SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Double Quadrilateral Fery Firmansah, M. Wahid Syaifuddin Prodi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan Universitas Widya Dharma Klaten Email : feryfirmansah@unwidha.ac.id A - 9 Abstrak Graf harmonis ganjil adalah graf yang mempunyai sifat pelabelan harmonis ganjil. Pada makalah ini akan diberikan kontruksi kelas graf baru yaitu graf kincir angin double quadrilateral yang mempunyai sifat pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga graf kincir angin double quadrilateral adalah graf harmonis ganjil. Kata kunci: double qudrilateral, graf kincir angin, pelabelan harmonis ganjil I. PENDAHULUAN Teori graf adalah bagian dari matematika kombinatorik yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menyelesaikan suatu persoalan agar lebih mudah untuk diselesaikan. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit hubungan antara objek-objek diskrit tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek diskrit sebagai titik atau simpul (vertex) hubungan antara objek diskrit sebagai garis atau busur (edge). Pelabelan graf diperkenalkan oleh Sedlacek pada tahun 964, sampai tahun 05 telah ditemukan banyak hasil riset dari pelabelan graf yang dikumpulkan diperbaharui secara teratur oleh Gallian. Gallian [6] telah merangkum kurang lebih 000 jurnal dari seluruh peneliti dunia kurang lebih sudah ditemukan 00 kelas graf baru beserta pelabelannya. Pelabelan graf dapat diaplikasikan dalam berbagai big keilmuan diantaranya teori koding, radar, desain sirkuit, manajemen data base, secret sharing message kriptografi. Jenis pelabelan graf yang dapat digunakan untuk melabel suatu graf, antara lain pelabelan jumlah, pelabelan jumlah eksklusif, pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, pelabelan graceful, pelabelan harmonis, pelabelan harmonis genap pelabelan harmonis ganjil. Pelabelan pada suatu graf adalah pemetaan dari setiap elemen graf ke bilangan bulat positif. Bilangan bulat positif tersebut dinamakan label. Elemenelemen graf yang dipetakan bisa berupa himpunan simpul, himpunan busur atau kombinasinya. Jika domain dari fungsi tersebut adalah himpunan simpul maka disebut pelabelan simpul jika domain dari fungsi tersebut adalah himpunan busur maka disebut pelabelan busur. Segkan jika domain dari fungsi tersebut adalah himpunan simpul himpunan busur maka disebut pelabelan total []. Pada makalah ini pembahasan dibatasi untuk graf sederhana, berhingga tidak berarah. Pelabelan harmonis ganjil diperkenalkan oleh Liang Bai [8] dengan definisi sebagai berikut Graf dengan himpunan simpul himpunan busur dikatakan sebagai graf jika memenuhi simpul busur. Graf dikatakan graf harmonis ganjil jika terdapat fungsi injektif sedemikian sehingga menginduksi fungsi yang bersifat bijektif, yang didefinisikan oleh fungsi f dikatakan fungsi pelabelan harmonis ganjil dari graf. Liang Bai [8] telah menunjukkan sifat-sifat graf yang mempunyai pelabelan harmonis ganjil diantaranya jika adalah graf harmonis ganjil maka adalah graf bipartit jika graf adalah graf harmonis ganjil maka. Hasil penelitian yang relevan dengan makalah ini antara lain. Vaidya Shah [0] membuktikan bahwa graf shadow graf split dari graf lintasan graf bintang adalah graf harmonis ganjil. Saputri, Sugeng Froncek [9] membuktikan bahwa graf dumbel graf adalah graf harmonis ganjil graf adalah MA 5
ISBN. 978-60-740-- graf harmonis ganjil jika hanya jika. Abdel-Aal [] graf yang dibentuk dari dua copy graf lingkaran genap dengan satu busur persekutuan, dua copy graf lingkaran, dengan satu simpul persekutuan adalah graf harmonis ganjil. Alyani, Firmansah, Giyarti Sugeng [] membuktikan bahwa graf ular dengan graf ular dengan graf gelang dengan adalah graf harmonis ganjil. Firmansah Sugeng [4] membuktikan bahwa graf kincir angin belanda dengan gabungan graf kincir angin belanda dengan adalah graf harmonis ganjil. Firmansah [5] membuktikan bahwa gabungan graf ular dengan graf ular berlipat dengan adalah graf harmonis ganjil. Pada makalah ini penulis akan memberikan kontruksi graf kincir angin double quadrilateral dengan. Selanjutnya penulis akan menunjukkan bahwa graf kincir angin double quadrilateral dengan memenuhi fungsi pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga graf kincir angin double quadrilateral dengan adalah graf harmonis ganjil. II. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan mempelajari makalah buku yang berkaitan dengan topik penelitian. Selanjutnya hasil studi literatur tersebut digunakan sebagai landasan teori untuk mendapatkan kontruksi pelabelan harmonis ganjil pada graf. Berikut diberikan langkahlangkah yang dilakukan untuk mendapatkan kontruksi pelabelan harmonis ganjil pada graf.. Mengkaji sifat-sifat khusus dari graf yang bertujuan untuk mendapatkan kontruksi, definisi notasi simpul dari graf ;. Memformulasikan fungsi pelabelan simpul pelabelan busur menjadi suatu rumus kontruksi pelabelan harmonis ganjil yang berlaku secara umum untuk graf ;. Mengkontruksi hasil yang diperoleh dalam bentuk teorema disertai dengan buktinya secara matematis. III. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian awal diberikan definisi kontruksi dari graf double quadrilateral yang diperoleh dari dua graf lingkaran dengan satu busur persekutuan. Selanjutnya definisi dari graf double quadrilateral tersebut digunakan untuk membentuk definisi kontruksi dari graf kincir angin double quadrilateral dengan. Pada bagian akhir akan ditunjukkan bahwa graf kincir angin double quadrilateral dengan memenuhi fungsi pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga graf kincir angin double quadrilateral dengan adalah graf harmonis ganjil. A. Definisi Kontruksi dari Graf Double Qudrilateral Berikut diberikan definisi dari graf double quadrilateral notasi simpul dari graf double quadrilateral., selanjutnya diberikan kontruksi Definisi. [6] Graf double quadrilateral adalah graf yang dibentuk dari dua graf lingkaran dengan himpunan simpul masing-masing adalah yang terhubung dengan satu busur persekutuan. Berikut diberikan kontruksi, notasi simpul notasi busur dari graf double quadrilateral Gambar. pada MA 54
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 v w w v v u 0 GAMBAR. KONTRUKSI DARI GRAF DOUBLE QUADRILATERAL B. Definisi Kontruksi dari Graf Kincir Angin Double Quadrilateral Berikut diberikan definisi, kontruksi notasi simpul graf kincir angin double quadrilateral dengan, selanjutnya didefinisikan himpunan simpul himpunan busur dari graf kincir angin double quadrilateral dengan. Definisi. Graf kincir angin double quadrilateral dengan adalah graf yang dibentuk dari graf double quadrilateral yang mempunyai satu simpul pusat persekutuan. Kontruksi notasi simpul dari graf kincir double quadrilateral dengan diberikan pada Gambar sebagai berikut: v w w v k w k v k v k v v u 0 v v w v w k w GAMBAR. KONTRUKSI DARI GRAF KINCIR ANGIN DOUBLE QUADRILATERAL Berdasarkan notasi simpul kontruksi pada Gambar didefinisikan himpunan simpul himpunan busur dari graf kincir angin double quadrilateral dengan adalah C. Pelabelan harmonis ganjil pada graf kincir angin double quadrilateral Berikut diberikan sifat yang menyatakan bahwa graf kincir angin double quadrilateral dengan memenuhi fungsi pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga graf kincir angin double quadrilateral dengan adalah graf harmonis ganjil, selanjutnya diberikan beberapa contoh untuk memperjelas sifat tersebut. Teorema. Graf kincir angin double quadrilateral dengan adalah graf harmonis ganjil. Bukti. Misalkan adalah graf kincir angin double quadrilateral dengan. Himpunan simpul himpunan busur dari dengan adalah. MA 55
ISBN. 978-60-740-- maka diperoleh. Definisikan fungsi pelabelan simpul sebagai berikut: () () () berdasarkan fungsi pelabelan simpul pada (), (), () diperoleh himpunan simpul setelah dilabel sebagai berikut:. terlihat bahwa fungsi memberikan label yang berbeda pada setiap simpul diperoleh sehingga fungsi pelabelan simpul memenuhi pemetaan injektif. Setelah menunjukan fungsi pelabelan simpul memenuhi pemetaan injektif, selanjutnya akan ditunjukan bahwa fungsi pelabelan busur memenuhi pemetaan bijektif. Didefinisikan fungsi pelabelan busur sebagai berikut: (4) (5) (6) berdasarkan fungsi pelabelan busur pada persamaan (4), (5), (6) diperoleh himpunan busur setelah dilabel sebagai berikut: terlihat bahwa fungsi memberikan label yang berbeda pada setiap busur diperoleh sehingga fungsi pelabelan busur memenuhi pemetaan bijektif. Telah ditunjukkan bahwa fungsi pelabelan simpul memenuhi pemetaan injektif sedemikian sehingga menginduksi fungsi pelabelan busur yang bijektif. Akibatnya graf kincir angin double quadrilateral dengan adalah graf harmonis ganjil Contoh 4. Diberikan contoh pelabelan harmonis ganjil dari graf kincir angin double quadrilateral pada Gambar pada Gambar 4. MA 56
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 4 6 5 8 7 0 7 0 5 6 9 GAMBAR. PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN DOUBLE QUADRILATERAL 48 50 8 5 4 9 0 7 9 6 7 6 0 5 GAMBAR 4. PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN DOUBLE QUADRILATERAL Dari Gambar terlihat bahwa label busur pada graf kincir angin double quadrilateral membentuk himpunan bilangan ganjil busur pada graf kincir angin double quadrilateral. IV. SIMPULAN DAN SARAN begitu juga pada Gambar 4 label membentuk himpunan bilangan ganjil Pada makalah ini telah diberikan definisi kontruksi dari graf kincir angin double quadrilateral dengan. Selain hal tersebut juga telah diberikan kontruksi pelabelan harmonis ganjil pada graf kincir angin double quadrilateral dengan sedemikian sehingga graf kincir angin angin double quadrilateral dengan adalah graf harmonis ganjil. Saat ini penulis seg memperluas kasus tersebut untuk kelas graf yang lain diantaranya adalah graf kincir angin variasi double quadrilateral dengan sehingga memungkinkan untuk dilakukan penelitian lebih lanjut. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terimakasih kepada Lembaga Penelitian Pengabdian Masyarakat Universitas Widya Dharma Klaten atas dukungan secara financial terhadap penelitian ini. DAFTAR PUSTAKA [] Abdel-Aal, M. E. 04. New Families of Odd Harmonious Graphs. International Journal of Soft Computing, Mathematics and Control, (), -. MA 57
ISBN. 978-60-740-- [] Alyani, F., Firmansah, F., Giyarti, W., Sugeng, K. A. 0. The Odd Harmonious Labeling of kcn-snake Graphs for Spesific Values of n, that is, for n = 4 and n = 8. IndoMS International Conference on Mathemathics and Its Applications, Diselenggarakan oleh Program Studi Matematika, UGM IndoMS, 6-7 November 0 (hal. 5-0). Yogyakarta: Indonesian Mathematical Society. [] Baca, M Miller, M. 008. Super Edge-Antimagics Graphs : A Wealth of Problems anda Some Solution. Florida : Brown Walker Press. [4] Firmansah, F., Sugeng, K. A. 05. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Belanda Gabungan Graf Kincir Angin Belanda. Magistra, No 94 Th. XXVII, ISSN 05-95, 56-9 [5] Firmansah, F. 06. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Gabungan Graf Ular Graf Ular Berlipat. Konferensi Nasional Matematika Pembelajarannya (KNPMP ), Diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Matematika, UMS, Maret 06 Surakarta: Muhammadiyah University Press. [6] Gallian, J. A. 05. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics, 8. #DS6. [7] Harary, F. 996. Graph Theory. Philippines : Addison-Wesley Publishing Company. [8] Liang, Z., Bai, Z. 009. On The Odd Harmonious Graphs with Applications, J. Appl. Math. Comput., 9, 05-6. doi:0.007/s90-008-00-0 [9] Saputri, G. A., Sugeng, K. A., Froncek, D. 0. The Odd Harmonious Labeling of Dumbbell and Generalized Prims Graphs, AKCE Int, J. Graphs Comb., 0(), -8. [0] Vaidya, S. K., Shah, N. H. 0. Some New Odd Harmonious Graphs. International Journal of Mathematics and Soft Computing, (), 9-6. MA 58