TKS 4008 Analisis Struktur I TM. XXII : METODE CROSS Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Outline Metode Distribusi Momen Momen Primer (M ij ) Faktor Kekakuan ( ) Faktor Distribusi (FD ij ) Tabel Distribusi Momen (Cross) 1
Pendahuluan Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993) dalam bukunya yang berjudul Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed End Moments. Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga dikenal dengan metode Cross. Salah satu metode yang digunakan dalam analisis struktur balok dan portal statis tak tentu. Pendahuluan Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai berikut : 1. Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan, sehingga panjang batangbatangnya tidak berubah (konstan). 2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna. 2
Pendahuluan Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul. Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak seimbang. Pendahuluan Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan perputaran sehingga momen primer di masing-masing simpul sama dengan nol. Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau mendekati nol. 3
Definisi Ada beberapa definisi yang digunakan dalam metode distribusi momen, yaitu : 1. Momen Primer (M ij ) 2. Faktor Kekakuan ( ) dan Momen Induksi (MI ij ) 3. Faktor Distribusi (FD ij ) M ij 1. Momen Primer Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang. Besarnya momen primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau momen rekasi merupakan kebalikan dari momen primer dan disebut juga dengan momen perlawanan). 4
M ij Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan pembebanan. Arah momen primer didasarkan pada kecenderungan melenturnya batang (seolah-olah batang akan patah akibat momen yang bekerja di ujung batang), untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1. M ij Gambar 1. Momen Primer dan Momen Reaksi 5
2. Faktor Kekakuan dan Momen Induksi Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen induksi, dapat diuraikan berdasarkan persamaan slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada masing-masing jenis batang seperti ditunjukkan pada Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3 untuk kondisi jepit-sendi. Gambar 2. Batang Jepit-Jepit 6
Gambar 2, batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit. Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar M AC dengan sudut kemiringan lendutan sebesar A. Sedangkan ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar M CA dengan arah yang sama. Sehingga diperoleh persamaan : A2 - A1 = A dan C2 - C1 = 0 Akibat pengaruh momen distribusi M AC akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : θ A1 = M ACL AC 3EI dan θ C1 = M ACL AC 6EI Selanjutnya pengaruh momen induksi M CA akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : θ A2 = M CAL AC 6EI dan θ C2 = M CAL AC 3EI 7
Dengan demikian : C2 - C1 = 0 M CA L AC 3EI M ACL AC 6EI A1 - A2 = A M AC L AC 3EI M AC L AC 3EI 3M AC L AC 12EI M CAL AC 6EI M ACL AC 12EI = 0 M CA = 1 2 M AC = θ A = θ A = θ A M AC = 4EI L AC θ A Jika A = 1 rad, maka : M AC = 4EI L AC Nilai momen ini disebut kekakuan batang AC yang diberi notasi K AC. Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan jeit-jepit dapat dihitung dengan rumus : = 4EI L ij 8
Gambar 3. Batang Jepit-Sendi Gambar 3, batang prismatis AD dengan tumpuan jepit-sendi. Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar M AD dengan sudut kemiringan lendutan sebesar A. Sedangkan ujung D tidak berhak menerima momen induksi karena tumpuan sendi atau M DA = 0. Sehingga diperoleh persamaan : A2 - A1 = A 9
Akibat pengaruh momen distribusi M AD akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada ujung batang A sebesar : θ A = M ADL AD 3EI Jika A = 1 rad, maka : M AD = 3EI L AD Nilai momen ini disebut kekakuan batang AD yang diberi notasi K AD. Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan jepit-sendi dapat dihitung dengan rumus : = 3EI L ij Sehingga dapat disimpulkan bahwa : 1. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit adalah : K = 4EI L. 2. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi adalah : K = 3EI L. 10
FD ij 3. Faktor Distribusi Jika pada struktur portal bekerja momen primer sebesar M di simpul A (lihat Gambar 4), maka masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi distribusi momen sebesar M AB, M AC, dan M AD dengan arah berlawanan dengan momen primer M. Hal ini akibat simpul A dianggap kaku sempurna (perfect rigid), sehingga batang-batang berputar menurut garis elastisnya untuk mendapatkan kondisi keseimbangan (equilibrium). FD ij Untuk mencari besarnya faktor distribusi dan momen distribusi dapat dihitung berdasarkan Gambar 4. Gambar 4. Distribusi Momen 11
FD ij Dari Gambar 4 : Pada batang AB terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh M AB. Pada batang AC terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh M AC. Pada batang AD terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh M AD. Jadi keseimbangan simpul A adalah : M = M AB + M AC + M AD FD ij Jika K AB, K AC, dan K AD merupakan faktor kekakuan masing-masing batang AB, AC, dan AD, maka : M AB = K AB A ; M AC = K AC A ; M AD = K AD A Jadi : M = K AB + K AC + K AD θ A M = K A θ A θ A = M K A 12
FD ij Dengan demikian akan diperoleh : M AB = K AB K A M M AC = K AC K A M M AD = K AD K A M FD ij Sehingga dapat disimpulkan bahwa : 1. Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan batang (K) dengan kekakuan batang total di titik simpul ( K). FD = K K 2. Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor distribusi (FD) dengan momen primer (M ). MD = M FD 13
Prosedur Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross : 1. Carilah momen primer, M untuk masing-masing bagian batang. 2. Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor). 3. Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor). 4. Buat tabel Cross. 5. Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan tanda atau jumlahnya sama dengan 0. Prosedur 6. Pada penggambaran bidang momen, tanda penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan momen untuk sebelah kiri titik dukung. 7. Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik dukung, pada gambar selalu bertanda sama dengan hasil perhitungannya. 14
Contoh Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada gambar berikut : Contoh 1. Momen Primer : M AB = M BA = 1 12 ql2 = 1 12 4. 62 = 12 knm M BC = M CB = Pab2 L 2 = 4.3.92 12 2 M CD = Pa L2 a 2 2L 2 + 1 12 ql2 + Pa2 b L 2 + 1 12 1. 122 + 4.32.9 12 2 = 10.6 92 6 2 2.9 2 = 21 knm = 13, 33 knm 15
Contoh 2. Faktor Kekakuan dan Faktor Distribusi : Simpul B Kekakuan batang : K BA = 4EI L K BC = 4EI L = 4EI 6 = 4EI 12 Faktor distribusi : = 0, 67EI = 0, 33EI K FD BA = K BA = 0,67EI = 0, 67 K B 1,00EI FD BC = K BC = 0,33EI FD = 0, 33 K B 1,00EI B = 1EI B = 1 Contoh Simpul C Kekakuan batang : K CB = 4EI L K CD = 3EI L = 4EI 12 Faktor distribusi : = 0, 33EI = 3EI 9 = 0, 33EI K C = 0, 66EI FD CB = K CB = 0,33EI = 0, 5 K C 0,66EI FD CD = K CD = 0,33EI FD = 0, 5 K C 0,66EI C = 1 16
Contoh 3. Distribusi Momen Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel (Tabel Cross). Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel), sehingga memudahkan proses distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar tidak menyulitkan proses induksi. Dalam hal ini, proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga 4 kali iterasi dengan hasil mendekati nol. Contoh 4. Tabel Cross 17
Contoh 5. Bidang M, D, dan N Untuk mendapatkan gambar bidang M, D, dan N, maka perlu dibuat diagram badan bebas (free body diagram) dari momen reaksi yang sudah didapat. Terima kasih atas Perhatiannya! 18