BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika dan banyak aplikasinya. Dalam kehidupan sehari-hari integral dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu, seperti bidang ekonomi, teknologi, fisika dan matematika. Salah satu aplikasi integral dalam bidang teknologi adalah untuk menentukan jumlah kebocoran minyak dalam tangki dalam selang waktu tertentu, sedangkan dalam bidang ekonomi adalah mencari fungsi biaya total dan fungsi penerimaan total. Salah satu integral yang sering dibahas adalah integral Lebesgue. Dalam integral Lebesgue, pembahasannya tidak bisa lepas dari teori ukuran. Ada dua pendekatan dalam membangun integral Lebesgue. Pendekatan pertama yang sering dipakai dalam membangun integral Lebesgue adalah integral dibangun setelah teori ukuran diperkenalkan (Royden, 1988), sedangkan pendekatan kedua adalah integral dibangun terlebih dahulu kemudian diperkenalkan teori ukuran (Bong Chae, 1994). Berdasarkan pendekatan kedua tersebut penulis termotivasi untuk membahas integral Daniell yang dikembangkan oleh Percy J. Daniell (1918) yang dibentuk berdasarkan fungsional linear positif yang mendefinisikan integral terlebih dahulu kemudian dibentuk ukuran. Integral Daniell ini dibangun secara umum dan memiliki beberapa keunggulan dibandingkan metode integral Lebesgue, khususnya di bidang analisis fungsional. Integral Lebesgue dan Daniell merupakan konstruksi yang ekuivalen, jika fungsi langkah (step function) terbatas bernilai real dipilih sebagai fungsi dasar. Namun, sebagai salah satu langkah untuk memperluas definisi integral ke dalam domain yang lebih kompleks (misalnya mencoba untuk menentukan integral dari suatu fungsional linear), menggunakan konstruksi Lebesgue lebih sulit. Berdasarkan hal-hal tersebut penulis termotivasi untuk menjadikan integral Daniell sebagai bahan dalam tulisan ini. 1
2 1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah yang dibahas di dalam skripsi ini adalah: 1. Definisi dan sifat-sifat integral Daniell. 2. Ekstensi fungsional linear positif pada ruang vektor lattice terdiri dari semua fungsi bernilai real menjadi fungsional linear positif pada ruang vektor lattice terdiri dari semua fungsi terintegral Daniell. 3. Pembentukan ukuran berdasarkan integral Daniell. 1.3 Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada definisi, sifat-sifat integral Daniel, dan proses pembentukan integral Daniell serta pembentukan ukuran. Ukuran yang dibahas terbatas pada ukuran yang dibentuk berdasarkan integral Daniell. 1.4 Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini merupakan bagian dari penelitian bidang analisis yang bertujuan bagi pengembangan teori integral dan aplikasinya. Secara khusus penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari integral Daniell.
3 1.5 Tinjauan Pustaka Dalam matematika, integral Daniell merupakan integral yang dibangun untuk menggeneralisasikan konsep yang lebih elementer seperti integral Riemann. Integral ini dibangun oleh P.J Daniell pada tahun 1918 dan ditulis dalam papernya yang berjudul "A General Form of Integral, Annals of Mathematics". Beberapa teorema penting dalam teori integral Lebesgue seperti teorema kekonvergenan monoton, lemma Fatou dan teorema kekonvergenan terdominasi (dominated convergence theorem) dapat dirumuskan kembali berdasarkan integral Daniell. Sifat-sifat dan bukti teorema integral Daniell tidak semua dibahas dan dibuktikan dalam buku "Real Analysis" (Royden, 1988). Integral Daniell dibentuk berdasarkan fungsional linear positif. Dimulai dengan suatu fungsional linear positif I yang didefinisikan pada suatu ruang vektor lattice L yang merupakan himpunan semua fungsi bernilai real. Ruang vektor lattice merupakan ruang vektor sekaligus lattice (Zaanen, 1997). Diperhatikan bahwa limit barisan fungsi di L belum tentu merupakan anggota himpunan L tersebut. Oleh karena itu fungsional linear positif pada himpunan semua fungsi bernilai real L, diperluas pada himpunan semua limit barisan fungsi bernilai real dan naik monoton yaitu L u. Konsep barisan fungsi yang dimaksud merupakan pengembangan dari konsep barisan bilangan (Drager, 2014). Perluasan fungsional linear positif tersebut dilakukan menggunakan konsep dasar sistem bilangan real, infimum dan supremum (Bartle, 2000). Setelah dibentuk himpunan L u didefinisikan integral atas dan integral bawah dari integral Daniell. Fungsi yang terintegral Daniell didefinisikan sebagai fungsi yang mempunyai nilai integral bawah dan integral atas yang sama dan berhingga. Kemudian dibentuk keluarga himpunan semua fungsi yang terintegral Daniel yang merupakan ruang vektor lattice.dengan mendefinisikan ukuran µ pada suatu himpunan sebagai nilai integral I dari fungsi karakteristik himpunan tersebut diperoleh ekuivalensi antara integral Daniell dengan integral terhadap ukuran µ. Integral terhadap ukuran yang dimaksud adalah integral terhadap ukuran secara umum (Royden, 1988). Lebih lanjut jika ukuran yang diambil adalah ukuran Lebesgue diperoleh ekuivalensi integral Daniell dengan integral Lebesgue. Pendekatan lain dalam pembentukan integral Daniell dengan ruang vektor lattice terdiri dari semua fungsi bernilai real terbatas (Loomis, 1953).
4 1.6 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai hasil penelitian terkait suatu fungsional linear pada himpunan semua fungsi bernilai real yang memenuhi definisi dan sifatsifat integral Daniell. Selanjutnya dengan olah pikir logis dan sistematis, fungsional linear pada domain keluarga semua fungsi bernilai real tersebut digeneralisasi menjadi fungsional linear pada himpunan semua fungsi bernilai real diperluas yang masih memiliki aksioma-aksioma integral Daniell. Hasil generalisasi tersebut kemudian dikembangkan dan diolah sehingga didapatkan ekuivalensi antara integral Daniell dan integral Lebesgue. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Mendefinisikan integral Daniell dan sifat-sifatnya. 2. Membentuk ekstensi fungsional linear positif pada ruang vektor lattice terdiri dari semua fungsi bernilai real menjadi fungsional linear positif pada ruang vektor lattice terdiri dari semua fungsi terintegral Daniell. 3. Membentuk ukuran berdasarkan integral Daniell. 1.7 Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini memuat latar belakang, perumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka dan metode penelitiaan dari skripsi ini. Bab ini memberikan gambaran umum mengenai materi yang dibahas pada skripsi ini. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini memuat teori-teori yang menjadi dasar dalam proses pemecahan masalah yang diberikan dalam perumusan masalah pada Bab I. Beberapa teori yang dibahas, diantaranya sistem bilangan real, lattice, ruang vektor, ruang vektor lattice, barisan fungsi bernilai real. BAB III INTEGRAL TERHADAP UKURAN Pada bab ini memuat sistem bilangan real diperluas, barisan bilangan real diperluas, dan barisan fungsi bernilai real diperluas serta konstruksi integral terhadap ukuran.
5 BAB IV INTEGRAL DANIELL Pada bab ini memuat definisi, sifat-sifat integral Daniell dan proses pembentukan integral Daniell serta pembentukan ukuran berdasarkan integral Daniell tersebut. BAB V PENUTUP Pada bab ini memuat kesimpulan dan saran terkait dengan pembahasan yang diberikan pada bab III-IV.