MATEMATIKA DASAR (Himpunan Terurut Parsial (Poset))

MATEMATIKA DASAR (Himpunan Terurut Parsial (Poset)) Antonius Cahya Prihandoko University of Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 1 / 26

Outline 1 Himpunan Terurut Parsial 2 Himpunan Terurut Total 3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut 4 Himpunan Bagian Terurut Total 5 Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 2 / 26

Himpunan Terurut Parsial Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 3 / 26

Ingat Urutan parsial atau partial order pada sebuah himpunan A adalah suatu relasi yang bersifat: 1 refleksif 2 antisimetris 3 transitif Jika relasi R pada A mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, maka (a, b) R dinyatakan dengan a b (dibaca a mendahului b) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 4 / 26

Contoh 1 Jika A suatu himpunan tak kososng. Relasi subset pada keluarga himpunan 2 A merupakan urutan partial pada 2 A. 2 Jika K sebarang himpunan bagian dari R, maka relasi merupakan urutan parsial pada K. 3 Misal V = {A, B, C, D, E} dan diagram yang berarti x y jika x = y atau jika seseorang dapat pergi dari x ke y mengikuti arah panah pada diagram berikut: maka diagram tersebut mendefinisikan suatu urutan parsial pada v. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 5 / 26

Definisi POSET Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai (A, R) atau (A, ). Perhatikan notasi-notasi berikut: a < b berarti a b dan a b (dibaca: a murni mendahului atau murni membawahi b) b a berarti a b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b > a berarti a < b (dibaca: b murni mengikuti atau murni mengatasi a) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 6 / 26

Komparabel dan Urutan Invers Dua anggota a dan b dari POSET dikatakan tidak komparabel jika a b dan b a, yaitu jika tidak ada elemen yan mendahului elemen lainnya. Jika relasi R pada himpunan A mendefinisikan urutan parsial (refleksif, antisimetris dan transitif) maka relasi invers R 1 juga mendefinisikan urutan parsial di A, dan disebut urutan invers. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 7 / 26

Himpunan Terurut Total Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 8 / 26

Definisi Urutan total pada himpunan A adalah urutan parsial di A dengan tambahan sifat trikotomi sebagai berikut: a < b, a = b, atau a > b untuk setiap anggota a, b A. Himpunan A bersama-sama dengan urutan total tertentu di A disebut himpunan terurut total atau totally ordered set (TOSET) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 9 / 26

Contoh Misal R himpunan bilangan riil (dengan urutan asal), maka setiap dua elemen dalam R selalu komparabel, maka urutan parsial pada R merupakan urutan total. Misal M = {1, 2, 3, 4, 5} dan didefinisikan relasi R sebagai kelipatan dari, maka R merupakan urutan parsial, tetapi bukan urutan total, sebab 3 bukan kelipatan 2, 5 bukan kelipatan 3. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 10 / 26

Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 11 / 26

Definisi Jika relasi R mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, dan B subset pada A, maka urutan parsial R di A akan menginduksi urutan parsial R pada B secara alamiah: Untuk a, b B, (a, b) R atau a b berlaku di B jika hanya jika (a, b) R atau a b juga berlaku di A. Himpunan terurut (B, R ) disebut himpunan bagian (urutan parsial) dari himpunan terurut (A, R). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 12 / 26

Contoh Jika V = {A, B, C, D, E} mempunyai urutan seperti diagram berikut: Tentukan subset-subset dari V. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 13 / 26

Himpunan Bagian Terurut Total Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 14 / 26

Totally Ordered Subset Misal A himpunan terurut parsial, maka urutan parsial pada A akan menginduksi urutan parsial pada subset-subsetnya, dan beberapa subset dapat memiliki urutan total. Subset-subset {b, a, c}, {e, a, c}, dan {e, d, c} merupakan himpunan bagian terurut total. Subset-subset {b, a, e}, {a, c, d}, dan {a, e, d} bukan merupakan himpunan bagian terurut total. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 15 / 26

Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 16 / 26

Elemen Awal dan Elemen Akhir Misal A adalah himpunan terurut. Elemen a A disebut elemen awal dari A jika dan hanya jika a mendahului setiap elemen dari A. Elemen b A disebut elemen akhir dari A jika dan hanya jika b mengatasi setiap elemen dari A. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 17 / 26

Contoh Pada himpunan terurut berikut: tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir. Jika R merupakan relasi subset pada himpunan 2 A, maka (2 A, R) merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari 2 A adalah π dan elemen akhirnya adalah A. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki elemen awal dan elemen akhir. Mengapa? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 18 / 26

Elemen Maksi dan Elemen Mini Misal A merupakan suatu himpunan terurut. Suatu elemen a A disebut elemen maksi jika tidak ada elemen A yang murni mengikuti a. Suatu elemen b A disebut elemen mini jika tidak ada elemen A yang murni mendahului b. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 19 / 26

Contoh Pada himpunan terurut berikut: Elemen maksi adalah c dan elemen mini adalah b dan e. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki baik elemen maksi maupun elemen mini. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 20 / 26

Batas Atas dan Batas Bawah Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A. Suatu elemen b A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap x B, b x, yaitu b membawahi setiap elemen B. Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf (B). Suatu elemen a A disebut batas atas dari B jika untuk setiap x B, x a, yaitu a mengatasi setiap elemen B. Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau suprimum dari B dan dinotasikan dengan sup(b). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 21 / 26

Contoh Misal V = {a, b, c, d, e, f, g} merupakan himpunan terurut dengan diagram: Jika W = {b, c, e} maka 1 batas atas dari W adalah c, a dan d. 2 batas atas terkecil (sup(w )) = c 3 batas bawah dari W adalah g 4 batas bawah terbesar dari W (inf (W )) = g. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 22 / 26

Himpunan yang Similar Suatu himpunan terurut A dikatakan similar dengan himpunan terurut B dan dinyatakan A = B jika dan hanya jika ada fungsi f : A B yang satu-satu dan onto, serta untuk setiap a 1, a 2 A berlaku a 1 < a 2 f (a) < f (b) Pemetaan f disebut pemetaan similar dari A ke B. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 23 / 26

Contoh Misal A = {1, 2, 5, 10} adalah himpunan terurut dengan relasi faktor dari dan B = {t, u, v, w} juga himpunan terurut dengan diagram sebagai berikut: maka A dan B merupakan dua himpunan yang similar karena terdapat fungsi f : A B dimana f = {(1, v), (2, u), (5, w), (10, t)} Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 24 / 26

Contoh Diketahui A = {1, 2, 3,...} dan N = { 1, 2, 3,...} merupakan himpunan terurut dengan urutan alamiah x y. Kita perhatikan bahwa 1 2 tetapi 1 2 dan tidak ada elemen awal dari N, sehingga tidak terdapat fungsi similar f. Jadi A tidak similar dengan N. Bagaimana jika A adalah himpunan dari 10 elemen pertama A dan N adalah himpunan dari 10 elemen pertama N? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 25 / 26

Terima kasih Selamat belajar dan sukses Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, 2015 26 / 26