BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya adalah pasangan tak berurut dari verteks yang berbeda pada G yang disebut edge (mungkin kosong), dan dinotasikan dengan G{V(G),E(G)}. Himpunan verteks dari G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan edge(sisi) dinotasikan dengan E(G). Banyaknya anggota dari himpunan verteks pada G disebut order G dan dinotasikan dengan p(g), atau dengan singkat ditulis p. Edge e = {u,v} atau juga dapat ditulis e = uv adalah sebuah edge dalam G, yaitu u dan v adalah titik-titik ujung dari e, maka u dan v dikatakan adjacent (berelasi) dimana u dan e adalah incident (terhubung), begitu juga dengan v dan w. Banyaknya edge yang incident dengan verteks u disebut degree / valensi / derajat dari u, dengan kata lain degree u adalah banyaknya edge yang memuat u sebagai titik ujung. Degree u dinotasikan dengan deg(u). Suatu graf biasanya dipresentasikan secara grafis, dengan setiap verteks dipresentasikan sebagai titik atau lingkaran kecil, dan setiap edge e = uv dipresentasikan dengan sebuah garis atau kurva yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian dengan u dan v.
20 Gambar 2.1 Contoh Graf G(6, 9) Gambar 2.1 menunjukkan bahwa graf G = G(V, E), di mana V(G) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan E(G) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9 }. 2.1.2 Macam-macam Graf Berdasarkan arah dan bobotnya, graf digolongkan atas 4 jenis, yaitu : 1. Graf berarah dan berbobot graf yang setiap sisinya mempunyai orientasi arah dan bobot. 2. Graf berarah dan tak berbobot graf yang setiap sisinya mempuyai arah dan tidak berbobot. 3. Graf tidak berarah dan berbobot graf yang setiap sisinya tidak mempunyai arah tetapi memiliki bobot. 4. Graf tidak berarah dan tidak berbobot graf yang setiap sisinya tidak memiliki arah dan bobot. 2.1.3 Terminologi dalam Graf Terminologi (istilah) yang berkaitan dengan graf akan sering digunakan. Di bawah ini didefenisikan beberapa istilah yang sering dipakai dan berhubungan dengan maximum spanning tree.
21 1. Walk adalah suatu barisan berhingga dari verteks dan edge secara bergantian, yang diawali dari verteks dan diakhiri dengan verteks. Bentuk umum dari walk : v e v e v e v 0 0 1 1 n 1 n n Dalam hal ini v 0 merupakan verteks awal dan v n merupakan vertex akhir. Jika verteks awal dan vertex akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk disebut close walk (walk tertutup). 2. Trail adalah suatu walk dengan setiap edgenya berlainan. 3. Path adalah suatu walk dengan setiap verteksnya berbeda. 4. Cycle adalah suatu path yang memiliki verteks awal sama denga verteks akhir. 5. Length (panjang) adalah bilangan yang menyatakan banyaknya edge yang muncul dalam suatu walk. 6. Edge e adalah sebuah jembatan untuk G jika G e tidak terhubung. Secara umum edge e adalah jembatan untuk suatu graf G jika G-e mempunyai komponen terhubung lebih dari G. 2.2 Graf Terhubung, Graf Berbobot, dan Sub-graf 2.2.1 Graf Terhubung (Connected Graph) Misalkan u dan v adalah titik yang berbeda pada graf G. Maka titik u dan v dapat dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan u-v di G. Sedangkan suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v di G terhubung (Chartrand dan Lesniak, 1986:28). Keterhubungan adalah sifat yang dimiliki graf. Graf terhubung dapat dilihat atau dibuktikan dari keterhubungan antara u dan v. Untuk lebih menguatkan kondisi (u, v)
22 Gambar 2.2 Graf Terhubung (Connected Graph) 2.2.2 Graf Berbobot (Weighted Graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot. Bobot pada tiap sisi dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf (Munir, 2005:376) Contoh 2.1 : Gambar 2.3 Graf Berbobot (Weighted Graph) Graf G pada gambar 2.3 dikatakan berbobot karena pada setiap edge diberi sebuah bobot.
23 2.2.3 Sub Graf Graf H disebut subgraf jika setiap titik dari graf H juga merupakan titik dari graf G dan setiap edge pada H juga merupakan edge pada graf G. Yang dinotasikan, H subgraf dari G jika ( ) ( ) ( ) ( ). Contoh 2.2 : Graf G Subgraf dari graf G Gambar 2.4 Graf dan Subgrafnya
24 2.3 Pohon dan Hutan 2.3.1 Pohon (Tree) Sejumlah masalah yang berhubungan dengan graf yang ditemukan manusia dalam kehidupan nyata menimbulkan penemuan konsep-konsep pemecahan masalah graf. Konsep pohon pernah diterapkan pada tahun 1870-an oleh Matematikawan Inggris yang bernama Arthur Cayley dalam penghitungan molekul kimia. Karya yang lebih baru membuktikan bahwa pohon digunakan di banyak bidang, mulai dari linguistik sampai komputer. Pohon adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat sirkuit. Tree dinotasikan dengan T. Sebuah graf G dengan n verteks dikatakan sebuah tree jika : 1. G terhubung dan tak memuat sirkuit,atau 2. G terhubung dan memiliki n 1 edge,atau 3. G tak memuat sirkuit dan memiliki n 1 edge,atau 4. Terdapat tepat satu path diantara setiap pasangan verteks-verteks di G,atau 5. G setidaknya merupakan sebuah graf terhubung. Gambar 2.5 Pohon dengan 1, 2, 3, dan 4 verteks Pohon adalah graf yang khusus. Menurut defenisi 9.1 (Munir, 2005:444), ada dua sifat penting pada pohon, yaitu : merupakan graf terhubung dan tidak mengandung sirkuit.
25 Pada Gambar 2.6, hanya G1 dan G2 merupakan pohon, sedangkan G3 dan G4 bukan pohon. G3 bukan pohon karena mengandung sirkuit a, d, f, a sedangkan G4 bukan pohon karena merupakan graf tak-terhubung. Gambar 2.6 G1 dan G2 adalah Pohon, sedangkan G3 dan G4 bukan Pohon 2.3.2 Hutan (Forest) Hutan merupakan : Kumpulan pohon yang saling lepas. Graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon. Contoh 2.3 : Gambar 2.7 Hutan (Forest) yang terdiri dari tiga buah Pohon (Tree)
26 2.4 Pohon Merentang dan Pohon Merentang Maksimum 2.4.1 Defenisi Pohon Merentang (Spanning Tree) Pohon rentang suatu graf G adalah subgraf G yang merupakan pohon dan semua memuat titik dalam G. Disebut pohon merentang karena semua simpul pada pohon T sama dengan semua simpul pada graf G, dan sisi-sisi pada pohon T sisi-sisi pada graf G. Dengan kata lain, V1 = V dan E1 E. Pada Contoh 2.4 berikut akan diberikan bagaimana cara menentukan pohon merentang dari sebuah graf. Contoh 2.4 : Gambar 2.8 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1, T2, T3, dan T4 Perlu dicermati bahwa spanning tree didefenisikan hanya untuk graf terhubung, karena pohon selalu terhubung. Pada graf tak terhubung dengan n buah simpul kita tidak dapat ditemukan subgraf terhubung dengan n buah titik. Tiap komponen dari graf tak-terhubung mempunyai satu buah spanning tree. Dengan demikian, graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai hutan merentang (spanning forest) yang terdiri dari k buah pohon merentang. (Munir, 2005:449)
27 Graf G n verteks m edge Spanning Tree n vertex n 1 ruas Cabang (Branch) m (n 1) Chord (Tali-hubung) Contoh 2.6 : Keterangan : = Branch --------------------- = Chord 2.4.2 Pohon Merentang Maksimum (Maximum Spanning Tree) Jika G adalah graf berbobot, maka bobot pohon merentang T dari G didefenisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohon merentang yang berbeda mempunyai bobot yang berbeda pula. Di antara semua pohon merentang di G, pohon merentang yang berbobot maksimum dinamakan pohon merentang maksimum atau maximum spanning tree.
28 2.5 Algoritma Prim Masalah pohon merentang minimum dapat dipecahkan dengan bantuan suatu pohon yang ditemukan oleh Prim (1957). Algoritma ini biasa disebut dengan Algoritma Prim. Algoritma Prim adalah suatu algoritma di dalam teori graf yang bertujuan menentukan suatu pohon merentang minimum dari suatu graf terhubung yang berbobot. Metode ini digunakan untuk menemukan suatu subset dari sisi yang membentuk suatu pohon yang melibatkan tiap-tiap titik, dimana total bobot dari semua sisi di dalam pohon adalah minimum. Algoritma Prim juga dapat digunakan dalam menentukan maximum spanning tree. Secara terurut, algoritma Prim untuk mencari maximum spanning tree dapat dituliskan sebagai berikut : 1. Menentukan sebarang titik awal dan dilanjutkan mengambil sisi dari graf G yang berbobot maksimum dari titik awal yang dipilih tadi, masukkan ke dalam T yang kosong. 2. Pilih sisi e yang mempunyai bobot maksimum berikutnya dan bersisian dengan titik di T, tetapi e tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan e ke dalam T. 3. Ulangi langkah 2 hingga terbentuk maximum spanning tree. 2.6 Algoritma Kruskal Algoritma Kruskal adalah suatu algoritma di dalam teori graf yang digunakan untuk mengkonstruksi pohon merentang minimum di di dalam graf berbobot terhubung secara berurutan dari sisi yang berbobot kecil sampai berbobot besar hingga tidak terbentuk cycle. Algoritma Kruskal dapat diasumsikan dengan memilih sisi dari graf secara berurutan berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot besar. Algoritma Kruskal juga dapat digunakan dalam menentukan maximum spanning tree. Secara terurut, algoritma Kruskal untuk mencari maximum spanning tree dapat dituliskan sebagai berikut : 1. Urutkan sisi-sisi graf dari besar ke kecil. T merupakan himpunan kosong. 2. Pilih sisi e dengan bobot maksimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan e ke dalam T.
3. Ulangi langkah 2 sebanyak n 1 kali hingga terbentuk maximum spanning tree. 29 2.7 Algoritma Sollin Algoritma Sollin adalah suatu algoritma dalam teori graf yang digunakan untuk menentukan pohon merentang minimum di dalam graf berbobot terhubung dengan cara melakukan penghapusan sisi-sisi yang tidak menyebabkan graf menjadi tidak berhubung atau membentuk sirkuit. Penghapusan tersebut dimulai dari sisi yang memiliki bobot terbesar hingga terkecil. Algoritma Sollin juga dapat digunakan dalam menentukan maximum spanning tree. Untuk menentukan maximum spanning tree dari sebuah graf dengan menggunakan Algoritma Sollin maka diperlukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Urutkan sisi-sisi pada graf berdasarkan bobotnya dari kecil ke besar. 2. Lakukan penghapusan setiap sisi yang tidak menyebabkan graf menjadi tidak terhubung. Penghapusan dimulai dari sisi yang memiliki bobot terkecil. 3. Ulangi langkah 2 hingga diperoleh maximum spanning tree.