ABSTRAK Masalah dalam akustik dapat berupa masalah langsung (direct) maupun tidak langsung (invers). Dikatakan masalah direct apabila tekanan akustik pada sembarang titik di medan akustik (untuk masalah eksterior) atau di dalam sumber akustik (untuk masalah interior) dapat ditentukan dengan mengetahui tekanan atau potensial kecepatan permukaan sumber dan sebaliknya untuk masalah invers. Salah satu metode untuk memecahkan masalah akustik adalah Metode Elemen Batas (MEB). Keuntungan dari metode ini adalah pengurangan dimensi, yaitu pemecahan dalam masalah tiga dimensi dikurangi menjadi pemecahan masalah dua dimensi. Tetapi, pada masalah invers, matriks yang ill-conditioned dapat muncul sewaktu menyelesaikan persamaan matriks permukaan pada frekuensi karakteristik tertentu. Untuk mengatasi masalah ini, Singular Value Decomposition (SVD) digunakan untuk mendapatkan invers dari matriks yang singular. Kemudian regularisasi Tikhonov atau GCV (Generalized Cross Validation) ditambahkan untuk menekan error yang mungkin terjadi. Dalam tugas akhir ini, program yang digunakan untuk menyelesaikan masalah invers akustik dengan BEM ini menggunakan program Fortran. Uji kasus yang dilakukan adalah kasus radiasi pada bola homogen untuk masalah interior. Dari hasil uji kasus, rata-rata error yang terjadi pada kasus radiasi bola dengan k = 1 adalah 0%- 28% sebelum regularisasi Tikhonov dan 0% - 13% setelah regularisasi Tikhonov. Untuk k = 2 rata-rata error yang terjadi adalah 17% - 37% sebelum regularisasi Tikhonov dan 0% - 9% setelah regularisasi Tikhonov. Lalu untuk k = 1 rata-rata error yang terjadi adalah 18% - 48% sebelum regularisasi GCV dan 0% - 13% setelah regularisasi GCV. Untuk k = 2 rata-rata error yang terjadi adalah 23% - 52% sebelum regularisasi GCV dan 4% - 36% setelah regularisasi GCV. i
ABSTRACT Problems in Acoustics can be direct problem or inverse problem. Defined as direct problems when the acoustic pressure at any field point or inside acoustic source is determined by knowing the pressure or normal velocity on the surface of vibrating object source and vice versa. One well-known method to solve problems in Acoustic is Boundary Element Method (BEM). The major advantage of this method is decreasing the dimension, there are the solve in three-dimensional problem is decreasing using two-dimensional treatment. But, in the inverse problems, ill-conditioned matrix may arise when solving the surface matrix equation at certain characteristic frequencies. To overcome this problem, Singular Value Decomposition (SVD) is used to obtain the inverse of singular matrix. Then, Tikhonov or Generalized Cross Validation (GCV) regularization is used to suppress the error that may take place. In this final assignment, the program for solving inverse acoustic problems using Boundary Element Method is built in FORTRAN program. Test cases are carried out involving radiation of sphere is the interior problem. From results of test cases, the average error that occur in radiation-of-sphere case with k = 1 is 0% - 28% before Tikhonov regularization and 0% - 13% after Tikhonov regularization. The average error that occur for k = 2 is 17% - 37% before Tikhonov regularization and 0% - 9% after Tikhonov regularization. Then for k = 1 the average error that occur is 18% - 48% before GCV regularization and 0% - 13% after GCV regularization. The average error that occur for k = 2 is 23% - 52% before GCV regularization and 4% - 36% after GCV regularization. ii
DAFTAR ISI LEMBAR PENGESAHAN SURAT PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT. KATA PENGANTAR. DAFTAR ISI. DAFTAR TABEL. DAFTAR GAMBAR. i ii iii v ix x BAB I PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang Masalah 1 I.2 Identifikasi Masalah... 2 I.3 Tujuan Tugas Akhir... 3 I.4 Pembatasan Masalah. 3 I.5 Sistematika Penulisan 3 BAB II LANDASAN TEORI II.1 Persamaan Integral Helmholtz..... 5 II.2 Evaluasi dengan Integral Eliptik.. 7 II.3 Implementasi Numerik Persamaan Integral Helmholtz 10 II.3.1 Diskritisasi Permukaan Dengan Elemen Isoparametrik.. 10 II.3.2 Persamaan Matriks Integral Helmholtz 12 II.3.3 Formulasi Gaussian Quadrature.. 14 II.3.4 Derajat Severity Untuk Menentukan Jumlah Titik Gaussian.. 15 II.4 Singular Value Decomposition (SVD).. 17 II.5 Regularisasi Tikhonov.. 18 II.6 Generalized Cross Validation (GCV)... 19 v
BAB III REALISASI PROGRAM III.1 Distribusi Titik untuk Input Program 22 III.1.1 Distribusi Titik Permukaan Benda. 22 III.1.2 Distribusi Titik Ukur..... 24 III.2 Program Solusi Invers MEB Menggunakan SVD dan Penambahan Regularisas Tikhonov dengan Program Fortran.. 25 III.2.1 Main Program... 25 III.2.2 Subrutin INPDAT.. 26 III.2.3 Subrutin GAUSS dan FAIR.. 27 III.2.4 Subrutin DEGSEV dan NMDS. 27 III.2.5 Subrutin CHAPE 28 III.2.6 Subrutin COEF.. 28 III.2.7 Subrutin SOLVE 29 III.2.8 Subrutin SVD dan Subrutin SVDSOL.. 29 III.3 Program Solusi Invers MEB Menggunakan SVD dengan Regularisasi GCV Menggunakan program Fortran. 30 III.3.1 Subrutin INPDAT. 30 III.3.2 Subrutin COORD1 31 III.3.3 Subrutin SHFUN.. 32 III.3.4 Subrutin SHAPE.. 32 III.3.5 Subrutin COEFC2. 32 III.3.6 Subrutin SOLVE 33 III.3.7 Subrutin MATRIX. 36 III.3.8 Subrutin Operasi Matriks... 36 III.3.9 Subrutin INVERS. 36 III.4 Program Solusi Invers Menggunakan MATLAB. 37 III.4.1 Solusi Invers MEB tanpa Regularisasi. 38 III.4.2 Solusi Invers MEB dengan Regularisasi GCV 39 vi
III.5 Visualisasi Data... 40 BAB IV UJI KASUS DAN ANALISIS DATA IV.1 Prosedur Uji Kasus.. 41 IV.2 Data Koordinat dan Elemen Pembentuk Bola Untuk Invers MEB Menggunakan SVD dan Invers MEB Menggunakan SVD dengan Penambahan Regularisasi Tikhonov. 42 IV.3 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan k=1.. 46 IV.4 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dan Penambahan Regularisasi Tikhonov dengan k=1.. 52 IV.5 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan k=2 55 IV.6 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dan Penambahan Regularisasi Tikhonov dengan k=2 61 IV.7 Perbandingan Antara Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan Penambahan Regularisasi Tikhonov dan dengan yang Tanpa Regularisasi Tikhonov.. 63 IV.8 Data Koordinat dan Elemen Pembentuk Bola Untuk Invers MEB Menggunakan SVD dan Invers MEB Menggunakan SVD dengan Penambahan Regularisasi GCV 74 IV.9 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan k=1. 74 IV.10 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan Penambahan Regularisasi GCV dengan k=1 76 IV.11 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan k=2.. 77 IV.12 Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan Penambahan Regularisasi GCV dengan k=2. 79 IV.13 Perbandingan Antara Uji Kasus Invers MEB Menggunakan SVD dengan Penambahan Regularisasi GCV dan Tanpa Regularisasi GCV.. 80 vii
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN V.1 Kesimpulan 91 V.2 Saran. 92 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN Lampiran A. Program Lengkap Solusi Invers Tiga Dimensi dari Benda Bersimetri Sumbu di Ruang Tak Hingga dengan Menggunakan Elemen Batas Dengan Regularisasi Tikhonov Lampiran B. Program Lengkap Solusi Invers Tiga Dimensi dari Benda Bersimetri Sumbu di Ruang Tak Hingga dengan Menggunakan Elemen Batas Dengan Regularisasi GCV viii
DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Jumlah titik Gaussian untuk P S m. 16 Tabel 2.2 Jumlah titik Gaussian untuk P S m. 16 Tabel 4.1 Data koordinat bola dengan jari-jari 1 m 44 Tabel 4.2 Urutan titik-titik penyusun tiap elemen pada permukaan bola 45 Tabel 4.3 Data referensi.. 46 Tabel 4.4 Data tekanan input dengan bilangan gelombang 1 (k=1) 48 Tabel 4.5 Data tekanan hasil komputasi program 50 Tabel 4.6 Data hasil komputasi program dengan penambahan regularisasi 53 Tabel 4.7 Data referensi. 55 Tabel 4.8 Data tekanan input dengan bilangan gelombang 2 (k=2)... 57 Tabel 4.9 Data tekanan hasil komputasi program.. 59 Tabel 4.10 Data hasil komputasi program dengan penambahan regularisasi 61 Tabel 4.11 Data Referensi koordinat sumber. 75 Tabel 4.12 Data input program dengan bilangan gelombang 1 (k=1) 75 Tabel 4.13 Data tekanan hasil komputasi program 76 Tabel 4.14 Data hasil komputasi program dengan penambahan regularisasi.. 77 Tabel 4.15 Data referensi koordinat sumber 78 Tabel 4.16 Data input program dengan bilangan gelombang 2 (k=2). 78 Tabel 4.17 Data tekanan hasil komputasi program.. 79 Tabel 4.18 Data hasil komputasi program dengan penambahan regularisasi.. 80 ix
DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Masalah Langsung dan Invers pada Akustik.. 1 Gambar 2.1 Titik Ukur P untuk Kasus Eksterior, Interior dan Titik dengan Nilai Tangen yang Unik 6 Gambar 2.2 Elemen isoparametrik segiempat. 11 Gambar 2.3 Elemen isoparametrik segitiga. 11 Gambar 2.4 Kurva-L 19 Gambar 3.1 Diagram Blok Permasalahan Direct dan Inverse pada Akustik.. 21 Gambar 3.2 Distribusi Titik pada Permukaan Benda... 22 Gambar 3.3 Distribusi Titik Ukur. 24 Gambar 3.4 Diagram Alir Program Utama. 26 Gambar 4.1 Penempatan node pada permukaan bola dari tampak bawah.. 43 Gambar 4.2 Penembatan node pada permukaan bola dari tampak atas.. 43 Gambar 4.3 Grafik error bagian real dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1).. 64 Gambar 4.4 Grafik error bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1).. 64 Gambar 4.5 Grafik error bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1).. 65 Gambar 4.6 Grafik tekanan bagian real dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1).. 65 Gambar 4.7 Grafik tekanan bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1).. 66 Gambar 4.8 Grafik tekanan bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1).. 66 Gambar 4.9 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian real dengan bilangan gelombang bernilai 1 (k=1)... 67 x
Gambar 4.10 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian imajiner dengan bilangan gelombang bernilai 1 (k=1) 68 Gambar 4.11 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian magnituda dengan bilangan gelombang bernilai 1 (k=1).. 68 Gambar 4.12 Grafik error bagian real dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2) 69 Gambar 4.13 Grafik error bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2) 69 Gambar 4.14 Grafik error bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2) 70 Gambar 4.15 Grafik tekanan bagian real dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2) 70 Gambar 4.16 Grafik tekanan bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2) 71 Gambar 4.17 Grafik tekanan bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2) 71 Gambar 4.18 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian real dengan bilangan gelombang bernilai 2 (k=2). 72 Gambar 4.19 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian imajiner dengan bilangan gelombang bernilai 2 (k=2). 73 Gambar 4.20 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian magnituda dengan bilangan gelombang bernilai 2 (k=2).. 73 Gambar 4.21 Diskritisasi bola menjadi 11 titik.. 74 Gambar 4.22 Grafik error bagian real dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1) 81 Gambar 4.23 Grafik error bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1) 81 Gambar 4.24 Grafik error bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1) 82 Gambar 4.25 Grafik tekanan bagian real dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1) 82 xi
Gambar 4.26 Grafik tekanan bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1) 83 Gambar 4.27 Grafik tekanan bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 1 (K=1).. 83 Gambar 4.28 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian real dengan bilangan gelombang bernilai 1 (k=1). 84 Gambar 4.29 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian imajiner dengan bilangan gelombang bernilai 1 (k=1).. 85 Gambar 4.30 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian magnituda dengan bilangan gelombang bernilai 1 (k=1). 85 Gambar 4.31 Grafik error bagian real dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2).. 86 Gambar 4.32 Grafik error bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2).. 86 Gambar 4.33 Grafik error bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2).. 87 Gambar 4.34 Grafik tekanan bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2).. 87 Gambar 4.35 Grafik tekanan bagian imajiner dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2).. 88 Gambar 4.36 Grafik tekanan bagian magnituda dengan nilai bilangan gelombang 2 (K=2).. 88 Gambar 4.37 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian real dengan bilangan gelombang bernilai 2 (k=2). 89 Gambar 4.38 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian imajiner dengan bilangan gelombang bernilai 2 (k=2). 90 Gambar 4.39 Gambar perbandingan rekonstruksi bola untuk tekanan bagian magnituda dengan bilangan gelombang bernilai 2 (k=2).. 90 xii