BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier dalam produksi.. 2.1 Teori Produksi Secara umum, produksi dapat diartikan sebagai suatu kegiatan atau proses yang mentransformasikan masukan (input) menjadi hasil keluaran (output) yang berupa barang atau jasa yang lebih berguna. Masukan ini adalah berupa bahan mentah, tenaga kerja, modal, energi dan informasi. Masukan-masukan ini diproses menjadi barang - barang dan jasa - jasa oleh teknologi proses yang merupakan metode atau cara tertentu yang kemudian digunakan untuk melakukan proses tranformasi (Handoko, 1997). Adapun transformasi input output sistem produksi dapat dilihat pada gambar : INPUT OUTPUT Tenaga Kerja Modal Bahan Baku Informasi PROSES TRANSFORMAS BARANG DAN JASA Informasi umpan balik untuk pengawasan input, proses dan teknologi proses Gambar 2.1 Skema Sistem Produksi (Sumber: Ginting, R 2007)
8 Metode atau cara tertentu yang digunakan untuk melakukan proses tranformasi terkait dalam pengertian produksi operasi. Kaitannya adalah penambahan atau penciptaan kegunaan atau utilitas karena bentuk dan tempat membutuhkan faktor - faktor produksi (Assauri, 2004). Kegiatan produksi yang dilakukan oleh perusahaan harus memperhatikan setiap faktor produksi. Hal ini dilakukan agar perusahaan dapat menentukan tingkat efisiensi dan produkfitas dari kegiatan produksi dari kegiatan produksi dengan cara mengoptimalkan setiap penggunaan faktor produksi itu. Faktor - faktor yang menentukan produksi suatu perusahaan antara lain adalah sebagai berikut : 1. Tersedianya bahan dasar 2. Tersedianya kapasitas mesin yang dimiliki 3. Tersedianya tenaga kerja 4. Tersedianya faktor-faktor produksi yang lain Faktor produksi juga tidak dapat terlepas dari fungsi produksi. Fungsi produksi merupakan hubungan fisik antar jumlah input dengan jumlah output. Hubungan antara input dan output ini dapat diformulasikan oleh sebuah fungsi produksi, yang dalam bentuk matematis dapat ditulis : Q = f(k, T, M, n) Keterangan : Q = output yang dihasilkan selama satu periode tertentu K = Kapital T = tenaga kerja M = material n = faktor-faktor produksi lainnya. Dari input yang tersedia setiap perusahaan ingin memperoleh hasil maksimal sesuai dengan tingkat teknologi tertinggi pada saat itu. Dengan tersedianya faktor produksi maka suatu produksi dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan program linier.
9 2.1.1 Kombinasi Produksi Optimum Pada dasarnya, tujuan utama suatu perusahaan didirikan adalah untuk melakukan kegiatan produksi barang atau jasa guna memperoleh laba atau keuntungan maksimum. Tujuan utama tersebut seringkali sulit dicapai oleh perusahaan karena adanya keterbatasan dari ketersediaan faktor-faktor produksi (sumber daya) yang dimiliki oleh perusahaan. Oleh karena itu pihak pengambil keputusan dalam suatu perusahaan perlu mempertimbangkan kombinasi produksi optimum yang akan dicapai dari penggunaan faktor-faktor produksi tersebut guna menghasilkan laba atau keuntungan maksimum. Dalam rangka untuk menentukan kombinasi terbaik dari setiap faktor produksi untuk menghasilkan output, produsen harus mengetahui jumlah faktor produksi dan sumberdaya yang terbatas sehingga kombinasi output dapat dilakukan dan menghasilkan keuntungan. yang diharapkan tetapi harus memperhatikan juga sumberdaya yang terbatas. 2.2 Optimalisasi Optimalisasi dapat diartikan sebagai pencapaian keluaran tertentu dengan menggunakan masukan yang paling sedikit atau dengan kata lain proses yang secara ekonomis paling efesien. Optimalisasi juga dapat diartikan sebagai pencapaian suatu keadaan yang terbaik. Apabila dikaitkan dengan produksi, maka pengertian optimalisasi produksi berarti pencapaian suatu keadaan terbaik dalam kegiatan produksi. Optimalisasi produksi diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumber daya yang digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga perusahaan dapat mencapai tujuannya. Secara umum persoalan optimalisasi meliputi optimalisasi tanpa kendala dan optimalisasi dengan kendala. Dalam optimalisasi tanpa kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diabaikan sehingga dalam menentukan nilai maksimal dan minimal tidak terdapat batasan untuk berbagai pilihan yang tersedia.
10 Pada optimalisasi dengan kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala pada fungsi tujuan diperhatikan dan turut menentukan titik maksimum dan minimum fungsi tujuan. Menurut Supranto (1988), persoalan optimalisasi dengan kendala pada dasarnya merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel suatu fungsi menjadi maksimum dan minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasan itu biasanya meliputi semua faktor-faktor produksi yang sudah pasti memiliki kapasitas terbatas (tertentu) seperti tenaga kerja, modal, dan bahan baku. Masalah optimalisasi dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu teknik optimalisasi yaitu metode program linier. Metode program linier merupakan metode yang digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi berkendala dimana semua fungsi baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala merupakan fungsi linier. 2.3 Program Linier 2.3.1 Pengertian Program Linier Program linier yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) ditemukan dan diperkenalkan pertamakali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah program linier dengan banyak variabel keputusan. Program linier adalah salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan persoalan optimisasi (maksimisasi atau minimisasi) dengan menggunakan persamaan dan ketidaksamaan linier dalam rangka untuk mencari pemecahan yang optimum dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada (Supranto, 1988). Program linier merupakan salah satu teknik riset yang penggunaannya sangat meluas dan dapat digunakan untuk beragam persoalan kegiatan produksi. Pada kegiatan produksi, hal yang dihadapai adalah pengalokasian sumberdaya-sumberdaya terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya padahal masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas diantara berbagai alternatif penggunaan sumberdaya-sumberdaya tersebut.
11 Program linier digunakan sehingga berbagai tujuan yang telah ditetapkan yaitu maksimasi laba atau minimisasi biaya dapat dicapai atau dioptimalkan. Dalam memecahkan masalah program linier menggunakan model matematis. Linier yang berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model haruslah fungsi-fungsi linier. Disebut linier dalam program linier berarti hubunganhubungan antara faktor adalah bersifat linier atau konstan, atau fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model haruslah fungsi-fungsi linier (Handoko, Subagyo dan Asri, 2000). Hubungan-hubungan linier berarti bahwa apabila satu faktor berubah maka suatu faktor lain juga berubah dan dengan jumlah yang konstan secara proporsional. Agar suatu persoalan dapat dipecahkan dengan teknik program linier harus memenuhi syarat berikut: 1. Harus dapat dirumuskan secara matematis. 2. Memiliki kriteria tujuan (fungsi objektif) yang linier. 3. Sumber daya yang tersedia sifatnya terbatas. 4. Semua variabel dalam model memiliki hubungan matematis bersifat linier. 5. Koefisien model diketahui dengan pasti. 6. Bilangan yang digunakan dapat bernilai bulat atau pecahan. 7. Semua variabel keputusan harus bernilai non-negatif. 2.3.2 Kelebihan dan Kekurangan Program Linier Sebagai alat kuantitatif untuk melakukan pemrograman, program linier mempunyai beberapa kelebihan dan kekurangan. Kelebihan-kelebihan program linier yaitu : 1. Mudah dilaksanakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer. 2. Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk memperoleh pemanfaatan sumberdaya yang optimal dapat dicapai. 3. Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau berdasarkan data yang tersedia.
12 Kekurangan - kekurangan dari program linier yaitu : 1. Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka program linier dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi. 2. Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya. 2.3.3 Asumsi dalam Model Program Linier Agar program linier dapat diterapkan, asumsi-asumsi dasar berikut ini harus ditepati : 1. Fungsi tujuan dan persamaan setiap batasan harus linier. Hal ini mencakup pengertian bahwa perubahan nilai-nilai dan penggunaan sumberdaya terjadi secara proporsional dengan perubahan tingkat kegiatan. 2. Parameter-parameter harus diketahui atau dapat diperkirakan dengan pasti. 3. Variabel-variabel keputusan harus dapat dibagi. Hal ini berarti bahwa suatu penyelesaian feasible dapat berupa bilangan pecahan. Dalam menggunakan model program linier diperlukan beberapa asumsi, untuk memudahkan perumusan model tanpa mengurangi kedekatannya dengan keadaan nyata atau sebenarnya. Asumsi-asumsi yang digunakan sebagai berikut (Handoko, Subagyo dan Asri, 2000) : 1. Asumsi Kesebandingan (Proportionality) Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai (Nilai Tujuan) dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan. a. Setiap penambahan 1 unit akan menaikkan Z dengan. Setiap penambahan 1 unit akan menaikkan nilai Z dengan, dan seterusnya. b. Setiap pertambahan 1 unit akan menaikkan penggunaan sumber atau fasilitas 1 dengan. Setiap pertambahan 1 unit akan menaikkan
13 penggunaan sumber atau fasilitas 1 dengan, dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap ada kenaikan kapasitas rill tidak perlu ada biaya persiapan (set up cost). 2. Asumsi Penambahan (Additivity) Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan ( ) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain. 3. Asumsi Pembagian (Divisibility) Asumsi ini menyatakan bahwa peubah - peubah pengambilan keputusan ( ) jika diperlukan dapat dibagi ke dalam nilai - nilai tidak perlu integer (hanya 0 dan 1 atau bilangan bulat), tetapi boleh non integer (pecahan pecahan). Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai yang dihasilkan. 4. Asumsi Kepastian (Deterministic / Certainty) Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linier (,, ) tetap, dapat diketahui, dan dapat diperkirakan secara pasti, meskipun jarang dengan tepat. Persoalan dalam program linier berusaha untuk mencari pemecahan optimal di dalam batasan sumberdaya yang ada pada suatu perusahaan. Sebuah perusahaan yang cukup besar akan berhadapan dengan batasan, baik berupa batasan dari input tertentu, batasan kapasitas, batasan berupa modal, jam kerja mesin, tenaga kerja, dan lain sebagainya.
14 2.3.4 Fungsi dalam Program Linier Pada program linier terdapat dua macam fungsi, antara lain : 1. Fungsi Tujuan (Objective Function) Fungsi tujuan dalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. 2. Fungsi Pembatas (Constraint Function) Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. 2.3.5 Formulasi Matematika Program Linier Secara matematika, persoalan program linier ini dapat diformulasikan sebagai berikut: 1. Memaksimumkan / meminimumkan fungsi tujuan : 2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :............ Dapat disederhanakan menjadi :
15 Keterangan : Z = Fungsi tujuan. = variabel keputusan atau kegiatan ke-j. = Nilai kontribusi dari variabel keputusan j. = koefisien teknis dalam kendala ke-m pada aktivitas ke-i. = sumberdaya yang terbatas / konstanta dari kendala ke-i. 3. Dengan pembatas non-negatif, untuk j = 1, 2, 3,, n untuk i = 1, 2, 3,, m 4.,, adalah konstanta yang diketahui harganya. Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai perkalian matriks A ( m x r ) dengan matriks kolom X ( r x l ) yang hasilnya adalah suatu kolom B ( m x l ). [ ] [ ] [ ] Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang digunakan. Secara umum, kelinieran dapat digolongkan ke dalam dua sifat, yaitu : 1. Sifat menambahkan Contohnya adalah bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan waktu jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu ( + ) jam. 2. Sifat Mengalikan Contohnya adalah bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan waktu 1 jam, maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.
16 Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas yang dapat berbentuk dan / atau, maka perlu diadakan pengenalan terhadap sifat-sifat dari setiap bentuk-bentuk model program linier. Dengan mengenali sifat dari bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya. Untuk tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk : 1. Bentuk Standard Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah : a. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non negatif bertanda 0. b. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif. c. Semua variabel adalah non-negatif. d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi. Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, ada beberapa transformasi dasar yang harus dilakukan dan akan diuraikan sebagai berikut : a. Minimasi suatu fungsi ( ) secara sistematis adalah ekivalen dengan maksimisasi daripada negatif fungsi tersebut - ( ). Contoh : Minimasi adalah ekivalen dengan Maksimasi b. Suatu bentuk ketidaksamaan atau dapat diubah kedalam bentuk ketidaksamaan dengan arah berlawanan dengan mengalikan -1. Contoh :, ekivalen dengan c. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan arah berlawanan. Contoh : ekivalen dengan 0 d. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolute, dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan.
17 Contoh : e. Suatu variabel yang tidak diketahui tandanya (bisa positif, nol atau negatif) adalah ekivalen dengan selisih antara 2 variabel non negatif. Contoh : tidak diketahui tandanya, maka dapat dinyatakan sebagai ( ) adalah Bentuk standard ini sangat berkaitan dengan penyelesaian persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks. Karena setiap persoalan program linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks harus terlebih dahulu ke dalam bentuk standard. Di samping kelima bentuk transformasi dasar yang telah diuraikan di atas diperlukan pula pengertian variabel Slack, Surplus, dan Artificial. Variabelvariabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan dengan fungsi pembatas menjadi bentuk persamaan (bentuk standard) tanpa mempengaruhi fungsi tujuannya. 2. Bentuk Kanonik Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan sebagai berikut : Maksimasi : Fungsi Pembatas / Kendala : untuk j = 1, 2, 3,, n
18 Karakteristik dari bentuk ini adalah : a. Semua variabel adalah non-negatif. b. Semua fungsi pembatas bertanda. c. Fungsi tujuan adalah maksimasi. Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier dengan teori dualitas. 2.3.6 Variabel Slack dan Surplus Fungsi Pembatas dalam bentuk dapat dirubah ke dalam persamaan dengan menambahkan variabel baru non-negatif di ruas kiri pertidaksamaan sedemikian hingga variabel baru tersebut secara numerik sama dengan selisih diantara ruas kanan dan ruas kiri pertidaksamaan. Misalnya diketahui pada persoalan program linier bahwa salah satu fungsi pembatas ke h adalah. Selanjutnya akan ditentukan suatu variabel dimana memenuhi hubungan. ini disebut variabel slack karena dapat dianggap sebagai batas maksimum daripada sumber yang tersedia, sedangkan adalah pemakaian yang sebenarnya daripada sumber tersebut. Perbedaan antara sumber yang tersedia dan yang dipakai ini adalah slack. Persamaan tersebut dapat ditulis :. Jadi dengan menambahkan variabel slack, maka bentuk ketidaksamaan pada fungsi pembatas ke h dapat dirubah menjadi bentuk persamaan. Selanjutnya akan dilihat suatu bentuk ketidaksamaan dengan tanda. Misalnya diketahui pada suatu persoalan program linier, bahwa salah satu fungsi pembatas ke k adalah. Kemudian tentukan suatu variabel tertentu, dimana memenuhi hubungan ini disebut variabel surplus karena dapat dianggap sebagai salah satu jumlah minimum produk yang harus dibuat dan adalah jumlah produk yang sebenarnya dibuat. Perbedaan antara jumlah produk yang sebenarnya dibuat dengan yang seharusnya dibuat adalah surplus, persamaan tersebut dapat ditulis :.
19 2.3.7 Variabel Artificial Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks harus ada 1 variabel - variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan tanda, maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variabel slack. Tetapi bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda, maka variabel slack yang bersangkutan bertanda negatif. Misalnya : diubah menjadi bentuk persamaan : Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat diperoleh variabel basis. Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variabel artifical. Variabel artificial ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Harga koefisien ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan adalah : untuk maksimisasi. untuk minimisasi. M adalah bilangan positif sangat besar, dan adalah koefisien fungsi tujuan untuk variabel artifical. 2.3.8 Metode Simpleks Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artificial.
20 Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. Fungsi Tujuan Maksimisasi / minimisasi : 2. Fungsi Pembatas Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikan/dijelaskan dalam bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks adalah : [ ] [ ] [ ] Keterangan : = Koefisien fungsi tujuan untuk variabel ke-j = Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variabel ke-j m = Jumlah fungsi pembatas r = Jumlah variabel asli = Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan [ ] Matriks Satuan Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka digunakan tabel iterasi simpleks.
21 Tabel 2.1 Iterasi Simpleks...... Keterangan : = Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i = Koefisien fungsi tujuan variabel ke = Variabel-variabel asli = Variabel-variabel basis awal Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan, yaitu : 1. Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru. 2. Mencari variabel basis yang lama yang akan diganti. 3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga dan yang baru.
22 Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut : 1. Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara : a. Menghitung harga untuk j = 1, 2,, r + m b. Jika ada satu atau lebih harga, maka variabel dengan harga negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru. c. Bila semua harga, maka iterasi telah mencapai kondisi optimal dan perhitungan dihentikan sampai disini. d. Bila adalah negatif terbesar, dan untuk setiap i = 1,,m maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila untuk paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru ( ). 2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru ( ). a. Hitung harga, i = 1, 2,...,m b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan harga positif terkecil (misalkan = 1). 3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan adalah variabel basis baru yang menggantikan. Transformasi yang akan dilakukan adalah : a. b. c. Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga semuanya positif untuk j = 1,2,, r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum. Contoh penggunaan metode simpleks: Maksimum Kendala :
23 Penyelesaian: Ubah kedalam bentuk Standar : Maksimum Kendala : Iterasi 0 Basis / C 3 5 4 0 0 0 B 0 1 2 3 1 0 0 10 0 2 3 1 0 1 0 16 0 3 2 1 0 0 1 20-3 -5-4 0 0 01 0 Keterangan : Pada baris : -5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam basis. { } ( ) Baris pivot adalah baris dikalikan. Baris yang baru adalah baris Baris yang baru adalah baris
24 Iterasi 1 Basis / C 3 5 4 0 0 0 B 5 0,5 1 1,5 0,5 0 0 5 0 0,5 0-3,5-1,5 1 0 1 0 2 0-2 -1 0 1 10-0,5 0 3,5 2,5 0 0 25 Keterangan : Pada baris : -0,5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam basis. { } ( ) Baris pivot adalah baris dikalikan. Baris yang baru adalah baris Baris yang baru adalah baris Iterasi 2 Basis / C 3 5 4 0 0 0 B 5 0 1 5 2-1 0 4 3 1 0-7 -3 2 0 2 0 0 0 12 5-4 1 6 0 0 4 1 1 0 26 Karena baris, maka perosoalan telah optimal dengan : Untuk
25 2.4 Teori Dualitas Teori Dualitas merupakan salah satu konsep program linier yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang saling berkaitan yang disebut dual, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut primal) juga member solusi pada dualnya. 2.4.1 Analisis Primal Dalam program linier, masalah yang dikemukakan mula-mula disebut sebagai masalah primal. Solusi optimal masalah primal ini menunjukkan nilai dari variabelvariabel keputusan yang memaksimumkan atau meminimumkan nilai dari fungsi tujuan. Analisis primal digunakan untuk mengetahui dan menentukan kombinasi produksi terbaik yang dapat menghasilkan tujuan dengan keterbatasan sumberdaya yang ada. Maka dari itu, akan diperoleh diperoleh berapa jumlah setiap variabel keputusan ( ) yang akan diproduksi dan dapat memaksimumkan nilai fungsi tujuan ( ) dengan dihadapkan pada sumberdaya yang ada. Hasil analisis primal akan dibandingkan dengan tingkat kombinasi produk aktual perusahaan, sehingga dapat diketahui apakah perusahaan sudah melakukan kombinasi produk pada tingkat yang optimal (Taha, 1996). 2.4.2 Analisis Dual Analisis dual dilakukan unuk mengetahui penilaian terhadap sumberdaya dengan melihat kekurangan (slack) atau kelebihan (surplus) dan nilai dualnya. Slack atau surplus digunakan untuk menandai sisa atau kelebihan kapasitas yang akan terjadi pada variabel optimal. Variabel slack ( ) akan berkaitan dengan batasan dan mewakili jumlah kelebihan ruas kanan dari batasan tersebut dibandingkan ruas kiri. Variabel surplus diidentifikasikan dengan batasan ( ) dan mewakili kelebihan ruas kiri dibandingkan ruas kanan. Nilai dual price menunjukkan perubahan yang akan
26 terjadi pada fungsi tujuan apabila sumberdaya berubah sebesar satu satuan. Jika sumberdaya yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus yang sama dengan nol dan nilai dual nya lebih besar dari nol menunjukkan bahwa seluruh kapasitas pada kendala dipergunakan semua atau sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya langka atau kendala aktif yang membatasi nilai tujuan. Sedangkan jika sumberdaya yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus lebih besar nol dan nilai dualnya sama dengan nol, berarti sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya yang lebih. Kendala tersebut termasuk ke dalam kendala tidak aktif, yaitu kendala yang tidak habis terpakai dalam proses produksi dan tidak akan mempengaruhi fungsi tujuan jika terjadi penambahan sebesar satu satuan. Nilai dual juga dapat dilihat berdasarkan harga bayangan (shadow price) yaitu batas harga tertinggi suatu sumberdaya yang membuat perusahaan masih dapat melakukan pembelian (Taha, 1996). 2.4.3 Model Umum Persoalan Primal dan Dual Bentuk Primal : Maksimukan : Kendala: Bentuk Dual : Minimumkan : Kendala:
27 Dinyatakan bahwa adalah sama dengan Contoh: Bentuk Primal Maksimumkan : Kendala : Bentuk Dual Minimumkan : Kendala : 2.4.4 Hubungan Antara Primal Dual Setiap permasalahan dalam program linier terdiri atas dua bentuk. Bentuk pertama atau asli dinamakan primal, sementara bentuk kedua yang berhubungan dinamakan dual, sehingga suatu solusi terhadap program linier yang asli juga memberikan solusi pada bentuk dualnya. Hubungan antara model program linier primal dan dual bersifat konversi. Hubungan antara program linier primal dan dual dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 2.2 Hubungan antara Program Linier Primal dan Dual No. Item Model Primal Dual 1 Fungsi tujuan Memaksimalkan Meminimalkan Meminimalkan Memaksimalkan
28 2 Jumlah variabel Jumlah variabel keputusan ( ) Jumlah kendala model 3 Jumlah kendala Jumlah kendala model 4 Koefisien fungsi tujuan Nilai kontribusi fungsi tujuan 5 Sumber daya tersedia Nilai ruas kanan kendala 6 Koefisien Matrik Koefisien teknologi Jumlah variabel keputusan ( ) Nilai ruas kanan kendala Nilai kontribusi fungsi tujuan Koefisien teknologi yang diubah 7 Tanda ketidaksamaan Hubungan antara primal dengan dual sebagai berikut : 1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. 2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual, dan untuk setiap variabel primal ada satu pembatas dual. 3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya. 4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya). 5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada dual. 6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual. 7. Dual dari dual adalah primal.
29 2.5 Analisis Sensitivitas Analisis sensitivitas terdiri atas dua tipe, yaitu analisis perubahan nilai koefisien dari fungsi tujuan dan analisis ruas kanan dari fungsi tujuan (Right Hand Side). Analisis perubahan koefisien fungsi tujuan dilakukan untuk mengetahui efek perubahan tanpa mengubah solusi optimal dengan parameter lain dipertahankan konstan. Tujuan dari analisis Right Hand Side (RHS) adalah untuk menentukan berapa banyak nilai ruas kanan dari fungsi kendala ( ) dapat ditingkatkan atau diturunkan tanpa mengubah nilai shadow price-nya dengan parameter lain dipertahankan konstan. Analisis sensitivitas berguna untuk mengetahui seberapa jauh solusi optimal awal tidak akan berubah jika terjadi perubahan pada harga jual setiap produk, biaya per satuan produk, dan ketersediaan sumberdaya yang dimiliki. Apabila perubahanperubahan yang terjadi masih dalam selang yang diperbolehkan, maka solusi optimal awal tidak akan berubah. Selang dalam program linier terdiri atas batas penurunan (allowable decrease) dan batas peningkatan (allowable increase). Batas penurunan memperlihatkan besarnya nilai penurunan parameter fungsi tujuan atau nilai penurunan ketersediaan sumberdaya yang tidak mengubah solusi optimal awal. Batas atas memperlihatkan nilai peningkatan yang tidak akan mengubah solusi optimal awal. Solusi awal akan berubah apabila perubahan yang terjadi di luar selang perubahan yang diperbolehkan (Taha, 1996). 2.6 LINDO (Linear Interactive Discrete Optimizer) Seperti yang telah dibahas sebelumnya, apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka program linier dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. LINDO (Linear Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Dengan menggunakan software ini memungkinkan perhitungan masalah pemrograman linier dengan n variabel.
30 Prinsip kerja utama LINDO adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Menurut Linus Scharge (1991), Perhitungan yang digunakan pada LINDO pada dasarnya menggunakan metode simpleks. Untuk menentukan nilai optimal dengan menggunakan LINDO diperlukan beberapa tahapan yaitu: 1. Menentukan model matematika (program linier). 2. Menentukan formulasi program untuk LINDO. 3. Membaca hasil report yang dihasilkan oleh LINDO. Perintah yang biasa digunakan untuk menjalankan program LINDO adalah: 1. MAX :digunakan untuk memulai data dalam masalah maksimasi. 2. MIN : digunakan untuk memulai data dalam masalah minimasi. 3. END : digunakan untuk mengakhiri data. 4. GO : digunakan untuk pemecahan dan penyelesaian masalah. 5. LOOK : digunakan untuk mencetak bagian yang dipilih dari data yang ada. 6. GIN : digunakan untuk variabel keputusan agar bernilai bulat. 7. INTE : digunakan untuk menentukan solusi dari masalah biner. 8. INT : sama dengan INTE. 9. SUB : digunakan untuk membatasi nilai maksimumnya. 10. SLB : digunakan untuk membatasi nilai minimumnya. 11. FREE : digunakan agar solusinya berupa bilangan real. Kegunaan utama dari LINDO adalah untuk mencari penyelesaian dari masalah linier dengan cepat dengan memasukkan data yang berupa rumusan dalam bentuk linier. LINDO memberikan banyak manfaat dan kemudahan dalam memecahkan masalah optimasi.
31 Berikut ini cara memulai menggunakan program LINDO adalah dengan membuka file LINDO kemudian klik dua kali pada LINDO, tunggu sampai muncul dialog lalu klik OK, LINDO siap untuk dioperasikan. Pada layar akan muncul untitled baru yang siap untuk tempat mengetikkan formulasi. Gambar 2.2 Tampilan LINDO Model LINDO minimal memiliki tiga syarat: 1. Memerlukan fungsi objektif 2. Variabel 3. Batasan (fungsi kendala) Cara menggunakan LINDO dijabarkan sebagai berikut: 1. Untuk syarat pertama adalah fungsi objektif, bisa juga dikatakan fungsi tujuan. Tujuan disini memiliki dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan minimasi (MIN). Kata pertama untuk mengawali pengetikan formula pada LINDO adalah MAX atau MIN. Formula yang diketikan ke dalam untitled (papan editor pada LINDO) setelah MAX atau MIN disebut fungsi tujuan. Misalkan Fungsi tujuan model matematika, Min / Maks Maka diketikkan ke dalam untitled menjadi: MIN, atau MAX 2. Untuk syarat kedua adalah variabel. Variabel ini sangat penting, LINDO tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula. 3. Untuk syarat ketiga setelah fungsi objektif dan variabel selanjutnya adalah batasan.
32 Dalam kenyataannya variabel tersebut pasti memiliki batasan, batasan itu misalnya keterbatasan bahan, waktu, jumlah pekerja, biaya operasional. Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST untuk mengawali pengetikan batasan dan pada baris berikutnya baru diketikkan batasan yang ada di akhir batasan akhiri dengan kata END. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: untuk pengetikkan fungsi kendala ke dalam untitled adalah sebagai berikut. SUBJECT TO END 4. Setelah formula diketikkan siap dicari solusinya dengan memilih perintah solve atau mengklik tombol solve pada toolbar. LINDO akan mengkompil (mengoreksi kesalahan) pada formula terlebih dahulu. Jika terjadi kesalahan dalam pengetikan (tidak dapat dibaca oleh komputer) akan muncul kotak dialog dan kursor akan menunjukkan pada baris yang salah.
33 Gambar 2.3 Menu Solve Menu solve digunakan untuk menampilkan hasil secara lengkap dengan beberapa pilihan berikut: a. Solve-Solve, digunakan untuk menampilkan hasil optimasi dari data pada papan editor dan secara lengkap. Pada tampilan hasil mencangkup nilai variabel keputusan serta nilai dual price-nya. b. Solve-Compile Model, digunakan untuk mengecek apakah struktur penyusunan data pada papan editor data sudah benar. Jika penulisannya tidak benar, maka akan ditampilkan pada baris ke-berapa kesalahan tersebut terdapat. Jika tidak ada kesalahan, maka proses dapat dilanjutkan untuk mencari jawaban yang optimal. c. Solve Privot, digunakan untuk menampilkan nilai slack. d. Solve Debug, digunakan untuk mempersempit permasalahan serta mencari pada bagian mana yang mengakibatkan solusi tidak optimal, selanjudnya ada pertanyaan untuk menentukan tingkat kesensitifitasan solusi. 5. Report juga tersedia pada LINDO.
34 Gambar 2.4 Tampilan perintah Report LINDO Dalam menu report terdapat beberapa pilihan sebagai berikut: a. Report Solution, digunakan untuk mendapatkan solusi optimal dari permasalahan program linier yang tersaji pada papan editor data. b. Report Range, digunakan untuk menayangkan hasil penyelesaian analisis sensivitas. Pada analisis sensivitas yang ditayangkan mencakup aspek Allowable Increase dan Allowable Decrease. c. Report Parametrics, digunakan untuk mengubah dan menampilkan hasil hanya pada baris kendala tertentu saja. d. Report Statistics, digunakan untuk mendapatkan laporan kecil pada papan editor report. e. Report Peruse, digunakan untuk menampilkan sebagian dari model atau jawaban. f. Report Picture, digunakan untuk menampilkan (display) model dalam bentuk matriks. g. Report Basis Picture, digunakan untuk menampilkan text format dari nilai basis, dan disajikan sesuai urutan baris dan kolom. h. Report Table, digunakan untuk menampilkan tabel simplek dari model yang ada. i. Report Formulation, digunakan untuk menampilkan model pada papan editor data ke papan editor report.
35 j. Report Show Coloum, digunakan untuk menampilkan koefisien peubah. 6. Untuk menyimpan file, arahkan kursor pada papan editor yang diaktifkan. Menu menyimpan file ada dua macam yakni File Save, dan File Save.