Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd hsil gi dn sis pemgin Penyelesin persmn suku nyk digunkn untuk Pemuktin teorem sis dn teorem fktor Akr-kr rsionl dri persmn suku nyk Menentukn kr rsionl Sift-sift kr persmn suku nyk lgoritm pemgin suku nyk entuk liner entuk kudrt derjt n cr skem (Horner) teorem sis teorem fktor 44 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
A Algoritm Pemgin Suku Bnyk. Pengertin dn Nili Suku Bnyk. Pengertin Suku Bnyk Suku nyk dlh sutu entuk yng memut vriel erpngkt. Suku nyk dlm x erderjt n dinytkn dengn: n x n n x n n x n x 0 Dengn syrt: n ilngn cch dn n, n,, 0 diseut koefisien-koefisien suku nyk, 0 diseut suku tetp dn n 0. Contoh ) 6x 3 3x 4x 8 dlh suku nyk erderjt 3, dengn koefisien x 3 dlh 6, koefisien x dlh 3, koefisien x dlh 4, dn suku tetpny 8. ) x 5x 4 7 x dlh ukn suku nyk kren memut pngkt negtif yitu 7 x tu 7x dengn pngkt ukn nggot ilngn cch.. Nili Suku Bnyk Suku nyk dengn derjt n dpt dinytkn segi sutu fungsi f(x) erikut ini. f(x) = n x n n x n n x n x 0, di mn n ilngn cch dn n 0. Nili f(x) terseut merupkn nili suku nyk. Untuk menentukn nili suku nyk dpt dilkukn dengn du cr erikut. ) Cr sustitusi Mislkn suku nyk f(x) = x 3 x cx d. Jik nili x dignti k, mk nili suku nyk f(x) untuk x = k dlh f(k) = k 3 k ck d. Agr leih memhmi tentng cr sustitusi, peljrilh contoh sol erikut ini. Contoh sol Hitunglh nili suku nyk erikut ini untuk nili x yng dierikn.. f(x) = x 3 4x 8 untuk x = 3. f(x) = x 4 3x 3 x 7x 5 untuk x = 4 Penyelesin. f(x) = x 3 4x 8 f(3) = 3 3 4 3 8 = 7 4 9 8 = 54 36 8 f(3) = 7 Jdi, nili suku nyk f(x) untuk x = 3 dlh 7. Suku Bnyk 45
. f(x) = x 4 3x 3 x 7x 5 f( 4) = ( 4) 4 3 ( 4) 3 ( 4) 7 ( 4) 5 = 56 9 6 8 5 f( 4) = 45 Jdi, nili suku nyk f(x) untuk x = 4 dlh 45. ) Cr Horner/ngun/skem/sintetik Mislkn suku nyk f(x) = x 3 x cx d. Jik kn ditentukn nili suku nyk x = k, mk: f(x) = x 3 x cx d f(x) = (x x c)x d f(x) = ((x )x c)x d Sehingg f(k) = ((k )k c)k d. Bentuk terseut dpt disjikn dlm entuk skem erikut ini. k c d k k k k 3 k ck k k k c k 3 k ck d Agr leh memhmi tentng cr Horner, peljrilh contoh sol erikut. Contoh sol Hitunglh nili suku nyk untuk nili x yng dierikn erikut ini.. f(x) = x 3 x 3x 4 untuk x = 5. f(x) = x 3 3x 9x untuk x = Penyelesin. 5 3 4 5 35 90 7 38 86 Jdi nili suku nyk f(x) untuk x = 5 dlh 86.. 3 9 4 8 6 Jdi, nili suku nyk f(x) untuk x = dlh 6. Ingt!! Msing-msing koefisien x disusun dri pngkt teresr smpi terkecil (perpngktn x yng tidk d, ditulis 0). Tnd pnh pd skem errti menglikn dengn k, kemudin dijumlhkn dengn koefisien yng erd di tsny. 46 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
5.. Tentukn derjt, koefisien-koefisien, dn suku tetp dri setip suku nyk erikut ini.. x 4 5x 4x 3 d. x( x)( x). 5x 4 6x 3x e. (x 9)(3x ) c. 3x 5 5x 3 x. Tentuknlh nili setip suku nyk erikut ini dengn cr sustitusi.. x 3 7x 4x 3, untuk x = 5 d. 5x 4 7x 3x, untuk x =. x 3 4x 6x 8, untuk x = 3 e. x 3 x, untuk x = 3 c. x 3 4x 8, untuk x = 3 3. Tentuknlh nili setip suku nyk erikut ini dengn cr Horner.. x 3 7x x 4, untuk x =. x 4 x 8, untuk x = 3 c. 7x 4 0x 3 5x 3x 5, untuk x = d. 4x 7 8x 5 4x 4 5x 3 5x, untuk x = e. x 5 x 4 x 3 x, untuk x =. Derjt Suku Bnyk pd Hsil Bgi dn Sis Pemgin Derjt merupkn pngkt tertinggi dri vriel yng terdpt pd sutu suku nyk. Jik suku nyk ditulis n x n n x n x 0, mk derjt dri suku nyk terseut dlh n. Bgimnkh derjt suku nyk pd hsil gi? Perhtiknlh urin erikut ini. Mislkn, suku nyk x 3 x cx d digi oleh (x k). Dengn pemgin cr susun, mk dpt dilkukn perhitungn segi erikut. x (k )x (k k c) 3 x k x x cx d x 3 kx (k )x cx d (k )x (k k)x (k k c)x d (k k c)x (k k c)k k 3 k ck d Suku Bnyk 47
Dri perhitungn terseut diperoleh x (k )x (k c) segi hsil gi. Mk, dpt dikethui dri x 3 x cx d digi oleh (x k) hsil giny erderjt. Selin itu, dri perhitungn di ts diperoleh k 3 k ck d segi sis pemgin. Jik terdpt suku nyk f(x) digi (x k) menghsilkn h(x) segi hsil gi dn f(k) segi sis pemgin, sedemikin hingg f(x) = (x k) h(x) f(k). Perhtiknlh penentun nili suku nyk dengn cr Horner erikut ini. k c d k k k k 3 k ck > Jik kit ndingkn hsil di ts dengn pemgin cr susun, mk diperoleh hsil segi erikut.. k 3 k ck d merupkn hsil gi.., k, dn k k c merupkn koefisien hsil gi erderjt. Dengn demikin, menentukn nili suku nyk dengn cr Horner dpt jug digunkn untuk menentukn hsil gi dn sis pemgin dengn pemgi (x k). Berdsrkn urin yng telh kit peljri mk dpt ditrik kesimpuln segi erikut. Jik suku nyk f(x) erderjt n digi oleh fungsi erderjt stu kn menghsilkn hsil gi erderjt (n ) dn sis pemgin erentuk konstnt. Perhtikn contoh sol erikut ini untuk memhmi cr menentukn derjt hsil gi dn sis pemgin suku nyk. Contoh sol Tentuknlh derjt dri hsil gi dn sis pemgin suku nyk erikut.. x 3 4x 8 digi x 3.. x 3 3x 5 digi x Penyelesin. x 3 4x 8 digi x 3.. Dengn cr susun x 0x 30 3 x 3x 4x 0x 8 x 3 6x > k k k c k 3 k ck d 0x 0x 8 0x 30x 30x 8 30x 90 7 > 48 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
Dengn cr Horner 3 4 0 8 6 30 90 0 30 7 Dri penyelesin terseut diperoleh x 0x 30 segi hsil gi erderjt dn 7 segi sis pemgin.. x 3 3x 5 digi x. Dengn cr susun x x 3 x x 3x 0x 5 3 x x x 0x 5 x x x 5 x 6. Dengn cr Horner > > > 3 0 5 6 hsil gi sis Dri penyelesin terseut diperoleh x x segi hsil gi erderjt dn 6 segi sis pemgin. 5. Tentuknlh derjt suku nyk hsil gi dn sis pemgin dri:. x 3 x 3x 6 digi (x ). x 3 4x x 3 digi (x ) 3. 3x 3 4x 7x digi (x 3) 4. x 4 x 7 digi (x ) 5. x 3 6x 3x 5 digi (x 3) 6. x 3 4x 5x 9 digi (x ) Suku Bnyk 49
3. Hsil Bgi dn Sis Pemgin Suku Bnyk. Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Liner (x ) Pemgin suku nyk dengn pemgi (x k) yng telh kmu peljri, dpt dijdikn dsr perhitungn pemgin suku nyk dengn pemgi (x ). Untuk leih jelsny, perhtiknlh urin erikut ini. Suku nyk f(x) digi (x k) menghsilkn h(x) segi hsil gi dn f(k) segi sis pemgin, sedemikin sehingg f(x) = (x k) h(x) f(k). Pemgin suku nyk f(x) digi (x ), dpt diuh menjdi entuk f(x) digi x ( ). Berrti, nili k =, sehingg pd pemgin suku nyk f(x) terseut dpt dilkukn perhitungn segi erikut. f(x) = x ( ) h( x) f ( ) = ( x ) h( x) f ( ) f(x) = ( ) (x ) h(x) f f(x) = (x ) f( ) hx ( ) ( ) Ingt!! x = ( x ) hx ( ) Suku nyk f(x) digi (x ) menghsilkn segi hsil gi dn hx ( ) f( ) segi sis pemgin, sehingg f(x) = (x ) f ( ). Untuk leih jelsny, perhtiknlh contoh sol erikut ini. Contoh sol Tentuknlh hsil gi dn sisny jik memki cr horner.. f(x) = x 3 x 5x digi (x ). f(x) = x 3 x x 0 digi (x 3) Penyelesin. f(x) = x 3 x 5x digi (x ) dengn cr horner segi erikut. 5 3 > > > 6 hsil gi sis Ingt!! Kren pemginy x = (x ) Fktor pengliny dlh Hsil giny = x x 6 = x x 3 Mk sis pemgin =. 50 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
f(x) = (x )(x x 6) (x ) = (x x 6) = (x )(x x 3) Jdi, (x x 3) merupkn hsil gi dn merupkn sis pemgin.. f(x) = x 3 x x 0 digi (x 3) dengn cr horner segi erikut 3 0 3 3 6 4 4 hsil gi sis Jdi, (x x ) merupkn hsil gi dn 4 merupkn sis pemgin. Ingt!! Kren pemginy x 3 = (x 3 ) Fktor pengliny 3 Hsil giny = x x 4 = x x Mk sis pemgin = 4.. Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Kudrt (x x c) Pemgin suku nyk dengn x x c, di mn 0 dpt dilkukn dengn cr is pil x x c tidk dpt difktorkn, sedngkn jik x x c dpt difktorkn dpt dilkukn dengn cr Horner. Mislkn, sutu suku nyk f(x) digi x x c dengn 0 dn dpt difktorkn menjdi (x p )(x p ). Mk, pemgin terseut dpt dilkukn dengn mengikuti lngkh-lngkh erikut ini. ) f(x) digi (x p ), sedemikin hingg f(x) = (x p ) p h (x) f di mn h (x) = hx ( ). ) h(x) digi (x p ), sedemikin hingg h (x) = (x p ) h (x) h (p )., p 3) Sustitusikn h (x) = (x p ) h (x) h (p ) ke f(x) = (x p ) h (x) f. p Dihsilkn f(x) = (x p )(x p ) h (x) ( x p) h( p) f. Kren (x p )(x p ) = x x c, mk dpt ditulis segi erikut. p f(x) = (x x c) h (x) ( x p ) h ( p ) f di mn: h (x) merupkn hsil gi (x p ) h (p ) f p merupkn sis pemgin Suku Bnyk 5
Agr kmu memhmi pemgin suku nyk oleh entuk kudrt, peljrilh contoh sol erikut. Contoh sol Tentuknlh hsil gi dn sis pemgin jik:. 3x 4 4x 3 5x x 5 digi (x x 3). x 3 x 5x digi (x ) Penyelesin. 3x 4 4x 3 5x x 5 digi (x x 3) Kren x x 3 tidk dpt difktorkn, mk dilkukn pemgin is (cr susun). 3x x 0 4 3 x x x x x x 3 3 4 5 5 3x 4 6x 3 9x x 3 4x x 5 x 3 4x 6x 0x 4x 5 0x 0x 30 4x 35 Jdi, 3x x 0 merupkn hsil gi dn 4x 35 merupkn sis pemgin.. x 3 x 5x digi (x ) Kren (x ) dpt difktorkn menjdi (x )(x ), mk pemgin terseut dpt dilkukn dengn cr.. Cr susun x 3 x x x x 5 x 3 x x 7x x 7x. Cr Horner x difktorkn menjdi (x )(x ) 5 6 6 7 f p 5 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
6 7 h (x) hsil gi Jdi, (x ) merupkn hsil gi dn 7x merupkn sis pemgin. 5.3. Tentuknlh hsil gi dn sisny, jik:. x 3 7x 4 digi (x ). x 4 x 3 6 digi (x 3) c. x 4 3x 4x 3 digi (x ) d. 3x x 4x 3 digi (x 3) e. 4x 5 x 3 x 4 digi (x ). Tentuknlh hsil gi dn sisny, jik:. x 3 x 4x 9 digi (x ). x 3 7x 4 digi (x ) c. x 3 x 5x digi (x ) d. 3x 3 x 5x 4 digi (3x ) e. 4x 5 3x x 3 digi (3x ) 3. Tentuknlh hsi gi dn sisny, jik:. x 3 x 3 digi (x ). x 3 3x 5x 9 digi (x x ) c. 4x 3 x 4 x 5 digi (x x 3) d. x 4 3x 3 x x 5 digi (x x ) e. x 3 4x x 7 digi ( x 5x 6) 4. Tentukn nili sehingg:. x 3 x 3x his digi (x ), kemudin tentukn hsil giny.. 6x 3 x 9x his digi (x 3), kemudin tentukn hsil giny. c. 4x 4 x 3 3x 8x his digi (x ), kemudin tentukn hsil giny. 5. Tentuknlh nili dn, jik:. x 3 x his digi (x x ). x 4 x 3 x his digi (x 3x 5) c. 3x 3 4x x digi ( x 4x ) dn sisny (6 7x) Suku Bnyk 53
B Penggunn Teorem Sis dn Teorem Fktor. Penggunn Teorem Sis. Menentukn Sis Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Liner Dlm menentukn sis pemgin suku nyk oleh entuk liner, kit dpt menggunkn teorem sis. Teorem Sis Jik suku nyk f(x) digi (x k), mk sis pemginny dlh f(k). Untuk leih memhmi mengeni penerpn teorem terseut, perhtiknlh contoh erikut ini. Contoh sol Tentuknlh sis pemgin dri f(x) = x 3 4x 6x 5 digi (x ). Penyelesin Cr : Cr is f(x) = x 3 4x 6x 5 f( ) = ( ) 3 4 ( ) 6 ( ) 5 = 8 4 4 5 = 8 6 5 = Jdi, sis pemginny. Cr : Sintetik (Horner) 4 6 5 4 4 Jdi, sis pemginny. Teorem Sis Jik suku nyk f(x) digi (x ), mk sis pemginny dlh f ( ). Untuk leih memhmi mengeni penerpn teorem terseut, perhtiknlh contoh erikut ini. Contoh sol Tentukn sis pemgin dri f(x) = 5x 3 x 9x digi (5x ). 54 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
Penyelesin Cr : Cr is f(x) = 5x 3 x 9x f ( 5 ) = 5 ( 5 )3 ( 5 ) 9 ( 5 ) = 5 ( 5 ( 5 ) 5 = 5 5 5 5 = 5 5 5 = 5 5 = Jdi, sisny. Cr : Cr sintetik (Horner) 5 5 9 Jdi, sisny. 4 5 0 5. Menentukn Sis Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Kudrt Dlm menentukn sis pemgin suku nyk oleh entuk kudrt, kit dpt menggunkn teorem sis erikut ini. Teorem Sis 3 Jik sutu suku nyk f(x) digi (x )(x ), mk sisny dlh px q di mn f() = p q dn f() = p q. Untuk leih memhmi mengeni penerpn teorem terseut, perhtiknlh contoh sol erikut ini. Contoh sol Jik f(x) = x 3 x 3x digi x x, tentuknlh sis pemginny. Penyelesin Pd f(x) = x 3 x 3x digi x x, entuk x x dpt difktorkn menjdi (x )(x ). Berdsrkn teorem sis 3, mk dpt dilkukn perhitungn segi erikut. (x )(x ) (x ( ))(x ) mk nili = dn =. Suku Bnyk 55
f () = p q f ( )= p q ( ) 3 ( ) 3 ( ) = p q 8 8 6 = p q 3 = p q () f () = p q f () = p q 3. 3. = p q 3 = p q = p q () Nili p dpt dicri dengn mengeliminsi q dri persmn () dn (). p q = 3 p q = 3p = 4 p = 8 Nili p disutitusikn ke persmn (). p q = 8 q = q = 7 Jdi, sis pemginny = px q =8x 7 5.4. Tentuknlh sis pemgin suku nyk oleh entuk liner erikut ini.. x 3 4x x 3 digi (x ). x 3 3x 7 digi (x 7) c. x 4 x 6 digi (x ) d. x 3 7x 5x 4 digi (x ) e. x 3 5x 3x 7 digi (3x ). Tentuknlh sis pemgin suku nyk oleh entuk kudrt erikut ini.. x 4 3x x digi (x ) (x ). x 4 x 3 x x 5 digi (x x 6) c. 3x 3 8x x digi (x x 3) d. 4x 3 x 3 digi (x x 3) e. x 3 4x 5x 3 digi (x 3x 4) 56 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
. Penggunn Teorem Fktor Teorem fktor dpt digunkn untuk menentukn fktor liner dri suku nyk. Perhtikn teorem fktor erikut ini. Jik f(x) sutu suku nyk, mk (x k) merupkn fktor dri f(x) jik dn hny jik f(x) = 0. Untuk leih memhmi penggunn teorem fktor, peljrilh contoh sol erikut ini. Contoh sol Tentuknlh fktor-fktor dri:. x 3 x x. x 3 7x x 3 Penyelesin. Jik (x k) merupkn fktor suku nyk x 3 x x, mk k merupkn pemgi dri, yitu ± dn ±. Kemudin, dico nili-nili terseut. Mislkn, dico cr Horner dengn pemgi (x ). 0 x x x = (x )(x x ) = (x )(x ) (x ) Jdi,fktor-fktorny dlh (x )(x )(x ).. Jik (x k) merupkn fktor suku nyk x 3 7x x 3, mk k merupkn pemgi dri 3, yitu ± dn ± 3. Kemudin, dico nili-nili terseut. Mislkn, dico cr Horner dengn pemgi (x ). 7 3 5 3 5 3 0 x 3 7x x 3 = (x )(x 5x 3) = (x )(x 3)(x ) Jdi, fktor-fktorny dlh (x )(x 3)(x ). 3. Penyelesin Persmn Suku Bnyk Mencri penyelesin persmn suku nyk sm hlny dengn menentukn kr-kr persmn yng memenuhi f(x) = 0. Kit dpt menyelesikn persmn suku nyk dengn menentukn fktor liner. Suku Bnyk 57
Jik f(x) sutu nyk, mk (x k) merupkn fktor dri f(x) jik dn hny jik k kr persmn f(x) = 0 Untuk leih memhmi tentng persmn suku nyk dn penyelesinny, peljrilh contoh sol erikut. Contoh sol. Tentuknlh himpunn penyelesin dn fktor liner dri f(x) = x 3 x x. Penyelesin f(x) = x 3 x x f(x) digi (x ) 0 Kren f() = 0, mk (x ) merupkn penyelesin dri x 3 x x. Sedngkn, penyelesin yng lin x x. x 3 x x = (x ) (x x ) = (x ) (x ) (x ) Jdi, himpunn penyelesinny dlh {,, }.. Jik merupkn kr-kr persmn x3 x 3x = 0, tentuknlh dn kr-kr yng lin. Penyelesin Untuk x = ( ) 3 ( ) 3 ( ) = 0 8 4 3 = 0 4 4 6 = 0 6 = 0 = 6 Jdi suku nykny f(x) x 3 x 3x 6 3 6 6 0 4 6 0 58 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
x 3 x 3x 6 = 0 (x ) (x ) (x 6) = 0 (x ) (x ) (x 3) = 0 Jdi, kr-kr yng lin dlh x = dn x = 3. 5.5. Tentuknlh fktor-fktor dri suku nyk erikut ini.. x 3 4x 3x. x 3 5x 8x 33 c. 3x 4 4x x 4 d. x 5 3x 4 5x 3 8x 4x 6 e. x 3 7x 3x 6 f. x 4 74x 7. Tentuknlh himpunn penyelesin dn fktor liner dri suku nyk erikut ini.. f(x) = x 3 x 8x. f(x) = x 3 3x 4x 5 c. f(x) = 3x 3 3x 5x 35 d. f(x) = x 4 x 3 7x x 6 e. f(x) = x 3 x 4x 4 f. f(x) = 6x 4 7x 3 05x 64x 60 4. Pemuktin Teorem Sis dn Teorem Fktor. Pemuktin Teorem Sis ) Pemuktin teorem sis Teorem sis menytkn hw jik f(x) digi (x k), mk sis pemginny dlh f(k). Perhtiknlh urin erikut untuk memuktikn keenrn teorem terseut. Dikethui f (x) = (x k) h(x) S. Derjt S leih rendh stu dripd derjt (x k), sehingg S merupkn konstnt. Kren f(x) = (x k) k(x) S erlku untuk semu x, mk jik x dignti k kn diperoleh: f (k) = (k k) h(k) S = 0 h(k) S = 0 S = S Jdi, f (k) = S S merupkn sis pemgin (terukti). Suku Bnyk 59
Contoh sol Jik f(x) digi oleh x 5x 6 sisny x. Tentukn sisny jik f(x) digi oleh x 3. Penyelesin f(x) = (x 5x 6) h(x) S f(x) = (x 3)(x ) h(x) x f(3) = (3 3)(3 ) h(3) 3 f(3) = 0 6 Jdi, sisny dlh 7. ) Pemuktin teorem sis Teorem sis menytkn hw jik f(x) digi (x ), mk sis pemginny dlh f ( ). Perhtiknlh urin erikut untuk memuktikn keenrn teorem terseut. Dikethui f(x) = (x ) hx ( ) erlku untuk semu nili x, mk jik nili x = f(x) = (x ) ) = ( ) f( f( ) = ( ) f( ) = (0) f( f( hx ( ) S h { } ( ) ) = 0 S ) = S S ( ) h S h ( ) S S. Kren pd f(x) = (x ) Jdi, terukti hw sis pemgin dlh f ( ). kn diperoleh: hx ( ) S Contoh sol Jik f(x) his digi (x ) dn jik digi (x ) sisny 5. Tentukn sisny jik f(x) digi x 3x. Penyelesin Mislkn f(x) digi (x 3x ), hsil giny h(x) dn sisny x. f(x) = (x 3x ) h(x) S f(x) = (x )(x ) h(x) x 60 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
f() = ( ) ( ) h() f() = 0 h() 0 = = 0.. () f( ) = ( )( ( ) ) h( ) ( ) f( ) = ( )( ) h( ) 5 = 0 h( ) 5 = = 0.. () Dri persmn () dn () diperoleh: = 0 = 0 = 0 4 = 0 0 5 = 0 = 4 = 4 disustitusikn ke persmn () = 0 4 = 0 = 4 = Jdi, sisny dlh x 4. Bgilh kelsmu menjdi eerp kelompok, kemudin uktiknlh teorem sis 3 erikut ini. Jik sutu suku nyk f(x) digi (x )(x ), mk sisny dlh px q di mn f() = p q dn f() = p q. Ctt dn cknlh hsilny di depn kelompokmu. Adknlh tny jw tentng mteri yng sedng dihs.. Pemuktin Teorem Fktor Teorem fktor menytkn hw jik f(x) sutu suku nyk, mk x h merupkn fktor dri f(x) jik dn hny jik f(h) = 0. Perhtiknlh urin erikut ini untuk memuktikn keenrn teorem terseut. Dikethui menurut teorem sis f(x) = (x k) h(x) f(k). Jik f(k) = 0, mk f(x) = (x k) h(x). Sehingg x k merupkn fktor dri f(x). Selikny, jik x k merupkn fktor dri f(x), mk f(x) = (x k) h(x). Suku Bnyk 6
Jik x = k, mk: f (k) = (k k) h(k) = 0 h(k) = 0 Jdi, f(k) = 0 jik dn hny jik (x k) merupkn fktor dri f(x) (terukti). Contoh sol Hitunglh p jik x 3 5x 4x p his digi x. Penyelesin Kren x 3 5x 4x p his digi x mk sisny 0, sehingg: f(x) = x 3 5x 4x p f( ) = ( ) 3 5 ( ) 4 ( ) p 0 = 5 4 p 0 = 3 p p = 3 Jdi, p = 3. C. Akr-Akr Rsionl dri Persmn Suku Bnyk. Menentukn Akr Rsionl Jik dikethui sutu suku nyk f(x) dn (x ) dlh fktor dri f(x), mk dlh kr dri persmn f(x) tu f() = 0.. Sift-Sift Akr Persmn Suku Bnyk. Untuk Suku Bnyk Berderjt Du: x x c = 0 Jik x dn x dlh kr-kr persmn kudrt x x c = 0, mk: ) x x = ) x x = c. Untuk Suku Bnyk Berderjt Tig: x 3 x cx d = 0 Jik x, x, dn x 3 dlh kr-kr persmn x 3 x cx d = 0, mk: ) x x x 3 = ) x x x x = c 3) x x = d 6 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
c. Untuk Suku Bnyk Berderjt Empt: x 4 x 3 cx dx e = 0 Jik x, x, x 3, dn x 4 dlh kr-kr persmn suku nyk x 4 x 3 cx dx e = 0, mk: ) x x x 3 x 4 = ) x x x x 4 x 3 x 4 x x 4 x x = c 3) x x x x x 4 x x x 4 x 3 x 4 = d 4) x x x 4 = e Contoh sol. Jik slh stu kr dri suku nyk x 3 4x x 6 = 0 dlh x =, tentuknlh kr-kr yng lin. Penyelesin 4 6 5 6 5 6 0 kren f() = 0, mk x = dlh kr persmn f(x) = 0 x 3 4x x 6 = 0 (x )(x 5x 6) = 0 (x )(x ) (x 3) = 0 Jdi, kr yng lin dlh x = dn x = 3.. Dikethui x, x, dn x 3 dlh kr-kr persmn x 3 x 8x 36 = 0. Tentukn:. x x x 3. x x x x c. x x d. nili, jik x dlh lwn dri x e. nili msing-msing x, x, dn x 3 untuk terseut Penyelesin. x 3 x 8x 36 = 0 = c = 8 = d = 36 x x x 3 = =..(). x x x x = c = 8 = 9.. () c. x x = d = 36 = 8.. (3) Suku Bnyk 63
d. Dri (): x x x 3 = x ( x ) x 3 = x x 3 = = 9 x = 9 x = 3 tu x = 3 Dri (3) x x = 8 untuk x = 3, mk x = 3 x x = 8 3 3 = 8 9x 3 = 8 x x x 3 = x 3 = 3 ( 3) = = 4 = = 4 Untuk x = 3, mk x = 3 x x = 8 ( 3) 3 = 8 9 = 8 x 3 =, mk = 4 e. x = 3, x = 3, dn x 3 = untuk = 4 tu x = 3, x = 3, dn x 3 = untuk = 4 Dri (): x ( x ) ( x ) x 3 x x 3 = 9 x x x 3 x x 3 = 9 x = 9 5.6 Kerjkn sol-sol di wh ini!. Tentukn fktor dri:. x 3 x = 0. x 3 x 5x = 0 c. x 3 x 7x 6 = 0. Tentukn fktor dri suku nyk erikut.. 8x 3 6x 59x 5 = 0. x 3 5x 8x 5 = 0 c. x 3 7x 7x 0 = 0 64 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
3. Tentuknlh kr-kr dri:. x 3 4x x 6 = 0. x 3 6x x 6 = 0 c. x 3 3x 8x 3 = 0 4. Selesikn. Jik kr-kr persmn px 3 4x 7x 6 = 0 dlh x, x, x 3 untuk x = 3, tentukn x x.. Jik persmn x 3 x 3x p = 0 memiliki seuh kr x =, tentukn kr-kr yng lin. c. Jik 4 merupkn slh stu kr dri persmn x 3 x x = 0, tentukn nili. d. Tentukn kr-kr dri x 3 x 5x 6 = 0.. Pemgin suku nyk. Pengertin suku nyk. Sutu suku nyk erderjt n dinytkn dengn: n x n n x n n x n. x 0.. Nili suku nyk Untuk menentukn nili suku nyk dpt dilkukn dengn du cr. ) Cr sustitusi ) Cr skem (Horner). Menentukn derjt suku nyk hsil gi dn sis pemgin. Suku nyk f(x) digi (x k) menghsilkn h(x) segi hsil gi dn f(x) segi sis pemgin, sedemikin hingg f(x) = (x k) h(x) f(k). Suku nyk f(x) erderjt n jik digi oleh fungsi erderjt stu kn menghsilkn hsil gi erderjt (n ) dn sis pemgin erentuk konstnt. 3. Menentukn hsil gi dn sis pemgin suku nyk oleh entuk liner tu kudrt. hx ( ) Suku nyk f(x) digi (x ) menghsilkn segi hsil gi dn f( ) segi sis pemgin, sedemikin hingg f(x) = (x ) hx ( ) f( ). Suku Bnyk 65
. Suku nyk f(x) digi x x c dn dpt difktorkn menjdi (x p )(x p ) dpt ditulis f(x) = (x x c) h (x) [(x p ). p h (p ) f di mn h (x) merupkn hsil gi dn (x p ) h (p ) p f merupkn sis pemgin. 4. Teorem sis. Jik suku nyk f(x) digi (x k), mk sis pemginy dlh f(k).. Jik suku nyk f(x) digi (x ), mk sis pemginy dlh f ( ). c. Jik suku nyk f(x) digi (x )(x ), mk sisny dlh px q dimn f() = p q dn f() = p q. 5. Teorem fktor Jik f(x) sutu suku nyk, mk (x k) fktor dri f(x) jik dn hny jik k kr persmn f(x) = 0. 6. Akr-kr rsionl persmn suku nyk. Suku nyk erderjt du: x x c = 0 ) x x = ) x x = c. Suku nyk erderjt tig: x 3 x cx d = 0 ) x x x 3 = ) x x x x = c 3) x x = d c. Suku nyk erderjt empt: x 4 x 3 cx dx e = 0 ) x x x 3 x 4 = ) x x x x 4 x 3 x 4 x x 4 x x = c 3) x x x x x 4 x x x 4 x 3 x 4 = d 4) x x x 4 = e 66 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
I. Pilihlh slh stu jwn yng pling enr.. Nili suku nyk 6x 5 x 3 4x 6 untuk x = dlh... 0 d. 4. e. 0 c.. Jik nili suku nyk x 4 mx 3 8x 3 untuk x = 3 dlh 6, mk m dlh.. 5 d. 3. 3 e. 5 c. 3. Suku nyk f(x) = x 3 5x 3x 9 digi (x ), mk hsil giny dlh.. x 7x. x 7x c. x x 7 d. x 7x e. x x 7 4. Jik suku nyk f(x) = 5x 4 3x 3 7x x digi oleh (x x 3), mk sisny dlh.. x 36. x 36 c. 36x d. x 36 e. 36x 5. Jik f(x) = x 3 7x x 4 digi (x ), mk sisny dlh.. 3 d. 0. e. 4 c. 6. Jik x 3 x k his digi dengn (x ), mk ilngn terseut jug his digi dengn.. x d. x. x e. x 4 c. x 3 Suku Bnyk 67
7. Jik suku nyk f(x) = x 4 x 3 3x 5x digi (x ) menghsilkn sis (6x 5) mk nili =.. 8 d. 3. 6 e. 6 c. 8. Jik (x ) merupkn slh stu fktor dri suku nyk f(x) = x 4 x 3 px x, mk nili p dlh.. 3 d.. e. 3 c. 9. Suku nyk f(x) = 3x 3 75x 4 digi oleh (x k) dengn k > 0. Jik sisny 4, mk nili k dlh... 5 d. 4. 0 e. 5 c. 3 0. Jik suku nyk x x 6 digi oleh (x ) sisny, mk nili dlh.. tu 3. 3 tu c. tu 3 d. tu 3 e. tu 3. Jik f(x) = 3x 4 5x kx his digi dengn (x ), mk nili k dlh.. 0 d. 40. 0 e. 50 c. 30. Jik f(x) digi dengn (x ) sisny 4, sedngkn jik digi dengn (x 5) sisny 0. Jik f(x) digi dengn x 3 3x 0 sisny dlh... x 34. x 34 c. x 0 d. x 0 e. x 4 68 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA
3. Jik suku nyk f(x) digi (x ) sis 5 dn jik digi dengn (x 3) sisny 7. Jik suku nyk terseut digi dengn (x x 3), mk sisny... x 5. c. x 5 x 4 d. x 4 e. x 5 4. Suku nyk f(x) digi (x 4) sisny, sedngkn jik digi (x ) sisny. Jik f(x) digi (x )(x 4) sisny dlh.. x 3 d. x 3. x 3 e. 3x c. x 3 5. Seuh kr persmn x 3 x x = 0 dlh. Jumlh kr-kr persmn itu dlh... 3 d. 3. e. 3 c. 3 II. Kerjkn sol-sol erikut ini dengn enr.. Dikethui f(x) = (x )(x )(x 3). Tentuknlh:. derjt sukuny,. koefisien-koefisien vriel, c. suku tetpny.. Tentukn nili suku nyk x 4 x 3 x untuk x =. 3. Tentukn hsil gi dn sis hsil gi, jik suku nyk x 3 3x x 3 digi (x ) dengn cr Horner. 4. Tentuknlh hsil gi dri (x 3 x 3x 9) digi (x ). 5. Tentuknlh nili p jik f(x) = x 3 5x 4x p his digi (x ). 6. Crilh p supy x x p x 7 3x dpt disederhnkn. Suku Bnyk 69
7. Crilh sisny, jik x 4 3x x digi x x. 8. Jik f(x) digi (x ) sisny 3 dn digi (x ) sisny 4, mk tentukn sisny jik f(x) digi x 3x. 9. Tentuknlh nili p supy (x ) fktor dri x 4 5x 3 px x. 0. Slh stu kr persmn: x 3 7x x 0 = 0 dlh. Tentuknlh:. nili,. kr-kr yng lin.. Tentuknlh himpunn penyelesin dri f(x) = x 3 5x 4x 3 = 0.. Jik x 3 x x k his digi (x 3), tentukn nili k k. 3. Jik suku nyk x 4 3x 3 x x digi (x ) tersis 9, tentukn nili p. 4. Suku nyk f(x) = x 5 x 4 x 3 x x his digi (x ). Jik f(x) digi x x, tentukn sisny. 5. Dikethui x, x, dn x 3 dlh kr-kr persmn x 3 4x 8x 36 = 0. Tentuknlh:. x x x 3. x x x x c. x x 70 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA