BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang sering menjadi pedoman untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari dan juga untuk menunjang perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai sarana berfikir dalam memecahkan masalah secara logis, sistematis, obyektif, kritis, dan juga rasional, matematika dapat diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu. Permasalahan-permasalahan dalam disiplin ilmu sains maupun teknik telah banyak ditransformasi ke dalam persamaan matematika melalui proses pemodelan matematika. Melalui pemodelan matematika permasalahan yang ada menjadi lebih sederhana dan lebih mudah dicari penyelesaiannya. Salah satu model matematika yang banyak digunakan adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1984). Salah satu jenis persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting dalam penggambaran keadaaan fisis, dimana besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berubah terhadap ruang dan waktu. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas (Ross, 1984). Dengan kata lain, persamaan ini haruslah melibatkan paling sedikit dua variabel bebas. 1
Salah satu persamaan diferensial parsial yang merupakan contoh klasik dari persamaan elliptik yaitu persamaan Laplace. Persamaan Laplace merupakan persamaan dasar dari teori potensial dan memegang peranan penting pada ilmu fisika maupun teknik. Persamaan ini dapat digunakan untuk mendeskripsikan perilaku potensial listrik, potensial gravitasi, potensial fluida, maupun suatu aliran suhu yang tidak bergantung pada waktu (Arfken, 1985). Tidak ada nilai awal yang menyertai persamaan Laplace, karena persamaan tersebut tidak bergantung pada waktu atau steady state (Duffy, 2003). Berbeda dengan persamaaan diferensial parsial yang berhubungan dengan waktu seperti persamaan panas dan persamaan gelombang. Meskipun demikian, persamaan ini diikuti dengan syarat batas tertentu. Penyelesaian masalah persamaan diferensial parsial pada tugas akhir ini menggunakan metode separasi variabel. Pemilihan metode tersebut dikarenakan persamaan Laplace merupakan persamaan yang separabel pada koordinat kartesius, polar, maupun silinder (Greenberg, 1998). Ide dasar metode separasi variabel yaitu transformasi suatu persamaan diferensial parsial kedalam persamaan diferensial biasa, setelah diperoleh persamaan diferensial biasa kemudian diselesaikan sehingga diperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial. Dalam penyelesaian persamaan diferensial parsial akan diperoleh penyelesaian secara umum. Untuk memperoleh penyelesaian secara khusus, diperlukan adanya nilai awal dan syarat batas. Penelitian mengenai persamaan Laplace dimensi dua sudah pernah dilakukan oleh Thoriq Aziz (2013) dengan judul Fungsi Harmonik dan 2
Penerapan Persamaan Laplace dalam Menyelesaikan Masalah Nilai Batas pada Koordinat Polar. Penelitian tersebut membahas tentang penerapan fungsi harmonik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai batas Dirichlet pada koordinat polar dalam domain yang berbeda, dimana fungsi harmonik merupakan penyelesaian dari persamaan Laplace. Namun, pada penelitian tersebut lebih menekankan pada perhitungan penyelesaian persamaan Laplace dalam koordinat polar dalam beberapa domain secara matematis. Salah satu topik pada tugas akhir ini sudah pernah dibahas dalam buku yang berjudul Boundary Value Problems and Partial Differential Equations oleh Mayer Humi, namun pada buku tersebut lebih menekankan perhitungan secara matematis. Hal yang serupa juga terlihat dalam buku yang berjudul Advanced Engineering Mathematics (Second Edition) oleh Greenberg. Oleh karena itu, tugas akhir ini membahas persamaan Laplace dimensi dua yang lebih menekankan tentang implementasi secara riil dengan syarat batas yang berbeda. Implementasi secara riil yang dimaksud yaitu aplikasi persamaan Laplace pada proses perambatan panas. Proses pemanasan atau pendinginan pada suatu lempengan logam dua dimensi banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saja untuk memonitoring kondisi suhu dari suatu bahan dalam pabrik atau industri rumahan. Penggunaan konsep perambatan panas ini sebenarnya menggunakan persamaan diferensial parsial parabolik yaitu persamaan panas yang bergantung terhadap ruang dan waktu. Namun karena proses pemanasan terjadi dalam waktu yang lama, sehingga kondisi sistem mengalami steady state dimana panas tidak 3
berubah terhadap perubahan waktu secara langsung. Perubahan panas hanya terjadi karena adanya sumber panas yang diletakkan pada batas lempengan logam dan perubahannya hanya tergantung kepada posisi. Sehingga berdasarkan kondisi diatas, permasalahan ini bisa dikaji dengan menggunakan persamaan Laplace. Kajian yang dimaksud pada penelitian ini meliputi pemodelan persamaan Laplace serta penentuan penyelesaian untuk permasalahan syarat batas dengan metode separasi variabel. Syarat batas yang digunakan yaitu syarat batas Dirichlet dan syarat batas Robin. Simulasi proses perambatan panas dilakukan pada lempengan logam dua dimensi, sehingga akan melibatkan persamaan Laplace yang berdimensi dua pula. Terdapat dua sistem koordinat yang bersesuaian dengan persamaan diferensial yang berdimensi dua yaitu sistem koordinat kartesius dan koordinat polar. Dalam hal ini bidang dua dimensi berbentuk persegi panjang untuk sistem koordinat kartesius dan berupa cakram untuk sistem koordinat polar. B. Batasan Masalah Beberapa pembatasan ruang lingkup permasalahan yang perlu diperhatikan dalam tugas akhir ini yaitu sebagai berikut. 1. Persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Dirichlet dan Robin. 2. Penyelesaian persamaan Laplace dimensi dua menggunakan metode separasi variabel. 4
C. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, sehingga dapat diperoleh rumusan masalah sebagai berikut. 1. Bagaimana model persamaan Laplace dimensi dua?. 2. Bagaimana penyelesaian persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Dirichlet pada bidang persegi panjang? 3. Bagaimana penyelesaian persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Robin pada bidang persegi panjang? 4. Bagaimana penyelesaian persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Dirichlet pada daerah dalam cakram? D. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut. 1. Menjelaskan model persamaan Laplace dimensi dua. 2. Menjelaskan penyelesaian persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Dirichlet pada bidang persegi panjang. 3. Menjelaskan penyelesaian persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Robin pada bidang persegi panjang. 4. Menjelaskan penyelesaian persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Dirichlet pada daerah dalam cakram. 5
E. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut 1. Bagi Mahasiswa, menambah pengetahuan tentang model persamaan Laplace dimensi dua, mampu menyelesaikan persamaan Laplace dimensi dua sehingga dapat diperoleh penyelesaian dari persamaan Laplace dimensi dua dengan syarat batas Dirichlet maupun syarat batas Robin. 2. Bagi Universitas, mampu memberikan tulisan yang berkualitas tentang persamaan Laplace dimensi dua dan beberapa kasus persamaan Laplace dimensi dua. 3. Bagi pembaca, mampu memberikan tambahan referensi mengenai persamaan Laplace dimensi dua dan penyelesaiannya. 6