataupun dan stabil jika. Jika dan, model mempunyai titik kesetimbangan endemik yang stabil. Titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 yaitu juga ada untuk, tetapi tidak stabil jika menjadi stabil jika ditingkatkan, dengan kata lain.
Model Penyebaran Penyakit melalui Transportasi antar Dua Kota dengan Jika, maka didapat model sebagai berikut:
titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model (4.23) adalah: titik kesetimbangan koeksisten adalah dengan Basic reproduction number untuk model (4.23) adalah titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika titik kesetimbangan endemik stabil ketika
SIMULASI Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal MODEL 4.9 Didapat Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat MODEL 4.23 Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat MODEL 4.17 Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal MODEL 4.21 Didapat Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat Maka didapat grafik kestabilan
KESIMPULAN DAN SARAN KESIMPULAN 1.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.9) & (4.23) adalah a. Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ada dan stabil, sedangkan titik kesetimbangan endemik tidak ada. Hal ini berarti jumlah individu terinfeksi berkurang sehingga penyebaran penyakit menular akan menurun dan tidak terjadi penyebaran (endemik) pada kedua kota. b. Jika dan maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada tetapi tidak stabil, sedangkan titik kesetimbangan endemik ada dan stabil. Hal ini menyebabkan keadaan endemik di kedua kota sehingga jumlah indivudu terinfeksi bertambah dan penyebaran penyakit menular meningkat.
2.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.17) adalah a.jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada dan stabil,sedangkan titik kesetimbangan endemik tidak ada. b.jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada tetapi tidak stabil, sedangkan titik kesetimbangan endemik ada dan stabil. 3.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.21) adalah a.titik kesetimbangan bebas penyakit kedua kota ada untuk ataupun dan stabil jika b.jika dan,titik kesetimbangan endemik stabil. Titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 juga ada untuk, tetapi tidak stabil jika menjadi stabil jika ditingkatkan, dengan kata lain.
SARAN Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan analisis stabilitas model matematika dari penyebaran penyakit menular melalui transportasi antar dua kota dengan kasus ( ) dengan serta ( ) dengan. Kasus kasus lain seperti ( ) dengan perlu dikembangkan lagi untuk peneletian selanjutnya.
DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1. Batam: Interaksara [2] Cui, J., Takeuchi, Y., Saito, Y. 2006. Spreading disease with transport-related infection. Journal of Theoritical Biology 239 (2006) 376-390. [3] Diekmann,O. Heesterbeek. J.A.P, Metz, J.A.J. 1990. On the definition an the computation of the basic reproduction ratio in models for infectious disease in heterogeneous populations. J.Math.Biology 28, 365-382 [4] Driessche,P.,Watmough,J. 2002. Reproduction Numbers and Sub-threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission. Mathematical Biosciences 180 (2002) 29-48 [5] Finizio, N., Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. [6] Ma, Z. dan Li, J. 2009. Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics. Singapore: World Scientific Publishing. [7] Rahmalia, Dinita. 2010. Permodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya. [8]Wikipedia. 2 Agustus 2010. Wabah. <http://id.wikipedia.org/index.php> [9]Wikipedia. 3 Nopember 2010. Transportasi. <http://id.wikipedia.org/index.php>