Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik ii Drpulic
BAB Mononom dn Polinom Mononom dlh perntn tunggl ng erentuk k n, dengn k dlh tetpn dn n dlh ilngn ult termsuk nol. Fungsi polinom merupkn jumlh terts dri mononom. Berikut ini eerp contoh fungsi polinom dlm entuk eksplisit 1 = + 5 + 7 = ( 5) = 1 = 5 Contoh ng pertm, 1, dlh fungsi polinom erpngkt tig, itu pngkt tertinggi dri peuh es. Contoh ke-du,, dlh fungsi erpngkt empt. Contoh dn dlh fungsi mononom erpngkt stu dn erpngkt nol ng telh kit kenl segi fungsi linier dn fungsi tetpn ng memiliki kurv erentuk gris lurus..1. Mononom Mononom Pngkt Du. Mononom pngkt du kit pndng segi fungsi genp, kit tuliskn = k (.1) Kren di-kudrtkn, mk menggnti dengn tidk kn menguh fungsi. Kurv kn simetris terhdp sumu-. Nili hn kn negtif mnkl k negtif. Kit ingt hw pd fungsi linier = k nili k merupkn kemiringn dri gris lurus. Jik k positif mk gris kn nik ke rh positif sumu-, dn jik negtif gris kn menurun. Jik k mkin esr kemiringn gris mkin tjm. Pd fungsi mononom pngkt du, kurv kn erd di ts sumu- jik k positif dn kn erd di wh sumu- jik k negtif. Jik k mkin esr lengkungn kurv kn semkin tjm. G..1. memperlihtkn kurv fungsi (.1) untuk tig mcm nili positif k. -1
Mkin esr nili k kn memut lengkungn kurv mkin tjm. Perhtiknlh hw pd = 1, nili sm dengn k. 1 = 5 = 9 8 7 = 6 5 1 - - -1 1 G..1. Kurv fungsi = k dengn k positif. G.. memperlihtkn entuk kurv jik k ernili negtif. Jik kurv dengn nili k positif menunjukkn dn nili minimum, itu pd titik [,], kurv untuk k negtif menunjukkn dn nili mksimum pd titik [,]. -5 - - - -1-1 5 - -6-8 -1 = 1 = G... Kurv fungsi - Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik = k dengn k negtif. Peninjun pd fungsi polinom kn kit lkukn pd k ng positif; kit kn meliht gimn jik kurv ini digeser. Pergesern kurv seesr skl sejjr sumu- diperoleh dengn menggntikn peuh dengn ( ), dn pergesern sejjr sumu- seesr skl diperoleh dengn menggnti dengn ( ). Dengn demikin persmn mononom pngkt du ng tergeser menjdi ( ) = k( ) (.)
Kurv fungsi seperti ini diperlihtkn pd G... untuk = dn =, = dn =, sert = dn =. Untuk nili-nili ini, dengn k = 1, persmn dpt kit tuliskn menjdi 1= 1 = 1( ) = 1( ) + 1 = 1() + 1 = 1 5-5 - -1 1 5 = 1() G... Pergesern kurv mononom pngkt du. Perhtiknlh hw dlh pergesern dri 1 ke rh positif sumu- seesr skl; dlh pergesern dri ke rh positif sumu- seesr skl. Bentuk lengkungn kurv tidk eruh. Mononom Pngkt Genp. Mononom pngkt genp ng lin dlh erpngkt, 6 dn seterusn. Semu mononom pngkt genp kn mementuk kurv ng memiliki sift seperti pd mononom pngkt du itu simetris terhdp sumu-, erd di ts sumu- jik k positif dn erd di wh sumu- jik k negtif. G... memperlihtkn peredn entuk kurv mononom pngkt genp ng memiliki koefisien k sm esr. Kit liht pd G... hw mkin tinggi pngkt mononom mkin cept nili ertmh nmun hl ini hn terliht muli dri = 1. Pd nili leih kecil dri stu, kurv mkin lndi jik pngkt mkin tinggi. Dengn kt lin lengkungn mkin kurng tjm. Hl ini dpt dimengerti kren pngkt ilngn pechn ernili mkin kecil jik pngkt mkin esr. -
1 = = 1 = 6-1.5-1 -.5.5 1 1.5 G... Kurv mononom pngkt genp dengn koefisien sm. Telh kit kethui dlm ksus mononom pngkt du, hw jik koefisien k mkin esr lengkungn menjdi mkin tjm. Hl ng sm terjdi jug pd kurv mononom pngkt genp ng leih tinggi. G..5. memperlihtkn kurv mononom pngkt genp dengn koefisien ng ng meningkt dengn meningktn pngkt. 1 = 6 6 = = G..5. Kurv mononom pngkt genp dengn koefisien tk sm. Pd G..5 terliht hw mkin esr k, nili jug mkin cept meningkt. Keceptn peningktn dengn koefisien ng leih esr sudh muli terjdi pd nili kurng dri stu. Gejl kelndin pd nili ng kecil tetp terliht. Kurv-kurv pd G..5 dlh kurv mononom dengn koefisien ng mkin esr pd pngkt ng mkin esr. Bil koefisien mkin kecilpd pngkt ng mkin esr, situsi ng kn terjdi dlh seperti terliht pd G..6 erikut ini. - Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik 6 5 1-1.5-1 -.5.5 1 1.5
= 6 = = 6 G..6. Kurv mononom pngkt genp dengn koefisien ng mkin rendh pd mononom erpngkt tinggi. Kelndin kurv pngkt tinggi tetp terjdi pd nili ng kecil. Kurv pngkt tinggi ru kn menusul kurv erpngkt rendh pd nili > 1; perpotongn dengn kurv dri fungsi ng erpngkt rendh terjdi pd nili ng esr. Contoh Fungsi Mononom Pngkt Du. Kit mil eerp contoh peristiw fisis. 1). Sutu end dengn mss m ng mendpt g F kn memperoleh perceptn sehingg keceptn end segi fungsi wktu (pil keceptn wl dlh nol) dpt dintkn segi v ( t) = t (liht contoh fungsi linier su--.7). Jrk ng ditempuh muli dri titik wl dlh 8 7 6 5 1-1.5-1 -.5.5 1 1.5 1 s ( t) = t ). Dlm tung ktod, jik keceptn wl elektron dlh nol, dn wktu tempuh dri nod ke ktod dlh t, mk keceptn elektron pd wktu mencpi ktod dlh v k = t -5
nod ] ktod l (liht contoh fungsi linier su--.7). Wktu tempuh dpt dihitung dri formul = l. 1 s ( t) = t, di mn s(t) ). Dlm teori tom, di mn elektron dipndng segi gelomng, fungsi gelomng dri elektron-es diwh pengruh medn j r sentrl dlh ψ = e k dengn k dlh vektor ilngn gelomng ng serh dengn rmtn gelomng. gelomng Energi kinetik elektron segi gelomng, E k, dlh h k Ek = me k = π, λ : pnjng λ E k m e mss electron, h sutu konstnt. E k dn k memiliki relsi mononomil pngkt du (Dri B-8, ref. []) k Mononom Pngkt Gnjil. Pngkt gnjil pling kecil dlh 1 dn dlm hl demikin ini kit mendptkn persmn gris = k. Pngkt gnjil erikutn dlh, 5, 7 dn seterusn. G..5. memperlihtkn kurv fungsi mononom erpngkt gnjil. Kurv fungsi mononom pngkt gnjil simetris terhdp titik sl. I ernili positif untuk positif dn ernili negtif untuk negtif. Mkin tinggi pngkt mononom mkin cept peruhn nili untuk > 1. -6 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik
Untuk < 1 kurv mkin lndi ng errti mkin tjm pemengkokn gris lurus ng terjdi di dlm rentng 1 1. G..5. Kurv fungsi mononom pngkt gnjil. Apil peningktn pngkt diserti jug dengn peningktn koefisien k, perpotongn kurv dengn gris = k is terjdi pd nili < 1... Polinom Pngkt Du Fungsi polinom pngkt du erentuk = + + c (.) Berikut ini kit kn meliht p ng terjdi pd proses penmhn mononom demi mononom. Untuk penggmrn kurv msing-msing mononom dlm tinjun fungsi (.) dimil semu koefisien mononom positif. Dengn mengmil nili-nili =, = 15, dn c = 1, kurv msing-msing mononom diperlihtkn pd G..6. 15 1 = -1 1-1.5-1 -.5-1.5 1 1.5 - - = = 5 =15 =1 = -15 G..6. Kurv msing-msing mononom dri fungsi kudrt. -7
Jik kurv = 15 ditmhkn pd 1 = mk kurv 1 kn ertmh tinggi di seelh knn titik [,] dn menjdi rendh di seelh kiri titik [,] seperti terliht pd G..7.. 1 = 15 = +15-1 () = 15/ =15-15 15 sumu simetri 15/ = +15 15/ -1 () sumu simetri 15-15 5 = +15+1 = +15-1 (c) -15 G..7. Penjumlhn 1 =, = 15, dn = 1-8 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik
Kren = 15 mellui titik [,] dn 1 = jug mellui titik [,] mk penjumlhn kedu kurv kn memerikn kurv = 1 + = + 15 (.5) ng jug mellui titik [,]. Selin di = kurv penjumlhn ini jug memotong sumu- di =15 / kren du titik ini (itu = dn =15 / ) memenuhi persmn = + 15=. Kurv ini memiliki sumu simetri ng memotong sumu- di =15 / seperti terliht pd G..7.. Jik kemudin tetpn 1 ditmhkn pd teentuklh 5 = + 15+ 1 (.6) ng merupkn pergesern dri ke rh positif sumu- seesr 1 skl, seperti terliht pd G..7.c. Kit liht sekrng entuk umum fungsi pngkt du (.) ng dpt kit tuliskn segi = + = + = + + c + c= + c + c (.7) Kurv dri fungsi (.7) ini dpt kit fhmi segi erikut: kurv dlh kurv = ng tergeser sejjr sumu- sejuh kemudin tergeser lgi sejjr sumu- sejuh Perhtikn G..8. c. -9
-1 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik G..8. Pergesern kurv = sejjr sumu- ke kiri sejuh / kemudin tergeser lgi sejjr sumu- ke wh sejuh ( c)/. Sumu simetri terletk pd = dn kurv memotong sumu- di seelh kiri dn knn sumu simetri ini, itu di 1 dn. Dri persmn (.7) kit dptkn = + = c c = + c = + c =± + c, 1 ± = (.8) ng kit kenl segi kr-kr persmn kudrt. Kedn kritis terjdi pd wktu kurv fungsi kudrt ersinggungn dengn sumu-; du kr nt dri persmn kudrt menjdi sm esr. Hl ini terjdi jik pergesern sejjr sumu- ernili nol -5 = + +c 1 } = c
c = ( c) = (.9) Jik ( c) < mk kurv tidk memotong sumu-. Kedn ini memerikn kr kompleks ng elum kn kit hs. Tinjun di ts memerikn hl-hl erikut: 1. Jik c =, mk fungsi menjdi = + ng memotong sumu- di = dn = dn memiliki sumu simetri di = ng jug menjdi sumu simetri kurv fungsi kudrt = + + c.. Nili punck fungsi = + + c = + ditmh c itu = + c dlh nili punck c tu.. Fungsi kudrt = + + c memotong sumu- di 1, = ± c -11
.. Mononom dn Polinom Pngkt Tig Fungsi mononom pngkt tig kit tuliskn = k. Jik k positif, fungsi ini kn ernili positif untuk positif dn ernili negtif untuk negtif. Jik k negtif mk kedn kn menjdi selikn. Kurv fungsi ini diperlihtkn pd G..9. = 5 1 = -5 - - - -1-1 1 5 - = - - -5 = G..9. Kurv fungsi = k. Fungsi mononom ng tergeser sejjr dengn sumu- dengn pergesern seesr skl diperoleh dengn menggnti peuh dengn ( ), dn jik tergeser sejjr sumu- seesr skl kit peroleh dengn menggnti dengn ( ). Fungsi mononom pngkt tig ng tergeser kn menjdi dengn entuk kurv diperlihtkn pd G..1. = k( ) + (.1) -1 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik
6 = 1-5 - -1 1 5 - = 1() - = 1() + 1-6 G..1. Kurv fungsi pngkt tig tergeser. Jik mononom pngkt tig ditmhkn pd polinom pngkt du, terentukln polinom pngkt tig, dengn persmn umum ng erentuk = + + c+ d (.11) Kren = k nik untuk positif (pd k positif) mk penmhn ke fungsi kudrt kn menekn kurv fungsi kudrt nik di seelh knn titik-sl [,] dn turun di seelh kiri [,]. Kit mil = untuk menggmrkn 1= dn =19, c = 8, d = untuk menggmrkn kurv fungsi = + c+ d seperti terliht pd G..11.. -1
= 19 8 1 = - 1 () - = 1 = + + 19 8-1 1 () 1 - G..11. Mononom pngkt tig 1 dn fungsi kudrt. Dengn positif mk kurv 1 ernili positif untuk > dn ernili negtif untuk <. Kurv fungsi kudrt telh kit kenl. Jik 1 ditmhkn pd mk nili-nili di seelh kiri titik [,] kn erkurng sedngkn ng di seelh knn titik [,] kn ertmh. Kurv ng kit peroleh kn terliht seperti pd G..9.. Terliht pd gmr ini hw penjumlhn 1 dn menghsilkn kurv ng memotong sumu- di tig titik. Ini errti hw persmn pngkt tig + + c+ d = (dengn nili koefisien ng kit mil) memiliki tig kr nt, ng ditunjukkn oleh perpotongn fungsi dengn sumu- terseut. -1 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik
Hl demikin tidk sellu terjdi. Jik koefisien kurng positif, penurunn kurv 1 di derh negtif tidk terllu tjm. Hl ini menekn pengurngn nili diderh ini jug tidk terllu nk. Kit kn memperoleh kurv seperti ditunjukkn pd G..1.. Di sini fungsi pngkt tig memotong sumu- di tig tempt kn tetpi ng terliht hn du. Titik potong ng ke-tig erd juh di negtif. Mkin kecil nili (tetp positif) kn mkin juh letk titik perpotongn ng ke-tig ini. = 1 + -1 1 1 () kurng positif - -1 15 () terllu positif = 1 + 1 - G..1. Pengruh nili kurv fungsi pngkt tig = 1 +. Jik koefisien terllu positif, penurunn 1 di derh negtif sngt tjm. Pengurngn di derh ini terjdi sngt esr. Kurv ng kit -15
peroleh kn terliht seperti pd G..1.. Di sini kurv tidk memotong sumu- di derh negtif. Hn d stu titik potong di sumu- positif. Jik = kn terjdi fungsi kudrt ng sudh kit hs di su- seelumn. Kit liht sekrng kedn di mn ernili negtif. Nili negtif kn memut kurv 1 ernili positif di derh negtif dn ernili negtif di derh positif. Hl ini menekn nili kn ertmh di derh negtif dn kn erkurng di derh positif. Jik tidk terllu negtif, kurv ng kit peroleh kn erentuk seperti terliht pd G..1.. = 1 + 1-1 15 () - = 1 + 1-1 15 () - G..1. Fungsi pngkt tig = 1 + dengn negtif. Kurv erpotongn dengn sumu- di tig tig tempt. Akn tetpi perpotongn ng ke-tig erd juh di derh positif. Mkin negtif -16 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik
mkin juh letk titik perpotongn terseut. Jik terllu negtif kurv erpotongn dengn sumu- di stu tempt, seperti terliht pd G..1.. CATATA : Sesungguhn perpotongn kurv fungsi pngkt tig dengn sumu- tidk semt-mt ditentukn oleh nili koefisien pd mononom pertm. Bentuk dn posisi kurv fungsi kudrtn, jug kn menentukn letk titik potong... Domin, Kekontinun, Simetri Peuh pd semu fungsi polinom dpt mengmil nili dri smpi +. Nili peuh kn mengikuti nili. Fungsi polinom kontinu dlm rentng terseut. Demikin pul hln jik kit mempuni fungsi ng merupkn hsilkli ntr polinom dengn polinom, = 1. Kit telh meliht hw kurv mononom pngkt du = k simetris terhdp sumu- kren penggntin dengn tidk menguh fungsi ini. Hl ini jug kn erlku untuk semu kurv mononom ng erpngkt genp. Kentn ini menimulkn istilh simetri genp untuk fungsi-fungsi ng simetris terhdp sumu-; misln fungsi cosinus ng kn kit peljri di lin. Kit jug telh meliht hw kurv mononom pngkt tig = k simetris terhdp titik sl [,]. Penggntin dengn dn penggntin dengn tidk kn menguh fungsi ini. Hl ini erlku pul untuk semu kurv mononom erpngkt gnjil. Istilh simetri gnjil dierikn pd fungsi ng simetris terhdp titik sl [,], seperti fungsi sinus ng kn kit peljri di B-6. Penjumlhn ntr mononom erpngkt genp dengn mononom erpngkt gnjil tidk menghsilkn kurv ng memiliki sumu simetri. Hl ini disekn kren kidh untuk terjdin simetri gi mononom erpngkt genp tidk sm dengn kidh ng diperlukn untuk terjdin simetri pd kurv mononom erpngkt gnjil. Kedn khusus terjdi pd mononom erpngkt stu ng jug merupkn mononom erpngkt gnjil. Kurv dri fungsi ini jug simetris terhdp titik sl [,]. Nmun fungsi ini dlh fungsi linier dengn kurv ng erentuk gris lurus, ered dengn kurv fungsi mononom pngkt tig. Keliniern ini menekn penjumlhn -17
dengn kurv mononom pngkt du menghsilkn pergesern kurv fungsi pngkt du; kurv ng tergeser ini memiliki sumu simetri ng sejjr dengn sumu-. Sol-Sol 1. Tentuknlh koordint titik punck dn perpotongn dengn sumu- kurv fungsi-fungsi erikut ini. 1 = ; = 5 7 ; = 1 ; = + 8. Dri sol nomer-1, tentuknlh koordint titik perpotongn ntr kurv-kurv fungsi erikut ini 1 dn ; dn ; dn. Tentuknlh koordint titik punck dn perpotongn dengn sumu- kurv fungsi-fungsi erikut ini. 1 + = 5 1 ; = 1 ; =. Dri sol nomer-, selidikilh koordint titik perpotongn kurv-kurv fungsi erikut. 1 dn ; dn ; 1 dn 5. Tentuknlh koordint titik punck dn perpotongn dengn sumu- kurv fungsi-fungsi erikut ini. 1 = 5 1 7 ; = 1+ ; = + + 8 6. Dri sol nomer-5, selidikilh koordint titik perpotongn kurv-kurv fungsi erikut. 1 dn ; dn ; 1 dn -18 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik
-19