2. Matrix, Relation and Function Discrete Mathematics
Discrete Mathematics. Set and Logic 2. Relation 3. Function 4. Induction 5. Boolean Algebra and Number Theory MID 6. Graf dan Tree/Pohon 7. Combinatorial 8. Discrete Probability UAS Discrete Mathematics 2
Previous Study Set : Definition and characteristic of set Operation Logic : Logic operation Proofing Tautology and Contradiction Discrete Mathematics 3
MATRIX, RELATION AND FUNCTION Discrete Mathematics 4
. Matrix.. Type (Jenis).2. Matrix Arithmetic Operation (Operasi Aritmatika Matriks) Discrete Mathematics 5
. Matriks Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Ukuran (baris x kolom) A adalah matiks dengan ukuran 3x2 A 3 5 2 4 6 Discrete Mathematics 6
.. Jenis Matriks Matriks diagonal Matriks transpose Matriks identitas Matriks setangkup (symmetry) Matriks segitiga atas / bawah Matriks / ( zero/one ) Discrete Mathematics 7
a. Matriks Diagonal. adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya. Contoh 3.2 : 2 3 Discrete Mathematics 8
b. Matriks Identitas Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = Contoh 3.3 : Discrete Mathematics 9
c. Matriks segitiga atas / bawah Contoh matriks segitiga bawah: Contoh matriks segitiga atas: 5 4 3 4 4 2 4 6 2 Discrete Mathematics
d. Matriks Transpose Jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan. Baris pertama menjadi kolom pertama Baris kedua menjadi kolom kedua Baris ketiga menjadi kolom ketiga, dst A 2 3 T, A 4 5 6 2 3 4 5 6 Discrete Mathematics
e. Matriks setangkup (symmetry) A adalah matriks simetri jika A T = A. Contoh : 6 2 4 2 2 3 6 4 7 5 2 6 5 Discrete Mathematics 2
f. Matriks / (zero-one) Matriks / adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai atau. Contoh : Discrete Mathematics 3
.2. Operasi Aritmetika Matriks Operasi penjumlahan 2 buah matriks. Operasi perkalian 2 buah matrik. Operasi perkalian matriks dengan skalar. Discrete Mathematics 4
a. Penjumlahan 2 buah matriks Discrete Mathematics 5
b. Perkalian 2 buah matrik Discrete Mathematics 6
c. Perkalian matriks dengan skalar Discrete Mathematics 7
2. Relation (Relasi) 2. Representasi Relasi 2.2 Relasi Inversi 2.3 Mengkombinasikan Relasi 2.4 Komposisi Relasi 2.5 Sifat Relasi Biner 2.6 Relasi n-ary 2.7 Operasi Relasi Tabel Discrete Mathematics 8
2. Relation (Relasi) Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner, didefinisikan sebagai berikut : Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. Notasi : R (A x B) a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R. Discrete Mathematics 9
2. Representasi Relasi Diagram Panah Tabel Matriks Graf Berarah (Directed Graph) Discrete Mathematics 2
a. Representasi Relasi dengan Diagram Panah Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, gambar dua buah lingkaran lalu tuliskan elemenelemen A dan B pada masing-masing lingkaran. Ex: Relasi R= {(2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9)} A Amir Budi Cecep B IF22 IF25 IF342 IF323 P 2 3 4 Q 2 4 8 9 5 A 2 3 4 8 9 A 2 3 4 8 9 Discrete Mathematics 2
b. Representasi Relasi dengan Tabel Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil. Discrete Mathematics 22
b. Representasi Relasi dengan Tabel Relasi R= {(2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,5),(4,4),(4,8)} P Q 2 2 2 4 4 4 2 8 4 3 8 9 A B 3 5 Amir IF 25 Amir IF 323 Budi IF 22 Budi IF 25 Cecep IF 323 Discrete Mathematics 23
c. Representasi Relasi dengan Matriks Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [M ij ] A Amir Budi Cecep (a) B IF 22 IF 25 IF 342 IF 323 Discrete Mathematics 24
d. Representasi Relasi dengan Graf Berarah. Relasi R = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9)} Discrete Mathematics 25
2.2 Relasi Inversi Jika diberikan relasi R pada himpunan A ke himpunan B, kita bisa mendefinisikan relasi baru dari B ke A dengan cara membalik urutan dari setiap pasangan terurut di dalam R. Relasi baru tersebut dinamakan inversi dari relasi semula. Discrete Mathematics 26
2.2 Definisi Relasi Inversi : Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R -, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh : R - = {(b,a) (a,b) R } Discrete Mathematics 27
2.2 Contoh Relasi Invers Discrete Mathematics 28
2.2 Contoh Relasi Invers Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R, Maka matriks yang merepresentasikan relasi R -, misalkan N M T M N Discrete Mathematics 29
2.3 Mengkombinasikan Relasi Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan antara 2 relasi atau lebih juga berlaku. Hasil operasi tersebut juga berupa relasi. Dengan kata lain jika R dan R 2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R R 2, R R 2, R R 2, dan R R 2 juga relasi dari A ke B. Discrete Mathematics 3
2.3 Mengkombinasikan Relasi Discrete Mathematics 3
2.3 Mengkombinasikan Relasi Discrete Mathematics 32
2.4 Komposisi Relasi Definisi : Misalkan: R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R = {(a,c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R, dan (b,c) S} Discrete Mathematics 33
2.4 Komposisi Relasi Misalkan: R = {(, 2), (, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah: S R = {(, u), (, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Discrete Mathematics 34
2.4 Komposisi Relasi 2 3 2 4 6 8 s t u Discrete Mathematics 35
2.4 Komposisi Relasi Discrete Mathematics 36
2.5 Sifat-sifat Relasi Biner Refleksif Setangkup dan Tak Setangkup Menghantar Discrete Mathematics 37
a. Refleksif Definisi : Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) R untuk setiap a A Ciri : Diagonal utama Matrix semua bernilai Memiliki gelang pada setiap simpul Graf berarah. Discrete Mathematics 38
a. Refleksif Misalkan A={,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka : Relasi R = {(,),(,3),(2,),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bersifat reflektif karena terdapat elemen yang berbentuk (a,a), yaitu (,),(2,2),(3,3) dan (4,4). Relasi R = {(,),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} tidak bersifat refleksif karena (3,3) R. Discrete Mathematics 39
b. Setangkup (symetric) dan tolak setangkup (antysymetric) Definisi : Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a,b A, jika (a,b) R, maka (b,a) R. Contoh: Misalkan A={,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R {(,),(,2),(2,),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b) R maka (b,a) juga R. Di sini (,2) dan (2,)R begitu juga (2,4) dan (4,2)R Relasi R {(,),(2,3),(2,4),(4,2)} tidak setangkup karena (2,3) R, tetapi (3,2) R Discrete Mathematics 4
b. Setangkup (symetric) dan tolak setangkup (antysymetric) Relasi R pada himpunan A disebut tolak setangkup jika untuk semua a,b A, (a,b) R dan (b,a) R hanya jika a = b Contoh Relasi R {(,),(2,2),(3,3)} tolak setangkup karena (,) R dan =, (2,2) R dan 2=2, (3,3) R dan 3=3. Perhatikan bahwa R juga setangkup. Relasi R {(,),(,2),(2,2),(2,3)} tolak setangkup karena (,) R dan =, dan (2,2) R dan 2=2. Perhatikan bahwa R tidak setangkup. Discrete Mathematics 4
b. Setangkup dan tak setangkup Ciri Relasi Setangkup Matrix bersifat Symetris Ciri Relasi Tolak Setangkup jika m ij = dengan i j, maka m ji =. Pada graf berarah, jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a. Pada graf berarah, jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda. Discrete Mathematics 42
c. Menghantar Definisi 3.9 Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) R dan (b,c) R, maka (a,c) R, untuk a, b, c A Contoh: Misalkan A={,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R {(2,),(3,),(3,2),(4,),(4,2),(4,3)} bersifat menghantar. Periksa dengan membuat tabel berikut : (a,b) (b,c) (a,c) (3,2) (2,) (3,) (4,2) (2,) (4,) (4,3) (3,) (4,) (4,3) (3,2) (4,2) Ciri: Pada graf berarah, jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c. Discrete Mathematics 43
2.6 Relasi n-ary Relasi n-ary Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener). Jika n = 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi = 2). Relasi n-ary mempunyai terapan penting di dalam basisdata. Misalkan A, A 2,, A n adalah himpunan. Relasi n-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A A 2 A n, atau dengan notasi R A A 2 A n. Himpunan A, A 2,, A n disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat. Discrete Mathematics 44
2.6 Relasi n-ary (pada basis data) Contoh 22. Misalkan NIM = {3598, 35984, 35985, 35989, 35982, 359825} Nama = {Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan} MatKul = {Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer} Nilai = {A, B, C, D, E} Relasi MHS terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai): MHS NIM Nama MatKul Nilai Discrete Mathematics 45
2.6 Relasi n-ary (pada basis data) Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah MHS = {(3598, Amir, Matematika Diskrit, A), (3598, Amir, Arsitektur Komputer, B), (35984, Santi, Arsitektur Komputer, D), (35985, Irwan, Algoritma, C), (35985, Irwan, Struktur Data C), (35985, Irwan, Arsitektur Komputer, B), (35989, Ahmad, Algoritma, E), (35982, Cecep, Algoritma, A), (35982, Cecep, Arsitektur Komputer, B), (359825, Hamdan, Matematika Diskrit, B), (359825, Hamdan, Algoritma, A, B), (359825, Hamdan, Struktur Data, C), (359825, Hamdan, Ars. Komputer, B) } Discrete Mathematics 46
2.6 Relasi n-ary (pada basis data) Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk Tabel: NIM Nama MatKul Nilai 3598 3598 35984 35985 35985 35985 35989 35982 35982 359825 359825 359825 359825 Amir Amir Santi Irwan Irwan Irwan Ahmad Cecep Cecep Hamdan Hamdan Hamdan Hamdan Matematika Diskrit Arsitektur Komputer Algoritma Algoritma Struktur Data Arsitektur Komputer Algoritma Algoritma Arsitektur Komputer Matematika Diskrit Algoritma Struktur Data Arsitektur Komputer A B D C C B E B B B A C B Discrete Mathematics 47
2.6 Relasi n-ary (pada basis data) Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file. Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field. Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field. Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci (key). Discrete Mathematics 48
2.6 Relasi n-ary (pada basis data) Basisdata (database) adalah kumpulan tabel. Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional (relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary. Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada. Discrete Mathematics 49
2.6 Relasi n-ary (pada basis data) Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query. Contoh query: tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM = 35985 tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasi n-ary. Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah seleksi, proyeksi, dan join. Discrete Mathematics 5
2.7 Operasi dalam Relasi Tabel (n-array) Selection Seleksi Projection Proyeksi Join Discrete Mathematics 5
a. Seleksi Seleksi Operasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. Operator: Contoh 23. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah Matkul= Matematika Diskrit (MHS) Hasil: (3598, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (359825, Hamdan, Matematika Diskrit, B) Discrete Mathematics 52
b. Proyeksi Proyeksi Operasi proyeksi memilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali. Operator: Contoh 24. Operasi proyeksi Nama, MatKul, Nilai (MHS) menghasilkan Tabel 3.5. Sedangkan operasi proyeksi NIM, Nama (MHS) menghasilkan Tabel 3.6. Discrete Mathematics 53
b. Proyeksi Tabel 3.5 Tabel 3.6 Nama MatKul Nilai NIM Nama 3598 35984 35985 35989 35982 359825 Amir Amir Santi Irwan Irwan Irwan Ahmad Cecep Cecep Hamdan Hamdan Hamdan Hamdan Matematika Diskrit Arsitektur Komputer Algoritma Algoritma Struktur Data Arsitektur Komputer Algoritma Algoritma Arsitektur Komputer Matematika Diskrit Algoritma Struktur Data Arsitektur Komputer A B D C C B E B B B A C B Amir Santi Irwan Ahmad Cecep Hamdan Discrete Mathematics 54
c. Join Join Operasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila kedua tabel mempunyai atribut yang sama. Operator: Contoh 25. Misalkan relasi MHS dinyatakan dengan Tabel 3.7 dan relasi MHS2 dinyatakan dengan Tabel 3.8. Operasi join NIM, Nama (MHS, MHS2) Discrete Mathematics 55
c. Join Tabel 3.7 Tabel 3.8 NIM Nama JK NIM Nama MatKul Nilai 3598 Hananto L 3598 Hananto Algoritma A 35982 Guntur L 3598 Hananto Basisdata B 35984 Heidi W 35984 Heidi Kalkulus I B 35986 Harman L 35986 Harman Teori Bahasa C 35987 Karim L 35986 Harman Agama A 35989 Junaidi Statisitik B 3598 Farizka Otomata C Tabel 3.9 NIM Nama JK MatKul Nilai 3598 Hananto L Algoritma A 3598 Hananto L Basisdata B 35984 Heidi W Kalkulus I B 35986 Harman L Teori Bahasa C 35986 Harman L Agama A Discrete Mathematics 56
Discrete Mathematics 57